2024高考数学大题创新题精练-导数（原卷）

大题创新题精练06导数冲刺2024高考数学【突破新题型】（原

卷）

【前言】自九省联考新题型以来，各地模拟卷题目发生根本性变化。数列主要发

生以下变化：（1）求公切线、单调性讨论、函数不等、函数零点等传统问题变得

简单，（2）加强了导数与概率问题的综合，（3）导数新定义题目浮出水面。

题型探究

SS".....................................................................

【题型一】求函数切线与公切线

【题型二】函数单调性的讨论

【题型三】函数极值最值的讨论

【题型四】函数零点问题

【题型五】导数与概率统计的综合

【题型六】函数导数新定义问题

知识温习

1.指数均值不等式与对数均值不等式

（1）指数均值不等式：对于实数a,b,定义为a,b的指数平均数，则

____aa.b

石花（当且仅当a=b时，等号成立）

a-b2

（2）对数均值不等式：对于a,b两个正数的对数平均线，则有

(当且仅当a=b时，等号成立)

2.八大经典超越函数的图象

号知国向心咯

3.微分中值定理

定理1：(罗尔定理)如果函数/'(x)满足以下条件

(1)在闭区间［a,人也连续，⑵在开区间Qa,b)内可导，⑶f(a)=f(b),

则在Qa,b)内至少存在一个点。使得

/W=o

定理2：(拉格朗日中值定理)如果/'(x)满足以下条件

(1)在闭区间卜/]±连续，(2)在开区间伍/)内可导，

则在仅/)内至少存在一个点。使得

5坐3

b-a

推论：如果在伍力)内恒有/'(x)=0,则在伍/)内/(x)为常数.

罗尔定理图示拉格朗日中值定理图示

定理3：(柯西中值定理)如果/'(x)、g(x)满足以下条件

(1)在闭区间[a,"连续，(2)在开区间(a,Z?)内可导，且g(x)wO,

则在伍力)内至少存在一点。使得

gS)—g(a)g'C)

【注意】(1)以上3个中值定理，特别时拉格朗日中值定理建立了函数在区间上的变化(改

变量)与函数在该区间内一点处导数的关系，从而使我们能够利用导数来研究函数在区间上

的整体性态.

(2)罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊形式，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的拓展

形式.

4.泰勒公式

泰勒(Taylor)公式的主要作用是用多项式逼近函数和近似计算，对应的分别时带有皮亚

诺余项的泰勒公式和带有拉格朗日余项的泰勒公式。

带有皮亚诺余项的泰勒公式

若函数/(x)在点与处存在直至n阶导数，则有

X2+，，，

f(x)=/(xo)+/,(XO)(X-Xo)+/-0)+~~~-、0)〃+。((、-Xo)〃)

2!n\

用得比较多的是在％=0时的特殊形式:

/(x)=/(0)+f\x)x+T一+…+^7^£+。(/)

2!n\

它称为带有皮亚诺余项的麦克劳林公式.

5.常用的泰勒公式(带有皮亚诺余项)

2n

VX

(1)ex=1+XH---1----1----Fo(x”),

2!n\

/v5Ji

⑵sm―f+w+…+(-】尸5+。(/)，

Vv4》

(3)cosx=l-—+—+-•-+(-1)〃+o，〃+i),

2!4!(2〃)！

了32

(4)tanx=x+x5+—Fo(x2/7),

2

r丫3〃

(5)ln(l+x)=x--1----1---F(—1)〃1---Fo{xn),

23n

、a1a(a+l)a(a—1)…(a—〃+1)/八

(6)(1+x)=l+ax+------x2+••­+-----------------xn+o(x),

2!n\

1

(7)----=1+x+x29+—FX〃+o(x〃)，

1-x

由泰勒公式，我们得到下列常用的不等式：

ex>1+x,ex>1-^-x+—x2(x>0),ex>ex,ln(l+x)<x,Inx<x-1,Vl+x<1+—,

XXX

sinx<x<tanx[x>0),sinx>x---(x>0),cosx>l----,tanx>x+——(x>0).

6.高中常用的泰勒公式(麦克劳林公式)如下:

(l).ev=l+x+—+—+o(x3),(2).sinx=x--+o(x3)

2423

(3).cosx=1-]+左+o(x4>(4).ln(l+x)=+：+

(5).(1+x)。=l+or+^^—―x2+O(X2),(6).——=1+x+x2+x3+o(x3).

2!1-x

7.切线放缩

1.指数放缩

⑴放缩成一次函数：ex>x+\,ex>ex.ex>x.

(2)放缩成类反比例函数：ex<-^—{x<O\ex<--{x<0),

1-xX

(3)放缩成二次函数：ex>l+x+1x2(x>0),

2.对数放缩

⑴放缩成一次函数：lnx<x-l,ln(l+x)<x,lnx<x;

(2)放缩成二次函数：ln(l+x)<x-1x2(-l<x<0),

Inx<x2-x,ln(l+x)>x——x2(x>0);

(3)放缩成类反比例函数：Inx〉1--

x+1

Inx<—―(0<x<1),ln(l+x)>-

x+11+x'

2x2Y

ln(l+x)>-----(x>0),ln(l+x)<—:—(-l<x<0),

1+x1+X

(4)放缩成对勾函数：Inx<'(x-工)(x>l),lnx>—(x----)(0<x<1),

2x2x

Inx<-\[x—~r=(x>l),lnx>-\!~x—j=(0<x<1),

3.三角函数放缩

I2I•2

sinx<x<tanx(x>0),sinx>X~~A:A—xVcosxVl—sinx

22

4.指对放缩

-Inx>(x+1)-(x-1)=2

各个击破

【题型一】求函数切线与公切线

【知识回顾】(略)

3

1.(2024•广东韶关•二模)已知函数/(x)=ax+1+211K在点处的切线平行于x轴.

⑴求实数

⑵求/(x)的单调区间和极值.

2.(2024•安徽•二模)已知函数〃x)=x2-10尤+3/'⑴Inx.

⑴求函数/(X)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)求/(x)的单调区间和极值.

3.(2022•广东佛山•三模)已知函数/(x)=ln(x+l)-3-l,其中x>0,aeR.

⑴讨论/(X)的单调性；

(2)当a=2时，％是/(&)的零点，过点/(x(),ln(尤o+1))作曲线V=ln(x+l)的切线/,试证明直

线/也是曲线y=e㈤的切线.

【题型二】函数单调性的讨论

【知识回顾】（略）

4.（2024高三・全国•专题练习）已知函数/（力=111（1+办）-2》（《片0）.

⑴讨论“X）的单调性；

（2）当1时，恒成立，求实数a的取值范围.

5.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）已知函数/（尤然己-常衣仁除

⑴当a=0时，求〃x）在x=l处的切线方程；

（2）当。=1时，求〃x）的单调区间和极值；

⑶若对任意xeR,有f（x）4ei恒成立，求。的取值范围.

9

6.（2024•贵州黔西•一模）已知函数/（x）=5尤2-xlnx-2x.

⑴判断〃x）的单调性；

（2）证明：9（！+3+*+3+^zl]>3〃-ln（2〃+l）.

13572H+1J

【题型三】函数极值最值的讨论

【知识回顾】（略）

7.（2024•山西吕梁・二模）已知函数/（x）=alnr-2x-区~（。W0）.

⑴当。=1时，求的单调区间和极值；

（2）求/（尤）在区间（0』上的最大直

8.（2024・全国•模拟预测）已知函数/（x）=ax-lnx,aeR.

⑴若函数尸(x)=/(x)-x2有两个极值点，求a的取值范围;

(2)若曲线y=/(x)在点处的切线与了轴垂直，求证：/(x)<eI+^-.

9.(2024•山东济南♦一模)已知函数/(x)=e2*+e*-ax.

⑴当a=3时,求〃x)的单调区间;

(2)讨论〃x)极值点的个数.

【题型四】函数零点问题

【知识回顾】(略)

10.(2022・青海西宁•二模)已知函数/'(x)=)--alnx-ax>0).

⑴讨论“X)的单调性；

(2)若“X)恰有一个零点，求。的值.

11.(2021•福建莆田•二模)设函数/(x)=2e*+acosx,aeR.

(1)若/⑴在上存在零点，求实数。的取值范围；

(2)证明：当a£[l,2],x£[o,^)时，/(%)...2%+3.

2

12.(2024•广东梅州•二模)已知函数/(x)=e*，g(x)=x+1,〃(x)=asinx+l(Q〉0).

⑴证明:当X£(0,+oo)时，/(x)>g(x)；

⑵讨论函数/(%)=/(、)j(x)在(0,兀)上的零点个数.

13.(2024广东•二模)已知/(x)=；办2+0_2〃)%一2111¥,4>0.

⑴求/(X)的单调区间；

(2)函数/(x)的图象上是否存在两点/(无1，乂),3伍，%)(其中玉/马)，使得直线48与函数

/(x)的图象在毛=辽爰处的切线平行？若存在，请求出直线NB；若不存在，请说明理由.

14.(2024・陕西安康•模拟预测)已知函数/(x)=ae*sinx+x-cosx,/'(x)为/(x)的导函数，

r(0)=2.

(1)求。的值；

(2)求/■'(>)在(0,兀)上的零点个数.

【题型五】导数与概率统计的综合

15.(2324高二下•山东潍坊•期中)信息嫡是信息论之父香农(Shannon)定义的一个重要概

念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息

中排除了冗余后的平均信息量称为"信息燧"，并给出了计算信息端的数学表达式：设随机变

量X所有可能的取值为12…,"(〃eN*),且尸(X=i)=，>0(i=l,2,...,〃)，=1,定义

1=1

X的信息嫡H(X)=-£pilog2Pi.

1=1

⑴当〃=1时，计算”(X)；

(2)当〃=2时，试探索X的信息嫡关于Pi的解析式，并求其最大值；

(3)若〃eN*),随机变量F所有可能的取值为1,2,...,加，且

P(Y=j)=闩+=1,2,…㈤)，证明:H(X)>H(Y).

16.(2024•河北沧州•模拟预测)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程

下山票、双程上下山票.为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程

上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24.

⑴若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随

机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率.

(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买

回程票的比(%>2且"?eN*)人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的

2人的购票类型相同，则该组标为否则该组标为3,记询问的某组被标为3的概率为p.

(i)试用含加的代数式表示p

(ii)若一共询问了5组，用g(0表示恰有3组被标为2的概率，试求g(0的最大值及此

时加的值.

17.(2324高三下•全国•阶段练习)已知函数/(x)=e=x-l,x>0.

(1)证明：/(尤)20;

(2)若随机变量X可取值为七,%,>0,且i=l,2,L,“，尸(x=%)=。,，E(X)为X的数

学期望.

证明：①E(X)N(玉玉…毛尸(Pi"…,〃；

【题型六】函数导数新定义问题

18.(2024•湖南•二模)罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零

点有关，是由法国数学家米歇尔•罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数/(X)满足

在闭区间皿回连续,在开区间3切内可导,且“。)=/(6),那么在区间(明万)内至少存在

一点加，使得/'(加)=0.

(1)运用罗尔定理证明：若函数”X)在区间目连续，在区间(。")上可导，则存在/eQb),

使得⑷.

b-a

⑵已知函数/(x)=xlnx,g(x)=gx2-bx+\,若对于区间(1,2)内任意两个不相等的实数占,12，

都有-/■(尤2)3g(xj-g(X2)成立，求实数6的取值范围.

(3)证明:当p>l,〃22时,—v—r------1

nppT("T)川：尸

19.(2024・广西•二模)定义：若函数"X)图象上恰好存在相异的两点尸，。满足曲线＞=1(力

在尸和0处的切线重合，则称尸，。为曲线＞=f(x)的"双重切点"，直线P。为曲线V=/(x)的

“双重切线

⑴直线＞=是否为曲线=-2x+2hw的"双重切线”，请说明理由;

ex+1,x＜0,

(2)已知函数g(x)=44求曲线＞=g(x)的"双重切线"的方程;

6——,x＞0,

⑶已知函数Mx)=co&r,直线尸。为曲线＞="(工)的“双重切线”，记直线P。的斜率所有可能

/、k,15

的取值为左1，左2,…生，若左＞右＞左(，=3,4,5,…,〃)，证明：—＜—.

左28

20.(2024•浙江•二模)①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具一一洛必达法则，法

则中有结论：若函数〃x),g(x)的导函数分别为f(x),g'(x),且1吧/(x)=l吧g(x)=o,

则

../(X)../'(X)

hm:L^—L=hm,.

ig(x)x-g(x)

②设。＞0,先是大于1的正整数，若函数“X)满足：对任意xe［o,a］,均有/(x"/(1成

立，且物/卜)=0,则称函数〃x)为区间［0,。］上的左阶无穷递降函数.

结合以上两个信息，回答下列问题:

⑴试判断/(x)=x3-3x是否为区间［0,3］上的2阶无穷递降函数;

⑵计算：lim(l+x)x;

(3)证明：<COSX,%£(兀,|"兀

I2

21.(2024•江苏盐城•模拟预测)根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数z=/(x,y)在

约束条件g(x,y)的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数

L(x,y,2)=f(x,y)+4g(x,y),其中X为拉格朗日系数.分别对㈤中的x,%%部分求导,

并使之为0,得到三个方程组，如下：

Lx(x,y,A)=fx(x,y)+Agx(x,y)=0

<4(尤,-2)=_4，(x,y)+2g),(x,y)=0,解此方程组，得出解(x,y),就是二元函数z=/(x,y)在

Lx(x,y,X)=g(x,y)=0

约束条件g(X,y)的可能极值点.的值代入到了(XJ)中即为极值.

补充说明：【例】求函数/1,y)=/+盯+必关于变量X的导数.即：将变量y当做常数，即：

fx(x,y)=2x+y,下标加上x,代表对自变量x进行求导.即拉格朗日乘数法方程组之中的

Lx,Ly,4表示分别对x,%A进行求导.

⑴求函数/(x,y)=x2V