2025届西藏拉萨市10校高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

2025届西藏拉萨市10校高一数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．若三个球的半径的比是1：2：3，则其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的（）倍．A．95 B．2 C．523．从A，B，C三个同学中选2名代表，则A被选中的概率为（）A． B． C． D．4．设且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．5．已知函数，则有A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点对称C．的最小正周期为 D．在区间内单调递减6．平面内任一向量都可以表示成的形式，下列关于向量的说法中正确的是（）A．向量的方向相同 B．向量中至少有一个是零向量C．向量的方向相反 D．当且仅当时，7．在中，角所对的边分别为.若，，，则等于（）A． B． C． D．8．已知等差数列{an},若a2=10,a5=1,则{an}的前7项和为A．112 B．51 C．28 D．189．如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（）A．定 B．有 C．收 D．获10．已知点满足条件则的最小值为（）A．9 B．-6 C．-9 D．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．下列结论中：①②函数的图像关于点对称③函数的图像的一条对称轴为④其中正确的结论序号为______．12．某小区拟对如图一直角△ABC区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观．已知,则面积最小值为____13．等比数列中，若，，则______.14．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________.15．某单位有200名职工，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是16．如图，以为直径的圆中，，在圆上，，于，于，，记，，的面积和为，则的最大值为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在四棱锥中，平面平面，，且，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面．18．设等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若成等比数列，求数列的前项和.19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M点为圆心的圆及其上一点.（1）设圆N与y轴相切，与圆M外切，且圆心在直线上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点且，求直线l的方程.20．已知的三个内角的对边分别为，且，（1）求证：；（2）若是锐角三角形，求的取值范围.21．某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2012201320142015201620172018年份代号1234567人均纯收入2.93.33.64.44.85.25.9（1）已知y与x线性相关，求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的线性回归方程，预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.（附：线性回归方程中，，，其中为样本平均数）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

正四棱锥，连接底面对角线，在中，为侧棱与地面所成角，通过边的关系得到答案.【详解】正四棱锥，连接底面对角线，，易知为等腰直角三角形.中点为，又正四棱锥知：底面即为所求角为，答案为B【点睛】本题考查了线面夹角的计算，意在考察学生的计算能力和空间想象力.2、D【解析】

设最小球的半径为R，根据比例关系即可得到另外两个球的半径，再利用球的体积公式表示出三个球的体积，即可得到结论。【详解】设最小球的半径为R，由三个球的半径的比是1：2：3，可得另外两个球的半径分别为2R，3R；∴最小球的体积V1=43π∴V故答案选D【点睛】本题主要考查球体积的计算公式，属于基础题。3、D【解析】

先求出基本事件总数，被选中包含的基本事件个数，由此能求出被选中的概率．【详解】从，，三个同学中选2名代表，基本事件总数为：，共个，被选中包含的基本事件为：，共2个，被选中的概率．故选：D．【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题．4、A【解析】项，由得到，则，故项正确；项，当时，该不等式不成立，故项错误；项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．综上所述，故选．5、B【解析】

把函数化简后再判断．【详解】，由正切函数的性质知，A、C、D都错误，只有B正确．【点睛】本题考查二倍角公式和正切函数的性质．三角函数的性质问题，一般要把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合相应的三角函数得出结论．6、D【解析】

根据平面向量的基本定理，若平面内任一向量都可以表示成的形式，构成一个基底，所以向量不共线．【详解】因为任一向量，根据平面向理的基本定理得，所以向量不共线，故A，C不正确.是一个基底，所以不能为零向量，故B不正确.因为不共线，且不能为零向量，所以若，当且仅当，故D正确.故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7、B【解析】

利用正弦定理可求.【详解】由正弦定理得.故选B.【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于容易题.8、C【解析】

根据等差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根据等差数列的前项和可得解.【详解】由等差数列的通项公式结合题意有:，解得：，则数列的前7项和为:，故选：C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项公式，属于基础题.9、B【解析】

利用正方体及其表面展开图的特点以及题意解题，把“努”在正方体的后面，然后把平面展开图折成正方体，然后看“努”相对面．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．故选：．【点睛】本题考查了正方形相对两个面上的文字问题，同时考查空间想象能力．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题，属于基础题．10、B【解析】试题分析：满足约束条件的点的可行域，如图所示由图可知，目标函数在点处取得最小值，故选B.考点：线性规划问题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①③④【解析】

由两角和的正切公式的变形，化简可得所求值，可判断①正确；由正切函数的对称中心可判断②错误；由余弦函数的对称轴特点可判断③正确；由同角三角函数基本关系式和辅助角公式、二倍角公式和诱导公式，化简可得所求值，可判断④正确．【详解】①，故①正确；②函数的对称中心为，，则图象不关于点对称，故②错误；③函数，由为最小值，可得图象的一条对称轴为，故③正确；④，故④正确．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质应用以及三角函数的恒等变换，意在考查学生的化简运算能力．12、【解析】

设，然后分别表示，利用正弦定理建立等式用表示，从而利用三角函数的性质得到的最小值，从而得到面积的最小值.【详解】因为，所以，显然，，设，则，且，则，所以，在中，由正弦定理可得：，求得，其中，则，因为，所以当时，取得最大值1，则的最小值为，所以面积最小值为，【点睛】本题主要考查了利用三角函数求解实际问题的最值，涉及到正弦定理的应用，属于难题.对于这类型题，关键是能够选取恰当的参数表示需求的量，从而建立相关的函数，利用函数的性质求解最值.13、【解析】

设的首项为，公比为，根据，列出方程组，求出和即可得解.【详解】设的首项为，公比为，则：，解之得，所以：.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列中某项的求法，解题关键是根据题意列出方程组，需要注意的是为了简化运算不用直接求解，解出即可，属于基础题.14、【解析】

利用判别式可求实数的取值范围.【详解】不等式有解等价于有解，所以，故或，填.【点睛】本题考查一元二次不等式有解问题，属于基础题.15、1【解析】试题分析：因为将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组，由分组可知，抽号的间隔为5，因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为1．考点：系统抽样．点评：本题考查系统抽样，在系统抽样过程中得到的样本号码是最规则的一组编号．16、【解析】

可设，表示出S关于的函数，从而转化为三角函数的最大值问题.【详解】设，则，，，当时，.【点睛】本题主要考查函数的实际运用，三角函数最值问题，意在考查学生的划归能力，分析能力和数学建模能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】

（Ⅰ）线线垂直先求线面垂直，即平面，进而可得；（Ⅱ）连接D与PC的中点F，只需证明即可．【详解】（Ⅰ）因为，所以．因为平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以．（Ⅱ）证明：取中点，连接，．因为为中点，所以，且．因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形．所以．因为平面，平面，所以平面．【点睛】此题考查立体几何证明，线线垂直一般通过线面垂直证明，线面平行只需在面内找到一个线与已知线平行即可，题目中出现中点一般也要在找其他中点连接，属于较易题目．18、（1）或；（2）.【解析】

（1）利用等差数列性质先求出的值，进而得到公差，最后写出数列的通项公式；（2）依照题意找出（1）中符合条件的数列，再用等差数列前项和公式求出数列的前项和．【详解】（1）因为等差数列，且，所以所以，又，所以，于是或设等差数列的公差为，则或，的通项公式为：或；（2）因为成等比数列，所以所以数列的前项和.【点睛】本题主要考查等差数列的性质、通项公式的求法以及等差数列前项和公式，注意分类讨论思想的应用．19、（1）（2）或.【解析】

（1）根据由圆心在直线y=6上，可设，再由圆N与y轴相切，与圆M外切得到圆N的半径为和得解.（2）由直线l平行于OA，求得直线l的斜率，设出直线l的方程，求得圆心M到直线l的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程.【详解】（1）圆M的标准方程为，所以圆心M（7，6），半径为5,.由圆N圆心在直线y=6上，可设因为圆N与y轴相切，与圆M外切所以，圆N的半径为从而解得.所以圆N的标准方程为.（2）因为直线l平行于OA，所以直线l的斜率为.设直线l的方程为，即则圆心M到直线l的距离因为而所以解得或.故直线l的方程为或.【点睛】本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.20、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）由，联立，得，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案；（2）利用正弦定理和，得，再确定角C的范围，即可得到本题答案.【详解】解：（1）锐角中，，故由余弦定理可得：，，，即，∴利用正弦定理可得：，即，，可得：，∴可得：，或（舍去），.（2），均为锐角，由于：，，.再