初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题03 分式方程(含答案)

专题03分式方程考点精讲1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.2.能解可化为一元一次方程的分式方程.3.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.考点解读考点1：解分式方程①分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．②解方式方程的解法步骤：（1）去分母，将分式方程化为整式方程；（2）解所得的整式方程；（3）检验：把所求得的x的值代入最简公分母中，若最简公分母为0，则应舍去．考点二：分式方程的根①依据分式方程的增根确定字母参数的方法将分式方程化为整式方程用含有字母参数的代数式表示x（3）根据情况确定值②依据分式方程的增根确定字母参数的方法先将分式方程转化为整式方程由题意求出增根（3）将增根代入所化得的整式方程，解出字母考点3：分式方程的应用①列分式方程解应用题的一般步骤(1)审题；(2)设未知数；(3)列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验：(6)作答．在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.②常用公式：（1）数量问题；（2）销售问题（利润=售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（3）工程问题①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量（4）行程问题（路程=速度×时间）；考点突破1．下列各式中，不是分式方程的是（）A． B． C． D．2．下列关于x的方程是分式方程的为（）A．﹣x＝ B．＝1﹣ C．+1＝ D．＝3．关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（）A．m＞2且m≠3 B．m＞2 C．m≥2且m≠3 D．m≥24．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程＝的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣14 B．﹣15 C．﹣16 D．﹣175．下列说法：①＝是分式方程；②x＝1或x＝﹣1是分式方程＝0的解；③分式方程＝转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x（x+4）；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3＝＝﹣，则方程x⊗（﹣1）＝﹣1的解是（）A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝77．x为实数，，那么x2+3x的值为（）A．1 B．﹣4或1 C．﹣4 D．4或﹣18．关于x的方程中，其中的解为（）A．﹣4.2 B．4 C．4.﹣2 D．无答案9．如果关于x的分式方程无解，则实数m＝．10．方程的解为x＝．11．用换元法解分式方程时，若设，则原方程可以化为整式方程．12．若关于x的分式方程有增根，则a的值为．13．小强根据学习函数的经验，对函数y＝；图象与性质进行了探究，下面是小强的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数y＝；的自变量x的取值范围是；（2）如表是y与x的几组对应值．x…﹣2m﹣01234…y…242n…表中m的值为，n的值为；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数y＝的大致图象；（4）结合函数图象，请写出函数y＝的一条性质：．（5）解决问题：如果方程＝2a﹣1的实数根有2个，那么a的取值范围是．14．以下是小明同学解方程的过程．【解析】方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2．…第一步解得x＝4．…第二步检验：当x＝4时，x﹣3＝4﹣3＝1≠0．…第三步所以，原分式方程的解为x＝4．…第四步（1）小明的解法从第步开始出现错误；（2）写出解方程的正确过程．15．阅读下面材料，解答后面的问题：解方程：﹣＝0．解：设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y﹣＝0的解，∴当y＝2时，＝2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，＝﹣2，解得：x＝．经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x＝﹣1或x＝．上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：（1）若在方程+＝中，设＝y，则原方程可化为，原方程的解为；（2）模仿上述换元法解方程：﹣1＝0．16．已知关于x的分式方程+＝（1）若方程的增根为x＝1，求m的值（2）若方程有增根，求m的值（3）若方程无解，求m的值．

参考答案1．【解答】解：A，B，C方程中分母中都含有字母，都是分式方程，D.方程分母中不含未知数，故不是分式方程．故选：D．【点拨】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．2．【解答】解：A.方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B.方程分母中含未知数x，故是分式方程；C.方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数；D.方程分母中不含未知数，故不是分式方程．故选：B．【点拨】本题主要考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．3．【解答】解：去分母得m﹣3＝x﹣1，解得x＝m﹣2，∵x＞0且x≠1，即m﹣2＞0且m﹣2≠1，∴m＞2且m≠3．故选：A．【点拨】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．也考查了解一元一次不等式．4．【解答】解：∵，由①得：2x+2a≤1+3x．∴x≥2a﹣1．由②得：3x﹣2＞4x﹣3．∴x＜1．∵原不等式组有解．∴2a﹣1＜1．∴a＜1．在分式方程两边同乘（y﹣3）得：﹣2﹣ay＝4﹣2（y﹣3）．∴（a﹣2）y＝﹣12．∵方程的解为正整数．∴a﹣2≠0，∴a≠2．∴y＝．∵方程的解为正整数．y≠3∴a﹣2＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，﹣12．∴a＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10．∵a＜1．∴a＝0，﹣1，﹣4，﹣10．0+（﹣1）+（﹣4）+（﹣10）＝﹣15．故选：B．【点拨】本题考查一元一次不等式组，分式方程的解，将不等式组的解集和分式方程的解表示出来，再确定a的范围是求解本题的关键．5．【解答】解：①＝是分式方程，正确；②x＝1或x＝﹣1是分式方程＝0的解，分母为0，应为增根，错误；③分式方程＝转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x（x+4），正确；④解分式方程时不一定会出现增根，错误．则正确的有2个，故选：B．【点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6．【解答】解：根据题中的新定义化简得：＝﹣1，去分母得：2＝6﹣x+1，解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故选：B．【点拨】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．7．【解答】解：令x2+3x＝t，则有﹣t＝3，方程两边同时乘t，得4﹣t2＝3t，∴t2+3t﹣4＝0，∴t＝﹣4或t＝1，当x2+3x＝﹣4时x无解，∴x2+3x＝1，故选：A．【点拨】本题考查换元法解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意验证换元所求的根是否都满足题意是解题的关键．8．【解答】解：设y＝，则原方程可变为y2﹣2y﹣8＝0，解得y1＝﹣2，y2＝4，∴＝﹣2（舍去），＝4，故选：B．【点拨】本题考查了用换元法解方程，解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母y代替解方程．9．【解答】解：，mx+3x﹣12＝7，（m+3）x＝19，∵方程无解，∴m+3＝0或x＝＝4，∴m＝﹣3或，故答案为：﹣3或．【点拨】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．10．【解答】解：，1+2（x﹣2）＝﹣1﹣x，解得：x＝，检验：当x＝时，x﹣2≠0，∴x＝是原方程的根．【点拨】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．11．【解答】解：设，则，，代入原方程得，整理得，5y2+y﹣1＝0．故答案为：5y2+y﹣1＝0．【点拨】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．12．【解答】解：去分母，得：a+1＝2（x﹣3），由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程，可得：a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点拨】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．13．【解答】解：（1）不论x为何值，分母都不为0，故答案为：全体实数；（2）由表格中可以看出，函数关于x＝1对称，∴m＝﹣1，n＝；故答案为：m＝﹣1，n＝；（3）如图所示：；（4）①图象位于一二象限，②当x＝1时，函数有最大值，最大值是4，③当x＜1时，y随x的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．（任意写一条即可）；故答案为：①图象位于一二象限，②当x＝1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．（任意写一条即可）；（5）根据图象可得：0＜y≤4．当0＜＜4时方程实数根有2个，即0＜2a﹣1＜4，解得：＜a＜，故答案为：．【点拨】本题考查了分式方程的解、函数的图象和性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键．14．【解答】解：（1）小明的解法从第一步开始出现错误．故答案为：一．（2）方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3）．解得x＝4．检验：当x＝4时，x﹣3＝4﹣3＝1≠0．所以，原分式方程的解为x＝4．【点拨】本题考查解分式方程的问题，确定最简公分母，然后去分母是解分式方程的首要步骤，在去分母时不要漏乘，注意对分式方程要检验．15．【解答】解：（1）设＝y，则原方程化为：y+＝，方程两边同时乘以2y得：2y2﹣5y+2＝0，解得：y＝或2，经检验：y＝和2都是方程y+＝的解．当y＝时，＝，解得x＝2；当y＝2时，＝2，解得：x＝﹣1．经检验：x＝和x＝﹣1是原分式方程的解，故答案为，y+＝，x＝或x＝﹣1（2）原方程化为：﹣＝0，设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，方程两边同时乘以y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，经检验：y＝±1都是方程y﹣＝0的解．当y＝1时，＝1，该方程无解；当y＝﹣1时，＝﹣1，解得：x＝﹣．经检验：x＝﹣是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x＝﹣．【点拨】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．16．【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，移项合并得