江苏省南京江北新区七校联考2024届中考数学模试卷含解析

江苏省南京江北新区七校联考2024届中考数学模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知函数y=（hl）P4x+4的图象与x轴只有一个交点，则化的取值范围是（）

A.右2且时1B.且厚1

C.k=2D.«=2或1

2.若关于x的一元二次方程，-2x+m=0没有实数根，则实数"的取值是（）

A.m<lB.m>-1C.m>\D.m<-1

3.一组数据：6,3,4,5,7的平均数和中位数分别是（）

A.5,5B.5,6C.6,5D.6,6

4.如图，数轴上有三个点A、B、C,若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（）

_|--1----1----1---1---1---1----1---

ACB

A.-2B.0C.1D.4

5.若a是一元二次方程x2-x-1=0的一个根，则求代数式a3-2a+l的值时需用到的数学方法是（）

A.待定系数法B.配方C.降次D.消元

6.下列图形都是」由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共

有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（)

O

OO

<><><>

<^>

0*0o_

<><>OOOOOO<>OO

图①图②图③图④

A.73B.81C.91D.109

7.二次函数7=0“2+取+。（存0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac-b2<0；②%+2cV0；③4a+cV2Z>；®mCam+b）

+b<a（g-1）,其中结论正确的个数是（）

C.3D.4

8.若函数y=kx-b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x-3）-b>0的解集为（）

9.下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其左视图是（）

12.地球上的陆地面积约为149000000千米2,用科学记数法表示为（）

A.149x106千米2B.14.9x107千米2

C.1.49x108千米2D.0.149x109千2

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.计算：-=.

a2a

14.已知。Oi、。。2的半径分别为2和5,圆心距为d,若。Oi与。。2相交，那么d的取值范围是

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形。45c是正方形，点C（0,4）,。是04中点，将AC。。以C为旋转

中心逆时针旋转90。后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点。的对应点的坐标：.

16.对于函数丫=£,若x>2,贝!Jy3（填“>"或

x

17.如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的

方程组为

18.如图，已知圆柱底面周长为6cm,圆柱高为2cm,在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属

丝的周长最小为cm.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，已知。O中，AB为弦，直线PO交。O于点M、N,POLAB于C,过点B作直径BD,连接AD、

BM、AP.

(1)求证：PM〃AD；

(2)若NBAP=2NM,求证：PA是OO的切线;

(3)若AD=6,tan/M=—,求。O的直径.

2

20.（6分）如图，在△ABC中，

（1）求作：ZBAD=ZC,AD交BC于D.（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）.

（2）在（1）条件下，求证：AB2=BD«BC.

21.（6分）先化简，再求值：式\止7，，其中x=L

22.（8分）如图，在.ABC中，AB=AC,AE是角平分线，3M平分NABC交AE于点〃，经过B〃两点的

0交BC于点、G,交A5于点R,FB恰为。的直径.

24.（10分）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，AA3。的边A3垂直于x轴，垂足为点8,反比例函数y

k

=—（x>0）的图象经过4。的中点C,交AB于点O,且AO=L设点A的坐标为（4,4）则点C的坐标为；若

X

点。的坐标为（4,"）.

k

①求反比例函数的表达式；

X

②求经过C,O两点的直线所对应的函数解析式；在⑵的条件下，设点E是线段上的动点（不与点C,。重合），

过点E且平行y轴的直线/与反比例函数的图象交于点F,求4OE尸面积的最大值.

25.（10分）如图，平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于A,B两点，与反比例函数y=\x>0）

的图象交于点M(a,4).

(1)求反比例函数y=-(x>0)的表达式；

X

(2)若点C在反比例函数y=K(x>0)的图象上，点D在x轴上，当四边形ABCD是平行四边形时，求点D的坐标.

X

26.(12分)如图，已知：AB是OO的直径，点C在。O上，CD是。。的切线，ADLCD于点D,E是AB延长线

上一点，CE交。O于点F,连接OC、AC.

(1)求证：AC平分NDAO.

(2)若NDAO=105。，ZE=30°

①求NOCE的度数；

②若。。的半径为2行，求线段EF的长.

27.(12分)如图，已知：△ABC中，AB=AC,M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE.求

证：MD=ME.

A

D/\E

B

A/

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、D

【解题分析】

当k+l=O时，函数为一次函数必与x轴有一个交点；当k+l#)时，函数为二次函数，根据条件可知其判别式为0,可

求得k的值.

【题目详解】

当k-l=0,即k=l时，函数为y=-4x+4,与x轴只有一个交点；

当k-l#0,即k丹时，由函数与x轴只有一个交点可知，

，△=(-4)2-4(k-1)x4=0,

解得k=2,

综上可知k的值为1或2,

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查函数与x轴的交点，掌握二次函数与x轴只有一个交点的条件是解题的关键，解决本题时注意考虑一次

函数和二次函数两种情况.

2、C

【解题分析】

试题解析：关于x的一元二次方程％2一2%+加=0没有实数根，

A=Z?2—4ac=(-2)2-4xlxm=4-4m<0,

解得：m>l.

故选C.

3、A

【解题分析】

试题分析：根据平均数的定义列式计算，再根据找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或

两个数的平均数)为中位数解答.

平均数为：=x(6+3+4+1+7)=1,

按照从小到大的顺序排列为：3,4,1,6,7,所以，中位数为：1.

故选A.

考点：中位数；算术平均数.

4、C

【解题分析】

【分析】首先确定原点位置，进而可得C点对应的数.

【题目详解】I•点A、B表示的数互为相反数，AB=6

，原点在线段AB的中点处，点B对应的数为3,点A对应的数为-3,

又；BC=2,点C在点B的左边，

...点C对应的数是1,

故选C.

【题目点拨】本题主要考查了数轴，关键是正确确定原点位置.

5、C

【解题分析】

根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.

【题目详解】

由题意可知：a2-a-l=0,

/.a2-a=l,

或a2-l=a

a3-2a+l

=a3-a-a+l

=a(a2-l)-(a-1)

=a2-a+l

=1+1

=2

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义.

6、C

【解题分析】

试题解析：第①个图形中一共有3个菱形，3=M+2；

第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；

第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；

2

第n个图形中菱形的个数为：n+n+l;

第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=1.

故选C.

考点：图形的变化规律.

7、C

【解题分析】

试题解析：•••图象与x轴有两个交点，

，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，

.\b2-4ac>0,

•*.4ac-b2<0,

①正确；

..b

.--=-1,

2a

'.b=2a,

Va+b+c<0,

1b+b+cVO,3b+2c<0,

2

②是正确；

•.•当x=-2时，y>0,

4a-2b+c>0,

:.4a+c>2b,

③错误；

•.•由图象可知X=-1时该二次函数取得最大值,

•*.a-b+c>am2+bm+c(mW-1).

Am(am+b)<a-b.故④正确

.•.正确的有①②④三个，

故选C.

考点：二次函数图象与系数的关系.

【题目详解】

请在此输入详解！

8、C

【解题分析】

根据函数图象知：一次函数过点(2,0)；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出k、b的关系式；然后将k、b

的关系式代入k(x-3)-b>0中进行求解即可.

【题目详解】

解：•.•一次函数y=kx-b经过点(2,0),

，2k-b=0,b=2k.

函数值y随x的增大而减小，则k<0；

解关于k(x-3)-b>0,

移项得：kx>3k+b,即kx>lk；

两边同时除以k,因为kVO,因而解集是xVL

故选C.

【题目点拨】

本题考查一次函数与一元一次不等式.

9、B

【解题分析】

解：找到从左面看所得到的图形，从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2,3,1.

故选B.

10、D

【解题分析】

直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案.

【题目详解】

y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9,

即二次函数y=-x2-4x+5的最大值是9,

故选D.

【题目点拨】

此题主要考查了二次函数的最值，正确配方是解题关键.

11、C

【解题分析】

先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数.

【题目详解】

■:cos30°=-----,

2

...cos30。的相反数是

2

故选C.

【题目点拨】

本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念.

12、C

【解题分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中心同<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a

时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对

值小于1时，n是负数.

解：149000000=1.49x2千米1.

故选C.

把一个数写成axion的形式，叫做科学记数法，其中lW|a|V10,n为整数.因此不能写成149x1()6而应写成1.49x2.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

1

13、—.

2a

【解题分析】

根据异分母分式加减法法则计算即可.

【题目详解】

…211

原式=7；-----丁=丁•

2a2a2a

故答案为：•

【题目点拨】

本题考查了分式的加减，关键是掌握分式加减的计算法则.

14、3<d<7

【解题分析】

若两圆的半径分别为R和r,且电r,圆心距为d：相交，贝!|R-r<d<R+r,从而得到圆心距O1O2的取值范围.

【题目详解】

•；OOi和。02的半径分别为2和5,且两圆的位置关系为相交，

/.圆心距0102的取值范围为5-2<d<2+5,即3<d<7.

故答案为：3<d<7.

【题目点拨】

本题考查的知识点是圆与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握圆与圆的位置关系.

15、（4,2）.

【解题分析】

利用图象旋转和平移可以得到结果.

【题目详解】

解：绕点C逆时针旋转90。，得到△CAD，，

贝！JBD'=OD=2,

点。坐标为（4,6）；

当将点C与点。重合时，点C向下平移4个单位，得到△040”,

点。向下平移4个单位.故点。”坐标为（4,2）,

故答案为（4,2）.

【题目点拨】

平移和旋转：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形

的平移运动，简称平移.

定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转

动的角度叫做旋转角.

16、＜

【解题分析】

根据反比例函数的性质即可解答.

【题目详解】

当x=2时，y——=3,

-2

.左=6时，

随x的增大而减小

.'.x>2时，y<3

故答案为：V

【题目点拨】

此题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键在于利用反比例函数图象上点的坐标特点判断函数值的取值范围.

卜+2y=75

、x=3y

【解题分析】

根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y,长又是75厘米，故x+2y=75,长方形的宽可以表示为2x,或x+3y,故

2x=3y+x,整理得x=3y,联立两个方程即可.

【题目详解】

根据图示可得x+2y一=75，

Ix=3y

x+2y=75

故答案是：

x=3y

【题目点拨】

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽.

18、2而

【解题分析】

要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即

可.

【题目详解】

解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.

,圆柱底面的周长为6cm,圆柱高为2cm,

•二AB=2cm,BC=BC'=3cm,

/.AC2=22+32=13,

/.AC=cm,

这圈金属丝的周长最小为2AC=2，Iicm.

故答案为2.

【题目点拨】

本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高,

本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1；

【解题分析】

（1）根据平行线的判定求出即可；（2）连接OA,求出NOAP=NBAP+NOAB=NBOC+NOBC=90。，根据切线的判

定得出即可；（3）设BC=x,CM=2x,根据相似三角形的性质和判定求出NC=^x,求出MN=2x+^x=2.1x,

22

OM=-MN=1.21x,OC=0.71x,根据三角形的中位线性质得出0.71x=^AD=3,求出x即可.

22

【题目详解】

（1）；BD是直径，

...NDAB=90°,

VPO1AB,

.,.ZDAB=ZMCB=90°,

；.PM〃AD；

（2）连接OA,

VOB=OM,

:.NM=NOBM,

ZBON=2ZM,

,:NBAP=2NM,

/.ZBON=ZBAP,

VPO1AB,

.,.ZACO=90°,

.,.ZAON+ZOAC=90°,

VOA=OB,

:.ZBON=ZAON,

:.NBAP=NAON,

/.ZBAP+ZOAC=90°,

.,.ZOAP=90°,

VOA是半径，

；.PA是。O的切线；

(3)连接BN,

则NMBN=90°.

,1

"."tanZM=—，

2

,BC1

••=9

CM2

设BC=x,CM=2x,

；MN是。O直径，NM1AB,

，ZMBN=ZBCN=ZBCM=90°,

/.ZNBC=ZM=900-ZBNC,

/.△MBC^ABNC,

.BC_MC

*'2VC-BC*

.\BC2=NCXMC,

1

•*.NC=-x,

2

1

/.MN=2x+—x=2.1x,

2

1

/.OM=-MN=1.21x,

2

OC=2x-1.21x=0.71x,

是BD的中点，C是AB的中点，AD=6,

1

/.OC=0.71x=-AD=3,

2

解得：x=4,

.,.MO=1.21x=1.21x4=l,

二。0的半径为1.

【题目点拨】

本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此

题的关键，此题有一定的难度.

20、(1)作图见解析；(2)证明见解析;

【解题分析】

(1)①以C为圆心，任意长为半径画弧，交CB、CA于E、F；②以A为圆心，CE长为半径画弧，交AB于G；③

以G为圆心,EF长为半径画弧,两弧交于H；④连接AH并延长交BC于D,则NBAD=NC；(2)证明△ABD^ACBA,

然后根据相似三角形的性质得到结论.

【题目详解】

(1)如图，NBAD为所作;

(2)VZBAD=ZC,NB=NB

.,.△ABD^ACBA,

AAB：BC=BD：AB,

/.AB2=BD«BC.

【题目点拨】

本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分

线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了相似三角形的判定与性质.

【解题分析】

这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先化简，然后再代入求值.

【题目详解】

解：原野詈亨・击《

_1_1

X-lX

_x_xT

x(x-l)x(x-l)

=1

x(x-l)'

当x=l时，原式=c1=[.

【题目点拨】

本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的运算法则.

3

22、(1)证明见解析；(2)二.

2

【解题分析】

⑴连接OM,证明OM〃BE,再结合等腰三角形的性质说明AELBE,进而证明OMLAE；

⑵结合已知求出AB,再证明△AOM^AABE,利用相似三角形的性质计算.

【题目详解】

⑴连接OM,贝1]OM=OB,

/.Z1=Z2,

VBM平分NABC,

.\Z1=Z3,

:.Z2=Z3,

；.OM〃BC,

...NAMO=NAEB,

在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，

.*.AE±BC,

ZAEB=90°,

...NAMO=90°,

AOM1AE,

•.•点M在圆O上，

，AE与。O相切；

c

(2)在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线,

.,.BE=-BC,ZABC=ZC,

2

1

VBC=4,cosC=—

3

ABE=2,cosZABC=-,

3

在△ABE中，ZAEB=90°,

BE

*.AB=---------------

cosZABC

设。O的半径为r,则AO=6-r,

VOM/7BC,

AAAOM^AABE,

..OMAO

…・"-AB'

.r_6—r

••——,

26

3

解得厂=7，

2

。的半径为三3.

2

【题目点拨】

本题考查了切线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形等知识，综合性较强，正确添

加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.

23、(1)证明见解析(2)276

【解题分析】

(1)连结AO,如图，根据圆周角定理，由E是8。的中点得到=由于NACB=2N£4B则

ZACB=ZDAB,，再利用圆周角定理得到ZADB=90°,则ZDAC+ZACB=90S所以ZDAC+ZDAB=90°,于是

根据切线的判定定理得到AC是。O的切线；

(2)先求出。尸的长，用勾股定理即可求出.

【题目详解】

解：（1）证明：连结AO,如图，

是8。的中点，AZDAB=2ZEAB,

■:ZACB=2/EAB,

：.ZACB^ZDAB,

,：AB是。。的直径，/.NADB=90°,

：.ZDAC+ZACB=90°,

：.ZDAC+ZDAB=90°,即ABAC=90°,

...AC是。。的切线；

(2)VZEAC+ZEAB=90°,ZDAE+ZAFD=90°,ZEAD^ZEAB,

:.ZEAC=ZAFD,:.CF=AC=6,:.DF=2.

,:AD2=AC2-CD2=62-42=20,

•*-AF=y/Alf+DF2=V20+22=2屈

【题目点拨】

本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，属于圆的综合题，注意切线的证明方法，是高频考点.

41_

24、(1)C(2,2)；⑵①反比例函数解析式为y=—；②直线CO的解析式为y=--x+1；(1)相=1时，SAOEF最大，最

x2

大值为一.

4

【解题分析】

(1)利用中点坐标公式即可得出结论；

(2)①先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C,D坐标代入反比例函数中即可得出结论；

②由n=l,求出点C,D坐标，利用待定系数法即可得出结论；

(1)设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m的函数关系式即可得出结论.

【题目详解】

⑴••,点C是。4的中点，4(4,4),0(0,0),

<4+04+0、

：.C

22

，C(2,2)；

故答案为(2,2)；

(2)@VAD=1,0(4,n),

n+1),

•••点C是04的中点,

n+3

・・・C(2,

2

k

・・•点C,D(4,〃)在双曲线，=一上,

x

,n+3

k1=2x-------

2

k=4n

〃二1

[k=4

4

・・・反比例函数解析式为y=2；

x

②由①知，n=l,

/.C(2,2),。(4,1),

设直线CD的解析式为y=ax+儿

.(2a+b-2

/.《，

4〃+b=1

b=3

二直线CD的解析式为y=-1x+l；

⑴如图，由(2)知，直线CZ＞的解析式为y=-gx+L

由(2)知，C(2,2),。(4,1),

.\2<m<4,

4

-：EF//y轴交双曲线y二—于耳,

x

/.F(m,一),

m

14

=

••EF-—m+\--9

2m

11411,1,1

:.SAOEF=—(——机+1--)*相=—(--nr+lm-4)=-—(m-1)n—,

22m2244

V2<m<4,

；.机=1时，SAOEF最大，最大值为工

4

【题目点拨】

此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立SAOEF与m的函数关

系式.

4

25、(1)y=-(1)(1,0)

x

【解题分析】

(1)将点M的坐标代入一次函数解析式求得a的值；然后将点M的坐标代入反比例函数解析式，求得k的值即可；

(1)根据平行四边形的性质得到BC〃AD且BD=AD,结合图形与坐标的性质求得点D的坐标.

【题目详解】

解：(1),点M(a,4)在直线y=lx+l上，

：.4=la+l,

解得a=l,

k

•*.M(1,4),将其代入y=—得到：k=xy=lx4=4,

x

k4

反比例函数y=—(x>0)的表达式为y=—；

xx

(1)..,平面直角坐标系中，直线y=lx+l与x轴，y轴分别交于A,B