陕西省宝鸡市2024届高三年级下册高考模拟检测(二)数学(理科)试题

陕西省宝鸡市2024届高三下学期高考模拟检测（二）数

学（理科）试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.若集合.=一2X-3<（）},8={-1,0,1,2}，则（）

A.{0,1,2}B.%卜1<%<3}c-{-1,0,1,2}D-{-1,0,11

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2,3）,则，z=（）

A-2+3zB>2-3zC--3+2zD--3-2z

3.2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成

国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚.本次航行有两个突出的成就，

一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比一热恩斯深渊，并且在

这两个海底深渊都进行了勘探和采集.如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽

象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（）

A.10。兀B.103TIC.106KD.104兀

4.已知各项均为正数的等比数列{q},满足°=a+2a，若存在不同两项

202420232022

a,a使得血丁=2a,则1.4的最小值为

加〃、mn11

mn

试卷第11页，共33页

A.9B.7C,9D.13

34T

5.已知函数/'（尤）=|怆苍严1，则（）

A./G）存在最小值

B.y（x）在［l,+8）上是增函数，在（一*1）上是减函数

C./G）的图象关于点（1,0）对称

D./G）的图象关于直线x=l对称

6.函数〃x）=sin（3x+4））（s>0,圃<多的最小正周期为兀，其图像向左平移卷个单位

长度后关于原点对称，则函数在［0,g］上的最小值为（）

A.--B,走C.7D.、月

222T

7.某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清

开灵颗粒5盒.若这三类药物能治愈感冒的概率分别为33士，他感冒时，随机从这

几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（）

A.J_B.1C,3D.4

10245

8.已知两条直线加、“，两个平面a、p,给出下面四个命题：

@a//p,mua,Hcp=>m//n；②〃？〃“，m//a=>；?//a；

③加〃”,mla=>Mla；@a//p,m//n,mlan1P-

其中正确命题的序号是：（）

试卷第21页，共33页

A.①③B.①④C.③④D.②③

9.已知直线/?=x+2与双曲线0上一匕=iQ>0b>O）交于'I两点，点M（L3）

'a2bi，

是弦的中点，则双曲线0的离心率为（）

10

■在A/BC中，a,b,c分别是角4瓦C的对边，若02+4=2025c2，则

2：an"anff的侑为()

tanC(taib4+tanB)

A.2022B,2023C.2024D,2025

11.记S为等差数列｛〃｝的前〃项和，若Q<0,a>0,且Q〉|〃|，则数列｛s｝

n

n101111Iloln

中最大的负数为（）

A-SB-Sc-SD.s

17181920

12.已知函数/（》）=欣_办2，若/（x）至多有一个零点，则实数。的取值范围是

（）

A.B

-U,o]u[J_,+00jc.

二、填空题

13.已知向量见方，且何=1,网=20,|2£_可=26，则向量.与A的夹角为一.

14.已知样本9,10,11,x,y，的平均数为10,则该样本方差的最小值为一.

15.直线y=履+1与圆X2+3+3）2=4相交于监N两点，若|MV|=20，贝黑=

试卷第31页，共33页

16.已知定义在&上的奇函数/G)满足八-2)=-3,S,为数列

{a}的前"项和，且S=2a+n,则/Q)+/(。)=一•

nnn56

三、解答题

17.目前，随着人们的生活节奏的加快，人们出行时乘坐的交通工具也逐渐多样化.

某公司为了了解员工上个月上、下班时48两种交通工具乘坐情况，从全公司所有的

员工中随机抽取了100人，发现样本中两种交通工具都不乘坐的有5人，样本中

仅乘坐,和仅乘坐„的员工月交通费用分布情况如下:

AD

交通费用(0,403X400,项］于

(元)600

交通工具

189人3人

仅乘坐.

A

人

10141人

仅乘坐R

D

人人

(1)从全公司员工中随机抽取1人，估计该员工上个月两种交通工具都乘坐的概率;

⑵从样本中仅乘坐和仅乘坐的员工中各随机抽取1人，以V表示这2人中上个月

AD八

交通费用大于400元的人数，求丫的分布列和数学期望；

(3)已知上个月样本中的员工乘坐交通工具方式在本月没有变化.现从样本中仅乘坐A

的员工中随机抽查3人，发现他们本月交通费用都大于600元.根据抽查结果，能否

认为样本中仅乘坐A的员工中本月交通费用大于60。元的人数有变化？请说明理由.

18-AABC中，D为2C边的中点，AD=1-

试卷第41页，共33页

⑴若U8C的面积为动，且,，求sinC的值；

(2)若3c=4，求cosNB/C的取值范围•

19.在四棱锥尸-age。中，底面48c。为平行四边形，PD上平面4BCD,PB工4c

⑴证明：H=PC；

(2)若尸。=1,4045=60。，当P/与平面尸3c所成角的正弦值最大时，求四棱锥

P—48CD的体积.

20.已知椭圆C：=+去=1(°>6>0)经过点8,立］下顶点人为抛物线m=一4》的

焦点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点PG/),°GJ)G>y)均在椭圆c上，且满足直缀尸与NQ的斜率之积为

1Z12^21Z2

2

(i)求证：直线p0过定点;

试卷第51页，共33页

(ii)当了〃茄时，求直线尸。的方程.

21.已知函数/(Q=x2,G(x)=aln尤.(。eR)

(1)若尸(x)和G(x)的图象有公共点，且在公共点处有相同的切线，求。值；

(2)求证：当0<a<2e时，尸Q)的图象恒在G(X)的图象的上方；

(3)令/(x)=b(x)-G(x)，若y(x)有2个零点w，试证明x+x>75^

xoyQJt

Ix——t

22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为J2(为参数)，以坐标

后

y^—t

[2

原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为

2

p2+4pcos0+25/3psin0+6=0'

(1)求曲线C与曲线C的交点的直角坐标；

12

(2)将曲线q绕极点按逆时针方向旋转二得到曲线q,求曲线q的直角坐标方程.

2

23•已知函数/(x)=|2x+"+|2xW

(1)求/(Q的最小值；

(2)若xN0时，/(Qwax+b恒成立，求a+6的最小值.

试卷第61页，共33页

参考答案:

1.A

【分析】

求出集合A后可求NcB.

［详解］/=(卜2-2无一3<()}=3卜1<无<31故/D8={。［,2},

故选：A.

2.C

【分析】由复数的几何意义可得z=2+3i，再计算上，即可得答案；

【详解】由复数的几何意义可得z=2+3i，

iz=z(2+3z)=—3+2i,

故选：C.

3.D

【分析】

根据圆锥以及圆柱的体积公式即可求得答案.

【详解】由模型的轴截面可知圆锥的底面半径为2cm，高为2cm；

圆柱的底面半径为2cm,高为8cm，

故该模型球舱体积为1文兀》2划2+&2x=变三(加3),

33

故选：D.

4.B

【分析】

利用基本量法可得加+〃=4,再就加，〃的不同取值可求1*4的最小值.

mn

【详解】设等比数列的公比为好则Q/023=Q［2022+2。12021，

答案第11页，共22页

而〃qwO，则q2=g+2，故q=-1（舍）或9日2,

故Jqx2i2=2],而故2…=22,故加+”4,

因为犯"为正整数,故[加=1或尸2或1=3,

[〃=3]n=21〃=1

若『二1,则L口;若卜=2,则"]；

mn2

[〃=3mn3[n=2

若『=3,则4立日，

[n=lmn3

而75故13上1+42的最小值为7

323mn3

故选：B.

5.C

【分析】设点（x,y）是函数y=lgx在h+oo）的图象上任意一点，可得函数y=lgx在h,+oo）

上的图象与函数了=_怆（2-x）在（-8,1]上的图象关于点（1,0）对称，根据对称性可得答案.

【详解】设点（x,y）是函数y=lgx在[1,+OQ）的图象上任意一点，

它关于点（1,0）的对称点为（无，,））,

则,+£=2,.『=2一£代入y=lgx,得一/=lg（2-K）,

b+y=o3=-了

,,y'=—lg（2-x01x'<1,

函数y=lgx在h,+oo）上的图象与函数了=_坨（2一x）在J»,l）上的图象关于点（1,0）对称,

答案第21页，共22页

即/G)Jg尤广i的图象关于点(L°)对称，

因为函数y=lgx在k+oo)上是增函数，所以/G)在定义域R上单调递增.

故A、B、D错误；

故选：C.

6.B

【分析】由周期确定①，根据图象平移后关于原点对称确定。，最后根据x的范围确定

了(X)的最小值即可.

【详解】解：因为函数/(x)=sin((ox+(|))(①＞0,削＜多的最小正周期为,=兀,

所以0=2,故/(x)=sin(2x+(|))•

将函数/(X)的图像向左平移B个单位长度后可得函数

6

TTTT

/(x)=sin[2(x+—)+(|)]=sin(2x+—+0)的图像.

63

根据所得的图像关于原点对称，可得g+0=E/eZ),

因为例＜]，所以。=一系，所以函数/(x)=sin(2x-g).

又因为xe[0,守,所以2x-等/不，

故当2》-三=-三，即尤二°时，函数/⑶取得最小值一且.

332

答案第31页，共22页

故选:

B

【点睛】本题考查函数/（x）=sin（sx+。）的最值，关键是根据已知条件确定解析式，属于

中档题.

7.C

【分析】

根据全概率公式计算可得；

【详解】记服用金花清感颗粒为事件A，服用莲花清瘟胶囊为事件R,服用清开灵颗粒为

事件C，感冒被治愈为事件C，

依题意可得P（/）=2,P（B）=—=-,P（C）=-=-,P（D\A）=-,P（D\B）=-,

1010510234

F（D|C）=|,

所以尸（£＞）=尸（/）尸（。/）+尸（8）尸（。8）+尸（C）尸（。C）

3213143

=—X—+—X—+-X—=—

10354254-

故选：C

8.C

【分析】根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得正确选项.

【详解】对于①，岩a/平，"a,,则"与加不一定平行，也可能异面，故①错

误；

对于②，m//n）"〃an”〃a或〃ua，故②错;

对于③，两条平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直此平面，故③正确；

答案第41页，共22页

对于④，m//n,_La=>«_La»又QaPp〃J,p，故④正确.

故选：C.

【点睛】本题考查空间中与线、面位置关系有关的命题的真假，属于常考题型.

9.A

【分析】

利用点差法可求0,6的关系，从而可求双曲线的离心率.

【详解】设4“)屈》匕)，则合一”=1，且"一丝=1，

。2b2Q2/)2

G-x)G+x)G-y)(y+v)

所以方一s一0・整理得到:—1212—=——I----2------12—

Q2b2。2b2

因为“(1,3)是弦力5的中点,

所以x+x=2,y+y=6,—t——&=1,所以——=—RP—=3

1212

X-X612b2c12

12

所以e=、「^=2，

VQ2

故选：A.

10.C

【分析】

利用正弦定理和余弦定理结合三角变换公式可求三角函数式的值.

【详解】由正弦定理可得sm/sm'=咳,由余弦定理可得cosC=竺必W

sunCC22ab

csinAsinB

2xx

2tarUtan^_cos/cos82sin/sin5

故tanC(ta谩+ta®"亘应一唐£义(sin/cos8+sin3cos/)

cosCvcosAcosBJcosC

答案第51页，共22页

2sin4sin5cosc2ab42+62—22024^2,

=---------------；----------------------=---------------------------------------=--------------------------=-----------------=2024

sin2CC2C2C2

故选：C.

11.C

【分析】

依题意可得公差d>0,a<a<-<a<a<0<a且a+a>0>再根据等差数列求和

12910111110

公式及下标和性质判断即可.

【详解】设等差数列｛〃｝的公差为d,

n

巾4a<0a>0„a>\a\

因为10»11，且11Ilol，

所以d=q-a>0，a+Q>0，6z<0»

111011101

所以｛〃｝为递增等差数列，则a<a<a<0<a，

n1291011

匕匕2\9\a+a）20\a+a）（\

所以S=----1--------4=19〃<0，S=-----------1--------20—=10（«+a）>0»

19210202io11

S二18（q+鼠）=9（〃）<0»显然*''2，''i7均为负数,

182109

又a>a>->a>a〉0，所以|S|<|SI»

19181211I191I181

所以数列｛s｝中最大的负数为s.

n19

故选：c

12.B

【分析】

求出函数的导数，讨论其单调性后结合零点存在定理可得参数的取值范围.

12ax2

【详解】r（x）=l-2ax=-,

XX

答案第61页，共22页

若aVO时，则［，G)>0恒成立，故y(x)在(0,例)上为增函数，

而/(1)=-°40，/(e)=l-ae2>0-故/(x)在(0,讨)上有一个零点•

故/G)在H上为增函数，在(值物］上为减函数，故

41_4/_51

1V(V7

若In、口即即至时，/(“匚-°,故此时/G)最多一个零点.

72a22a2e

若lng《>0即0<.<(，此时/①=一。<°,而、"(')即白

且只有一个零点，

因为0<a<2-,故工>2e,故J.>］>比，

2eaa\a\2a

又/m=1/」，设s(x)=lnx-x,x>2e,则4)=1-X_

-----<0,

\a)aaX

故s(x)在(2e,+oo)上为减函数，故s(x)vs(2e)=ln2e-2e<2—2e<09

故d<0,故/G)在［2」)有且只有一个零点，

故0<a<_L时，/G)有两个不同的零点.

2e

综上，ae(^o,o］u—I,

-2e)

答案第71页，共22页

故选：B.

【点睛】关键点点睛：导数背景下函数零点问题，可利用导数讨论函数的单调性，再结合

零点存在定理判断零点的个数，注意取点时要保证点与极值点有明确的大小关系，有时对

应点处的函数值符号需结合导数判断.

13.—

4

【分析】

利用向量夹角公式可求向量；与彳的夹角.

—.___••一

【详解】因为|2。-4=245,所以4a2-4a)+Zn=20,

故4-4e6+8=20,故力=-2,故©os(词=3=_叵,

\'1x2或2

故答案为：—.

4

14.2/0.4

5

【分析】

根据平均数可求的关系，再结合二次函数可求方差的最小值.

【详解】由题设有9+10+ll+x+>=50即x+y=20,

故样本方差S2=1^12+0+12+G-10>+G-10>]=|PX-10>+1],

故S2t],当且仅当x=l0时等号成立，

答案第81页，共22页

故样本方差的最小值为（2，

故答案为：

15-±715

【分析】先求得圆心到直线'=丘+1的距离4再根据1MN|=26,由00+办=4求解.

【详解】圆扉+（了+3）2=4的圆心为（0,-3），半径为2,

圆心到直线了=辰+1的距离为"=即1=11

左2+1

又因为摩¥|=2的，

所以。0+

『=4,

解得无=±行，

故答案为：

16.3

【详解】•.•/(r)=-/(x),又

/(3+x)=/=-f|-(-x)=-/(f)=/(x)・

・•・/(x)是以3为周期的周期函数.

:数列｛“｝满足°=-1,且S=2a+*S=2a+n-l,，两式相减整理得

n1nnn—\n-\

答案第91页，共22页

a-1=2(〃-1){a-1}是以2为公比的等比数列,a-1=(〃-1)x2〃-i,a=一2〃+1，,,

nn—\nn\n

a=—31,(7=—63•

56

/(«)+/G)=/(-31)+/(-63)=/(2)+/(0)=/(2)=-/(一2)=3,故答案为3-

56

【易错点晴】本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项:

(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应

该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的

方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.

本题将函数的解析式、奇偶性、周期性与数列的通项公式综合在一起出题体加大了难度，

提高了综合性.

17.⑴(2

(2)分布列见解析，E(x)=「

(3)见解析

【分析】

(1)先求出42两种交通工具都乘坐的人数，从而可求概率.

(2)根据表中数据以及独立事件的概率公式可求分布列，利用公式可求期望.

(3)根据古典概型的概率公式可求”从样本中仅乘坐4的员工中随机抽查3人，交通费用

都大于600”的概率，据此可判断人数是否有变化.

【详解】(1)由表中数据可得仅乘坐人的人数为18+9+3=30，

仅乘坐B的人数为10+14+1=25人，43两种交通工具都不乘坐的有5人，

故45都乘坐的人数为100-55-5=40,

故从全公司员工中随机抽取1人，

答案第101页，共22页

AR407

估计该员工上个月‘两种交通工具都乘坐的概率为

AI?2

（2）样本中从仅乘坐的人任选一人，上个月交通费用大于400元的概率为与=（,

n1C2

样本中从仅乘坐的人任选一人，上个月交通费用大于4。。元的概率为三二,

X的所有可能取值为0,1,2,

故"x=o）=mi]=2

P（X=l）=gx（l2）3_13

?JX5-25

P（X=2）=|X|6

25

1312

故E（X）=—+—=1.

2525

（3）记事件E为“从样本中仅乘坐人的员工中随机抽查3人，交通费用都大于600”，

由上个月的样本数据可得尸（E）=£l=_L,

Ca4060

30

结论1:可以认为有变化，

因为尸（£）很小，概率很小的事件一般不容易发生，一旦发生，就可以认为样本中仅乘坐

答案第111页，共22页

A的员工中本月交通费用大于600元的人数有变化.

结论2：无法确定有没有变化，

因为事件£是随机事件，尸（£）很小，一般不容易发生，但还是有发生的可能，所以无法

确定有没有变化.

18.⑴立

14

“一1,一|_

【分析】

（1）由s=15,利用面积公式求出。C,在△/℃中由余弦定理求出"C,再由

△ADC2FBC

正弦定理求出smc；

（2）设a1DC=。，9（0,兀），分别利用余弦定理表示出力比、AC2-从而得到

一§，再由余弦函数的性质计算可得―

>/25-16COS20

【详解】（1）因为"为'C边的中点，所以sH-ls口逐，

^ADC24ABe

又S3-ADOCsinS^IDCa,即上xlxZ）Cxsin'=6，解得=

5DC223

在八4。。中由余弦定理NC2=/D2+OC2-2/DSCCOSN/DC，

即/C2=h+42_2xlx4x（-』）=21,所以/°=⑸，

答案第121页，共22页

A4DCAC_AD1,J7

在中由正弦定理sinN/DCsinC,即海=而不，解得‘血,一三.

T

（2）设Z.ADC=0,0e（0,7i）,

在4DB中由余弦定理=4D2+BQ2—24C）mcos/4D5，

即力比=12+22-2xlx2cos《5-+0，

在△4OC中由余弦定理4c2=/Q2+QC2—2/"QCCOS/4QC，

即4c2=h+22-2xlx2cos0=5-4cos0，

在AABC中由余弦定理

fAB2+AC2-BC25+4COS0+5-4COS0-163

cosZBAC=-----------------------=—/_■j=-.

2AB•AC2j5+4cos0.j5—4cos。J25-16COS2。

因为。G（0,71）»所以COS2。G[o,l），贝I」25—16COS2。£（9,251,

所以J25-16cos2。c（3,51，

所以'____J_____

,25-16cos2。

3日cos/BAC

所以「,即

J25-16COS20*1

19.(1)证明见解析

⑵（

答案第131页，共22页

【分析】（1）如图，连接5。，设4。0瓦）=0，连接po，可证/C平面PDC，从而

可得/C_LPO，故可证明尸/=pc.

（2）利用等积法可求尸区与平面pBC所成角的正弦值，根据基本不等式可求何时正弦值最

大，故可求此时四棱锥尸_的体积.

如图，连接8D，设/cn5D=0，连接尸0，

因为，9_1_平面/58，/Cu平面/5CD，故尸DL/C，

而必_L/C,PBcPD=P,PB,PDu平面PDB,

故/C_L平面PD8，而POu平面PDB，故/C_LP0，

由四边形/BCD为平行四边形可得N0=OC，故为等腰三角形，

故AP=PC，

⑵设4。=x'x>0,

答案第141页，共22页

由（1）可得/C_L平面PQB，而ADu平面POB，故AC工BD，

故四边形/BCD为菱形，而ND/8=60。，故BD=AB=x

因为PZ)JL平面ABCD,40u平面ABCD'故尸D_L，

故尸/=%+i，同理尸

BC=xi,i

而,故S=—xxx

△PBC2

设d为点A到平面PBC的距离，0/与平面PBC所成的角为o，

dd

故sin。=

1

又/=-xPDxS=—xS=­X正XX”走X2,

P-ABC3丛曲c3ABD3412

而产=-xdxS

A-PBC34PBC3

切1713故八产

叭—xdx—，一X4+X2

32\4123x2+4

yf3x

故此时p3…ABXB-3里或L

P-ABCD32323323

答案第151页，共22页

20.⑴上+产=1

4

(2)(i)证明见解析；(ii)y=±Z^x+3

10

【分析】

(1)首先求出抛物线的焦点坐标，即可得到6,再由椭圆过点，求出02；

(2)(i)设直线尸0的方程为〉=丘+加，尸(x,y)、Q(x,y)，直线方程代入椭圆方程

后应用韦达定理得》,+5广也，代入上,_1后化简得机的值，代入直线方程可得定点坐

1212A-/t——

APAQ2

标;

5)设直线叼亘过定点为"(°，”由原诟，可得结合⑴中韦达定理

求出x、x,即可求出片,从而求出直线方程.

12

【详解】(1)抛物线m=_4y的焦点为(0,-1)，所以椭圆的下顶点/(0,7)，则6=1，

又椭圆C：上+匕=1电>/,>0)经过点/1也］，所以，+1=1,解得以=4

a2b2‘2Q24

所以椭圆方程为上+>2=1；

(2)(i)当直线P0的斜率不存在时，设p(xv),则0G,-y))

aooo

所以左k贝u4+产=1,与4+产=1矛盾,

APAQxXX222。40

000

答案第161页，共22页

所以直线尸0的斜率存在,

由已知直线斜率同号，因此直线尸2的斜率存在且不为0,

设直线P0的方程为1=h+"7,设尸(x,y),0(无J)，

1122

%2(1+4A：2)X2+Skmx+4m2-4=0

由彳+产=1得

y=kx+m

由△=64左2加2-4(1+4左2)(4加2-4)=16(4左2-"?2+1/>0)可仔4后2+1>加2»

匕匕28痴4加2-4

加以X+、=—•；—,XX

121+4左2121+4左2

则W=(Ax+m)(Ax+ni)=k2xx+km(x+x)+仲

12121212

.4加2-47-8km加2-4左2

=K2x------------卜kmx----------\-rn2=------------

1+4左21+4左21+4左2

y+y=(kx+ni)+(kx+m)=k(x+x)+2m

121212

7一8km2m

kx---------------+2m=---------

1+4左21+4左2

所以左k=4±1.4±1「二+8+门+1」

APAQxXXX2

1212

即2yy+2(y+y)+2=xx,

121212

所以2x竺上+上+2=加二，解得加或优=3

1+4k21+4k21+4k2

当",=一1时直线P0方程为y=fcc-l,令尤=0,可得＞=一1,所以直线尸0恒过定点(o,T),

不合题意,

当加=3时直线尸。方程为＞=fct+3,令x=0,可得y=3,所以直线尸0恒过定点(0,3)，符

答案第171页，共22页

合题意.

综上可得直线尸0恒过定点（0,3）

（ii）设直线尸0恒过定点为“（0,3），

,

此时△=16（4左2—加2+1）=16（4左2—8）>0解传左2>2，

由。P///Q,可得四3

\MA\\4

24k32

又X+xXX

121+4左2121+4左2

96k72k

所以X7（1+4公）x7（1+4左2）'

2'1

—96k—72k32，解得七营,满足八2

所以7（+4%2）*7（+4左2）-1+4左2

所以左=±®,

一10

所以直线尸。方程为y=±Z^X+3-

10

答案第181页，共22页

【点睛】方法点睛：处理圆锥曲线上直线过定点问题的方法.

设出直线方程为、=丘+加，设交点坐标为(x,y),(x,y)，直线方程与圆锥曲线方程联立方

1122

程组，消元后应用韦达定理得X+X,XX,代入题中关于交点的(x,y),(x,y)满足的的条

12121122

件可得出后机关系，从而代入直线方程后得定点坐标.

/V,ill

2L(%=2e

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】

(1)设公共点为G/)，根据题设可得关于切点坐标的方程组，求出其解后可得。的值.

0,0

(2)设s(x)=x2jlnx，利用导数可证s(Q＞0恒成立，故可证尸(Q的图象恒在G(x)的

图象的上方；

(3)利用导数可证＞从而可证5+凡＞齐-

，+1

答案第191页，共22页

【详解】（1）F/G）=2X,G'（X）=-,设公共点为G。/。）,

X2=y

00

因为在公共点处有相同的切线,则a\nx=y,

00

—=2x

X0

0

故2x2Inx=X2>解得x=A，故a=2x2=2e,

00000

(2)设sG)=x2-qlnx(x>0)2Xa_2x?-a

XX

故sG）在［o,上为减函数，在上为增函数,

乂0<a<2e,,ag、/i。1乩s(x)>0

因为,故OV'Ve,所以故'tin

所以X2—QInx>0即12>aInx，

故当0<a<2e时，尸(%)的图象恒在G(X)的图象的上方.

(3)因为fQ)有2个零点工户,故厂G)—G(X)=0，

J1211

所以X2—〃Inx=0即％2=QInx»同理％2=qInx，

111122

不妨设X>X»

12

又X2-x2=Q(lnx-Inx),故(x-x)(r+x)=〃(lnx-Inx)，

1212121212

答案第201页，共22页

9

要证：X+x>y[la即证：(x+x》>2Q，

1212

(\cG-X)G+x)%1

〈X+X〉〉2X—1--------2--------1--------2-f一]

12

即证：Inx-Inx^,即证:I1nXf>2x—2----

XX1

2-h+1

X

2

设4)=3一*/>1,则山)=霖

>09

故v①在(1产)上为增函数，故式“>v(1)=0即In(>包(f>1),

%+1

而“2,故ln'>2x巴——成立，

x

2—J-+1

X

2

故X+X>在成立•

12

【点睛】关键点点睛：与函数零点有关的多变量的不等式问题，可根据零点满足等式关系

构建不同零点满足的恒等关系，结合目标不等式化简变形后可将原不等式转化一元不等式

处理，而后者可利用导数证明.

22.