江苏省南京2022-2023学年高二年级上册期末数学试题（含解析）

2022-2023学年南京师范大学附属中学高二期末考试

一、单选题（共8题）

1.设加为实数，已知直线4：2龙+3y-2=0,/2/+（2m-l）y+l=0,若〃儿,则加

的值为（）

A.1B.2C.3D.4

2.设S“为等差数列｛a“｝（"eN*）的前〃项和，若Sg=27,则4+&=（）

A.9B.6C.3D.0

3.过点（3,2）且与椭圆3/+8y2=24有相同焦点的双曲线方程为（）

222222

A.工-匕=1B.匕-土=1C.工-二=1D.

555523

22

土-J

32

4.如图，已知函数於）的图像在点尸（2,/⑵）处的切线为/,则/⑵+/'（2）=（）

5.直线y=2x+nz与曲线（=j4—d恰有两个交点,则实数取值范围是（）

A.[T,4]B.[4,2际）C.（-2^,4]D.[-2,4]

6.中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造

颇有讲究.如图是某武成王庙顶部的剖面直观图，其中A+i耳，AA，

44=4+14+1（i=1，2,3,4）,且数列（i=1,2,3,4）是第二项为2的等差数列.若以

[J5

4为坐标原点，以A4,44分别为心，轴正方向建立平面直角坐标系，则直线的

斜率为（）

C.0.5D.0.55

-eA+2,%<0

设。为实数，若函数/■(%)=113有且仅有一个零点，贝M的取值范围是

7.

—X-4x+«,x>0

0

1616C.与+0

A.—00,——B.—co,——D.

33

16

—,+CO

3

22

8.己知点尸为双曲线C：^—2=1,〉0]>0)右支上一点，耳，鸟分别为C的左，右

焦点，直线尸耳与C的一条渐近线垂直，垂足为若|尸娟二4|町则该双曲线的离心

率为()

57

C.一D.-

A・半B・a33

二、多选题(共4题)

9.将y=/(x)和y=/'(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是()

10.己知直线y=x+l与椭圆C：二+工=1交于A,8两点，若尸是直线A3上一点，。

63

为坐标原点，则下列结论正确的有()

A.椭圆。的离心率注

2

B小平

C.OALOB

D.若耳，鸟是椭圆C的左右焦点,则|尸闾尸耳归2上

11.设S.为数列｛a〃｝("cN*)的前w项和，则下列结论正确的有()

A.若｛小｝为等比数列,公比为q,则S2“=(l+q")S"

B.若｛斯｝为等比数列，s,3p,qGN,且。s〃尸。p〃q,则s+Up+g

C.若｛斯｝为等差数列，则为常数)仍为等差数列

D.若｛。〃｝为等差数列，则必存在不同三项如，aq,ar,使得〃p2=Q/r

12.在平面直角坐标系中，已知E为抛物线;/=尤的焦点，点人(石,乂),3(%2，y2)在

UULUUU

该抛物线上且位于无轴的两侧，。4.。5=2,贝N)

A.%々=6B.直线AB过点(2,0)

C.A3O的面积最小值是20D.430与VAR9面积之和的最小

值是3

三，填空题(共4题)

13.设抛物线y2=2px(Q〉0)的焦点E,若抛物线上一点河(2,%)到点E的距离为6,则

为=一•

14.函数—,则r®=_____

sinx+cosxV47

15.设机为实数，已知函数/■(x)=e“—e-'+Zsinx,则不等式/Q/”)>/(加―2)的解集

为

16.已知数列｛a,｝(〃eN)满足：an>Q,其前n项和S'=+，"一」,数列｛2｝

("eN*)满足d=(-l)H」tL,其前〃项和J；,设彳为实数，若7；<4对任意(“eN*)

anan+l

恒成立，则2的取值范围是.

四、解答题(共6题)

17.己知圆C经过坐标原点，且与直线x-y+2=0相切、切点为4(2,4).

⑴求圆C的方程；

(2)己知斜率为-1的直线/与圆C相交于不同的两点加、N,若直线/被圆截得的弦的

长为14,求直线/的方程.

18.己知数列｛g｝(“eN*)各项均不为0,且满足

⑴求｛g｝通项公式

⑵令包=。+〃(neN*),求数列｛2｝的前"项和为

an

19.设。为实数，已知函数"对=§7尤3-15(4+1卜2+9

⑴讨论〃力的单调性

⑵若过点(0,10)有且只有两条直线与曲线y=gx3-；(a+l)Y+3+1相切，求。的值.

20.如图，曲线y=右下有一系列正三角形，设第"个正三角形.匕Q(Qo为坐标原

点)的边长为a”，

⑴求6,%的值

⑵记S“为数列｛a,J的前〃项和，探究知+i与S”的关系，求｛a“｝的通项公式.

21.己知椭圆C：++%=l(a〉b>0)离心率为g,且过点(1,,)

⑴求C的方程

⑵己知A,2是C的左右顶点，过右焦点厂且斜率不为0的直线交C于点M,N,直线AM

K+k2

与直线x=4,交于点P,记必，PF,BN的斜率分别为K，白，&，问六7^，是否是定值如

果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由.

22.已知函数，(x)=h(e为自然对数的底数).

(1)求犬犬)的最大值；

⑵设。为整数，若e*Nin(x+a)在定义域上恒成立，求a最大值;

34〃+]p

(3)证明In2+(In-)2+(In-)3+L+(In——)"<——.

23ne-1

2022-2023学年南京师范大学附属中学高二期末考试

一、单选题(共8题)

1.设加为实数，已知直线4：2x+3y-2=0,"m+Qm-1*+1=0,若〃〃2,则加

的值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用两直线的方程及平行关系，列式计算作答.

【详解】直线4：2x+3y—2=0,小叩+Q机—Dy+l=0,且“4，则有

m2m—11“口八

~2------w—，解得HZ=2,

所以加的值为2.

故选：B

2.设S"为等差数列{a“}(〃eN*)前力项和，若Sg=27,则％+4=()

A.9B.6C.3D.0

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等差数列前“项和公式及等差数列性质计算作答.

【详解】等差数列{4}(〃eN*)的前项和为S,则5=啊广)=

nn927,解得q+%=6,

所以%+%,=%+为=6.

故选：B

3.过点(3,2)且与椭圆3/+8/=24有相同焦点的双曲线方程为()

222222

A.土-匕=1B.匕-土=1C.土-匕=1D.

555523

22

32

【答案】D

【解析】

尤2V294

【分析】设双曲线的方程为斗-一二=1,再代点解方程-------^=1即得解.

2c2"C"

a3—aaj—a

22

【详解】解：由3/+8/=24得土+匕=1,

'83

所以椭圆的焦点为（逐,0）,（-百,0）.

V2y2

设双曲线的方程为斗-=1,

a5-cr

因为双曲线过点（3,2）,

94

所以方一

c2=1,r.a'=3.

a5-a

22

所以双曲线的方程为土-匕=1.

32

故选：D

4.如图，已知函数段）的图像在点尸（2"（2））处的切线为/,则〃2）+/'（2）=（）

C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】数形结合,求出切线斜率和切点坐标，即可计算/（2）+/'（2）.

【详解】由图像可得，切线过点（0,4）和（4,0）,切线斜率为左=三=—1,/,（2）=-1,

切线方程为?=则切点坐标为（2,2）,有了（2）=2,

所以〃2）+r（2）=2-1=1.

故选：D.

5.直线y=2x+m与曲线y=J二巨恰有两个交点，则实数机取值范围（）

A.[T,4]B,[4,2A/5）C.（-275,4]D,[-2,4]

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件及直线与圆相切的充要条件，结合点到直线的距离公式即可求解.

【详解】曲线y=j4—V表示圆门+丁=4在X轴的上半部分,

当直线y=2x+7%与圆_?+＞2=4相切时，5=2，解得加=±2否，

当点（一2,0）在直线y=2x+加上时，加=4,可得44根＜2后，

所以实数机取值范围为[4,2有）.

故选：B.

6.中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造

颇有讲究.如图是某武成王庙顶部的剖面直观图，其中AA'〃AMA'+I,A+14，AA,

A4=A+14+1（1=1,2,3,4），且数列（i=1，2,3,4）是第二项为-的等差数列.若以

[44J5

4为坐标原点，以A4,44分别为无，＞轴正方向建立平面直角坐标系，则直线4人4的

斜率为（）

A.0.4B.0.45C,0.5D.0.55

【答案】A

【解析】

【分析】根据数列＜^^«=1,2,3,4）是第二项为：的等差数列可得普=[,令

A.B2=5t,则根据题干可得：A4=4+i4+i=51i=l,2,3,4）,再根据等差数列的性质即

可求解.

【详解】由题意可知：益A.B.行2,令35t,A^=2t,因为

44=4+岛[=1，2,3,4),

所以A4=A+14+1=5《i=123,4),

因为数列!与小2

>(i=l,2,3,4)是第二项为飞的等差数列,

[A4

442j2—5d

设公差为d,则不L=£—d=一丁，因为4g=57,所以4月=2/-5山,

An,JD

同理A4B3=2t+5力,

+4区2+人4,32t—5力+2%+2,+5力6t604

则直线AA4的斜率上=

44+462+4333x5t%15t15'

故选：A.

x-ex+2,x<0

7.设。为实数，若函数y(x)=<13有且仅有一个零点，贝心取值范围是

—x-4%+<2,x>0

13

()

161616

A.—GO,——B.—00,——5,+8D.

33

16

——,+8

3

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数分析函数〃司的单调性，利用零点存在定理可知函数/(%)在(》,0］上

只有一个零点，则函数/(%)在(0,+")上无零点，并利用导数分析函数/(%)在(0,+“)上

的单调性，可得出关于实数。的不等式，解之即可.

【详解】当尤<0时，f{x}=x-e+2,则/'(x)=l—川20且/'(%)不恒为零,

所以，函数/(力在(7,0］上单调递增，所以，/(x)</(o)=2-l=l,

又因为/(—2)=—不<0,所以，函数八%)在(7,0］上只有一个零点；

因为函数/⑴只有一个零点，则函数八％)在(0,+⑹上无零点，

则当x>0时，/(x)=-^x3-4x+a,则/'(%)=*2—4,

由r(x)<0可得0<%<2,由了")>。可得x〉2.

所以,函数/(力在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增,

所以,只需1(2)=。---->0，解得Q>----.

33

故选:C.

尤2y2

8.已知点p为双曲线。：一=l(a>0/>0)右支上一点，耳，鸟分别为C的左，右

焦点，直线P耳与C的一条渐近线垂直，垂足为H,若归耳|=4|町则该双曲线的离心

率为()

A.正57

C.一D.-

333

【答案】C

【解析】

【分析】

取尸耳的中点M,连接叫，由条件可证明吗说明|P6|=2c,利用点到直线

2

a+c

的距离求QM=a,公。孙中，根据勾股定理可得/+I=°2,整理为

~2~

3c2-2ac—5a2=0，再求双曲线的离心率.

【详解】取p片的中点加，连接加用，由条件可知|町|=：|咫|=；M胤，

。是耳玛的中点，

又-OHVPFX,MF2±PFX

.♦.|耳闾=忸闾=2°,

根据双曲线的定义可知忸耳|=2a+2c,

.•・阿=等

直线尸石的方程是：y=—(x+c),即以一刀+。。=0,

b

ac\

原点到直线的距离|。川=

-I——CL,

sla2+b2

2

2a+c2

町中，a+\=C

~2~

整理为：3c2-2ac-5«2=0，

即3e?—2e—5=0，

解得：e=-,或e=—l（舍）

3

故选：C

【点睛】本题考查求双曲线的离心率，意在考查转化和化归，计算能力，属于中档题型，一

c

般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出。，。，然后利用公式e=—求解；2.公式法:

a

3.构造法：根据条件，可构造出。的齐次方程，通过等

式两边同时除以小，进而得到关于e的方程.

二、多选题(共4题)

9.将y=/(x)和y=/'(%)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是()

【解析】

【分析】

根据函数的单调性与导函数符号之间的关系判断各选项中y=/(力和y=/'(%)的图象是

否合乎要求，同时也要注意特殊点处的导数值作为切线的斜率，由此可得出结论.

【详解】对于A选项，由函数y=/'(x)的图象可知，/'(0)=0,但函数y=/(x)在x=0

处的切线斜率不存在，不合乎题意；

对于B选项，由函数y=/'(x)的图象可知，函数丁=/(%)存在增区间，但B选项的图中，

函数y=/(x)为减函数，不合乎题意；

对于C选项，由函数y=/'(x)的图象可知，函数y=/(x)在R上为增函数，合乎题意；

对于D选项，由函数y=/'(x)的图象可知，函数y=/(x)有两个单调区间，但D选项的

图中，函数y=/(x)有三个单调区间，不合乎题意.

故选：ABD.

【点睛】本题考查函数与导函数图象之间的关系，在判断时要注意导函数符号与函数单调性

之间的联系，考查推理能力，属于中等题.

22

10.己知直线、=尤+1与椭圆。：二+匕=1交于A,8两点，若P是直线A5上一点，0

63

为坐标原点，则下列结论正确的有()

A.椭圆。的离心率注

2

B.|阴=半

C.OALOB

D.若耳,丹是椭圆C的左右焦点，则|尸团-1尸周W2上

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据椭圆方程即可求离心率，从而判断A；根据直线与椭圆相交弦长求解公式，利

用“联消判韦”即可求得长，从而判断B；根据向量的数量积结合交点坐标关系即可

判断C；利用对称性，结合三角形三边关系即可得片耳|最大值，从而判断D.

22

【详解】解：由椭圆C:±+匕=1知，a2=6,b-=3,则02=片—〃=3,所以

63

-=^=—,故A正确;

a=V6,b=A/3,c=A/3,故离心率e

ay/62

y=x+1

设4（%,%）,5（%2，％2），则y2_，所以3炉+4%-4=0，则

163

44

X1+尤2=一1，%龙2=~~

872

故|=A/1+12—x,|=^2x故B正确;

则

OAOB=X]*,+%%=%*。+（再+l）（x,+1）=2XJX+（±+X,）+1=2X

2dJie。

,所以Q4与03不垂直，故C不正确;

因为耳，鸟是椭圆C的左右焦点，所以片（一唐,。）,月（6,0）,若P是直线A5上一点,

-AzL.1=_i

Er,解得

设尸2关于直线A3对称的点为E,设石（毛,%），贝1b

%+°=%+.31]

2-2"

xo=-1

,即；

y0=1+73

则归闾—I尸耳1=1尸耳T尸周，又由三角形三边关系用得|尸耳一|尸耳归山£|"山周=庐同,

又|E耳|="1+6『+(—1+6『=2贬,即归闾—|。片区2行，故D正确.

故选：ABD.

11.设S,为数列｛a〃｝("eN*)的前〃项和，则下列结论正确的有()

A.若｛小｝为等比数列，公比为q,则S2“=(l+q")S,

B.若｛斯｝为等比数列,s,t,p,qGN,_Easat=apaq,则s+Up+q

C.若｛诙｝为等差数列，则｛F](p为常数)仍为等差数列

D,若｛小｝为等差数列，则必存在不同的三项劭，aq,ar,使得他2=他以

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A：直接公式代入验证即可；对于B：当公比4=1时，可排除；对于C：公式

代入，再定义证明即可；对于D：假设成立，推出4=，可判断.

详解】对于A：当q=1时,S2n=2〃％,(1+q")Sn=(1+l)〃q=2nax,S2n=(1+q")Sn；

当4Hl时，S2“=*/")=W)(1T)=(l+q〃电,故A正确；

1-q1-q

对于B：当公比q=l时，显然不成立，故B错误；

对于C：因为｛斯｝为等差数列，设5“=4/+珈(43是常数)，令皿=",则

n

bn=pAn+pB,:.bn-bn_x=pAn+pB-pA(nT)-pB=pA,则为等差数歹!J.

故C正确；

对于D：假设必存在不同的三项即，aq,ar,使得ap2=a»r,

dp=[q+(/?—l)d]=%?+2%(p—l)d+(p—Y)2d2,

2

aqar=[%+(q_l)d][q+(r-l)d]=a；+a1(^+r-2)J+(^-l)(r-l)6?,

/.a；+2q(p—V)d+(p—if=a；+q(q+r—2)d+(q—1)(F—l)d2,

根据对应系数相等，可得.,.2(7—l)=q+r—2,且(p—1)2=(-1),

—2)2=(4_])(­]),即(q—r)2=0,即4=-，与4"不同矛盾.故D错误.

故选：AC.

12.在平面直角坐标系xQy中，已知E为抛物线/二》的焦点，点人(玉,%),5(%2，%)在

该抛物线上且位于X轴的两侧，。4.03=2，贝网)

A.不乙=6B.直线AB过点(2,0)

C.430的面积最小值是2五D.ABO与VMO面积之和的最小

值是3

【答案】BCD

【解析】

【分析】设A3：x^my+n,联立方程后得关于》的一元二次方程，由韦达定理写出

97OUULuim

%%=一"，，再由。4.。5=2，即可得“2—〃=2，再结合％%<0,

求解出〃=2,从而判断AB,再根据三角形面积公式表示出ABO与VAFO的面积，由

基本不等式可判断CD.

x=my+n。

【详解】设AB：x=my+n,〈，消x可得y—机y-〃=0.

y=x

%%=一〃，得%光2==〃2，OAOB=2,n2-n=2>则"=2或-1

：%%<°，，附>0，•,•"=2,西马=4，故A错；

AB：x=nzy+2过(2,0),故B对；

设定点P(2,0),S.=SAOp+SBOP=-2-\yi\+-2-\y2\

2

=|x—%|=X+1当且仅当乂=±0时，取等号，故C对；

又SABO+SAFO=1%—%|+彳,民卜]=|%一+

Z4o

11ar~9

不妨设%>°，又％],0),%ABO+S-FO=•%-%+$%%22卜=3，

4oovo

9

当且仅当7%=-为时，取等号，故D对.

8

故选：BCD.

【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；

(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、

弦长、斜率、三角形的面积等问题.

三，填空题(共4题)

13.设抛物线>2=2川(2〉0)的焦点/，若抛物线上一点加(2,%)到点厂的距离为6,则

y0=一•

【答案】±472

【解析】

【分析】根据抛物线定义得P=8,由点河(2,%)在抛物线上，代方程即可解决.

【详解】由题知，抛物线V=2px(p〉0)的焦点E,抛物线上一点河(2,%)到点厂的距

离为6,

所以|MF|=2+g=6,得2=8,

所以抛物线为丁=16x,

所以方=16-2=32,解得为=±40,

故答案：土4五

14.函数〃尤)=.,则广仔］=_____

sinx+cosx14J

【答案】I

【解析】

71

【分析】先根据导数除法法则求出导函数，然后将一代入求值，即可求出所求.

4

,.cos%(sin+cos%)-sinx(cosx-sinx)1

［详解］f(x)=~=~T.口，

(sinx+cosx)(sinx+cosx)

故答案为g.

【点睛】本题考查基本函数的导数公式和两项商的导数公式，公式要记准记牢，训练运算能

力，属基础题.

15.设机为实数，已知函数/■(x)=e，—e^+Zsinx,则不等式/(2根)>/。九―2)的解集

为______

【答案】(-2,+8)

【解析】

【分析】根据给定条件，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性解不等式作答.

【详解】函数/'(x)=e*+2sinx的定义域为R,求导得：f'(x)=ev+e-x+2cosx,

而e*+eT22jeJeT=2,当且仅当x=0时取等号，2cos%>-2,当且仅当

%=(2左一1)兀,左£2时取等号,

因此/'(x)>。，即函数，(%)在R上单调递增，则

/(2m)>/(m-2)o2m>—2,

所以不等式/(2m)>f(m-2)的解集为(―2,+s).

故答案为：(—2,+oo)

16.已知数列｛为｝("eN)满足：名〉0,其前九项和Sn=)+："—③，数列也“｝

(“6^)满足勿=(一1)向「匕，其前"项和7“，设彳为实数，若(<4对任意(〃eN*)

anan+l

恒成立，则2的取值范围是.

【答案】(—,+oo)

【解析】

【分析】根据给定条件，求出数列｛g｝的通项公式，进而求出以并裂项，再按几分奇偶求

出T,即可推理作答.

【详解】\/neN*，4〉0，且4S“=a；+2a.一3,则当"22时，4S“_]=+2an_t-3,

两式相减得4a“=a；—a；-+2a“—2a“_1,即｛an-an_i)｛an+an_^=2a+%),

因此a"-a*发=2,而4ai=4S]=>+2%-3,即a；-2%-3=0,又。>0,解得%=3,

于是数列｛与｝是首项为3,公差为2的等差数列，即有4=4+2(“-1)=2〃+1,

b=(-i)n+1———=L-+,

(2n+l)(2n+3)42n+l2n+3

T_1、/1、/1、/I1、，11、/11VI

&(二+夕+勺+§)—W+n)++(g+m)—(W+E)]

_ll1、T_T/_1,11-1/1,1,1.11、

丁(r丁E)'或T=&—公=不丁审)+/罚+—)=+

显然数歹!!｛(“｝是单调递增的，V〃eN*，(〃<七，数歹是单调递减的，V〃eN*，

，2」二g

因为V〃wN*，不等式恒成立，则7〃£?4*，不等式心〃<丸且恒成立，

122

因此％N—且%>—,即有X>—,

121515

所以2的取值范围是(2,+8).

故答案为：(百计00)

【点睛】易错点睛：裂项法求和，注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可

漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与

目的.

四、解答题(共6题)

17.已知圆C经过坐标原点，且与直线x-y+2=0相切、切点为A(2,4).

⑴求圆C的方程；

(2)己知斜率为-1的直线/与圆C相交于不同的两点M、N,若直线/被圆截得的弦的

长为14,求直线/的方程.

【答案】⑴(％—7y+(y+iy=50

⑵x+y-6+近=0或x+y-6-=0

【解析】

【分析】(1)根据垂直得到直线方程，设圆心为(a,-。+6),半径为人将两点带入圆方程

解得答案.

(2)设直线方程为y=-x+。，计算圆心到直线的距离为d=l,根据点到直线的距离公式得

到答案.

【小问1详解】

直线x-y+2=0斜率为1,故左忙=一1，故直线AC方程为y=-(％-2)+4=-％+6,

设圆心为(a,—a+6),半径为小贝ay+(y+a—6)2=/,

(-tz)2+(tz-6)2=r2a=7

将原点和A(2,4)带入原方程得到<；,，解得<

(2-a)+(4+a-6)'=r2r=5y/2

故原方程为：(x—7y+(y+l)2=50.

【小问2详解】

设直线方程为y=_龙+人，即尤+y—人=0,

弦长为14,故圆心到直线的距离为d="―72=750-49=1，

|7—1—Z?|「

即d=/■=1,解得b=6+y/2，

Vi2+i2

故直线方程为x+y-6+A/^~=0和x+y~6—yfl=0.

18.已知数列{a“}("GN*)的各项均不为0,且满足

n(n+l)

11、k+口

⑴求｛g｝通项公式

⑵令a=—+n(neN：）,求数列｛々J的前几项和为小

An

【答案】（1）4=/一

"]—4"

n(n-1)

-2~

【解析】

【分析】（1）根据递推公式，当”=1时，直接求用,当2时，用前w项积除以前〃-1项

积的方法化简，可求｛。,｝通项公式；

（2）2=j+〃-1,然后利用分组求和的方法即可求解.

【小问1详解】

当”=1时，1+—=f-^,解得％=—△,

%3

当n>2时由得

两式相除得:

4

当”=1时ax=--满足,

4"

所以a“=

1—4'

【小问2详解】

11-4"1,,11

由⑴可知，—-1所以“=一+“=京+〃―1

a.,4"4"an4

所以，=[++。[+[*+1]+[/+2]++["+"T

=[+**++2[+口+2+3++S-D]

iLny-

4_(4)_++_i1]11“("—I)

一1Tl-+2—§]―—+-2-'

~4

21

19.设。为实数，已知函数〃力二1光—耳(々+1)%2+9

⑴讨论/(x)的单调性

⑵若过点(0,10)有且只有两条直线与曲线y=gx3-；S+i)f+办+1相切，求。的值.

【答案】(1)答案见解析

(2)a=5

【解析】

【分析】(1)求得/'(x)=2f—(a+l)x,对实数。的取值进行分类讨论，分析导数的符号

变化，即可得出函数/(力的增区间和减区间；

⑵设切点为g(a+l)J+〃+lj,利用导数写出切线方程，将点(0,10)的坐标代

入切线方程，可得出/(。=0,结合(2)中的结论以及三次函数的基本性质可得出关于。的

等式，解之即可.

【小问1详解】

因为/(尤一：(°+1)尤2+9,则/f(%)=2x2-(«+1)%,

由/'(尤)=0可得%=0,x2=~~~>

①当等=0时，即当°=-1时，对任意的xeR,/'(x)»0且/'(x)不恒为零，

此时，函数/(%)的增区间为(-00,+8),无减区间；

②当叫<0时，即当a<—l时，由r(x)<0可得叫<x<0,由户")>。可得了<竺1

222

或%>0,

此时，函数/(%)的减区间为,增区间为(0,+“)；

③当等〉0时，即当a>—1时，由r(x)<0可得0<x〈言，由制》)>。可得x<0或

a+1

x>----，

2

此时，函数/(%)的减区间为(0,号口，增区间为(一8,0)、［苫L+°°J

综上所述，当a=-l时，函数/(%)的增区间为(-<「”)，无减区间；

当a<—l时，函数/(%)的减区间为1号上。］,增区间为［一小皂。］、(0,+“)；

当a>—1时，函数/(%)的减区间为,增区间为(一8,0)、［苫上+°01

【小问2详解】

解：设切点为，一万(。+1)/+a/+lj,

3

对函数y=gx—；(a+l)%2+av+i求导得y二—(〃+］)%+〃，

所以，切线方程为y—+1)/+。,+1=［产—(a+l)%+a］(xT),

9i

将点(0,10)的坐标代入切线方程整理可得§/—5(〃+1)d+9=0,即/(/)=0,

故关于t的方程f(t)=0有两个不等的实根，

①当〃=-1时，函数/«)在R上单调递增，则方程/«)=0至多一个实根，不合乎题意；

②当。<一1时，则极小值=/(0)=9>。，故当。>一时，

此时方程/(。=0至多一个实根，不合乎题意；

③当a>—1时，则/⑺极大值=〃。)=9>。，

则/⑺极大值=/［等］=9_=(。+1)3=0,解得a=5,合乎题意.

综上所述，a=5.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本

性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现

了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

⑶参变量分离法：由/(x)=o分离变量得出a=g(%),将问题等价转化为直线y=a与

函数y=g(x)的图象的交点问题.

20.如图，曲线y=«下有一系列正三角形，设第"个正三角形.为坐标原

点)的边长为%,

(1)求％,生的值

⑵记S,为数列｛4｝的前〃项和，探究4+1与S,的关系，求｛%｝的通项公式.

24

【答案】(1)6=§,iz2=—；

2

⑵4=”

【解析】

【分析】(1)根据给定条件，用。1，出表示出点片，鸟的坐标，再代入曲线方程，计算作答.

(2)根据给定条件，利用4+1与s”表示出点4+1的坐标，代入曲线方程即可得4+1与S”的

关系，再利用递推关系求出通项作答.

【小问1详解】

依题意，—2出。为正三角形，且1。0。1=%〉0,观察图象得弓4),而点6在曲

线y=yfx上，

即#%=/1，解得q=|，△。鸟。2为正三角形，且1。121=。2〉°，点

8在曲线,=6上，

*2=/+；%，整理得%；—2a2—1=0,解得出=3，

24

所以％=—，a,=—.

3-3

【小问2详解】

+i2+i是正二角形，点,122+11=。〃+1>。,于是点5+i（s〃+；。〃+1，手〃〃+i）

在曲线y=y[x上，

贝博%+1=\k”+；%，即S.=]a；+i—"+1，当"之2时,S"_i="一；4,

T■乙T■乙

3131

两式相减得:%2%9-尹+「（不9"一/）’整理得

a

（*+4）（。n+1_Q〃）--（n+l+a〃），

22、2

则%+1一〃〃=§，而。2-满足上式，因此V〃£