2024年广东省深圳市中考二模数学试题(解析版)

2024年广东省深圳市福田外国语教育集团中考数学二调试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.）

1.公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表

示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数.下列各数中，属于无理数的是（）

23____

A._o_34B.^9C.—D.yJlAA

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①兀类，如

2兀，?等；②开方开不尽的数，如J，，服等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间

依次增加1个0）,0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）.

【详解】解：A.—o白4是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意；

B.是无理数，故本选项符合题意；

23

C.彳-是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；

D.JE=1.2,是分数，属于有理数，故本选项不符合题意.

故选：B.

2.观察下列图形，是中心对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了中心对称图形的概念：图形绕某一点旋转180P后与原来的图形重合，掌握中心对称图

形的概念是解题的关键.

根据中心对称图形的概念“中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合”判断即可.

【详解】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180P后与原来的图形重合，

所以不是中心对称图形，不符合题意；

选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180P后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符

合题意.

故选：C.

3.为了解全市中学生的视力情况，随机抽取某校50名学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据

如图，则这50名学生视力情况的中位数和众数分别是()

4.7以下4.74.84.94.9以上视力

情况

A.4.8,4.8B.13,13C.4.7,13D.13,4.8

【答案】A

【解析】

【分析】根据中位数和众数的定义求解.

【详解】解：由图可知，视力为4.8的学生人数最多，因此众数是4.8,

将50名学生视力情况按从小到大顺序排列，第25和26位都是4.8,因此中位数是4.8,

故选A.

【点睛】本题考查求一组数据的中位数和众数，正确从条形统计图中获取信息是解题的关键.

4.下列运算正确的是()

A.4abi-abz=3aB.=a

C.D.X6+X2=X3

【答案】C

【解析】

【分析】根据合并同类项法则，二次根式的性质，塞的乘方法则，同底数嘉的除法法则逐项分析即可.

【详解】解：A..；4ab2—。从=34从，.•.此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

I—।।—0)

8.：丁。2=网=</，二此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

11[~a(a<0)

C.；(n)=qi2,.•.此选项的计算正确，故此选项符合题意；

D.•••X6+X2=X4,.♦.此选项的计算错误，故此选项不符合题意;

故选：C.

【点睛】本题考查了合并同类项，二次根式的性质，嘉的乘方，同底数得的除法，熟练掌握运算法则是解

答本题的关键.

5.《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合.”说明“抄、撮、勺、合”均为

十进制，则九十合等于（）

A9x102圭B.9x103圭C.9x104圭D.9x105圭

【答案】D

【解析】

【分析】根据“抄、撮、勺、合”均为十进制，将九十合进行转化求解即可.

【详解】解：由题意，得：九十合等于90x104=9x105圭；

故选D.

【点睛】本题考查科学记数法.熟练掌握科学记数法的表示方法：axlOn,l<|a|<10,〃为整数，是解题

的关键.

6.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同,

所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，Zl+Z2=129°,Z3=102°,则N4的度数为

A.57°B.54°C.52°D.51°

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内

角互补.根据光在水中是平行的线，由平行线的性质即可求解.

【详解】解：如图，

D

AC//BD7,Z93=102°

Z3=ZMAC=102°,

■：AB//CD,

:.ZMAC+Z2=180°,

Z2=78°,

­/Z1+Z2=129P,

Z1=51°,

AE//BF,

Zl=ZFBM=51°,

•••EFWAB,

Z4=ZFBM=51°,

故选：D.

7.“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重和公民的文明素质.如图，在某路口的斑马线路段

“一6-。中，48=280=10米.当绿灯亮时，小刚通过“一5-。共用时10秒，其中通过8。的速度

是通过48速度的1.3倍，求小刚通过48的速度.设小刚通过48的速度为x米/秒，则根据题意列方程

【答案】B

【解析】

【分析】由通过的速度是通过48的1.3倍可得出小刚通过8。的速度为L3x米/秒，利用时间=路程+

速度，结合小刚共用时10秒通过NC,即可得出关于x的分式方程，此题得解.

【详解】解：^.^48=28C=10米，

二.8C=5米.

;小刚通过48的速度为x米/秒，通过8。的速度是通过48的1.3倍，

小刚通过的速度为1.3x米/秒.

又；小刚共用时10秒通过NC,

105，八

/.一+----=10.

x1.3x

故选：B.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分成方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

8.如图，在等腰△48C中，4B=AC=2p,BC=8,按下列步骤作图：

①以点/为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交板"于点E,F,再分别以点£,尸为圆心，大热

£尸的长为半径作弧相交于点X,作射线NH；

②分别以点a2为圆心，大于W的长为半径作弧相交于点国N,作直线MN,交射线于点。；

③以点。为圆心，线段。/长为半径作圆.

则。。的半径为（）

它M,、'

A,275B.10C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】如图，设CM交3c于1解直角三角形求出再在Rt2\OC7中，利用勾股定理构建方程即可

解决问题.

【详解】解：如图，设OA交BC于T.

VAB=AC=275,AO平分/BAC,

；.AO_LBC,BT=TC=4,

/.AE=1AC2-CT2=J(202—42=2,

在RtAOCT中,则有r2=(r-2)2+42,

解得r=5,

故选：D.

【点睛】本题考查作图一一复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵

活运用所学知识解决问题.

9.如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆=AB=b,4B的最大仰角

为a.当NC=45。时，则点A到桌面的最大高度是（）

A

E

D

bb

A.a+----B.a+-——C.a+bcosaD.a+bsina

cosasina

【答案】D

【解析】

【分析】过点A作4F，BE于/，过点B作BGLCD于G,利用解直角三角形可得/尸=6sina,

BG=a,根据点A到桌面的最大高度BG+4F,即可求得答案.

【详解】如图，过点A作AFL8E于R，过点3作BGLCZ）于G,

在Rt"BF中，AF=AB•sina=bsina,

在RdBCG中，BG=BC.stnA5。=pax与=a,

•・•点A到桌面的最大高更BG+4F=a+6sina,

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形

解决问题.

10.如图，在四边形N8C。中，AD//BC,ZC=45°,以Z5为腰作等腰RtA48E,NB4E=90。，

点E恰好落在CD边上，若AD=0,则CE的长是（）

D.护

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及平行线的性

质，熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键.

过点E作斯LCD,交BC于F,证明是等腰直角三角形，得EF=CE,ZCEF=45°,进而证明

ADAE1

ZAED=ZFBE,再由勾股定理得BE=,然后证明△40£64比鸣得炉=诟="‘求

出EF=&AD=&,即可得出结论.

【详解】解：如图，过点£作£尸,。£>,交BC于F,

：ZC=45°,

■.AER是等腰直角三角形，

­.EF=CE,ZCFE=45°,

♦.Z8FE=180°—45°=135°,

.•ZCFE=ZFBE+ZBEF=45°,ZAED+/BEF=90°-45°=45°,

•.ZAED=ZFBE,

.・△/BE是等腰直角三角形，

­.AB=AE,

BE=^AB2+AEi=y/2AE,

:AD//BC,

ZC+Z/)=180°,

ZZ)=180o-45°=135°,

；.ND=ZBFE,

：.AADES^EFB,

AD_AE_1

二声一被―#

:.EF=pAD=8"=M

：.CE=EF=册,

故选：A.

二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)

11.分解因式：-3机3+12m=.

【答案】-3m(m+2)(m-2)

【解析】

【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.先提取公因式，再用平方差公式

因式分解，即得答案.

【详解】—3m3+12m=-3m(m2—4)=-3m(m+2)(m—2).

故答案为：一3加(加+2)(加一2).

12.已知函数了=|x2-4|的大致图象如图所示，对于方程|》2-4|=机(加为实数)，若该方程恰有3个不

【解析】

【分析】此题考查函数图象的应用，解题的关键是求出函数与y轴的交点.先求出函数与y轴的交点，再根

据函数图象的特点即可求解.

【详解】解：令x=0得，y=4,

所以函数了=匡2-4］的图象与〉轴的交点坐标为(0,4).

方程|X2—4|=机的实数根可以看成函数了=匡2-4］的图象与直线>=掰交点的横坐标.

因为该方程恰有3个不相等的实数根，

所以函数V=|x2-4|的图象与直线>=加有3个不同的交点.

所以m的值为4.

故答案为:4.

13.有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁，

随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是.

1

【答案】彳

【解析】

【分析】随机事件/的概率P(A)=事件/可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数

【详解】解：由题意得，共有2x4=8种可能情况，其中能打开锁的情况有2种，

21

故一次打开锁的概率为：9=4，

1

故答案为：彳.

【点睛】本题考查概率，熟练掌握概率公式是解题关键.

k

14.如图，矩形045。的顶点A在反比例函数V=—(x<0)的图像上，顶点8、C在第一象限，对角线

x

2

轴，交y轴于点。.若矩形。的面积是6,cosZOAC=-,则才=__________二

【解析】

629

【分析】方法一：根据“。。的面积为3,得出m=五=『"=寸，在R"优中,

AC2=AO2+OC2,得出。2=士叵，根据勾股定理求得。。=灰，根据左的几何意义，即可求解.

4D4c4c

方法二：根据已知得出衣=@则工/“=.工/",即可求解.

2

【详解】解：方法一：,•,cos/。4c=可,

•cosZOAC=^£-=—2

AOAC3

设AD=2a,则AO=3a,

AC=-a

2

・.•矩形。45。的面积是6,4C是对角线,

.,.”OC的面积为3,即（4OxOC=3

2

a

在RtATlOC中，ACi=AO2+OC2

81-364

即------Q2———

4Q2

解得：。2=弋

在RtA^DC中，。。=J/02—AD2=4a

:对角线NC〃x轴，则

/.网=2SJOD=2axpa=242=275x%=|

...反比例函数图象在第二象限,

,8

一1

2

方法二：：cosNCUC=w，

2

.M"=竺吧

AOAC3

设AD=2a,则AO=3a,

,AC=­a

2

AD_2a_4

•・k2=4,

2

42S=2x

2s=_x6=

^AOD9^AOC9P

,：k<0,

,8

8

故答案为:

3,

【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数左的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是

解题的关键.

15.如图，在四边形45CD中，ZABC=ZADC=90°,AB=BC,对角线AC与8。交于点E,若

「BE

BD=10,CD=6,则

vDE

A

D

BC

2511

【答案】24^lj4

【解析】

【分析】作△4DC的外接圆。O,连接05,可证明点8在。。上，则/80。=/氏4。=45。，作

CFLBD于点、F,DHL4C于点、乩则N尸8=/阳。=45。，所以

CF=DF=CD-sin45°=372,则BF=BD-DF=4、Q,求得/8=8C=575,贝U

1124

AC=y/2BC=10,所以08=5,40=8,由y=xl0/ffi)=_x6x8,求得HD=再证明

△ADC225

BEOB25

△BOEjDHE,则万斤=亚=方，于是得到问题的答案.

【详解】解：作△/℃的外接圆OO,连接08,

■■ZADC=90°,

；./C为。。的直径，圆心。为/C的中点，

VZABC=90°,AB=BC,

・：NBAC=NBCA=45°,OBLACOB=OA=OC=^AC

2

.•.点8在OO上，

...ZBDC=ABAC=45°,

作C尸，8。于点*DHL4c于点、乩则N8/C=N。尸C=90。，

...ZFCD=NFDC=45°,

•：BD=70,CD=6,

...CF=DF=CD-sin45°=6x2^=3^2,

-.BF=BD-DF=ly[2-342=4y/2,

AB=BC=JCFT+BFi==572,

■■AC=1AB2+BC2=SBC?="BC=#x5薜=10,

.-.(95=l^C=lxl0=5,AD=yjAC2-CD2=7IO2-62=8,

••・S=1x10/70=1x6x8

^ADC22

24

5

VOB//HD,

ABOES^DHE,

BEOB_5_25

.-.DE~HD~^~24,

T

,25

故答案为：KT.

【点睛】此题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的

判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键.

三、解答题（本题共7小题，共55分）

16.计算：£cos600-

2

【答案】i-G

【解析】

【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角三角函数值、负整数指数累、零指数嘉及实数的绝对值;

分别计算特殊角三角函数值、负整数指数累、零指数累及实数的绝对值，最后进行加减即可.

119

［详解］解：原式=mX］_4_（、6_2）+l

=4一4_6+2+1

=i-G

2x2x+4x+2

17.先化简：——-------------------——再从-2,-1,0,1中选择一个合适的数作为x代入求值.

X+1X2-1X2-2x+1

2

【答案】E当x=0时，值为2

【解析】

【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键.先计算

分式的除法，再计算分式的减法，然后根据分式有意义的条件选择合适的数代人计算即可得.

2x2（x+2）x+2

【详解】解：原式=E—G+DG-i/EX

2x2(x+2)(x-1)*2

x+1Vx+lJu-Dx+2

2x2(x—1)

x+1x+1

2x—2x+2

x+1

_2

x+1'

•.•x+lw0,x-lw0,x+2w0,

xw-l,xww—2,

2

.・・将x=0代入得：原式=后=2.

18.某中学举行了心理健康知识测试，为大概了解学生心理健康情况，该校随机抽取了部分学生进行测

试，根据成绩（单位：分）分成：£（75Wx<80）,£>（80<X<85）,C（85<X<90）,

5（90<x<95）,N（95«x<100）五个组，并绘制了如图1和图2所示的统计图.

请根据图中提供的信息，回答下列问题.

图2

人，m=：

（2）直接补全图1中的统计图，由扇形统计图知E组所占扇形圆心角的度数为

(3)根据调查结果，请估计该校2000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有人.

【答案】⑴40,20

(2)图形见解析，54°

(3)1700

【解析】

【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体.理解题意，从条形统计图与扇形统

计图中得到必要的信息和数据是解题关键.

(1)用C组的人数除以其所占百分比即得出总人数；用。组人数除以总人数乘100%即得出加的值；

(2)求出2组的人数即可补全统计图；求出E组所占比例，再乘360。，即得出£组所占扇形圆心角的度

数；

(3)求出样本中成绩大于或等于80分的学生所占比例，再乘该校总人数即可.

【小问1详解】

解：10+25%=40人，

,本次抽取测试的学生有40人；

8-40xl00%=20%,

,11m=20.

故答案为：40,20；

【小问2详解】

解：8组的人数=40x30%=12人,

E组所占扇形圆心角的度数为—x360°=54°

故答案为：54°；

【小问3详解】

解：样本中成绩大于或等于80分的学生有8+10+12+4=34人,

该校2000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有菊x2000=1700人.

故答案为：1700.

19.晋侯鸟尊作为山西博物馆的镇馆之宝，不仅是西周青铜艺术的杰作，更是见证大国沧桑的国之瑰

宝.而木板漆画是山西博物馆的另一件镇馆之宝，填补了北魏前期绘画实物的空缺，在工艺、绘画和书法

上有极高的历史和艺术价值.某商店计划购买一批仿制鸟尊工艺品和木板漆画工艺品，已知购买4件鸟尊

工艺品和3件木板漆画工艺品需花费1068元，购买2件鸟尊工艺品和1件木板漆画工艺品需花费468

元.

(1)求鸟尊工艺品和木板漆画工艺品的单价；

(2)该商店计划购买鸟尊工艺品和木板漆画工艺品共100件，其中鸟尊工艺品的数量超过木板漆画工艺

1

品数量的？，当购买多少件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低？最低总费用为多少元？

【答案】(1)鸟尊工艺品的单价为168元/件，木板漆画工艺品的单价为132元/件；

(2)当购买26件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低，为14136元.

【解析】

【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数解决实际问题.

(1)设鸟尊工艺品的单价为x元/件，木板漆画工艺品的单价为y元/件，根据“购买4件鸟尊工艺品和3

件木板漆画工艺品需花费1068元，购买2件鸟尊工艺品和1件木板漆画工艺品需花费468元”即可列出二

元一次方程组，求解即可解答；

(2)设购买鸟尊工艺品加件，费用为w元.则枚=168加+132(100-加)=36加+13200,根据“鸟尊工

1

艺品的数量超过木板漆画工艺品数量的W”可列出不等式，求出机的取值范围，再根据一次函数的性质即

可解答.

【小问1详解】

解：设鸟尊工艺品的单价为X元/件，木板漆画工艺品的单价为y元/件.根据题意，得

4x+3y=1068

2x+y=468'

x=168

解得：，1”，

[y=132

答：鸟尊工艺品的单价为168元/件，木板漆画工艺品的单价为132元/件；

【小问2详解】

解：设购买鸟尊工艺品加件.费用为w元.则

w=168m+132(100-m)-36m+13200,

■：36>0,

.,.W随m的增大而增大，

m>2.(100-m),

3

/.m>25,

,当根=26时，.最小，最小值为36x26+13200=14136(元)，

答：当购买26件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低，为14136元.

20.如图，在“8。中，ZACB^90°,。为边上一点，。。过点C且经过48边上的点D,

AD=AC.

(1)求证：4D为。。的切线；

(2)延长。。交。。于点£,连接ZE,若NB4E=45°且BD=2,求O。的半径.

3

【答案】(1)见解析(2)-

【解析】

【分析】(1)根据题意连接/。，利用全等三角形判定及性质即可判定切线；

(2)根据题意判定V/DE为等腰直角三角形，利用勾股定理即可得到本题答案.

【小问1详解】

解：连接NO,

A

在AAOC和△ZOZ）中，

AC=AD

<OA=OA9

OC=OD

；.AAOC^AAOD（SSS）,

：.ZACO=ZADO=90°,

：.ODVAD,

又•；O£）为半径，

/.为O。的切线；

【小问2详解】

解：ZBAE=45°,

.•.V4DE为等腰直角三角形，

AD=AC=DE,

设OC=OD=x,OB^y,

则40=ZC==2x,AB=2x+2,BC=x+y；

在RtA/BC和RtABDO中，ACi+8C2=A82和ODi+BDi=OB2,

(2X)2+(x+-(2x+2)2

即＜c，

X2+22=y2

3

解得：x=i，

3

GO的半径为-.

【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形判定及性质，等腰直角三角形判定及性质，勾股定理.

21.根据以下素材，探索完成任务.

如何探测弹射飞机的轨道设计

素材1：图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集

素材2：图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台尸。，当弹射口

高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段48为飞机回收区域，已知

/尸=88m.A8=8m.

问题解决：

任务1：确定函数表达式.

①直接写出x关于/的函数表达式：.

②求出y关于/的函数表达式.

任务2：探究飞行距离.当飞机落地（高度为0m）时，求飞行的水平距离.

任务3：确定弹射口高度当飞机落到回收区域48内（不包括端点4B）时，请写出发射台弹射

口高度〃的变化范围：.

【答案】任务1：①x=4t；②y关于/的函数表达式为丁=-：/2+10%任务2：飞机落地时，飞行的水

平距离为80m；任务3：22<〃<48.

【解析】

【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.

任务1：根据表格数据，利用待定系数法求两函数的表达式即可；

任务2：令y=0,解方程—g/2+i0/=0即可求解；

15,

任务3：设发射台弹射口高度为肌则此时抛物线的表达式为^=-豆mx+/z,分别求得落地N点和

点8时的力值，进而可得力的取值范围.

【详解】解：任务1：①设x=W+b,将（0,0）,（2,8）代入得:

%=0

8=2k+6'

•••X关于/的函数表达式为X=4f,

故答案为：x=4t；

②设y关于f的函数表达式为y=at2+bt+c（aw0）,将（0,0）、（2,18）、（4,32）代入得:

c=0

<4a+26+c=18>

16a+46+c=32

1

a=———

2

解得：p=10,

c=0

故y关于，的函数表达式为了=一；/2+10小

任务2：当飞机落地时，即歹=0,

~—t2+10/=0

2，

解得，/=20或/=0（不合题意，舍去），

,?x=4t,

二/=20时，x=4x20=80,

故飞机落地时，飞行的水平距离为80m；

任务3：由x=4/和y=—J/2+10/得：y=-l^X2+Lx,

15,

设发射台弹射口高度为h,则此时抛物线的表达式为y=-我x2+,x+〃，

当x="=88时，^=-A.X882+£X88+/Z=0,

解得：A=22,

当x=5尸=88+8=96时，一RX962+1.X96+/I=0,

解得：”=48,

即22<“<48,

故答案为：22<〃<48.

22.(1)如图1,在正方形48CD中，E是对角线NC上的一点，连接2E,过点£作EF，8E交

于尸.求证：BE=EF.

(2)如图2,在矩形488中，AB=6,AD=8,E是对角线AC上的一点，连接BE,过点E作

EFLBE交CD于点、F.若/E=3,求tan/尸EC的值.

(3)在菱形48C。中，如图3,48=6,N48C=60°,点£是NC的三等分点，过点£作斯，

交直线°。于点?请直接写出线段W的长.

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图I