2022-2023学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（A卷）

2022-2023学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（A卷）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（5分）已知zeC,i为虚数单位，若则z=（）

A.1-zB.-1-zC.-1+zD.i

2.（5分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知6=2,A=45°,8=60°,则。

=（）

2V6「

A.——B.2C.2A/2D.4

3

3.（5分）直线a,6互相平行的一个充分条件是（）

A.a,6都平行于同一个平面

B.a,6与同一个平面所成角相等

C.a,b都垂直于同一个平面

D.a平行于6所在平面

—>—>—>—>

4.（5分）在四边形A8CD中，已知（M+OC=OB+。。，则四边形48。为（）

A.矩形B.菱形

C.正方形D.平行四边形

5.（5分）某同学投掷一枚骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3,方差

为0.4,则点数2出现的次数为（）

A.0B.1C.2D.3

6.（5分）下列正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中点，则能满足48〃

平面MNP的是（）

7.（5分）在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A="第二次摸出

的球是红球”，事件8="两次摸出的球颜色相同"，事件C="第二次摸出的球是黄球"，若PG4）=|,

则下列结论中错误的是（）

2

A.P（B）=（B.P（C）=1-P（A）

41

C.PQ4u8）=gD.尸（ZnB）=言

8.（5分）如图，在长方体A5CD-A15C1D1中，AB=AAi=6,AZ）=8,E为棱AO上一点，且AE=6,

—>—>

平面上一动点。满足力Q-EQ=0,设P是该长方体外接球上一点，则P,。两点间距离的最大

值是（）

A.V34+2V6B.V34+V22C.V34+VT1D.V34+V6

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

（多选）9.（5分）已知复数z,其共轨复数为2,下列结论正确的是（）

A.z-z=|z|2B.z2=|z|2C.z+z=0D.\z\+|z|>\z+z\

（多选）10.（5分）国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为16.9摄氏

度，该年月平均气温如表1）所示，并绘制如图所示的折线图，则（）

月份

A.昆明月平均气温的极差小于郑州月平均气温的极差

B.昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差

C.郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数

D.郑州月平均气温的第一四分位数为10

（多选）11.（5分）平面向量a,b,c满足|a|=1,\b\=2,。与b夹角为5，且I。一c|=-c|,则下列

结论正确的是（）

A.日|的最小值为三B.而-占+日|的最小值为22

C.日―3+日—'的最大值为遮D.乙（力—办的最大值为1

（多选）12.（5分）如图，在长方形ABC。中，48=1,4。=4,点E,尸分别为边BC,AQ的中点，将

沿直线3歹进行翻折，将△€»£1沿直线DE进行翻折的过程中，则（）

A.直线48与直线CD可能垂直

B.直线AF与CE所成角可能为60°

C.直线AF与平面CDE可能垂直

D.平面A8F与平面CDE可能垂直

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）如图，由A,2两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件M="电路

是通路”包含的样本点个数为.

国

一TTTT

14.(5分)已知平面向量a=(2,0),b=(1,1),贝朋=(1,1)在a方向上的投影向量的模为.

15.(5分)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它

体现了数学的对称美，如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三

棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则直线与平面A8CD所成

角的正弦值为.

16.(5分)如图，四边形ABC。为筝形(有一条对角线所在直线为对称轴的四边形)，满足AO=3OC,

的中点为£,BE=3,则筝形ABC。的面积取到最大值时，AB边长为.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)关于龙的一元二次方程/+(a+1)x+4=0(a€R)有两个根xi,xi,其中刀1=1+百九

(1)求。的值；

(2)设xi,X2在复平面内所对应的点分别为A,B,求线段AB的长度.

18.(12分)在菱形A8CZ)中，AE=^AD,BF=^BC,记48=a,AD=b.

T.—T

(1)用a,b表示EF；

—>—>—>—>

(2)若BD•EF=AB•DA,求cosA的值.

19.(12分)如图，正方形ABC。是圆柱OOi的轴截面,EF是圆柱的母线，圆柱的体积为16TT.

(1)求圆柱。。1的表面积；

(2)若NABF=30°,求点P到平面BDE的距离.

20.(12分)现行国家标准GB2762-2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼

类及其制品中汞的最大残留量为LOmg/依，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取

了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值Cmg/kg),由测量结果制成如图所示的频率分布

直方图.

(1)求。的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；

(2)用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；

(3)从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量

有超标的概率.

21.(12分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，已知bcosC-ccosB

=2a.

(1)若c=a,求3的大小；

BCBD

(2)若c〈2a,过8作A8的垂线交AC于。，求S的取值范围•

22.(12分)如图，在矩形A8CD中，AB=瓜4。=4,点E是边上的动点，沿8E将△A8E翻折至

AA'BE,使二面角A-BE-C为直二面角.

(1)当AE=3时，求证：A'B±C£；

(2)当线段AC的长度最小时，求二面角C-AB-E的正弦值.

2022-2023学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（A卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（5分）已知z€C,i为虚数单位，若z・i=l-工则z=（）

A.1-iB.-1-iC.-1+z

-i+i-1-i

【解答】解：Z=^=-1—i.

故选：B.

2.（5分）在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别是mb,c,已知Z?=2,A=45°,3=60°,则〃

=（）

A.一

3

【解答】解：因为b=2,A=45°,3=60°,

由正弦定理可得,

sinAsinB'

_bsinA_2x^-_2>/6

一sinB—V3—3,

故选：A.

3.（5分）直线a,A互相平行的一个充分条件是（）

A.a,8都平行于同一个平面

B.a,6与同一个平面所成角相等

C.a,6都垂直于同一个平面

D.a平行于b所在平面

【解答】解：当a,6都平行于同一个平面时，两直线可能异面，A错误;

当a,b与同一个平面所成角相等时，直线。，。可能相交，B错误；

当a,b都垂直于同一个平面时，直线a,b一定平行，C正确；

当a平行于6所在平面时，a,万也可能异面，D错误.

故选：C.

4.（5分）在四边形ABCZ）中，已知Q4+OC=OB+。。，则四边形&8。£＞为（）

A.矩形B.菱形

C.正方形D.平行四边形

【解答】解：•••Oa+OCnOB+OD,

OA-OB=OD-OC,

T—>

：.BA=CD,

/.四边形ABCD为平行四边形.

故选：D.

5.（5分）某同学投掷一枚骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3,方差

为0.4,则点数2出现的次数为（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：设这五个数为XI,X2,X3,X4,X5,

则3）2+（久23）2+（%33）2+（久43）2+（Xg-3）2=2.

因为（看一3）2,i=1,2,3,4,5为正整数，

所以这五个数必有3个3,另外两个为2或4.

又XI+X2+X3+X4+X5=15,所以这五个数为3,3,3,2,4,

点数2出现的次数为1.

故选：B.

6.（5分）下列正方体中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,尸分别为其所在棱的中点，则能满足

平面MN尸的是（）

【解答】解：对于A：连接MB,NC,由图可知，A8与平面MNP相交，故不满足A8〃平面MNP,故

A错误;

A

对于8：如图所示，G,H,F,E分别是所在棱的中点，连接NH,NG,GF,FM,EM

则平面MNP和平面NGFMPH为同一平面，因为AB//EM,

因为与平面NGFMP”相交，所以不满足A8〃平面MNP,故8错误;

对于C：连接AD交MN与点、O,连接PO,因为O,尸分别为A。，8。中点,

所以尸。〃42,由线面平行的判定定理可知，A3〃平面MNP,故C正确；

对于。：D,F,£分别是所在棱的中点，连接。N,NF,FM,ME,PE,DP,AC,

平面DNFMEP与平面MNP为同一平面，

取AC的中点为。连接MO,由中位线定理可知，AB//MO,

因为与平面MNP相交，所以不满足A8〃平面MNP,故。错误；

故选：C.

7.（5分）在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A=“第二次摸出

的球是红球”，事件8=”两次摸出的球颜色相同"，事件C="第二次摸出的球是黄球"，若PG4）=|,

则下列结论中错误的是（）

2

A.P⑻=1B.P(C)=1-P(A)

41

C.尸(ZUB)=1D.PQ4n8)=击

【解答】解：依题意，事件A,。对立，P(A)+P(C)=1,故5正确；

设盒子中有m个红球，5-根个黄球，PQ4)=詈竺若+=架=看nm=2

JT-Jx*乙UJ

21121?2

p(anB)=b/=而，P(B)=|.-+|.J=j,故A。正确；

7

P(AUB)=PQ4)+P(B)-P{AnS)=YQ,故C错误.

故选：c.

8.(5分)如图，在长方体ABC。-A1B1C1D中，AB=AAi=6,AD=S,E为棱A。上一点，S.AE=6,

平面上一动点。满足

ArBER-EQ=O,设P是该长方体外接球上一点，则尸，。两点间距离的最大

值是（）

A.V34+2V6B.V34+V22C.V34+V1TD.V34+V6

【解答】解：以C为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

设。(x,y,z),长方体外接球球心记为。，

则。(3,4,3),A(6,8,0),B(0,8,0),E(6,2,0),Ai(6,8,6),

—>

•'•EQ=(%—6/y—2,z),AQ=(%—6/y—8,z),EB=(—6/6,0),

EAr=(0/6,6),OQ—(%—3/y—4,z—3).

9：EQ^AQ=0,

(x-6)2+(y-2)(y-8)+z^—0,①

—>—>—>

又动点。在面ALBE上，所以可设EQ=2石3+“£4,

x—6=—6/1(x=6—6A

贝ijy—2=6A+6〃，即y=2+62+6〃，②

、z=6〃(z=6〃

将②代入①中整理得2#+2”+2入尸入+u，③

在三棱锥A-A1BE中，AE=AB=AAi=6^.AE,AB,AAi两两互相垂直，

所以三棱锥A-AiBE为正三棱锥且底边BE=6V2,

当4。，面485时，|前|最小，

1111f~~r~TTt

在正三棱锥A-AiBE中，由等体积法有-x-x6x6x6=-x-x6«2x6«2xsin—xMQ|,解

32323

得前|二2V3,

—»______________________

又|EQ|=J(久-6>+(y—2,+Z2,

先代入②再代入③有|的|=536(2不+2/+2加)=64+”,

则60+〃=2痣,此时入+四有最大值，解得(％+=|.

-»—>—>

当点0与点E重合时，满足EQ=。，MQ|最大，此时(入+g”而=0,

9

则入+〃e[0,引，

—>

点。到外接球球心距离为|OQ|=J(x—3产+(y—4)2+(z—3尸,④

将②代入④中整理得|易|=536(242+2评+2川)—60(4+〃)+22,

又2人~+2|1~+2入|1=入+|1,所以|OQ|=，-24(4+〃)+22,

2T

因为4+〃6[0,1],所以当入+n=0时，lOQLaxU原，

因为长方体外接球半径为]、62+82+62=V34.

所以尸，。两点间距离的最大值为原+原.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的,

全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

（多选）9.（5分）已知复数z,其共辗复数为H下列结论正确的是（）

A.z-z=|z|2B.z2=\z\2C.z+z=0D.\z\+\z\>\z+z\

【解答】解：设z=〃+b，（a,Z?eR）,贝密=a—bi,

对于A,zz=（〃+/?，）•（〃-bi）=a2+b1,\z\2=（Va2+&2）2=a2+b2,则z•z=\z\2,故选项A正确；

对于5,2=（a+bi）2=）-伊+2abi,\z\2=（Va2+b2）2=a2+b2,则z2H团2,故选项3不正确；

对于C,z+z=（a+bi）+（a—bi）=2aH0,故选项C错误；

22

对于£）,\z\+\z\=2\la+b,|z+z|=2|a|,因为2X/Q2+"2/=2|a|,当且仅当8=0时等号

成立，所以|z|+团之|z+切，故选项。正确.

故选：AD.

（多选）10.（5分）国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为16.9摄氏

度，该年月平均气温如表1）所示，并绘制如图所示的折线图，则（）

月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月

昆明9.312.416.51921.621.521.321.220.416.812.410.5

郑州2.98.711.916.523.628.928.626.723.115.211.35.7

40

30

超20

照10

°012345678910111213

月份

A.昆明月平均气温的极差小于郑州月平均气温的极差

B.昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差

C.郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数

D.郑州月平均气温的第一四分位数为10

【解答】解：对于A,昆明月平均气温的极差为21.6-9.3=12.3,

郑州月平均气温的极差为28.9-2,9=26>12.3,故A正确；

对于8,由折线图可知，昆明月平均气温相较于郑州月平均气温更为集中,

所以昆明月平均气温的标准差小于郑州月平均气温的标准差，故B错误；

对于C,昆明的月平均气温按从小到大的顺序排列:

9.3,10.5,12.4,12.4,16.5,16.8,19,20.4,21.2,21.3,21.5,21.6,

16.8+19

则昆明月平均气温的中位数为一--二17.9,

郑州的月平均气温按从小到大的顺序排列：

2.9,5.7,8.7,11.3,11.9,15.2,16.5,23.1,23.6,26.7,28.6,28.9,

则郑州的月平均气温的中位数为=15.85V17.9,

郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数，故C正确；

1

对于。，因为12x《=3,

8.7+11.3,,.“

所以郑州月平均气温的第一四分位数为------------=10,故。正确.

2

故选：ACD.

TTT加TT_*—>

（多选）11.（5分）平面向量/b,京满足向=1,|b|=2,。与b夹角为且|a—c|二g—c|,则下列

结论正确的是（）

A.|c|的最小值为万B.|«-?|+论的最小值为22

—>—»T—»

C.\a-c\+\b-c|的最大值为百D.c-（Z?-c）的最大值为1

【解答】解：不妨设日=（1,0）,

—T—7T

由于网=2,a与b夹角为1，

则力=（1,遍）或b=（L-V3）,

设c=(%,y),则|(1一%,-y)|=1(1-x,-y)|或限1一%，-丫)|=|(1一%，-V3-y)|,

所以(1—%)2+(―y)2=(1—%)2+(V3—y)2或(1—%)2+(―y)2=(1—%)2+(―V3—y)2,

解得y=字或y=一鼻

则C—（%，字）或C=（%,—-^）9

对于A,|c|=J.+\之二乎,选项A正确；

对于8,当”=（%,字）时，设3=血c=OC,作点。关于直线”噂对称的点01,如图,

01

o

——>——I

22

则|a—c|+|c|=\CA\+\0C\=\CA\+\0rC\>\0xA\=(V3)+I=2；

对于C,当K=（x,亨）时，设I=OA,

c—OC,b=OB=(1，V3),如图,

r5tt

由于点C在直线y=与上运动，则|。川+|CB|无最大值,

同理当W=Q,-字)，此时5=(1,—遮)时，|高+&|也无最大值，选项C错误;

对于。，当”=(%,字)时，b=(1,V3),

则W-(b—c)—(x,­)•(1—x,字)=—X2+x+^=—(x-1)2+1>1；

当"=Q,—字）时，b=（1,i①

则〉（6—K）=（久，）.（1—尤，-——X2+x+^——（X—1）2+1>1,选项。正确.

故选：AD.

（多选）12.（5分）如图，在长方形ABC。中，AB=1,A£>=4,点E,尸分别为边BC,的中点，将

△A8F沿直线8歹进行翻折，将△CDE沿直线DE进行翻折的过程中，则（）

A.直线AB与直线CD可能垂直

B.直线AF与CE所成角可能为60°

C.直线AF与平面CDE可能垂直

D.平面A8F与平面CDE可能垂直

【解答】解：如图，将△ABB沿直线进行翻折，得到以8月为轴，线段AF绕8P旋转形成的一个圆

锥，点A在圆锥的底面圆周上，

同理将△CZJE沿直线OE进行翻折的过程中，点C也在相应的圆锥的底面圆周上，

对于A,如图，在长方形43C£>中，AB//CD,C。旋转形成的圆锥的轴截面张角/CDC'最大,

由A8=l,AO=4,

pr

则CE=2,tanZEDC=窃=2>1,

所以/£Z）C>45°,

则/C£）C'>90°,

假设△ABF不作旋转，CO在旋转过程中可以与旋转前的初始位置C。垂直，

即CD在旋转过程中可以与AB垂直，故选项A正确.

对于B,由选项A同理可得tcm/DEC=隹=|<字，

贝|)/。£；。<30°,轴截面张角/CEC'<60°,

则直线AF与CE所成角不可能为60°,故选项2错误；

对于C,若直线AF与平面CQE垂直，则直线AP与CE垂直，

由选项8可知，ZCEC'<60°,直线A尸不可能与CE垂直，

所以直线A尸与平面CDE不可能垂直，故选项C错误；

对于D,易知当平面A2F不作旋转，平面CDE旋转到与平面甲垂直时，

平面ABB与平面CDE垂直，故选项。正确.

故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)如图，由A,B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件M="电路

是通路”包含的样本点个数为3.

-E—1

国

【解答】解：设元件正常为1,失效为0,

由48两个元件组成并联电路，

则至少有一个元件正常，

故事件M包含的样本点为(1,1),(1,0),(0,1)共3个.

故答案为：3.

一TTTT

14.(5分)已知平面向量a=(2,0),b=(1,1),贝防=(1,1)在a方向上的投影向量的模为」

)TTTT

【解答】解：5=(1,1)在I方向上的投影向量的模为।网cos@,姐=।空।=睁±2西=i.

⑷^22+02

故答案为：1.

15.(5分)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它

体现了数学的对称美，如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三

棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则直线MN与平面A8CD所成

V6

角的正弦值为—.

O

【解答】解：如图所示：将多面体放置于正方体中，连接MC,设MC的中点为E,连接EF,CF,

因为M,C分别为中点，

1

所以MC〃NE且ME=NF=^MC,

则四边形MEFN为平行四边形，

所以MN//EF,

所以直线MN与平面ABCD所成角即为直线EF与平面ABCD所成角,

又MCJ_平面ABC。，

所以直线跖与平面ABCD所成角即为/EFC,

设正方体的棱长为2,

则EC=1,CF=3+12=逐，EF=y/EC2+CF2=V6,

所以=^=~==恪，

即直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为亚.

6

16.（5分）如图，四边形A2CZ）为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足A0=30C,

的中点为E,BE=3,则筝形ABC。的面积取到最大值时，A3边长为2遮.

D\O/B

A

【解答】解：以点O为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系.

设8。=2。，AC=4r(a>0,r>0),

则4(0,-3t),B(a,0),C(0,t),D{-a,0),-1t).

TZ29QQ

因为BE-(—2Q，-2*)，所以［(。+t)=9,

即Q2+P=422〃/,当且仅当a=t=或时，取等号.

1

筝形ABCD的面积为2ax|x4t=4at<8

即当a=t=V^时，筝形ABCD的面积最大.

此时AB边长为+9t2=V20=2V5.

故答案为：2曲.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)关于龙的一元二次方程/+(°+1)尤+4=0(a€R)有两个根xi,X2,其中刀1=1+百九

(1)求。的值;

(2)设xi,X2在复平面内所对应的点分别为A,B,求线段AB的长度.

【解答】解：(1)因为关于x的一元二次方程x?+(a+1)x+4=0有两个复数根xi,X2,

所以复数XI,X2互为共朝复数，

则%2=1-佰，

所以尤1+X2=2=-(<7+1),解得4=-3;

(2)因为XI,X2在复平面内所对应的点分别为A,B,

所以4(1,V3),B(l,-V3),

所以线段的长度为2日.

18.(12分)在菱形ABCD中,AE=^AD,BF=^BC,记AB=a,AD=b.

T..

(1)用a,b表示EF；

—>—>—>—>

(2)若BD-EF=AB-DA,求cosA的值.

—>1―>—>O—>—>_»->-»

【解答】解：⑴如图，：在菱形ABCD中，AE=jXD,BF=^BC,记AB=a,AD=b,

TT—>—»>)*?—)17

/.EF=EA+AB+BF=—^b+a+=。+可力；

(2)・；BD-EF=AB-DA,

——T1TT—

•**(AD-ZB),(a+可b)=CL,(—b),

―»TG1TT

仙b

-+---a

«)3

2

2tTt21TtT

bbb

-a-a+---a

33又=\b\,

5T2122

tt—>

b

-a-a---a

333

TT2T

ab--a

5

cosA=cos<a,b>=-----

\a\\b\

19.(12分)如图，正方形是圆柱。。1的轴截面，EF是圆柱的母线，圆柱OO1的体积为16TT.

(1)求圆柱。。1的表面积；

【解答】解：(1)设圆柱。01的底面半径为r,则nJx2r=16m解得r=2.

则圆柱OOi的表面积为2Trr2+2nrX2r=eitr2=24TT.

(2)连接AF,因为AF_L8F,AF//DE,所以。

设点F到平面BDE的距离为h,

易知。E_LEF,DELEF,EF,BEF,EFCBF=F,

所以。E_L平面因为EBu平面5EF,所以。

所以BF=AB•cos30°=遍丫,DE=AB-sm30°=r,

EF=2r,BE=V4r2+3r2=y/7r,

1111

因为VDBEF=VFBDE,所以一x-x2rx\3rxr=-x-xrxy7rxh.

3232

即2巡厂3=J7r2，h,解得力=—生要.

v/'

20.(12分)现行国家标准G82762-2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼

类及其制品中汞的最大残留量为1。咫/饭，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取

了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值Gnglkg),由测量结果制成如图所示的频率分布

直方图.

(1)求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数;

(2)用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标;

(3)从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量

有超标的概率.

【解答】解：(1)由0.4X(0.35+a+0.8+a+0.25+0.1)=1,解得a=0.5.

则这200条鱼汞含量的样本平均数为0.4X(0.2X0.35+0.6X0.5+1.0X0.8+1.4X0.5+1.8X0.25+2.2X0.1)

=1.016.

(2)样本中汞含量在［1.0,2.4］内的频率为1-0.4X(0.35+0.5)-0.2X0.8=0.5.

则估计进口的这批鱼中共有0.5X2000=1000条鱼汞含量超标.

1

(3)由题意可知，样本中汞含量在［1.0,2.4］内的频率为5，

则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为1-2X2=X，

1

顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为

31311

则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为］X(1--)+(1--)X--

21.(12分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，己知bcosC-ccosB

=2a.

(1)若c=a,求8的大小;

(2)若cW2a,过B作AB的垂线交AC于。，求§的取值范围.

【解答】解：(1),：bcosC-ccosB=2a,

由余弦定理得b.答注-c-笔上=2a,

乙a。乙ac

化简得b2-c2=2a2,

又c=a,则。2-〃2=2〃2,即b=

a2+c2—b2a2+a2—3a2

则cosB=

2ac2a2

27T

又B6(0,IT),则8=等;

(2)在RtZXAB。中，BD^ctanA,

„BCBDa-ctanA2acsinA2a4ac

贝U------=--------=-----------=-----------=----------

S-besinAbcsinAcosAb2+c2-a2Z；2+c2-a2

2