浙江省杭州市示范名校2025届高一下数学期末综合测试试题含解析

浙江省杭州市示范名校2025届高一下数学期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，已知，，，则的形状为（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定2．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A． B． C． D．3．如图，长方体的体积为，E为棱上的点,且，三棱锥E－BCD的体积为，则=（）A． B． C． D．4．函数的对称中心是（）A． B． C． D．5．圆心坐标为，半径长为2的圆的标准方程是（）A． B．C． D．6．阅读如图所示的程序，若运该程序输出的值为100，则的面的条件应该是（）A． B． C． D．7．已知直线，，则与之间的距离为（）A． B． C．7 D．8．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C． D．39．若，则t=（）A．32 B．23 C．14 D．1310．现有1瓶矿泉水，编号从1至1．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为（）A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，42，56C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，30二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．方程组对应的增广矩阵为__________.12．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为______．13．已知角满足，则_____14．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．15．设函数，则的值为__________．16．程序：的最后输出值为___________________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图所示的频率分布直方图．该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）已知选取的是1月至6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程；（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅰ）中该协会所得线性回归方程是否理想？参考公式：回归直线的方程，其中，．18．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点.（1）若，求三棱柱的体积；（2）证明：平面；（3）请问当为何值时，平面，试证明你的结论.19．已知向量，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若向量与垂直，求的值.20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，与交于点，，分别为，的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求证：平面.21．已知数列满足：（1）设数列满足，求的前项和：（2）证明数列是等差数列，并求其通项公式；

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

由正弦定理得出，从而得出可能为钝角或锐角，分类讨论这两种情况，结合正弦函数的单调性即可判断.【详解】由正弦定理得可能为钝角或锐角当为钝角时，,符合题意，所以为钝角三角形；当为锐角时，由于在区间上单调递增，则，所以，即为钝角三角形综上，为钝角三角形故选：A【点睛】本题主要考查了利用正弦定理判断三角形的形状，属于中档题.2、C【解析】，且是纯虚数，，故选C.3、D【解析】

分别求出长方体和三棱锥E－BCD的体积，即可求出答案.【详解】由题意，，，则.故选D.【点睛】本题考查了长方体与三棱锥的体积的计算，考查了学生的计算能力，属于基础题.4、C【解析】，设是奇函数，其图象关于原点对称，而函数的图象可由的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到，所以函数的图象关于点对称，故选C.5、C【解析】

根据圆的标准方程的形式写.【详解】圆心为，半径为2的圆的标准方程是.故选C.【点睛】本题考查了圆的标准方程，故选C.6、D【解析】

根据输出值和代码，可得输出的最高项的值，进而结合当型循环结构的特征得判断框内容.【详解】根据循环体，可知因为输出的值为100，所以由等差数列求和公式可知求和到19停止，结合当型循环结构特征，可知满足条件时返回执行循环体，因而判断框内的内容为，故选：D.【点睛】本题考查了当型循环结构的代码应用，根据输出值选择条件，属于基础题.7、D【解析】

化简的方程，再根据两平行直线的距离公式，求得两条平行直线间的距离.【详解】，由于平行，故有两条平行直线间的距离公式得距离为，故选D.【点睛】本小题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.8、B【解析】

x，y，z为正实数，且，根据基本不等式得，当且仅当x=2y取等号，所以x=2y时，取得最大值1,此时，,当时,取最大值1，的最大值为1,故选B.9、B【解析】

先计算得到，再根据得到等式解得答案.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生对于向量运算法则的灵活运用及计算能力.10、A【解析】

根据系统抽样原则，可知编号成公差为的等差数列，观察选项得到结果.【详解】根据系统抽样原则，可知所抽取编号应成公差为的等差数列选项编号公差为；选项编号不成等差；选项编号公差为；可知错误选项编号满足公差为的等差数列，正确本题正确选项：【点睛】本题考查抽样方法中的系统抽样，关键是明确系统抽样的原则和特点，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据增广矩阵的概念求解即可.【详解】方程组对应的增广矩阵为,故答案为：.【点睛】本题考查增广矩阵的概念，是基础题.12、0.56【解析】

根据在一次射击中，甲、乙同时射中目标是相互独立的，利用相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．【详解】由题意，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，所以两人均中靶的概率为，故答案为0.56【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，其中解答中合理利用相互独立的概率乘法公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13、【解析】

利用诱导公式以及两角和与差的三角公式，化简求解即可．【详解】解：角满足，可得

则．

故答案为：．【点睛】本题考查两角和与差的三角公式，诱导公式的应用，考查计算能力，是基础题．14、【解析】

将甲、乙到达时间设为（以为0时刻，单位为分钟）.则相见需要满足：画出图像，根据几何概型公式得到答案.【详解】根据题意：将甲、乙到达时间设为（以为0时刻，单位为分钟）则相见需要满足：画出图像：根据几何概型公式：【点睛】本题考查了几何概型的应用，意在考查学生解决问题的能力.15、【解析】

根据反正切函数的值域，结合条件得出的值.【详解】，且，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解，考查计算能力，属于基础题.16、4；【解析】

根据赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量，然后语句的顺序可求出的值．【详解】解：执行程序语句：

＝1后，＝1；

＝＋1后，＝2；

＝＋2后，＝4；

后，输出值为4；

故答案为：4【点睛】本题主要考查了赋值语句的作用，解题的关键对赋值语句的理解，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）该协会所得线性回归方程是理想的【解析】试题分析:（1）根据所给的数据求出x,y的平均数,根据求线性回归系数的方法,求出系数,把和,代入公式,求出的值,写出线性回归方程;（2）根据所求的线性回归方程,预报当自变量为10和6时的值,把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值作差,差的绝对值不超过2,得到线性回归方程理想.试题解析:解：（Ⅰ）由数据求得，，，由公式求得，所以，所以关于的线性回归方程为.（Ⅱ）当时，，；同样，当时，，.所以，该协会所得线性回归方程是理想的.点睛:求线性回归方程的步骤:(1)先把数据制成表，从表中计算出的值;(2)计算回归系数;(3)写出线性回归方程.进行线性回归分析时，要先画出散点图确定两变量具有线性相关关系，然后利用公式求回归系数,得到回归直线方程，最后再进行有关的线性分析．18、（1）4；（2）证明见解析；（3）时，平面，证明见解析.【解析】

（1）直接根据三棱柱体积计算公式求解即可；（2）利用中位线证明面面平行，再根据面面平行的性质定理证明平面；（3）首先设为，利用平面列出关于参数的方程求解即可.【详解】（1）∵三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，∴由三棱柱体积公式得：；（2）证明：取的中点，连接，，∵，分别为和的中点，∴，，∵平面，平面，∴平面，平面，又，∴平面平面，∵平面，∴平面；（3）连接，设，则由题意知，，∵三棱柱的侧棱垂直于底面，∴平面平面，∵，∴，又点是的中点，∴平面，∴，要使平面，只需即可，又∵，∴，∴，即，∴，则时，平面.【点睛】本题考查了三棱柱的体积公式，线面平行的证明，利用线面垂直求参数，属于难题.19、（Ⅰ）-1；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用向量的数量积的坐标表示进行计算；（Ⅱ）由垂直关系，得到坐标间的等式关系，然后计算出参数的值.【详解】解：（Ⅰ）因向量，∴，∴(Ⅱ)，∵向量与垂直，∴∴，∴【点睛】已知，若，则有；已知，若，则有.20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】

（I）通过证明平面来证得平面平面.（II）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得∥平面.（III）通过证明平面证得，通过计算证明证得，由此证得平面.【详解】证明：（Ⅰ）因为平面，所以.因为，，所以平面.因为平面，所以平面平面.（Ⅱ）取中点，连结，因为为的中点所以，且.因为为的中点，底面为正方形，所以，且.所以，且.所以四边形为平行四边形.所以.因为平面且平面，所以平面.（Ⅲ）在正方形中，，因为平面，所以.因为，所以平面.所以.在△中，设交于.因为，且分别为的中点，所以.所以.设，由已知，所以.所以.所以.所以，且为公共角，所以△∽△.所以.所以.