解直角三角形题型归纳- 2024年中考数学重难点突破

专题11解直角三角形题型归纳

啰炼内町一

循定f皿三角形

i.如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图，M。、p。分别表示地面和墙壁的位置,

ON表示垂直于地面的栏杆立柱，。4、A3是两段式栏杆，其中。4段可绕点O旋转，A3段

可绕点/旋转.图1表示栏杆处于关闭状态，此时。、/、8在与地面平行的一直线上，并且

点3接触到墙壁；图2表示栏杆处于打开状态，此时池〃MQ,。4段与竖直方向夹角为

30。.已知立柱宽度为30cm，点。在立柱的正中间，（9M=120cm,OA=120cm,AB=150cm.

（1）求栏杆打开时，点A到地面的距离；

⑵为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留10cm的安全距离,

问一辆最宽处为2.1m,最高处为2.1m的货车能否安全通过该入口？（本小题中百取1.73）

【答案】⑴点N到地面的距离为(120+60后)cm

(2)货车不能安全通过该入口

【分析】(1)过点A作4V_LON,垂足为点N,利用三角函数求得

NO=AO-cos30°=120x—=60A/3cm,的长度即为点/到地面的距离；

2

(2)作E/〃A3,交。4于点K,使=210cm,利用三角函数求出

HK=OHtan30。=90x立=306®51.9cm,

3

KF=HF-HK=OA+AB-HK=120+150-51.9=218.1cm,在高度正好的情况下，求得货

车靠墙行驶需要宽度超过了KF的长度，说明不能安全通过.

图2

【详解】(1)

解：如图，过点A作AN，ON,垂足为点N

NO=AO-cos30°=120x—=60阮m

2

NM=NO+OM=(120+60@cm

则点A到地面的距离为(120+60g)cm

图2

(2)

解：如图，作"F〃AB,交Q4于点K,使HM=210cm

2.1m=210cm

OH=MH-OM=210-120=90cm

HK=OH-tan30°=90x—=3073»51.9cm

3

KF=HF-HK=OA+AB-HK=n0+150-51.9=218Acm

若货车靠墙行驶需要宽度为210+10=220cm>218.1cm

则货车不能安全通过该入口.

【我思故我在】本题考查了与解直角三角形相关的应用题，掌握三角函数并能解决实际问题

是解题关键.

2.如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的"五项管理"做成宣传牌（CD）,

放置在教学楼/栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚/处测得宣传牌

底部D的仰角为60。，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为

45°.已知山坡48的坡度为，=1：3,AB=2屈m,AE=8m.

（1）求点B距水平面AE的高度BH.

（2）求宣传牌CD的高度.（结果精确到0.1米.参考数据：72=1.414,73=1.732）

【答案】（1）点2距水平面/E的高度瓦/是2米

⑵广告牌CD的高度约为2.1米

【分析】⑴根据山坡的坡度为i=l：3,可设则/〃=3a,然后在7?也48〃中，利用

勾股定理进行计算即可解答；

(2)过点8作瓦同CE,垂足为尸，则砂=2米，BF=HE=14米,然后在比△/£>£中，

利用锐角三角函数的定义求出的长，再在MABFC中，利用锐角三角函数的定义求出

CP的长，最后进行计算即可解答.

【详解】(1)解：在尺位1488中，

BH：AH=1:3,

团设28=。，贝Ij/H=3a,

EL45=2A/10,

由勾股定理得28=2,

答:点B距水平面AE的高度BH是2米;

(2)解：在RZEL48"中,8〃=2,

1MH=6,

4—DE

在Rf3\ADE中，tanELD/E=—

AE

即Z)E=tan60■NE=86,

如图，过点B作3死CE,垂足为F,

BF=AH+AE=6+8=14,

DF=DE-EF=DE-BH=8y/3-2,

在RtSBCF中,EIC=[aC5尸=45°,

ECF=BF=14,

^CD=CF-DF=U-(86-2)=14—86+2=2.1

答:广告牌CD的高度约为2.1米.

【我思故我在】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目

的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

3.如图1是疫情期间测温员用"额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其

中枪柄5c与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直量得胳膊MN=28cm,

枪柄与枪身之间的夹角为120。(即4ffiA=120。)，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度

为25.3cm(即MP的长度)，枪身84=8.5cm.

图1

(1)求MB的长；

(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm.在图2中，若测得NBMN=75。，小红

与测温员之间距离为50cm问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明

理由.(结果精确到0.1cm,参考数据：五“4，6"7)

【答案】⑴33.6cm；

(2)在规定范围内，理由见详解.

【分析】(1)过点B作于点〃，在中，利用含30。直角三角形三边关系，

即可解答；

(2)延长交尸G于点/,NM"=45。，在Rt中，利用三角函数的定义即可求出必

的长，比较即可判断.

(1)

解：过点B作皿工”件于点H,由题可知四边形为矩形，如下图:

测

「小K

t

员红

30°,

90°=

0°-

H=12

ZAB

A-

ZMB

BH=

0ZM

,

5cm

=8.

BA

3cm,

=25.

国MP

cm,

16.8

.5=

.3-8

=25

—HP

=MP

RMH

，

7中

89

在Rt

2

；

.6cm

8=33

x16.

¥=2

2Afl

0Affi=

(2)

90°,

IM=

：ZN

题意的

/,由

于点

交FG

PM

延长

解：

，

=60。

MH

知/B

)可

由(1

5°,

N=7

0/BM

45°,

60°=

75°-

80°—

I=1

HZNM

,

8cm

N=2

又M

Ml

MJ

,

-=——

----

45°=

，cos

〃中

t▲NA

团在R

28

MN

cm

u19.8

*^^

=28

0MZ

2

,

50cm

距离为

员之间

与测温

回小红

m,

4.9c

5.3=

8-2

-19.

=50

HAD

,

.9<5

03<4

内.

范围

规定

离在

的距

额头

小红

点A与

身端

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回此

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和熟记

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所示

如图

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保护，

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米，

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,使D

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