2022-2023学年湖南省益阳市初三年级下册学习能力诊断卷数学试题含解析

2022-2023学年湖南省益阳市初三下学期学习能力诊断卷数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（）

A.y=(x+2)2-5B.y=(x+2)2+5C.y=(x-2)2-5D.y=(x-2)2+5

r-33

2.计算一上+?的结果是()

XX

x+6尤一6

A.-------B.------D.1

XX2

3.如图，在。。中，点P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论：①ABLCD；@ZAOB=4ZACD；

③弧AD=MBD；@PO=PD,其中正确的个数是（）

A.4B.1C.2D.3

4.如图，点A为Na边上任意一点,作ACLBC于点C,CDLAB于点D,下列用线段比表示sina的值，错误的是

ACADCD

C.-----D.

BC~ABACAC

5.下列计算中正确的是（）

A.x2+x2=x4B.X6vX3=X2C.(X3)2=x6D.x4=x

6.设Xl,X2是一元二次方程-2x-5=0的两根，则打2+孙2的值为（）

A.6B.8C.14D.16

7.如图，。。与直线L相离，圆心O到直线h的距离OB=2g,OA=4,将直线h绕点A逆时针旋转30。后得到

的直线h刚好与。。相切于点C,则OC=（）

A.1B.2C.3D.4

8.某同学将自己7次体育测试成绩（单位:分）绘制成折线统计图，则该同学7次测试成绩的众数和中位数分别是（）

A.50和48B.50和47C.48和48D.48和43

9.下列计算正确的是（）

A.a2*a3—a6B.（a2）3—a6C.a6-a2=a4D.a5+a5=a10

10.如图，一个铁环上挂着6个分别编有号码1,2,3,4,5,6的铁片.如果把其中编号为2,4的铁片取下来，再

先后把它们穿回到铁环上的任意位置，则铁环上的铁片（无论沿铁环如何滑动）不可能排成的情形是（）

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.已知孙=3,那么+的值为

12.比较大小：3®（填＜,＞或=）.

13.今年，某县境内跨湖高速进入施工高峰期，交警队为提醒出行车辆，在一些主要路口设立了交通路况警示牌（如

图）.已知立杆AD高度是4m,从侧面C点测得警示牌顶端点A和底端B点的仰角（NACD和NBCD）分别是60。,

14.如图，已知正方形ABCD的边长为4,©B的半径为2,点P是。B上的一个动点，则PD--PC的最大值为

2

15.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60。，距离灯塔为4海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的

正东位置，海轮航行的距离AB长海里.

A

.

■北

I.

■，

I/

IJ

----r--

P\B

■

1

16.某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分为A,B,C,D,E五个等级.现随机抽取了500名学生的

评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的统计图.已知图中从左到右的五个长方形的高之比为2：3：3：1：1,

据此估算该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为____人.

17.将函数y=3x+l的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQLBE于点Q,DPLAQ于点P.求证：AP=BQ；

在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.

2x-22_

19.（5分）化简：（x-L---------）+二v二v

x+1x+1

20.（8分）某水果批发市场香蕉的价格如下表

购买香蕉数（千克）不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上

每千克的价格6元5元4元

张强两次共购买香蕉50千克，已知第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付出264元，请问张强第一次，第二次分别

购买香蕉多少千克?

21.（10分）有四张正面分别标有数字-1,0,1,2的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上

洗均匀.随机抽取一张卡片，求抽到数字1”的概率；随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用

列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率.

22.（10分）在连接A、B两市的公路之间有一个机场C,机场大巴由A市驶向机场C,货车由B市驶向A市，两车

同时出发匀速行驶，图中线段、折线分别表示机场大巴、货车到机场C的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函

数关系图象.直接写出连接A、B两市公路的路程以及货车由B市到达A市所需时间.求机场大巴到机场C的路程y

（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式.求机场大巴与货车相遇地到机场C的路程.

34

23.（12分）如图，AABC的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图，①仅用无刻度直尺，且不能用直

尺中的直角；②保留作图痕迹.

在图1中画出AB边上的中线CD；在图2中画出YABE尸，使得

SABEF=S/V1BC•

24.（14分）2018年“清明节”前夕，宜宾某花店用1000元购进若干菊花，很快售完，接着又用2500元购进第二批

花，已知第二批所购花的数量是第一批所购花数的2倍，且每朵花的进价比第一批的进价多0.5元.

（1）第一批花每束的进价是多少元.

（2）若第一批菊花按3元的售价销售，要使总利润不低于1500元（不考虑其他因素），第二批每朵菊花的售价至少是

多少元？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【详解】

抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0）,

先向左平移2个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（-2,-1）,

所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2-1.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键.

2、D

【解析】

根据同分母分式的加法法则计算可得结论.

【详解】

x—33x—3+3x

----+—=--------=—=1.

XXXX

故选D.

【点睛】

本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则.

3、D

【解析】

根据垂径定理，圆周角的性质定理即可作出判断.

【详解】

是弦A8的中点，CZ＞是过点尸的直径.

：.AB±CD,弧4£）=弧50,故①正确，③正确；

ZAOB=2ZAOD=4ZACD,故②正确.

尸是。。上的任意一点，因而④不一定正确.

故正确的是：①②③.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，正确理解定理是关键.平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦，并且平分这条

弦所对的两段弧；同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.

4、D

【解析】

【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案.

【详解】VZBDC=90°,.*.ZB+ZBCD=90°,

VZACB=90°,即NBCD+NACD=90°,

.•.ZACD=ZB=a,

在RtABCD中，sina=-----,故A正确，不符合题意；

BC

AC

在RtAABC中，sina=-----,故B正确，不符合题意;

AB

AD

在RtAACD中，sina=-----,故C正确,不符合题意;

AC

CD

在RtAACD中，cosa=-----,故D错误,符合题意，

AC

故选D.

【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正

切为对边比邻边.

5、C

【解析】

根据合并同类项的方法、同底数塞的除法法则、塞的乘方、负整数指数幕的意义逐项求解，利用排除法即可得到答案.

【详解】

A.x2+x2=2x2,故不正确；

B.x6vx3=x3,故不正确；

C.（X3）2=3,故正确；

D.x-1=—,故不正确；

X

故选C.

【点睛】

本题考查了合并同类项的方法、同底数塞的除法法则、塞的乘方、负整数指数塞的意义，解答本题的关键是熟练掌握

各知识点.

6、C

【解析】

2

根据根与系数的关系得到Xl+X2=2,Xl・X2=-5,再变形X/+X22得到（Xl+X2）-2XI.X2,然后利用代入计算即可.

【详解】

1,一元二次方程X2-2X-5=0的两根是xi、X2,

/.Xl+X2=2,Xl*X2=-5,

•*.Xl2+X22=（X1+X2）2-2XI»X2=22-2X（-5）=1.

故选c.

【点睛】

hr

考查了一元二次方程ax?+bx+c=O（a/0）的根与系数的关系：若方程的两根为xi,X2,则xi+x2=--,xi»X2=—.

aa

7、B

【解析】

先利用三角函数计算出NOAB=60。,再根据旋转的性质得NCAB=30。,根据切线的性质得OCLAC,从而得到NOAC

=30°,然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到OC的长.

【详解】

解：在RtAABO中，sinZOAB=—=,

OA42

.\ZOAB=60°,

•.•直线h绕点A逆时针旋转30。后得到的直线h刚好与。O相切于点C,

...NCAB=30°,OC±AC,

.\ZOAC=60°-30°=30°,

*q1

在RtAOAC中，OC=-OA=L

2

故选B.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系：设。O的半径为r,圆心O到直线1的距离为d,则直线1和。O相交udVr；直线

1和。。相切5=r；直线1和。。相离ud>r.也考查了旋转的性质.

8、A

【解析】

由折线统计图，可得该同学7次体育测试成绩，进而求出众数和中位数即可.

【详解】

由折线统计图，得：42,43,47,48,49,50,50,

7次测试成绩的众数为50,中位数为48,

故选：A.

【点睛】

本题考查了众数和中位数，解题的关键是利用折线统计图获取有效的信息.

9、B

【解析】

根据同底数幕乘法、塞的乘方的运算性质计算后利用排除法求解.

【详解】

A、a2»a3=a5,错误；

B、(a2)3=a6,正确；

C、不是同类项，不能合并，错误；

D、a5+a5=2a5,错误；

故选B.

【点睛】

本题综合考查了整式运算的多个考点，包括同底数易的乘法、幕的乘方、合并同类项，需熟练掌握且区分清楚，才不

容易出错.

10、D

【解析】

摘掉铁片2,4后，铁片1,1,5,6在铁环上按逆时针排列，无论将铁片2,4穿回哪里，铁片1,1,5,6在铁环上

的顺序不变，观察四个选择即可得出结论.

【详解】

解：摘掉铁片2,4后，铁片1,1,5,6在铁环上按逆时针排列，

•.•选项A,B,C中铁片顺序为1,1,5,6,选项O中铁片顺序为1,5,6,1.

故选D

【点睛】

本题考查了规律型：图形的变化类，找准铁片1,1,5,6在铁环上的顺序不变是解题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11>±273

【解析】

分析：先化简，再分同正或同负两种情况作答.

详解：因为盯=3,所以x、y同号，

于是原式=■+/讨向+力而，

当x>0,y>0时，原式=+J^=2百；

当x<0,y<0时，原式=-7^+（一7^）=一2百

故原式=±2若.

点睛：本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键.

12、<

【解析】

【分析】根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案.

【详解】•••32=9,9<10,

.*.3<V10，

故答案为：<.

【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键.

io12-473

[3、--------m

3

【解析】

由特殊角的正切值即可得出线段CD的长度，在RSBDC中，由NBCD=45。，得出CD=BD,求出BD长度，再利用

线段间的关系即可得出结论.

【详解】

在R3ADC中,NACD=60°,AD=4

AD

/.tan60°=-----=V3r

CD

：.CD=^-

3

•在Rt&BCD中,N340=45。，CD=^I

3

：.BD=CT>=.^-

3

•AR-ARRn_4473_12-473

33

路况警示牌AB的高度为I2-4百m.

3

故答案为：

【点睛】

解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

14、1

【解析】

分析：由PD-，PC=PD-PGWDG,当点P在DG的延长线上时，PD-^pc的值最大，最大值为DG=1.

22

使得BG=L如图,

PB2c3C4c

BG1PB2

PBBC

BG~PB'

VZPBG=ZPBC,

/.△PBG^ACBP,

.PGBG_1

,•PC-PB—5'

1

/.PG=-PC,

2

当点P在DG的延长线上时，PD-；PC的值最大，最大值为DG=J42+32=L

故答案为1

点睛：本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决

问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题.

15、1

【解析】

分析：首先由方向角的定义及已知条件得出NNPA=60。，AP=4海里，ZABP=90°,再由AB〃NP,根据平行线的性质

得出NA=NNPA=60。.然后解RtAABP,得出AB=AP・cosNA=l海里.

详解：如图，由题意可知NNPA=60。，AP=4海里，ZABP=90°.

；AB〃NP,

，NA=NNPA=60°.

在RtAABP中，；NABP=90。，ZA=60°,AP=4海里，

AB=AP»cosZA=4xcos60°=4x—=1海里.

2

故答案为L

点睛：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题

的关键.

16、16000

【解析】

用毕业生总人数乘以“综合素质”等级为A的学生所占的比即可求得结果.

【详解】

,:A,B,C,D,E五个等级在统计图中的高之比为2：3：3：1：1,

2

二该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为80000X--------------------=16000,

2+3+3+1+1

故答案为16000.

【点睛】

本题考查了条形统计图的应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表

示出每个项目的数据.

17、y=3x-l

【解析】

Vy=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，

，平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x+l-2,即y=3x-L

故答案为y=3x-1.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)证明见解析；(2)①AQ-AP=PQ,②AQ-BQ=PQ,③DP-AP=PQ,④DP-BQ=PQ.

【解析】

试题分析：(1)利用AAS证明AAQB丝Z\DPA,可得AP=BQ；(2)根据AQ-AP=PQ和全等三角形的对应边相等可

写出4对线段.

试题解析：(1)在正方形中ABCD中，AD=BA,ZBAD=90°,/.ZBAQ+ZDAP=90°,VDP1AQ,AZADP+ZDAP=90°,

NBAQ=NADP,；AQ_LBE于点Q,DP_LAQ于点P,/.ZAQB=ZDPA=90°,.,.AAQB^ADPA(AAS),

；.AP=BQ.(2)①AQ-AP=PQ,②AQ-BQ=PQ,③DP-AP=PQ,④DP-BQ=PQ.

考点：(1)正方形；(2)全等三角形的判定与性质.

【解析】

根据分式的混合运算先计算括号里的再进行乘除.

【详解】

x+1x+1

=-x---—--1--—--2--x--+--2-•---x--+---1----

X+1X(x-1)

=(xT);X+1

x+1x(x-1)

_x—1

X

【点睛】

此题主要考查分式的计算，解题的关键是先进行通分，再进行加减乘除运算.

20、第一次买14千克香蕉，第二次买36千克香蕉

【解析】

本题两个等量关系为：第一次买的千克数+第二次买的千克数=50；第一次出的钱数+第二次出的钱数=1.对张强买的

香蕉的千克数，应分情况讨论：①当OVxMO,y<40；②当0VxW20,y>40③当20VxV3时，则3<yV2.

【详解】

设张强第一次购买香蕉xkg,第二次购买香蕉ykg,由题意可得0<x<3.

则①当0VxW20,y<40,则题意可得

x+y=50

6x+5y=264

%—14

解得

〔产36

②当0VxW20,y>40时，由题意可得

x+y=50

6x+4y=264'

x=32

解得1.（不合题意，舍去）

③当20VxV3时，则3VyV2,此时张强用去的款项为

5x+5y=5（x+y）=5x50=30<l（不合题意，舍去）；

④当20Vxs40y>40时，总质量将大于60kg,不符合题意，

答：张强第一次购买香蕉14kg,第二次购买香蕉36kg.

【点睛】

本题主要考查学生分类讨论的思想.找到两个基本的等量关系后，应根据讨论的千克数找到相应的价格进行作答.

21、（1）—；（2）—.

412

【解析】

试题分析：（1）根据概率公式可得；

（2）先画树状图展示12种等可能的结果数，再找到符合条件的结果数，然后根据概率公式求解.

解：（1）•••随机抽取一张卡片有4种等可能结果，其中抽到数字的只有1种，

...抽到数字的概率为!；

（2）画树状图如下：

-1012

由树状图可知，共有12种等可能结果，其中第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”只有1种结果,

二第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率为占.

43

22、(1)连接A、B两市公路的路程为80km,货车由B市到达A市所需时间为^h；(2)y=-80x+60(0<x<-)；(3)

机场大巴与货车相遇地到机场C的路程为一km.

7

【解析】

(1)根据=+可求出连接4、3两市公路的路程，再根据货车gh行驶20km可求出货车行驶60km所需

时间；

(2)根据函数图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出机场大巴到机场C的路程y(km)与出发时间x(h)之间

的函数关系式；

(3)利用待定系数法求出线段EO对应的函数表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组可求出机场大巴与

货车相遇地到机场C的路程.

【详解】

解：(1)60+20=80(痴)，

14

804-20X—=—(/i)

4

工连接45两市公路的路程为80公％货车由5市到达A市所需时间为彳瓦

⑵设所求函数表达式为y=kx+b(k^0),

3

将点(0,60)、(:,0)代入广质+心

仿=60

k=-80

得：<3解得:<b=60,

—k+b=0,

4

3

・••机场大巴到机场C的路程丁依⑶与出发时间xg)之间的函数关系式为y=-80%+60(0<%<-).

⑶设线段ED对应的函数表达式为产机X+M(相声0)

14

将点(],0)、(160)代入y=mx+n9

—m+n=0

3