高考文科数学之初等函数复习教案

DSE金牌数学专题系列经典专题系列第1讲专题：初等函数导入知识点回顾【指数函数】函数名称指数函数定义0101函数且叫做指数函数0101图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，．奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．【对数函数】1.对数的定义①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：．2.几个重要的对数恒等式，，．3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象001001定义域值域过定点图象过定点，即当时，．奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．【函数基本性质】1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：eq\o\ac(○,1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；eq\o\ac(○,2)由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：eq\o\ac(○,1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；eq\o\ac(○,2)确定f(－x)与f(x)的关系；eq\o\ac(○,3)作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：eq\o\ac(○,1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；eq\o\ac(○,2)必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集：①若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是增函数；②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈D，且x1<x2；eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)变形（通常是因式分解和配方）；eq\o\ac(○,4)定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；eq\o\ac(○,5)下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。3．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。注意：eq\o\ac(○,1)函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；eq\o\ac(○,2)函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：eq\o\ac(○,1)利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；eq\o\ac(○,2)利用图象求函数的最大（小）值；eq\o\ac(○,3)利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；4．周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数；（2）性质：①f(x+T)=f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为。【函数的应用】一、方程的根与函数的零点：1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3、函数零点的求法：求函数的零点：eq\o\ac(○,1)（代数法）求方程的实数根；eq\o\ac(○,2)（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数．１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．三、典型例题题型一：初等函数的基本应用1.已知函数，则（）A.4 B. C.－4 D.－题型二：函数的奇偶性应用【例1】（2010上海）设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=_____。【例2】若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则=（）B．C．D．【详细解析】则=，=【考点定位】考查任何函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和。f(x)=，其中偶函数G(x)=，奇函数H(x)=.【例3】已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2－x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]时f(x)的表达式。题型三：判断证明函数的单调性【例3】（2011天津）设，是上的偶函数。求的值；（2）证明在上为增函数。【例4】（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性。【高考链接】1．(2013四川，文21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝其中a是实数，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2－x1≥1；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．解析：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1.当x＜0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2.∵x1＜x2＜0∴(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1.∴2x1＋2＜0,2x2＋2＞0.因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1.(当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即且时等号成立)所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有x2－x1≥1.(3)当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2.当x1＜0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x12＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x12＋a.当x2＞0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－lnx2＝(x－x2)，即y＝·x＋lnx2－1.两切线重合的充要条件是：由①及x1＜0＜x2知，0＜＜2.由①②得，a＝lnx2＋－1＝.令，则0＜t＜2，且a＝t2－t－lnt，设h(t)＝t2－t－lnt(0＜t＜2)，则h′(t)＝t－1－＝＜0.∴h(t)(0＜t＜2)为减函数，则h(t)＞h(2)＝－ln2－1，∴a＞－ln2－1.而当t∈(0,2)且t趋近于0时，h(t)无限增大．∴a的取值范围是(－ln2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln2－1，＋∞)．2．(20XX年四川文)已知函数（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）若是第二象限角，，求的值。3.(2014四川文)已知函数，其中，为自然对数的底数。（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，证明：。当堂过手训练（快练5分钟，稳准建奇功）选择题：1．下列函数与有相同图象的一个函数是（）A．B．C．D．2．下列函数中是奇函数的有几个（）①②③④A．B．C．D．3．函数与的图象关于下列那种图形对称()A．轴B．轴C．直线D．原点中心对称4．已知，则值为（