函数及其性质讲义-2024届高考数学三轮复习

2024年高考数学三轮冲刺之函数及其性质

函数的概念

【知识梳理】

1、一般地，设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数X,按照某种

确定的对应关系了,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称3为

从集合A到集合B的一个函数，记作丁=/(%),为6人.其中，x叫做自变量，x的取值

范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合

{/(x)|xeA}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.

2、设a,匕是两个实数，而且我们规定：

(1)满足不等式aWxO的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]-,

(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；

(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为

[a,b),(a,by,这里的实数与都叫做相应区间的端点.

3、实数集R可以用区间表示为(-8,+8),“00”读作“无穷大”，“-00”读作

“负无穷大”“+8”读作“正无穷大”.我们可以把满足无之a,X>a,x<b,

x<b的实数X的集合，用区间分别表示为[a,+8),(a,+oo),(~<x,b],

(一oo,b).

4、由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.因为值域

是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完

全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.

【针对性训练】

1.下列各图中，不能是函数“X)图象的是()

J-x2-x+2

2.函数g(x)="xx+z的定义域为()

(-2,0)U(0,1)[-2,0)U(0,1]

(-1,o)5o，i][-1,0)50,2]

3.已知函数/(x)=f+2,g(x)=J-,则g"(1)]=()

4.函数/'（尤）的定义域为此，对任意x,yeR+,都有/'（肛）=/（x）+/（y），若f（8）

=3,贝"（2）=（）

5.下列说法正确的是（）

A.函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应

B.函数的定义域和值域一定是无限集合

C.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素

D.对于任何一个函数，如果尤不同，那么y的值也不同

6.下列各组函数中表示同一函数的是（）

x2(x—1)1v2+l

A.y=一，y=B.y=%H—，u,--------

Xx-XXV

y=^^和x

C.y=\[x^,y=^~^D.

X

7.函数/(尤)=d+l(O<%,2且尤eN*)的值域是()

A.{x|x.l}B.{尤[1＜苍,5}C.{2,3}D.{2,5}

8.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间f的函数关系如图所示，则下列说法正确的是

B.乙比甲跑的路程多

C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点

9.设函数/(*)=4尤-5,g(2x+l)=/(x),则函数g(x)的解析式是()

A.g(x)=2x+lB.g(x)=2x-lC.g(x)=2x+5D.g(x)=2%-7

10.己知函数/(x)的对应关系如表，函数y=g(x)的图象为如图所示的曲线ABC,其中

A(l,3),3(2,1),C(3,2),则f(g(2))=()

A.3B.2C.1D.0

二.函数的性质

【知识梳理】

1、一般地，设函数“X)的定义域为/,区间Dj/：

如果x2eD,当占</时，都有/(%)</(々)，那么就称函数/(x)在区间

D上单调递增.特别地，当函数/(%)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函

数.

如果V%,x2eD,当％%时，都有/(%)>/(%2)，那么就称函数f(x)在区间

D上单调递减.特别地，当函数/(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函

数.

2、一般地，设函数/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足：

(1)VXG/,都有/(x)<M；

(2)3x0eI,使得/(x0)=M.

那么，我们称M是函数y=/(x)的最大值.

3、一般地，设函数人九)的定义域为I,如果Vxe/，都有-xe/,且

/(-x)=/(x),那么函数/■(>)就叫做偶函数.

4、一般地，设函数/(九)的定义域为/,如果Vxe/,都有-尤e/,且

/(-x)=-/(x),那么函数/(x)就叫做奇函数.

【针对性训练】

11.下列函数中，在区间(0,1)上是递增函数的是()

1

A.y=|%+l|B.y=3—xC.y=—D.y=—x?+4

x

12.下列关于函数/(x)=工的单调性的表述不正确的是()

X

A.函数/(X)在(-oo,0)上是减函数

B.函数/(尤)在(0,+w)上是减函数

C.函数/(尤)在(-oo,0),(0,+oo)上是减函数

D.函数/(x)在(-8,0)0(0,+8)上是减函数

13.已知函数〃无)=生U,其定义域是［-8,-4),则下列说法正确的是()

x-1

557

A./(元)有最大值;，无最小值B./(x)有最大值;，最小值(

77

C./(X)有最大值(，无最小值D./(元)有最大值2,最小值(

14.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时

的生产成本为C(x)=gf+2x+20(万元).一万件售价是20万元，为获取更大利润，该

企业一个月应生产该商品数量为()

A.36万件B.18万件C.22万件D.9万件

15.已知函数/(%)=加+Zzx+3a+b是定义域为,2。］的偶函数，a+Z?的值是(

)

A.0B.-C.1D.-1

3

16.下列函数为偶函数的是（）

B-y=(x-l)l^

A.y=j?(x..0)

v1-x

C.y=0D.y=|x|(%0)

17.下列四个函数中，在(1,+00)上满足了⑷一“龙2)>o(x产尤2)恒成立的是()

玉~X2

Or1

A./(x)=3-xB./(X)=X2-3XC./(X)=——D./(x)=-|x|

x+1

18.下列命题是真命题的是（）

A.函数/（x）=-3x-2在［2,3］上是减函数最大值为-11

B.函数/（元）=-工在口，2］是增函数，最小值为-工

x2

C.函数/（幻=--+2元在区间［0,2］先减再增，最小值为0

D.函数〃x）=/-2x在区间［0,2］先减再增，最大值为0

19.若函数/（X）=f-2x+l在区间［a,a+2］上的最小值为4,贝物的取值集合为（）

A.［-3,3］B.［-1,3］C.{-3,3}D.{-1,-3,3)

20.下列说法中，正确的有（）

Ji_y2

A./（x）=|x+l|+|x-l|是偶函数B.g(x)=J』是奇函数

C.>=上士匚是偶函数D.7(x)gx+l|_|x_l|是奇函数

X+1

三.嘉函数

【知识梳理】

1、一般地，函数y=J叫做幕函数，其中X是自变量，a是常数.对于嘉函数，我们

只研究a=l,2,3,—1时的图像与性质.

2

2、嘉函数的相关结论：

（1）函数y=无，y=%2,y=x3,y=%2和）=%”的图形都经过点（i,i）；

（2）函数y=九，y=》3,Y=是奇函数，函数了=/是偶函数；

（3）在区间（0,+00）上，函数y=x,y-x2,y-x3,丁=/单调递增，函数

）=单调递减；

（4）在第一象限内，函数）=的图像向上与>轴无限接近，向右与x轴无限接近.

【针对性训练】

21.下列函数中，属于塞函数的是（）

A.y=（2x）2B.y=4xC.y=--D.y=2X

X

22.募函数/（x）=（川-4利+4）--6成8在（。，收）上单调递增，则机的值为（）

A.1或3B.3C.2D.1

23.下列说法中正确的有（）

①幕函数的图象均过点（1,1）;

②累函数的图象均在两个象限内出现；

③募函数在第四象限内可以有图象；

④对于幕函数y=x。，当0>0时，塞函数在第一象限内为增函数；

⑤任意两个幕函数的图象最多有两个交点.

A.1个B.2个C.3个D.4个

24.设ac{_2,-l,-g,g,gl,2,3},则使/（x）=x。是奇函数且在（0,+s）上是单调递减的a

的值的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

25.已知/（x）=（公一3）*T是幕函数，则下列结论可能正确的有（）

A.7（尤）为奇函数B./（%）为偶函数

C.函数在（0,内）上单调递减D.函数在（0,+oo）上单调递增

26.已知函数>=/,y=xb,y-x°,y=x"的图象如图，则有理数a,b,c,1的大

小关系是（）

A.d<c<b<aB.a<b<c<dC.b<c<d<aD.d<c<a<b

27.下列说法正确的是（）

A.当a=0时，y=的图象是一条直线

B.塞函数的图象都经过点（0,0）,（1,1）

C.幕函数的图象不可能出现在第四象限

D.若募函数y=x"在区间（0,a）上单调递减，则2<0

28.已知函数/（x）=（w?-"2-l）E+"-3是基函数，且无e（o,+oo）时，人>）单调递减，贝I］机

的值为（）

A.1B.2C.2或一1D.-1

29.已知事函数/（龙）=丘。伏eeR）的图象过点（g,夜），

贝U左+a=()

3

A.-B.1C.D.2

22

72),若实数m>l,则f(ni)与的大小关系

A./(/«-*)>/(m)B.f(m)C.f(rnl)=f{m}D.以上都有可能

四.指数函数

【知识梳理】

1、一般地，如果x"=a,那么x叫做。的“次方根，其中〃〉1,且〃eN*.

2、负数没有偶次方根.。的任何次方根都是0,记作而=0.

3、式子而叫做根式，这里〃叫做根指数，。叫做被开方数，根据〃次方根的意义,

可得(而)”=a.

4、当九为奇数时，后二a；当〃为偶数时，^=\a\=\a，a^0

-a,a<0

m___

5、我们规定，正数的正分数指数幕的意义是加;二行(a>0,m,〃eN*,

m

n>\).正数的负分数指数幕的意义是a：m"eN*,n>l).

6、0的正分数指数塞等于0,0的负分数指数塞没有意义.

7、对于任意实数八s,均有下面的运算性质:

(1)a'as=ar+s(a>0,r,seR)

(2)(a')'=a"(a>0,r,seR)

(3)(ab)r-arbr(a>0,b>0,reR)

8、一般地，函数y=a*(a>0,且awl)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义

域是R.

9、指数函数的图象和性质

0<〃<1a>l

【针对性训练】

31.已知3"7+3"-2+3>3=117,则(a+l)(a+2)(a+3)=()

A.120B.210C.336D.504

7in37

32.计算：(2-)0-5+0.F2+(2—)3-3^-°-\-=--(--)

92748

A.0B.1C.100D.5

33.下列运算结果中，一定正确的是（)

A.a3-<24=a1B.(―<22)3=tz6C.叱=。D.y（一%y=一兀

34.若指数函数yy=y=(y=d"的图象如图所示，则1,a,b,

d由小到大的顺序是（）

y

A.a<b<\<c<dB.b<a<\<d<cC.\<a<b<d<cD.a<b<\<d<c

35.函数y=（g尸的图象是（）

36.设a=0.6°6,。=065,c=1.50-6,则a,b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

37.函数〉二面—4Q+4）Q"是指数函数,则有（)

A.a=l或a=3B.a=lC.a=3D.〃>0且awl

38.函数/（x）=3x区间［1,2］上的最小值是（）

A.1B.3C.6D.9

39.定义在［-1,1］上的函数/(x)=-2-9'+43,则下列结论中错误的是()

A./(尤)的单调递减区间是(0,1)

B./(x)的单调递增区间是(-1,1)

C./⑺的最大值是/(0)=2

D./(元)的最小值是/(1)=-6

40.已知函数/(x)=—^3-4一,)(。>0,421).

a-1

(1)对于函数/(尤)，当xe(-3,3)时，/(I-m)+/(I-m2)<0,求实数机的取值范围;

(2)当xe(-oo,2)时/(x)-4的值恒为负，求。的取值范围.

五.对数函数

【知识梳理】

1、一般地，如果相=N(。>0,且awl),那么数x叫做以a为底N的对数，记作

x=log“N,其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

2、通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log1。N记为lgN.以无理数e

=2.71828…为底的对数称为自然对数，并把log,N记为InN.

3、根据对数的定义，可以得到对数和指数间的关系：

当a>0,且awl时，a"=N=x=logflN.

4、负数和0没有对数；log.1=0,log.a=1.

5、对数运算性质：如果a>0,且awl,M>0,N>0,那么

(I)loga(MN)=logaM+log〃N；

⑵log4=log."Tog。N

n

(3)logaM=nlogaM(neT?)

6、对数换底公式：logaZ;=^^（。>0,且awl；b>0；c>0,且cwl）

log。a

7、一般地，函数y=log"X（a>0,且awl）叫做对数函数，其中指数x是自变量,

定义域是（0,+oo）.

8、对数函数的图象和性质

9、一般地,(〃>0,且

awl）互为反函数，它们的定义域和值域互换.

【针对性训练】

41.计算log乌+妒5+如+7即的值为（）

42.已知/g2=a,lg7=b,则10gl498=（）

Aa-b2a+bCa-lbDa+2b

A.------D.--------

a+ba+ba+ba+b

43.设函数/（x）=loga（x+》）（a＞0,awl）的图象过点（2,1）,其反函数的图象过点（2,8）,

则a+〃等于（）

A.6B.5C.4D.3

44.已知。＞1,函数,=优一1与y=log0（—%）的图象可能是（）

113

45.已知a=log2-，b=log1—，c=log—,则它们的大小关系是（）

35322

A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>a

46.计算：4/g2+3/g5-的值为（）

A.1B.2C.3D.4

47.已知仍＞0,下面四个等式中，正确的是（）

A.lg(ab)=Iga+IgbB.lg-=lga-lgb

48.函数/(x)=log2(尤2-2龙-3)的单调增区间为()

A.(3,饮)B.(l,+oo)C.(-1,3)D.(-oo,l)

49.要将函数了（元变成g（x）=log2（2x）,下列方法中可行的有（）

①将函数f{x}图象上点的横坐标压缩一半；

②将函数/（元）图象上点的横坐标伸长一倍；

③将函数/（尤）的图象向下平移一个单位；

④将函数/（无）的图象向上平移一个单位.

A.①③B.①④C.②③D.②④

50.若函数y=log2（无2-依+3”）在（2,内）上是单调增函数，则实数a的取值范围为（）

A.(-00,4]B.(-oo,4)C.(-4,4]D.[-A,4]

2024年高考数学三轮冲刺之函数及其性质

参考答案与试题解析

一.函数的概念

1.下列各图中，不能是函数/（X）图象的是（）

【答案】C

【考点】3A：函数的图象与图象的变换

【专题】51：函数的性质及应用；28：操作型

【分析】函数的定义体现在函数的图象上的特征是，图象与平行于y轴的直线最多只能有一

个交点，从而对照选项即可得出答

【解答】解：根据函数的定义知：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个

值，

体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，

对照选项，可知只有C不符合此条件.

故选：C.

【点评】本题考查函数的图象，掌握函数的定义体现在函数的图象上的特征是关键.

2.函数g(x)=G[三2的定义域为()

x

A.(-2,0)5。，1)B.[-2,0)50，1]C.(-1,

02(。，1]D.[-1,0)5。，2]

【答案】B

【考点】函数的定义域及其求法

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算

【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可.

f—f—丫+20

【解答】解：由题意得：,

[xw0

解得：-2用!k1且xwO,

故函数的定义域是[-2,O)U(O,1],

故选：B.

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质以及二次不等式问题，是基

础题.

3.已知函数/(%)=/+2,g(x)=-L,则g"(1)]=()

X+1

A.-B.-C.-D.-

4342

【答案】A

【考点】函数的值

【专题】函数的性质及应用；转化思想；数学运算；转化法

【分析】先求出了(1),再结合g(x)的解析式，即可求解.

【解答】解：/(X)=X2+2,g(x)=--,

x+1

则/(1)=3,

故g"(1)]=g(3)=占=：・

故选：A.

【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题.

4.函数/(龙)的定义域为此，对任意x,y&R+>都有/>(个)=/(尤)+/(y)，若/(8)

=3,则/(2)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【考点】抽象函数及其应用

【专题】数学运算；函数的性质及应用；综合法；整体思想

【分析】由已知利用赋值法即可求解.

【解答】解：因为函数了（无）的定义域为此，对任意x,y^R+,都有

/(孙)=/(X)+f(y)，

若/(8)=3,贝I/(8)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)=3,

所以，(2)=1.

故选：A.

【点评】本题主要考查了赋值法在求解函数值中的应用，属于基础题.

5.下列说法正确的是（）

A.函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应

B.函数的定义域和值域一定是无限集合

C.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素

D.对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同

【答案】AC

【考点】函数的概念及其构成要素；函数的值域；函数的定义域及其求法

【专题】转化甩想；数学运算；函数的性质及应用；转化法

【分析】根据已知条件，结合反例，以及函数的概念，即可求解.

【解答】解：对于A,函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应，故A正

确；

对于3,f（x）=x,x=l,定义域和值域都是有限集合，故3错误；

对于C,函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素，故C正确;

对于g（x）=x2,当x=l或x=-l时，y=l,故。错误.

故选：AC.

【点评】本题主要考查函数的概念，属于基础题.

6.下列各组函数中表示同一函数的是（）

22

,尤3X（X-1）1V+1

A.y=——，y=-------B.y=x+—,u=----

xx-lXV

【答案】BD

【考点】判断两个函数是否为同一函数

【专题】转化思想；数学运算；综合法；函数的性质及应用

【分析】由题意，利用函数的三要素，逐一判断各个选项中的2个函数是否为同一个函

数，从而得出结论.

【解答】解：由于y=f的定义域为{尤|无力0},>=型曰的定义域为{x|无卢1},

Xx—1

它们的定义域不同，故它们不是同一个函数.

由于y=x+，的定义域为{x|xwO},u=V=v+-的定义域为{v|xwO},

xvv

它们的定义域、值域、对应关系都相同，故它们是同一个函数.

由于y=JN=|x|,y=潺=x,它们的对应关系不同，故不是同一个函数.

由于y=6叵=1与函数y=—三=1的定义域都是{X|尤>0}，值域和对应关系都相

X（4x）2

同，

故它们是同一个函数.

故选：BD.

【点评】本题主要考查函数的三要素，属于基础题.

7.函数/（无）=/+1（0<%,2且xeN*）的值域是（）

A.{x|x..l}B.{尤［1<%,5}C.{2,3}D.{2,5）

【答案】D

【考点】函数的值域

【专题】综合法；数学运算；整体思想；函数的性质及应用

【分析】由已知先求出x,然后结合二次函数的性质可求.

【解答】解：由题意得x=l,2,

故/（无）=炉+1的值域为{2,5}.

故选：D.

【点评】本题主要考查了函数值域的求解，属于基础题.

8.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间f的函数关系如图所示，则下列说法正确的是

)

A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多

C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点

【答案】D

【考点】函数解析式的求解及常用方法

【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用

【分析】根据图象法表示函数，观察甲，乙的出发时间相同；路程S相同；到达时间不同，

速度不同来判断即可.

【解答】解：从图中直线的看出：甲，乙的出发时间相同；甲乙两人所走的路程相同，即

际=S乙；故可排除相；

从图中图象的横坐标可看出：甲用的时间小于乙用的时间，故甲先到达终点，

而两人的路程相同，所以甲的速度大于乙的速度，故。正确，C错误，

故选：D.

【点评】本题考查函数的表示方法，图象法.注意：要从图象中看出题目的信息是解题的关

键.

9.设函数/(x)=4x-5,g(2x+l)=/(x),则函数g(x)的解析式是()

A.g(尤)=2x+lB.g(无)=2x—1C.g(无)=2x+5D.g(x)=2x—7

【答案】D

【考点】函数解析式的求解及常用方法

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算

【分析】由题意可得g(2x+l)=4尤-5=2(2元+1)-7,进而将(尤+2)全部替换成龙后，即可

得到答案.

【解答】解：g(2x+l)=4尤-5=2(2x+l)-7,

g(x)=2x-7.

故选：D.

【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解及其常用方法，其中本题使用的凑配法，属

于基础题

10.已知函数/(x)的对应关系如表，函数y=g(x)的图象为如图所示的曲线ABC,其中

A(l,3),8(2,1),C(3,2),则"g(2))=()

X123

/(X)230

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【考点】函数的值

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算

【分析】根据题意，由曲线ABC可得g(2)的值，进而由图表可得了(g(2))的值，即可

得答案.

【解答】解：根据题意，由曲线ABC可得：g(2)=1,

则/(g(2))=/(1)=2；

故选：B.

【点评】本题考查函数值的计算，涉及函数的表示方法，属于基础题.

二.函数的性质

11.下列函数中，在区间(0,1)上是递增函数的是()

1,

A.y=|x+l|B.y=3-xC.y=—D.y=—x2+4

x

【考点】3D：函数的单调性及单调区间

【专题】51：函数的性质及应用

【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数的单调性即可找出正确选项.

【解答】解：A.xe(0,l)时，y=|x+l|=x+l,.•.该函数在(0,1)上是递增函数，；所以该

选项正确

B.y=3-x是一次函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误;

C.y=,是反比例函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误；

X

D.y=-f+4是二次函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误.

故选：A.

【点评】考查含绝对值函数，一次函数，反比例函数，二次函数的单调性.

12.下列关于函数/(x)=工的单调性的表述不正确的是()

X

A.函数/(x)在(-oo,0)上是减函数

B.函数/(尤)在(0,+w)上是减函数

C.函数/(x)在(-oo,0),(0,+8)上是减函数

D.函数/(X)在(-8,0)0(0,+8)上是减函数

【答案】D

【考点】函数单调性的性质与判断

【专题】函数的性质及应用；综合法；数学抽象；函数思想

【分析】由已知结合反比例函数的单调性检验各选项即可判断.

【解答】解：根据反比例函数的性质可知，/•(©=!在(-8,0)上是减函数，在(0,+oo)上

X

是减函数，A,3正确；

/(X)在(-oo,0),(0,+oo)上是减函数，C正确，

因为八-1)=一1，f⑴=1，/(-D</⑴，

故/(尤)在(-8,0)U(0,+8)上不是减函数，。错误.

故选：D.

【点评】本题主要考查了反比例函数单调性的判断，属于基础题.

13.已知函数/(元)=三出，其定义域是［-8,-4),则下列说法正确的是()

x-1

A.7(无)有最大值屋5无最小值B./(x)有最大值:S，最小值(7

C.7(%)有最大值(7，无最小值D./(x)有最大值2,最小值(7

【答案】A

【考点】3W：函数的最值及其几何意义

【专题】65：数学运算；51：函数的性质及应用

【分析】将“X)化为2+色一，判断在［-8,-4)的单调性，即可得到最值.

x-1

【解答】解：函数/•（尤）=生已=2+二一

X—1X—1

即有了（X）在［-8,~4）递减,

则尤=-8处取得最大值，且为工，

3

由x=T取不到，即最小值取不到.

故选：A.

【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查运算能力，属于基础题和易错

题.

14.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时

的生产成本为C（x）=g/+2x+20（万元）.一万件售价是20万元，为获取更大利润，该

企业一个月应生产该商品数量为（）

A.36万件B.18万件C.22万件D.9万件

【答案】B

【考点】函数最值的应用

【专题】计算题

【分析】根据题意，可得利润L（x）=20x-C（尤）=-；。-18）2+142,由二次函数的性质，分

析可得答案.

【解答】解：利润乙（元）=20》-口》=-3（尤-18）2+142,当x=18时，L（x）有最大值.

故选：B.

【点评】本题是函数的应用题，关键是建立函数关系式，注意变量范围.

解函数应用问题，一般地可按以下四步进行：

1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系，审题时要抓住题目中的关键的

量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的

转化；

2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；

3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；

4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或

验证.

15.已知函数/（%）=加+bx+3a+Z?是定义域为,2a］的偶函数，a+Z?的值是（

A.0B.-C.1D.-1

3

【答案】B

【考点】奇函数、偶函数

【分析】根据偶函数的特点：不含奇次项得到》=0,偶函数的定义域关于原点对称，列出

方程得到a的值，求出a+6.

【解答】解：•函数/(%)=62+区+30+6是定义域为［a-1,2a］的偶函数

ci—1——,Z?=0

解得a=Lb=0

3

71

:.a+b——

3

故选：B.

【点评】解决函数的奇偶性问题，一般利用奇函数、偶函数的定义列出恒成立的方程；注意

具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称.

16.下列函数为偶函数的是()

A.y=x2(x.0)B.y=

V1-x

C.y=0D.y=|x|(x,0)

【答案】C

【考点】函数奇偶性的性质与判断

【专题】综合法；函数思想；数学运算；函数的性质及应用

【分析】由偶函数的定义逐一判断即可.

【解答】解：对于A,因为定义域为［0,+00),不关于原点对称，不具有奇偶性，不满

足题意；

对于3,由土里..0,可得即函数的定义域为［-1,1),不关于原点对称，不

1-X

具有奇偶性，不满足题意；

对于C,由题意可得xcR,_&f(-x)=0=/(x),所以/(%)=0为偶函数，满足题意；

对于O,因为函数的定义域为(-8,0］,不关于原点对称，不具有奇偶性，不满足题

-zfe.

故选：C.

【点评】本题考查了对函数奇偶性的判断，属于基础题.

17.下列四个函数中，在(1,+00)上满足一于®)>0(x产无2)恒成立的是()

玉~X2

Or1

A.f(x)=3—XB.f{x}=jc-3xC.f(x)=——D./(x)=-|x|

x+1

【答案】c

【考点】函数单调性的性质与判断

【专题】函数的性质及应用；定义法；函数思想；数学抽象

【分析】根据题意判断选项中的函数/(%)在(1,+00)上是单调增函数即可.

【解答】解：因为函数/(无)在(1,+00)上满足了区)一"尤2)>0G一尤2)恒成立,即/(无)在

菁~X2

(L+oo)是单调增函数；

对于A,7(x)=3-尤在R上是单调减函数，不满足题意；

对于3,的图象是抛物线，对称轴是尤=』，在(-00=)上是减函数，不满足

22

题意；

对于C,/(尤)=2山=2-——,在(-L+oo)上是单调增函数，满足题意；

X+1X+1

对于。，/(x)=-|x|是定义域7?上的偶函数，在(0,+oo)上是单调减函数，不满足题意.

故选：C.

【点评】本题考查了判断函数在某一区间上的单调性问题，是基础题.

18.下列命题是真命题的是()

A.函数/(尤)=-3彳-2在［2,3］上是减函数最大值为-11

B.函数八》=-工在［1,2］是增函数，最小值为-工

x2

C.函数/(>)=-尤2+2尤在区间［0,2］先减再增，最小值为0

D.函数〃尤)=/-2x在区间［0,2］先减再增，最大值为0

【答案】D

【考点】二次函数的性质与图象

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算

【分析】利用一次函数的单调性判断A,利用反比例函数的单调性判断B,利用二次函数

的单调性判断CD.

【解答】解：A:.•一次函数/(x)=-3x-2在［2,3］上为减函数，；./(无)…=/(2)=—8,

「.A错误,

B:.反比例函数/(元)=—'■在［1,2］是增函数，(1)=-1,错误，

C:二次函数/(x)=f2+2x的对称轴为x=l,开口向下，.•.在区间［0,2］先增后减，

/(2)=0,;.C错误，

D-.二次函数/(元)=/-2x的对称轴为x=l,开口向上，.♦.在区间［0,2］先减后增，

于(x)2=f(0)=f(2)=。，正确，

故选：D.

【点评】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数的单调性，属于基础题.

19.若函数/(x)=--2x+l在区间团，。+2］上的最小值为4,贝心的取值集合为()

A.［-3,3］B.［-1,3］C.{-3,3}D.{-1,-3,3)

【考点】3V：二次函数的性质与图象

【专题】51：函数的性质及应用

【分析】配方法得到函数的对称轴为x=l,将对称轴移动，讨论对称轴与区间［a,a+2］的

位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值

【解答】解：・函数/(x)=f-2X+1=(X-1)2,对称轴X=1,

区间［a,a+2］上的最小值为4,

2

...当L,a时，ymin=f(a)=(a-l)=4,a=—1(舍去)或a=3,

2

当。+2,1时，即%—1，ym,„=/(«+2)=(a+l)=4,a=l(舍去)或。=一3,

当a<a<a+2时，ymin=f(1)=0w4,

故a的取值集合为{-3,3}.

故选：C.

【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键.由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间

是确定的，这就需要分类讨论.利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而

求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论

20.下列说法中，正确的有()

,,Ji_v-2

A.y(x)Mx+l|+|x-l|是偶函数B.g(x)=--------;—是奇函数

Ix+21-2

C..二一+苫是偶函数D.+是奇函数

x+1

【答案】ABD

【考点】函数奇偶性的性质与判断

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理

【分析】利用函数的奇偶性逐项判定即可.

【解答】解：对于A,/(x)=|x+l|+|x-l|的定义域为R,

f(—x)=|—x+11+1—x—1|=|%—l|+|x+l|=y(x),故f(x)是偶函数，故A正确；

对于3,g(x)=，1-厂，由,可得-L,x<0或0<%,1,即函数的定义域

|x+2|-2[\x+2\-2^0

为[-1,0)5。,1]-

所以g(x)=、——，g(r)=W=-g(x),故g(x)是奇函数，故3正确；

X-X

V+r2

对于C,>=土二的定义域为{x|x，T},不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，

x+1

故C错误；

对于。，/(x)^x+l|-|x-l|的定义域为A,

f(—x)=|—x+11—I—x—11=1X—11—