2024届甘肃省数学高一年级下册期末教学质量检测试题含解析

2024届甘肃省陇东中学数学高一下期末教学质量检测试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷

及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔

在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1.y=5也2%是（）

A.最小正周期为兀的偶函数B.最小正周期为兀的奇函数

C最小正周期为2兀的偶函数D.最小正周期为2兀的奇函数

2.设机，〃是两条不同的直线，a,B,Y是三个不同的平面，给出下列四个命题:

①若加_La,〃//a,则m_L〃

②若a//0,p//y,m±a,则m，Y

③若加//a,〃//a,则相〃〃

④若,P±Y,则a//0

其中正确命题的序号是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④

3.某数学竞赛小组有3名男同学和2名女同学，现从这5名同学中随机选出2人参加

数学竞赛（每人被选到的可能性相同）.则选出的2人中恰有1名男同学和1名女同学

的概率为（）

221

A3

'55c.—1J—

B33

10x-l,X<1则/G（io））=

4.若函数f()

1gX,X>1

1

A.9B.1c.ToD0

5.已知变量i”满足约束条件则的最大值为（）

A.2B.3C.4D.6

6.平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A,3的坐标分别为（1,1）,（-3,3）.若动点尸

满足。尸=九。4+日。3,其中4,"JR,且/+"=1,则点尸的轨迹方程为0

A.x-y=OB.x+y=OC,x+2y_3=0

D.(x+l)2+(y-2)2=0

7.已知某7个数据的平均数为5,方差为4,现又加入一个新数据5,此时这8个数的

方差52为()

57

A.-B.3C.-D.4

22

8.函数y=gtan[-2x+£j的一个对称中心是()

9.已知是不共线的非零向量，AB=a+2b,BC=3a-b,CD=2a-3b,则

四边形ABCD是()

A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形

J-1<«<2016

10.数列M｝中，a=\，1~,则数列｛a｝的极限值()

nnn?n

n>2017

—2n

A.等于0B.等于1C,等于0或1D.不存在

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.已知X、y、ZGR,且2x+3y+3z=l,则心+尸+的最小值为.

12.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积

与剩下的几何体体积的比为.

x+y-4<0

13.已知实数兀丁满足条件卜20,则z=x+2y的最大值是.

x>0

14.如果事件A与事件B互斥，且P(A)=0.2,P(5)=0.3,则P(A|J8)=

15.已知等比数列｛a｝的公比为2,前n项和为S，贝1]—=____.

nnCl

2

16.若/(x)=2sinx—1在区间(a,beR且a＜。)上至少含有30个零点，则

万一。的最小值为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，E、尸、。分别是棱A。、SC、

A3的中点，且SEL平面ABCD.

(1)求证：P。〃平面&4。；

(2)求证：4。，平面5月。.

18.已知AA=(n,n)QGN).

nn+1

⑴求在5'+瓦才+A才的坐标;

122334

(2)

*)其中。为常

(3)

数,

nn+1nn+1

19.已知函数/(x)=6sinxcosx-y/2sin(2x+^-)-2cos2x+1,xeR,

(1)求〃无)的单调递增区间.

c71

(2)求/(无)在区间0,2的最大值和最小值.

2-

20.如图，在中，ZBAC=-n,BC=2/,AC=2,AD1AC.

D

------------------------

A

(I)求A5；

(II)求AD.

21.已知直线/经过点P(L2).

(1)若直线/在两坐标轴上的截距相等，求直线/的方程；

(2)若3(3,1)两点到直线/的距离相等，求直线/的方程.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解题分析】

将函数y=sin2x化为y=；(l-cos2x)的形式后再进行判断便可得到结论.

【题目详解】

由题意得＞=/G)=sin2x=_(l-cos2x),

.•.函数，=5m2%时最小正周期为兀的偶函数.

故选A.

【题目点拨】

判断函数最小正周期时，需要把函数的解析式化为y=As加(3x+(p)或

y=Acos(3x+cp)(3>0)的形式，然后利用公式T=向求解即可得到周期.

2、A

【解题分析】

根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质

结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面

的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正

确.由此可得本题的答案.

【题目详解】

解：对于①，因为所以经过〃作平面B,使Pca=/,可得〃///,

又因为小，a,/ua,所以机，/,结合〃///得根，由此可得①是真命题；

对于②，因为a//P且p/夕，所以a/夕，结合根，a,可得加上丁，故②是真命

题；

对于③，设直线机、〃是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，

而平面a是正方体下底面所在的平面，

则有根//a且〃//a成立，但不能推出机〃“，故③不正确；

对于④，设平面a、B、Y是位于正方体经过同一个顶点的三个面，

则有且P,但是,推不出a//p,故④不正确.

综上所述，其中正确命题的序号是①和②

故选：A

【题目点拨】

本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平

行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题.

3、A

【解题分析】

把5名学生编号，然后写出任取2人的所有可能，按要求计数后可得概率.

【题目详解】

3名男生编号为A,3,C,两名女生编号为a力，任选2人的所有情形为：

AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共10种，其中恰有1名男生1名女生的

有Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb共6种,

63

所以所求概率为尸n=m=三.

【题目点拨】

本题考查古典概型，方法是列举法.

4、B

【解题分析】

根据，（x）的解析式即可求出了（10）,进而求出了G（10））的值.

【题目详解】

f（10）=lgl0=l,

1gX,X>1

故/G（10））=/（D=10I=1,故选B.

【题目点拨】

本题主要考查分段函数的概念，以及已知函数求值的方法，属于基础题.

5、D

【解题分析】

试题分析：把函数z=2x+y转化为表示斜率为截距为平行直线系,

当截距最大时，

最大，由题意知当直线过和两条直线交点时

考点：线性规划的应用.

【题目详解】

请在此输入详解！

6、C

【解题分析】

x=X-3|1

设p点坐标（龙广）,代入。户=＞。4+口。月，得到即＜卜=九+3口,再根据入+-1，

即可求解.

【题目详解】

设P点坐标（无,丫），因为点AB的坐标分别为（1』）,（一3,3）,

将各点坐标代入OP=kOA+[iOB，可得(x,y)=MLD+日(一3,3),

x=九—3日

即《代入入+N=1,

y=九+3日

化简得x+2y-3=0,故选C.

【题目点拨】

本题主要考查了平面向量的坐标运算和点的轨迹的求解，其中解答中熟记向量的坐标运

算，以及平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理运算能力，属于基础题.

7、C

【解题分析】

由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相

等，因此由方差公式可得新方差.

【题目详解】

因为7个数据的平均数为5,方差为4,现又加入一个新数据5,此时这8个数的平均

_-7x5+50

数为x,方差为阵，由平均数和方差的计算公式可得了=---=5,

O

7x4+（5-5＞7

co——

故选：C.

【题目点拨】

本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键.

8、A

【解题分析】

兀左兀左兀7C（左兀7C、

令-2%+=，得：%=一+，即函数的对称中心为一—^-+=，°£Z,

62412[412J

再求解即可.

【题目详解】

C兀左兀kRn

解：令―2x+石=彳'解得:x———+—

412

171](kn冗八、，〜

即函数y=§tanI—2x+石■J的对称中心为z-+3'5°J5左eZ,

令左=0,即函数y=$an卜2x+看]的一个对称中心是住,0

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了正切函数的对称中心，属基础题.

9、A

【解题分析】

本题首先可以根据向量的运算得出诟二23ab,然后根据BC=3a-5以及向量平

行的相关性质即可得出四边形ABCD的形状.

【题目详解】

因为诟=荏+反<+丽,所以ADa++3aZ?+2a3b-23ab,

因为3C=3a—6,a,〃是不共线的非零向量，所以AD//8C且|通卜忸Q,

所以四边形ABCD是梯形，故选A.

【题目点拨】

本题考查根据向量的相关性质来判断四边形的形状，考查向量的运算以及向量平行的相

关性质，如果一组对边平行且不相等，那么四边形是梯形；如果对边平行且相等，那么

四边形是平行四边形；相邻两边长度相等的平行四边形是菱形；相邻两边垂直的平行四

边形是矩形，是简单题.

10、B

【解题分析】

〃2

根据题意得到：〃->00时，a=——,再计算lima即可.

""2—2""

【题目详解】

〃2

因为当〃―00时，a=

n〃2—2n

lima=lim————=lim---7T=1

所以〃.8〃〃.8"2—2〃〃.00]_3•

n

故选：B

【题目点拨】

本题主要考查数列的极限，解题时要注意公式的选取和应用，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

1

n'22

【解题分析】

试题分析：由柯西不等式，(22+32+32)(x2+y2+z2)2(2x+3y+3z”，因为

2x+3y+3z=1.所以22(x2+y2+取)21=>%2+y2+爰2(，当且仅当

xyz131

==,即％=,y=z=时取等号.所以m+y2+z2的最小值为力.

考点：柯西不等式

12、1:47

【解题分析】

求出长方体体积与三棱锥的体积后即可得到棱锥的体积与剩下的几何体体积之比.

【题目详解】

设长方体长宽高分别为2a,2b,2c,

所以长方体体积匕=2ax2bx2c=Sabc,

”11,1,

三棱锥体积V=-x—xaxbxc=-abc,

2326

所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：

故答案为：1:47.

【题目点拨】

本题主要考查了长方体体积公式，三棱锥体积公式，属于基础题.

13、8

【解题分析】

画出满足约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可.

【题目详解】

x+y—4Vo

实数满足条件卜20的可行域如下图所示:

x>0

11

将目标函数7=尤+2,变形为：y=_'X+,z,

则要求z的最大值，即使直线y=-的截距最大，

由图可知，直线y=-+过点4(0,4)时截距最大，

:2=0+2x4=8

max

故答案为:8.

【题目点拨】

本题考查线性规划的简单应用，解题关键是明确目标函数的几何意义.

14、0.5

【解题分析】

P(A|J3)表示事件A与事件B满足其中之一占整体的占比.所以根据互斥事件概率公

式求解.

【题目详解】

P(A[JB)=P(A)+P(B)=0.2+0.3=0.5

【题目点拨】

此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单

题目.

15

【解题分析】

a

由等比数列的定义，+a2+a2q+a2q2,

s115

得广=］+1+4+/=2・

2

86

16、§兀

【解题分析】

首先求出了（X）在［°，兀］上的两个零点，再根据周期性算出至少含有30个零点时以b

的值即可

【题目详解】

根据/（x）=2sinx-l=0,即sinx=L故％=2左兀+三，或x=2左兀+如，

266

:7（x）=2sinx—l在区间Lz,b］（a,beR且a<b）上至少含有30个零点，

71571

,不妨假设。=丁（此时，k=0）,则此时。的最小值为28兀+7，（此时，左=14）,

66

,cc5兀K86K

'.b-a的最小值为28K+—,

663

86

故答案为：

【题目点拨】

本题函数零点个数的判断，解决此类问题通常结合周期、函数图形进行解决。属于难题。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、（1）见解析；（2）见解析

【解题分析】

（1）取必中点/，连接A/，PF,得PQ||A/，利用直线与平面平行的判定定理

证明P。〃平面SW.

（2）连结BD,由已知条件得AC'E。，由SEL平面ABCZ）,得ACLSE,利用

直线与平面垂直的判定定理证明AC，平面SEQ.

【题目详解】

（1）取SD中点/，连接转,PF,；P、/分别是棱SC、阳的中点，

：.FP\\CD,且EP=；CO.•.・在菱形ABC。中，。是48的中点，

/.AQ//CD,且=〃人。且"=4Q,.•.AQPb为平行四边形.

二PQ||AP。a平面&W,A尸u平面SAD,P。〃平面SU）.

(2)连接8。，•.•A6CD是菱形，,

,:E,。分别是棱A。、AB的中点，EQ〃8。，.•.AC_LEQ,

•；SE1•平面A8CD,4。匚平面"8,二4。，5£,

■：SE(}EQ=E,SE、石。＜=平面跖。，：.4。，平面甑。.

本题考查直线与平面平行以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查学生分析解决问

题的能力，属于中档题.

r-___,n2+nn24

18、(1)SX++=(6,6人(2)b=

122334nI22

AA,BB+〃+l

(3)当a=-l时，1ml仁言石上)-----7=-2；

ns\AA-CC/+几十1

nn+\nn+\

..ABB+a+l八

当a=l或网＞1时，”/及小-=°.

।।ns\AA-CC产+〃+1

nn+1nn+1

【解题分析】

(1)利用题中定义结合平面向量加法的坐标运算可得出结果；

(2)利用等差数列的求和公式和平面向量加法的坐标运算可得出数列布}的通项公

n

式；

/AA,BBa+1

(3)先计算出匕三”।£^吧)----7的表达式，然后分a=l、。=一1、网>1三

MACC+n+l11

nn+1nn+1

AA,BB>+〃+1

lim

种情况计算出的值.

n->co“厂C~C^)+〃+l

nn+1nn+1

【题目详解】

(1)由题意得AA+AA+AA=(1+2+3,1+2+3)=(6,6)；

122334

(2)

b—AA=_AA+AA+...+AA=(l+2+3+...+〃,1+2+3+...+〃)

nnn+11223nn+1

/、

m+n

I22J

.AABja+1n(a—+a+1

(3)•

4A+〃+l2―"n2+〃+l・

nn+1nn+1

.y1凡A?11.B『设a+]三=0

①当a=l时，hm=lirn

n—>ooM—>00n+1

nn+1nn+1

AA,BBH-a+1—2n-2-2

„1]limZ1=lim=lim

②当a=T时，…n+11+0

Gr-cc-)+〃+lM—>00n—>oo1+1

nn+1nn+1n

③当网＞1时,

Q—1Q+1

+

A.A.,BB廿a+1/+a+1n"2

lim”“士i——篦向、--------=limI----------=lim=0

4A-CC)+n+l3822—141+r

00'n2+n+l〃一>8

nn+1nn+1nn2

【题目点拨】

本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查等差数列求和以及数列极限的运算，计

算时要充分利用数列极限的运算法则进行求解，综合性较强，属于中等题.

7兀73兀

19、(1)左兀一不，左兀+7一,左eZ；(2)最大值为2JI,最小值为-2

OO

【解题分析】

利用二倍角公式、两角和差正弦公式和辅助角公式可化简出

f(x)=2y/2sin一.

兀、兀…兀

(1)令2101-—V2x——V2左兀+—,解出工的范围即为所求单调递增区间;

242

~71

(2)利用1的范围可求得2x-w所处的范围，整体对应正弦函数图象可确定最大值和

c兀

最小值取得时2x-彳的值，进而求得最值.

【题目详解】

sin2x--

I4

71c71…7171,3兀

(1)令2k兀———V2x——V2左兀+—,keZ,解得：kn-—<X<^71+——,keZ

24288

..・/(X)的单调递增区间为左兀一。水兀+=keZ

OO

c兀c兀