轨迹与方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件

空间解析几何主讲杨涤尘第1页第二章轨迹与方程主要内容：1、平面曲线方程2、曲面方程3、母线平行于坐标轴柱面方程4、空间曲线方程第2页第一节平面曲线方程一、曲线与方程：定义：当平面上取定了标架之后，假如一个方程与一条曲线有着关系：（1）满足方程(x,y)必是曲线上某一点坐标；（2）曲线上任何一点坐标(x,y)满足这个方程；则这个方程称为这条曲线方程，这条曲线称为方程图形。曲线方程常表示为：F(x,y)=0或y=f(x)第3页二、曲线矢量式方程例1、求圆心在原点，半径为R圆方程。解：矢量式方程|OM|=R普通方程x2+y2=R2例2、已知两点A(-2,-2),B(2,2)，求满足条件

|MA|-|MB|=4动点轨迹。化为普通方程为xy=2(x+y2)故曲线为yxoxy=2解：矢量式方程|MA|-|MB|=4第4页1、矢性函数

当动点按某种规律运动时，与它对应径矢也伴随时间t不一样而改变（模与方向改变），这么径矢称为变矢，记为r(t)。假如变数t(atb)每一个值对应于变矢r一个完全值（模与方向）r(t)，则称r是变数t矢性函数，记为r=r(t)(atb).2、矢性函数分量表示

设平面上取定标架为{O;e1,e2},则矢性函数可表示为r(t)=x(t)e1+y(t)e2

(atb).（1）其中x(t),y(t)是r(t)分量，它们分别是变数t函数。第5页3、矢量式参数方程若取(atb)一切可能值，由（1）r(t)=x(t)e1+y(t)e2

(atb).4、坐标式参数方程曲线参数方程常能够写成以下形式：称为曲线坐标式参数方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t))终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上任意点，总对应着以它为终点径矢，而这径矢可由t某一值t0(at0b)经过（1）完全确定，则称表示式（1）为曲线矢量式参数方程，其中t为参数。表示径矢r(t)第6页已知直线l经过定点M0(x0,y0),且与非零矢量v

={X,Y}共线，求直线l方程。解：设M(x,y)为直线l上任意一点，并设OM=r，OM0=r0，则点M在l上充要条件为矢量M0M与v共线，即M0M=tv(t为随M而定实数）又因为M0M=r-r0所以r-r0=tv（1）矢量式参数方程为

r=r0+tv(＜t＜+)（2）矢量式参数方程为5、直线方程故得l第7页注1：参数t几何意义：当v是单位矢量时，|t|为点M与M0之间距离。实际上，|MM0|=|tv|=|t|注2：直线方向矢量：与直线l共线非零矢量v称为直线l方向矢量。（3）：直线对称式方程由直线参数方程（2）中消去参数t可得：对称式方程（4）直线普通方程和点法式方程将对称式方程改写为Ax+By+c=0(3)第8页其中A=Y，B=-X，C=-(Yx0-Xy0),方程(3)称为直线普通方程。反之，设(x0,y0)是（3）上一点，则Ax0+By0+c=0故（3）可改写为A(x-x0)+B(y-y0)=0（4）或可见系数A，B几何意义是：矢量q={B,-A}是直线（3）一个方向矢量，而矢量p={A,B}垂直于矢量q，从而垂直于直线（3），我们称p={A,B}为直线（3）法矢量，而方程（4）称为直线点法式方程。第9页6、两条直线相关位置判定给定两条直线l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0则（4）两直线交角第10页例3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点P轨迹。解：取直角坐标系，设半径为a圆在x轴上滚动，开始时点P恰在原点，经过一段时间滚动，圆与直线切点移到A点，圆心位置移到C点，这时有r=OP=OA+AC+CP设θ=(CP,CA),于是矢量CP对x轴所成有向角为POraaxCθy第11页则又因为|OA|=AP=aθ，︵所以OA=aθi,AC=aj从而点P矢量式参数方程为r=a(θ-sinθ)i+a(1-cosθ)（＜θ＜+）其坐标式参数方程为这种曲线称为旋轮线或摆线。xOy第12页例5已知大圆半径为a，小圆半径为大圆半径四分之一，若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，动圆上某一定点P轨迹称为四尖星形线，求四尖星形线方程。解（略）参数方程为第13页七曲线参数方程例6把椭圆普通方程式化为参数方程。法一法二设y=tx+b,代入原方程得解得

在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取从而第14页在法二中，若令u=-t，则得椭圆另一个表示式为注：第二种解法中，设y=tx+b，实际上是在椭圆上取一定点(0,b),作以(0,b)为中心直线束，而这时椭圆参数方程恰为直线束中直线与椭圆交点普通表达式。因为这时过点(0,b)y轴斜率不存在，所以需补上点(0,-b)，或把它看成当t→时交点。第15页例7化方程y2(2a-x)=x3(a>0)为参数方程。解：设y=tx，代入可得参数方程注1：有些曲线只能用参数方和表示而不能用普通方程表示，即不能用x,y初等函数来表示，如注2：在曲线普通方程与参数方程互化时，必须注意两种形式方程等价性，即考虑参数取值范围。第16页第二节曲面方程一、.定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有以下关系:(1)S上任一点坐标满足方程F(x,y,z)=0;(2)不在S上点坐标都不满足方程F(x,y,z)=0;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0图形.F(x,y,z)=0

Sxyzo第17页例1、求连结两点A(1,2,3),B(2,-1,4)线段垂直平分面方程。解：垂直平分面能够看成到两定点A和B等距离动点M(x,y,z)轨迹，故点M特征为|AM|=|BM|用两点间距离公式代入并化简可得：2x-6y+2z-7=0例2求两坐标面xOz和yOz所成二面角平分面方程。解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离点轨迹，所以M(x,y,z)在平分面上充要条件是|y|=|x|即X+y=0与x-y=0第18页(x

x0)2+(y

y0)2+(z

z0)2=R2(1)称方程(1)为球面标准方程.尤其:当球心在原点O(0,0,0)时,球面方程:x2+y2+z2

=R2

例3、求球心为M0(x0,y0,z0),半径为R球面方程.

解：对于球面上任一点M(x,y,z),都有|M

M0|2=R2.即

M0

M

R第19页解依据题意有所求方程为第20页解:原方程可改写为(x1)2+(y+2)2+z2=5故:原方程表示球心在M0(1,2,0),半径为球面.例5:方程x2+y2+z2

2x+4y=0表示怎样曲面?第21页例6方程图形是怎样？依据题意有图形上不封顶，下封底．解第22页二、曲面参数方程1、双参数矢函数在两个变数u,v变动区域内定义函数r=r(u,v)或r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

(2)称为双参数矢函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变矢r(u,v)分量，它们都是变数u，v函数。当u,v取遍变动区域一切值时，径矢OM=r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v))所画轨迹普通为一张曲面。Mozxy

S第23页2、曲面矢量式参数方程定义：若取u,v(aub,cvd)一切可能值，由（2）表示径矢r(u,v)终点M总在一个曲面上，反之，在这个曲面上任意点M总对应着以它为终点径矢，而这径矢可由u,v值(aub,cvd)经过（2）完全决定，则称（2）式为曲面矢量式参数方程，其中u,v为参数。3、曲面坐标式参数方程因为径矢r(u,v)分量为{x(u,v),y(u,v)z(u,v)},所以曲面参数方程也常写成表示式（3）称为曲面坐标式参数方程。第24页例5求中心在原点，半径为r球面参数方程。

M

RxyzPQθ

解：设M(x,y,z)是球面上任一点，M在xOy坐标面上射影为P，而P在x轴上射影为Q，又设在坐标面上有向角(i,OP)=,Oz轴与OM交角zOM=θ，则r=OM=OQ+QP+PM且PM=(rcosθ)k所以r=(rsinθcos)i

+(rsinθsin

)j+(rcosθ)k(4)此即为中心在原点，半径为r球面矢量式参数方程。QP=(|OP|sin)j=(rsinθsin)jOQ=(|OP|cos)i=(rsinθcos)i第25页中心在原点，半径为r球面坐标式参数方程为（4），（5）中θ，为参数，其取值范围分别是0θ与-

＜。第26页例7求以z轴为对称轴，半径为R圆柱面参数方程。解：如图,有PxyzooM

Qrr=OM=OQ+QP+PM而OQ=(Rcos)i,QP(Rsin)j,PM=uk所以r=(Rcos)i+(Rsin)j

+uk（6）此即为圆柱面矢量式参数方程。其坐标式参数方程为（6）（7）式中，u为参数，其取值范围是-

＜，-＜u＜+第27页第三节母线平行于坐标轴柱面xyzo1、引例:考虑方程x2+y2=R2所表示曲面.在xoy面上,x2+y2=R2表示以原点O为圆心,半径为R圆.xoy面上圆x2+y2=R2叫做柱面准线.平行于z轴直线L叫做柱面母线.曲面能够看作是由平行于z轴直线L沿xoy面上圆x2+y2=R2移动而形成,称该曲面为圆柱面.olM(x,y,0)第28页2、定义:平行于定直线并沿定曲线C移动直线L形成轨迹叫做柱面.定曲线C叫做柱面准线.动直线L叫做柱面母线.第29页例1:方程y2=2x表示.母线平行于z轴柱面,

oxzyy2=2x它准线是xoy面上抛物线y2=2x,该柱面叫做抛物柱面.第30页例2:方程x

y

=0表示.母线平行于z轴柱面,xx

y

=0zyo它准线是xoy面上直线x

y=0,所以它是过z轴平面.第31页3、母线平行于坐标轴柱面方程.1方程F(x,y)=0表示:2方程F(x,z)=0表示:3方程F(y,z)=0表示:母线平行于z轴柱面,准线为xoy面上曲线C:F(x,y)=0.母线平行于y轴柱面,准线为xoz面上曲线C:F(x,z)=0.母线平行于x轴柱面,准线为yoz面上曲线C:F(y,z)=0.第32页例3、以下方程各表示什么曲面？（母线平行于z轴椭圆柱面）（母线平行于x轴双曲柱面）（母线平行于y轴抛物柱面）注：上述柱面方程都是二次，都称为二次柱面。第33页第四节空间曲线及其方程空间曲线普通方程空间曲线参数方程（1）矢量式参数方程（2）坐标式参数方程第34页空间曲线普通方程曲线上点都满足方程，满足方程点都在曲线上，不在曲线上点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面交线.特点：一、空间曲线普通方程第35页例2、求在xOy坐标面上，半径为R，圆心为原点圆方程。解：例1、写出Oz轴方程。解：Oz轴可看成两个平面交线，如或可见，空间曲线普通方程表示不是唯一。第36页例3:球面x2+y2+z2=32与平面z=2交线是x2+y2+z2=32

z=2一个圆,它普通方程是第37页例4:方程组表示怎样曲线?解:方程方程.它准线xOy面上圆,圆心在点所以方程组表示上述半球面与圆柱面交线.（维维安尼曲线Viviani）表示球心在原点O,半径为a上半球面.表示母线平行于z轴圆柱面第38页二、空间曲线参数方程将曲线C上动点坐标x,y,z都表示成一个参数t函数.x=x(t)y=y(t)(2)z=z(t)当给定t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),伴随t变动便可得曲线C上全部点.方程组(2)叫做空间曲线参数方程.第39页例5:假如空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度

绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴正方向上升(其中

,v都是常数),那末点M组成图形叫做圆柱螺旋线,试建立其参数方程.

解:取时间t为参数,设当t=0时,动点位于x轴上一点A(a,0,0)处。经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上投影为M

(x,y,0).第40页(1)动点在圆柱面上以角速度

绕z轴旋转,所以经过时间t,

AOM

=t.

从而x=|OM|·cosAOM

=acosty=|OM|·sinAOM

=asint(2)动点同时以线速度v沿z轴向上升.因而z=MM

=vt得螺旋线参数方程x=

acosty=asintz=vt注:还能够用其它变量作参数.xyzAOMtM

第41页yxzAOMtM

比如:令=t.

为参数;螺旋线参数方程为:x=

acos

y=asin

z=b当

从

0变到

0+

是,z由b

0变到b

0+b,即M点上升高度与OM

转过角度成正比.尤其,当

=2

时,M点上升高度h=2b,h在工程上称h=2b为螺距.第42页例6

维维安尼曲线二分之一径为a球面与一个直径等于球半径圆柱面，假如圆柱面经过球心，则球面与圆柱面交线称为维维安尼曲线，试写出其普通方程和参数方程。解：普通方程参数方程Oxyz第43页三、空间曲线在坐标面上投影