2024届广东省韶关市乳源县中考联考数学试卷含解析

2024届广东省韶关市乳源县中考联考数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B,顶点为P,若△ABP组成的三角形恰为等腰直角三角形，则b?

-4ac的值为()

A.1B.4C.8D.12

2.下列计算正确的是()

A.(a—3)2=a2—6a—9B.(a+3)(a—3)=a2—9

C.(a—b)2=a2—b2D.(a+b)2=a2+a2

3.如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E,ZA=30°,NACB=80。，则NBCE等于()

D.50°

4.多项式4a-a3分解因式的结果是（）

A.a(4-a2)B.a(2-a)(2+a)C.a(a-2)(a+2)D.a(2-a)2

5.有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，任意取出一

把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是（）

6.函数y=mx2+（m+2）x+gm+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）

A.0B.0或2C.0或2或-2D.2或-2

7.在1—7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示,则出售该种水果每斤利润最大的月份是（)

小w元

_IIIIIII1.

012345678*月份

A.3月份B.4月份C.5月份D.6月份

8.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）

A.对重庆市初中学生每天阅读时间的调查

B.对端午节期间市场上粽子质量情况的调查

C.对某批次手机的防水功能的调查

D.对某校九年级3班学生肺活量情况的调查

9.比较4,后,痈的大小，正确的是（）

A.4<717<^63B.4<V63<A/17

C.^63<4<T17D.历<痫〈4

10.不等式组｛（二言为的解集在数轴上表示正确的是（）

A-,0-B.\>C.，D.,

0~~2^012012012^

11.为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三

档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%,15%和5%.为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭

上一年的年用水量（单位：m1）,绘制了统计图，如图所示.下面有四个推断:

①年用水量不超过180ml的该市居民家庭按第一档水价交费;

②年用水量不超过240ml的该市居民家庭按第三档水价交费;

③该市居民家庭年用水量的中位数在150~180mi之间；

④该市居民家庭年用水量的众数约为UOml

其中合理的是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

b

12.已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数丫=1«和反比例函数y=—在同一坐标系中的图象的形状大致

x

是（）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，每个小正方形边长为1,则△ABC边AC上的高BD的长为

14.如图，△。钻与AOC。是以点。为位似中心的位似图形，相似比为3:4,ZOCD=90，NAQB=60，若点

3的坐标是（6,0）,则点。的坐标是

15.分解因式：2m2-8=

16.一次函数弘=Ax+6与%=x+。的图象如图，则6+匕一（尤+。）＞0的解集是_.

17.正多边形的一个外角是60。，边长是2,则这个正多边形的面积为.

18.如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合.若

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息.已

知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线

OA-AB-BC-CD所示.

⑴求线段AB的表达式，并写出自变量x的取值范围；

⑵求乙的步行速度；

（3）求乙比甲早几分钟到达终点？

20.（6分）.在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字-1、0、2,它们除了数字不同外，其他都完

全相同.

（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；

（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标.再将此球放回、搅匀，然

后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M

所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率.

21.(6分)如图，AB为。O的直径，D为。O上一点，以AD为斜边作AADC,使/C=90。，NCAD=NDAB求证:

DC是。O的切线；若AB=9,AD=6,求DC的长.

22.(8分)数学兴趣小组为了研究中小学男生身高y(cm)和年龄x(岁)的关系，从某市官网上得到了该市2017年

统计的中小学男生各年龄组的平均身高，见下表：如图已经在直角坐标系中描出了表中数据对应的点，并发现前5个

点大致位于直线A8上，后7个点大致位于直线CD上.

年龄组

7891011121314151617

X

男生平

均身高115.2118.3122.2126.5129.6135.6140.4146.1154.8162.9168.2

y

(1)该市男学生的平均身高从岁开始增加特别迅速.

(2)求直线所对应的函数表达式.

(3)直接写出直线。所对应的函数表达式，假设17岁后该市男生身高增长速度大致符合直线B所对应的函数关

系，请你预测该市18岁男生年龄组的平均身高大约是多少？

23.（8分）如图,已知口ABCD的面积为S,点P、Q时是口ABCD对角线BD的三等分点，延长AQ、AP,分别交BC,

CD于点E,F,连结EF。甲，乙两位同学对条件进行分析后，甲得到结论①：“E是BC中点”.乙得到结论②：“四边

形QEFP的面积为三S”。请判断甲乙两位同学的结论是否正确，并说明理由.

24

A.-D

P

BEC

24.（10分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，

且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销

售量减少10本，现商店决定提价销售.设每天销售量为y本，销售单价为x元.请直接写出y与x之间的函数关系式

和自变量x的取值范围；当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？将足球纪念册销售单价定为

多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

25.（10分）如图，AB/7CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB,AC于E,F两点，再分别以

E,F为圆心，大于』EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P,连接AP,交CD于点M,若NACD=U0。，求/CMA

2

26.（12分）黄石市在创建国家级文明卫生城市中，绿化档次不断提升.某校计划购进A,B两种树木共100棵进行

校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，

共需380元.

（1）求A种，B种树木每棵各多少元；

（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价

格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费

用最省，并求出最省的费用.

27.（12分）绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计图和扇形统计图：

设销售员的月销售额为x（单位：万元）。销售部规定：当x<16时，为“不称职”，当16Wx<20时为“基本称职”，

当20Wr<25时为“称职”，当时为“优秀”.根据以上信息，解答下列问题：补全折线统计图和扇形统计图；求

所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数；为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励

标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励。如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能

获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果去整数）？并简述其理由.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解题分析】

设抛物线与x轴的两交点A、B坐标分别为（xi,0）,（X2,0）,利用二次函数的性质得到P利

2a4a

hr\h-4-nc

2

用XI、X2为方程ax+bx+c=0的两根得到X1+X2=—,Xl-X2=则利用完全平方公式变形得到AB=|X1-X2|=一,

aa\a\

接着根据等腰直角三角形的性质得到I随士|=g•汇,然后进行化简可得到b2-lac的值.

4a2\a\

【题目详解】

设抛物线与X轴的两交点A、B坐标分别为（XI,0）,（X2,0）,顶点P的坐标为,4ac-"）,

2a4a

则xi、X2为方程ax2+bx+c=0的两根，

.bc

・・Xl+X2=--，X1*X2=—，

aa

...AB=|XI-X2|=—%,）2=Ja+尤2）2-4%1%2=-4--=bI，

\aa\a\

VAABP组成的三角形恰为等腰直角三角形，

.,4ac-b2,1\lb2-4ac

--I----------1=—,—n—,

4a2\a\

（b1-4tzc）2_b2-4ac

16a24a2'

b2-lac=l.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a用）与x轴的交点坐标问题转化为解

关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质.

2、B

【解题分析】

利用完全平方公式及平方差公式计算即可.

【题目详解】

解：A、原式=a?-6a+9,本选项错误；

B、原式=a?-9,本选项正确；

C、原式=a?-2ab+b2,本选项错误；

D、原式=a?+2ab+b2,本选项错误，

故选:B.

【题目点拨】

本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键.

3、D

【解题分析】

根据线段垂直平分线性质得出AE=CE,推出NA=NACE=30。，代入NBCE=NACB-NACE求出即可.

【题目详解】

VDE垂直平分AC交AB于E,

/.AE=CE,

:.NA=NACE,

VZA=30°,

ZACE=30°,

VZACB=80°,

:.ZBCE=ZACB-ZACE=50°,

故选D.

【题目点拨】

本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相

等.

4、B

【解题分析】

首先提取公因式a,再利用平方差公式分解因式得出答案.

【题目详解】

4a-a3=a(4-a2)=a(2-a)(2+a).

故选：B.

【题目点拨】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键.

5、B

【解题分析】

解：将两把不同的锁分别用A与5表示，三把钥匙分别用A,5与C表示，且A钥匙能打开A锁，8钥匙能打开5

锁，画树状图得：

开始

钥匙ABCABC

•••共有6种等可能的结果，一次打开锁的有2种情况，.•.一次打开锁的概率为：故选B.

3

点睛：本题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,

列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

6、C

【解题分析】

根据函数y=mx2+(m+2)x+gm+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解

决.

【题目详解】

解：•函数y=mx2+(m+2)x+；m+l的图象与x轴只有一个交点，

二当m=0时，y=2x+l,此时y=0时，x=-0.5,该函数与x轴有一个交点，

当m#)时，函数y=mx2+(m+2)x+gm+1的图象与x轴只有一个交点，

则4=(m+2)2-4m(—m+1)=0,解得，mi=2,m2=-2,

2

由上可得，m的值为。或2或-2,

故选：C.

【题目点拨】

本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答.

7、B

【解题分析】

解：各月每斤利润：3月：7.5-4.5=3兀，

4月：6-2.5=3.5元，

5月：4.5-2=2.5%,

6月：3-1.5=1.5%,

所以，4月利润最大，

故选B.

8、D

【解题分析】

A、对重庆市初中学生每天阅读时间的调查，调查范围广适合抽样调查，故A错误；

B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故B错误；

C、对某批次手机的防水功能的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C错误；

D、对某校九年级3班学生肺活量情况的调查，人数较少，适合普查，故D正确；

故选D.

9、C

【解题分析】

根据4=&?<且4=痫>病进行比较

【题目详解】

解：易得：4=」记〈，万且4=闹〉病，

所以病V4VJI7,

故选C.

【题目点拨】

本题主要考查开平方开立方运算。

10、D

【解题分析】

试题分析：脸，由①得：X",由②得：x<2,在数轴上表示不等式的解集是：故选D.

考点：L在数轴上表示不等式的解集；2.解一元一次不等式组.

11、B

【解题分析】

利用条形统计图结合中位数和中位数的定义分别分析得出答案.

【题目详解】

①由条形统计图可得：年用水量不超过180ml的该市居民家庭一共有(0.25+0.75+1.5+1.0+0.5)=4(万)，

4

yxl00%=80%,故年用水量不超过180ml的该市居民家庭按第一档水价交费，正确；

②；年用水量超过240ml的该市居民家庭有(0.15+0.15+0.05)=0.15(万)，

若xl00%=7%#5%,故年用水量超过240ml的该市居民家庭按第三档水价交费，故此选项错误；

③万个数据的中间是第25000和25001的平均数，

该市居民家庭年用水量的中位数在120-150之间，故此选项错误；

④该市居民家庭年用水量为UOmi有1.5万户，户数最多，该市居民家庭年用水量的众数约为UOmi,因此正确，

故选B.

【题目点拨】

此题主要考查了频数分布直方图以及中位数和众数的定义，正确利用条形统计图获取正确信息是解题关键.

12、C

【解题分析】

试题分析：如图所示，由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，可得k>l,b<l.因此可知正比例函数y=kx

b

的图象经过第一、三象限，反比例函数y=2的图象经过第二、四象限.综上所述，符合条件的图象是C选项.

x

故选C.

考点：1、反比例函数的图象；2、一次函数的图象；3、一次函数图象与系数的关系

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、§

5

【解题分析】

试题分析：根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形

ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长：

根据勾股定理得："+42=5,

由网格得：SAABC=-X2X4=4,且SAABC=LAC・BD=LX5BD,

222

1”,8

A-x5BD=4,解得：BD=-.

25

考点：1.网格型问题；2.勾股定理；3.三角形的面积.

14、（2,273）

【解题分析】

分析：首先解直角三角形得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形钻与AOC。是以点。为位似中

心的位似图形，相似比是左，AQ钻上一点的坐标是（乂丁），则在AOC。中，它的对应点的坐标是（质,。）或

（-kx,-ky）,进而求出即可.

详解：。"与AOC。是以点。为位似中心的位似图形，ZOCD=90，

.-.ZOAB=90°.

ZAOB=60»若点5的坐标是（6,0）,

OA=OB-cos60°=6x—=3.

2

过点A作AE，O£>交6©于点E.

OE=JAE=",

22

点A的坐标为：j|，乎j

AOAB与NOCD的相似比为3:4,

「343-734、/f-\

点C的坐标为：，即点C的坐标为：(2,2竟).

点睛：考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.

15、2(m+2)(m-2)

【解题分析】

先提取公因式2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式.

【题目详解】

2m2-8,

=2(m2-4),

=2(m+2)(m-2)

【题目点拨】

本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提

取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法，十字相乘等方法分解.

16、%<—1

【解题分析】

不等式kx+b-(x+a)>0的解集是一次函数yi=kx+b在y2=X+a的图象上方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答.

【题目详解】

解：不等式乙+人一（x+a）>0的解集是x<—L

故答案为：x<—l.

【题目点拨】

本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或

小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横

坐标所构成的集合.

17、673

【解题分析】

多边形的外角和等于360。，因为所给多边形的每个外角均相等，据此即可求得正多边形的边数，进而求解.

【题目详解】

正多边形的边数是：360。+60。=6.

正六边形的边长为2cm,

由于正六边形可分成六个全等的等边三角形，

且等边三角形的边长与正六边形的边长相等，

所以正六边形的面积=6x，><sin60°x22=6V3cm2.

2

故答案是：6A/3•

【题目点拨】

本题考查了正多边形的外角和以及正多边形的计算，正六边形可分成六个全等的等边三角形，转化为等边三角形的计

算.

18、6

【解题分析】

试题分析：由题意得：AB=AO=CO,即AC=2AB,且OE垂直平分AC,

/.AE=CE,

设AB=AO=OC=x,

则有AC=2x,ZACB=30°,

在R3ABC中，根据勾股定理得：BC=V3x,

在RtAOEC中，ZOCE=30°,

11

:.OE=-EC,即nnBE=—EC,

22

VBE=3,

，OE=3,EC=6,

则AE=6

故答案为6.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)y=-20%+320(4<%<16)；(2)80米/分；(3)6分钟

【解题分析】

(1)根据图示，设线段AB的表达式为：y=kx+b,把把(4,240),(16,0)代入得到关于k,b的二元一次方程组,

解之，即可得到答案，

(2)根据线段OA,求出甲的速度，根据图示可知：乙在点B处追上甲，根据速度=路程+时间，计算求值即可，

(3)根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，结合(2)的结果，分别计算出相遇后，

到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案.

【题目详解】

(1)根据题意得:

设线段AB的表达式为：y=kx+b(4<x<16),

把(4,240),(16,0)代入得:

'4左+5=240

‘16左+匕=0'

左=—20

解得：<

b=320

即线段AB的表达式为：y=-20x+320(4<x<16),

240

(2)又线段OA可知：甲的速度为：==60(米/分),

4

240+(16-4)x60

乙的步行速度为:=80(米/分),

16-4

答：乙的步行速度为80米/分，

(3)在B处甲乙相遇时，与出发点的距离为：240+(16-4)x60=960(米),

与终点的距离为：2400-960=1440(:米)，

1440

相遇后，到达终点甲所用的时间为：---24(分)，

60

1440

相遇后，到达终点乙所用的时间为：--=18(分)，

80

24-18=6(分),

答：乙比甲早6分钟到达终点.

【题目点拨】

本题考查了一次函数的应用，正确掌握分析函数图象是解题的关键.

12

20、(1)}(2)列表见解析，7-

oo

【解题分析】

试题分析：(1)一共有3种等可能的结果总数，摸出标有数字2的小球有1种可能，因此摸出的球为标有数字2的小

球的概率为1(2)利用列表得出共有9种等可能的结果数，再找出点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)

的结果数，可求得结果.

试题解析：(1)P(摸出的球为标有数字2的小球)=：;(2)列表如下：

小华-102

小丽

-1(-1,-1)(-1,0)(-1,2)

0(0,-1)(0,0)(0,2)

2(2,-1)(2,0)(2,2)

共有9种等可能的结果数，其中点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的结果数为6,

_6_2

••1，占M兢女力nEHSF?京的市右弦网域内、————・

考点：1列表或树状图求概率；2平面直角坐标系.

21、(1)见解析；(2)275

【解题分析】

分析：

(1)如下图，连接OD,由OA=OD可得NDAO=NADO,结合NCAD=NDAB,可得NCAD=NADO,从而可得

ODZ/AC,由此可得NC+NCDO=180。，结合NC=90。可得NCDO=90。即可证得CD是。O的切线；

(2)如下图，连接BD,由AB是。O的直径可得NADB=9(F=NC,结合NCAD=NDAB可得△ACDs^ADB,由

ADAB

此可得——=——，在RtAABD中由AD=6,AB=9易得BD=,由此即可解得CD的长了.

CDBD

详解：

(1)如下图，连接OD.

VOA=OD,

:.ZDAB=ZODA,

VZCAD=ZDAB,

.\ZODA=ZCAD

AAC/ZOD

.\ZC+ZODC=180o

VZC=90o

ZODC=90°

/.OD±CD,

；.CD是。。的切线.

(2)如下图，连接BD,

；AB是。O的直径，

...NADB=90°,

VAB=9,AD=6,

•••BD=792-62=A=35

,/ZCAD=ZBAD,ZC=ZADB=90°,

/.△ACD^AADB,

.AD_AB

••一9

CDBD

.69

••布—访‘

=26.

点睛:这是一道考查“圆和直线的位置关系与相似三角形的判定和性质”的几何综合题，作出如图所示的辅助线，熟悉“圆

的切线的判定方法”和“相似三角形的判定和性质”是正确解答本题的关键.

22、(1)11；⑵y=3.6i+90；(3)该市18岁男生年龄组的平均身高大约是174cm左右.

【解题分析】

(1)根据统计图仔细观察即可得出结果(2)先设函数表达式，选取两个点带入求值即可(3)先设函数表达式，选取

两个点带入求值，把x=18带入预测即可.

【题目详解】

解：(1)由统计图可得，

该市男学生的平均身高从11岁开始增加特别迅速，

故答案为：11;

(2)设直线A8所对应的函数表达式y=kx+b,

•图象经过点(7,115.2)、Q1,129.6),

115.2=7左+人

则《，

129.6=11左+匕

[k=3.6

解得《.

b=90

即直线A3所对应的函数表达式：y=3.6x+90；

(3)设直线CZ＞所对应的函数表达式为：y=mx+n,

135.6=12/〃+〃[m=6.4

\，得，

154.8=15m+n[〃=58.8

即直线C。所对应的函数表达式为：y=6.4x+58.8,

把x=18代入y=6.4x+58.8得y=174,

即该市18岁男生年龄组的平均身高大约是174c机左右.

【题目点拨】

此题重点考察学生对统计图和一次函数的应用，熟练掌握一次函数表达式的求法是解题的关键.

23、①结论一正确，理由见解析；②结论二正确，S四QEFP=--S

24

【解题分析】

试题分析：

(1)由已知条件易得△BEQs^DAQ,结合点Q是BD的三等分点可得BE：AD=BQ：DQ=1：2,再结合AD=BC

即可得到BE：BC=1：2,从而可得点E是BC的中点，由此即可说明甲同学的结论①成立；

(2)同(1)易证点F是CD的中点，由此可得EF〃BD,EF=-BD,从而可得ACEFsaCBD,则可得得到

2

111,..1—q311―q

SACEF=ISACBD=~S平行四边形ABCD=§S,结合S四边形AECF=5S可得SAAEF=~S,由QP=—BD,EF=—BD可得QP：EF=2：

415

3,结合AAQPs^AEF可得SAAQP=—SAAEF=—S,由此可得S四边彩QEFP=SAAEF-SAAQP=—S,从而说明乙的结论②

9624

正确；

试题解析：

甲和乙的结论都成立，理由如下：

(1)I•在平行四边形ABCD中，AD〃BC,

/.△BEQ^ADAQ,

又•••点P、Q是线段BD的三等分点，

ABE：AD=BQ：DQ=1：2,

；AD=BC,

ABE：BC=1：2,

点E是BC的中点，即结论①正确；

(2)和(1)同理可得点F是CD的中点，

1

；.EF〃BD,EF=-BD,

2

/.△CEF^ACBD,

.1_1_1

••SACEF=—SACBD-—S平行四边形ABCD=—S,

488

..11

•S四边彩AECF=SAACE+SAACF=—S平行四边形ABCD=—S，

22

.3

••SAAEF=S四边形AECF-SACEF=­S>

o

；EF〃BD,

/.△AQP^AAEF,

p11

又；EF=—BD,PQ=—BD,

23

/.QP：EF=2：3,

.41°

SAAQP=_SAAEF=­o,

96

315

•,•S四边彩QEFP=SAAEF-SAAQP=-S--S=—S»即结论②正确.

8624

综上所述，甲、乙两位同学的结论都正确.

24、(1)y=-lOx+740(44<x<52)；(2)当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；(3)将足球

纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元.

【解题分析】

(1)售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨(x-44)元，每天销售量减少10(x-44)本，所

以y=300-10(x-44),然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；

(2)利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到(x-40)(-lOx+740)=2400,然后解方程后利用x的范围确定销

售单价；

(3)利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到卬=(x-40)(-lOx+740),再把它变形为顶点式，然后利用二次函

数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可.

【题目详解】

(1)y=300-10(x-44),

即y=-lOx+740(44<x<52)；

(2)根据题意得(x-40)(-lOx+740)=2400,

解得xi=50,X2=64(舍去)，

答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；

(3)w=(x-40)(-10x+740)

=-10x2+1140x-29600

=-10(x-57)2+2890,

当x<57时，w随x的增大而增大，

而44<x<52,

所以当x=52时，w有最大值，最大值为-10(52-57)2+2890=2640,

答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元.

【题目点拨】

本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的

解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

25、ZCMA=35°.

【解题分析】

根据两直线平行，同旁内角互补得出NC钻=70°,再根据AM是/G钻的平分线，即可得出钻的度数，再由

两直线平行，内错角相等即可得出结论.

【题目详解】

'：AB//CD,：.ZACD+ZCAB=1SO°.

又：NACD=UO。，AZCAB=70°,由作法知，AM是NC4B的平分线，AZMAB=-ZCAB=35°.