浙江省湖州市2024届高三年级上册期末数学试题（含答案解析）

浙江省湖州市2024届高三上学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合力={x|—l<x<4},B=[x]x<3},则()

A.{x\-l<x<3}B.{x|-l<x<4}C.{x\x<4}D.{M%<3}

2.已知复数z满足(z-l)i=4+3i(i为虚数单位)，则z+^=()

A.8B.6C.-6D.-8

3.已知向量漏=太=(26,-2),则荏在就上的投影向量是()

(拒1][力1](61)(M-

122)[22)I22)[22)

4.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,31,37,m,42,49；乙组：24,〃，

33,44,48,52,若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则

m+n=()

A.60B.65C.70D.71

5.已知•，兀，且3cos2a—sina=2,贝！J()

2tan(兀-夕)=字

A.cos(兀-a)=§B.

6.记S”是数列{%}的前〃项和，设甲：{%}为等差数列；设乙：s,/(%；%),贝1K)

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

7.在正四棱锥尸-/BCD中，底面43。的边长为2OP/C为正三角形，点分别

在尸8,2。上，&PM=2MB,PN=2ND,若过点4",N的截面交尸。于点0,则四棱

锥尸的体积是()

.276口4遍「2屈n痴

3399

8.已知函数/'(x)=e，T,g(x)=ax2,若总存在两条不同的直线与函数y=/(x),y=g(x)

试卷第1页，共4页

图象均相切，则实数。的取值范围是（）

2

A.B.C.D.—,+00

二、多选题

9.下列结论中正确的是（）

A.在2x2列联表中，若每个数据均变为原来、的2倍，则/的值不变

n(ad-be)2

Z2，其中几=a¥bvc+d

(〃+b)(c+d)(a+c)©+d)

7

B.已知随机变量J服从正态分布N（3,4）,若《=2/7+3,则

C.在一组样本数据的散点图中，若所有样本点（%,%）［=1,2,…/）都在直线

y=0.9x+1±,则这组样本数据的样本相关系数为0.9

D.分别抛掷2枚相同的硬币，事件”表示为"第1枚为正面”，事件N表示为“两枚

结果相同”，则事件是相互独立事件

10.已知正数。,6满足。（。+6）=1,下列结论中正确的是（）

A./+〃的最小值为2行一2B.2a+b的最小值为2

C.工+工的最小值为士AD.五-花的最大值为1

ab2

II.纯音的数学模型是函数>=上出诩，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而

是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为了

的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率

恰好是全段振动频率的倍数，如27,3九4/等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一

般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是>=simc+gsin2x+；sin3x+-」m

工（尤）=sinx+Lsin2尤+,sin3x+…+』sin“x,则下列结论中正确的是（）

23n

A.X=7I:为力（x）的一条对称轴B.力（X）的周期为2兀

C.力（x）的最大值为g+与D.£（对关于点（兀,0）中心对称

12.已知。为坐标原点，点4-2,-1）在抛物线C:/=_2加5>0）上，过点8（0,1）的直

线交抛物线C于尸，。两点，则下列结论正确的是（）

A.抛物线C的准线方程为y=lB.直线与抛物线。相切

C.赤.而为定值3D.\BP\-\BQ\>\B^

试卷第2页，共4页

三、填空题

13.已知的展开式中含一项的系数为8,则实数。=.

14.已知圆C的圆心在直线y=x+i上且与了轴相切，请写出一个同时满足上述条件的

圆的标准方程：.

15.已知一个圆台的上、下底面半径为a,b(a<b),若球O与该圆台的上、下底面及侧面均

相切，且球。与该圆台体积比为三，则/=__________.

13b

16.已知双曲线5-1=1(。>0,6>0)的左右顶点分别为48,点C满足74=力存(2>1),

点尸为双曲线右支上任意一点(异于点3),以ZC为直径的圆交直线/P于点直线

8尸与直线CM交于点N.若N点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率

是.

四、解答题

17.记"的内角4民C的对边分别是a,6,c,已知°=百,

3

sin5sinC=w，siiL4sin(B-C)+si“sin(C-4)=sinC(sin^-sinC)

(1)求角A的大小;

(2)求的面积.

18.已知数列｛。J的前〃项和为S,，数列｛"｝为等差数列，且满足

%=Tg+a=°，E=2缘+〃(〃eN).

⑴求数列｛%｝和低｝的通项公式；

c

(2)若q=4c”=c2nA+=2„+a“，求数列匕｝的前In项和%.

19.如图，在多面体/8CDEF中，四边形48C。为平行四边形，且

BD=-CD=1,BD_LCD.DE1平面ABCD,S.DE=-BF=区DE〃BF.点H,G分别为

22

线段。C,所上的动点，满足。〃=EG=〃0<4<2).

试卷第3页，共4页

(1)证明：直线GH〃平面8C/；

(2)是否存在彳，使得直线GH与平面NE厂所成角的正弦值为运？请说明理由.

14

20.杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三

次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重

举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前N名观

众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这N

名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这N名观

众始终在线,记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为X(幸运观众总人数不重复计数,

例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人).

(1)己知小杭是这前N名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为g,求N的值；

⑵当尸(X=20)取到最大值时，求N的值.

21.已知椭圆C:5+《=l(a>b>0)过点/(TO),且离心率为g.过点的直

线交。于尸，。两点(异于点A).直线/尸,/。分别交直线x+2y-9=0于两点.

(1)求证：直线/尸与直线的斜率之积为定值；

(2)求A/WN面积的最小值.

22.已知函数［(x)=lnox+(办>0).

(1)是否存在实数。，使得函数/(x)在定义域内单调递增；

⑵若函数“X)存在极大值/，极小值N,证明：M+N<-4.(其中e々2.71828是自

然对数的底数)

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】由并集的概念即可得解.

【详解】因为/=W-lVxV4},3={x|无<3},所以438=3X44}.

故选：C.

2.A

【分析】根据复数的除法运算及共轨复数的概念求解即可.

【详解】因为(z-l)i=4+3i,

解得z-l=-4+23i=3-4i,即z=4-4i,

i

所以z+彳=4-4i+4+4i=8,

故选：A

3.A

【分析】根据投影向量的定义即可求解.

【详解】刘在就上的投影向量为

故选：A

4.D

【分析】利用百分位数的定义即可得解.

【详解】因为甲组：27,31,37,m,42,49；乙组：24,",33,44,48,52,

由6x30%=1.8,得第30百分位数是第2个数据，故31=〃，

由6x50%=3,得第50百分位数是第3与4个数据平均值37+二m竺=33二+^44,解得〃z=40.

22

所以m+n=71.

故选：D.

5.B

【分析】利用余弦的二倍角公式结合C的范围求出Sinc=g,进而得到余弦值和正切值，结

合诱导公式求出答案.

【详解】由题意得3(l-2sin20-sin。=2,

答案第1页，共17页

解得sina=一工或sin】='

23

,所以sina=',

又兀

3

sinaV2

则coscr=_Jl—sin2a=-，tana=-----=-----

3cosa4

,、6

所以cos（兀-a）=-cosa-~~~，tan（7r-a）=-tana=

sinf--J=cosa=--,cosf--J=sina=-,

U）3U）3

故ACD错误、B正确.

故选：B

6.C

【分析】结合等差数列求和公式、等差数列定义以及充要条件的定义即可得解.

【详解】若｛%,｝为等差数列，则数列m｝的前〃项和为S,="(%；'),

若数列｛%｝的前n项和为S"=,

则时，a=S-S"(%+%)(〃FQ+%)J+叫一好】儿」

""i222

所以q+(w-2)a„-(“-I”1]=0,%+[n-3)an_x-(w-2)a„_2=0,

两式相减得a“+4,-2=2%T,an一%=%-%，

所以｛%｝为等差数列；

综上所述，甲是乙的充要条件.

故选：C.

7.D

【分析】连接AD,交NC于。，连接/。，交尸。于G,根据题意，尸G=2G。，得G为△尸NC

重心，得。为尸C中点，进而得尸CJ./。，和尸C,血W,得尸C,平面/MQN,再利用棱

锥得体积公式，即可求解.

【详解】如图：

答案第2页，共17页

连接8。，交/C于点O,连接PO,相交于点G,

因为尸M=PN=2ND,所以MN//BD,所以尸G=2GO,故G为AP/C的重心，所

以。为/C中点.

又因为△尸/C为正三角形，所以尸C，/。.

因为四棱锥尸-4BCD是正四棱锥，所以8O_L/C,BD1PO,AC,尸。u平面E4C,且

ACcPO=O,所以3。，平面P/C.

尸Cu平面尸/C,所以尸C_L8D,XBD//A4N,所以尸C_LAGV.

AQ,71^¥（3平面/"。双，AQr\MN=G,

所以尸C,平面/MQN.

因为43=2,

所以ZC=8O=2后，MN=-BD=,AQ=^AC=A,PQ=\AC=y[2,

3322

所以七一,缈=:*!/0何'尸0=!*&X虫乂血二次.

32639

故选：D

8.A

【分析】设函数y=/（x）,了=8（》）的切点坐标分别为（花户。，（乙,渥），根据导数几何

意义可得!=三=，结合题意可知方程;=二有两个不同的实根，则设〃（"=之，求导

4ae'4aeex

答案第3页，共17页

确定其单调性与最值情况，即可得实数。的取值范围.

【详解】由题意可知：

设函数/(x)=e"T上的切点坐标为,函数g(x)=ax2上的切点坐标为(工2，。4),

Xj—1

且/'(力=4，g'(x)=2"，则公切线的斜率卜一=2办2,可得％=3一，

2a

则公切线方程为了-11=炉1尤-占)，

xax

代入(2，l)得办；-e，［T=才―(x2-xj,

若总存在两条不同的直线与函数了=/(尤)，V=g(x)图象均相切，则方程；=占有两个不

4ae

同的实根，

设，(x)=g，则〃'(X)=?，

令〃(x)>0,解得X<1；令〃(x)<0,解得x>l；

则%(x)在(-8,1)内单调递增,在(1,+8)单调递减,可得〃(尤)“(1)=」,

e

且当x趋近于-8时，,⑺趋近于-必当x趋近于+8时，人⑴趋近于0,

F

可得0<!<1，解得a>［，故实数0的取值范围为

4ae4<4J

故选：A.

【点睛】关键点睛：涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变

量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围.

9.BD

【分析】根据独立性检验的公式，可得判定A不正确；根据方差的性质，可判定B正确；

答案第4页，共17页

根据相关性的定义，可判定C不正确；根据独立事件的判定方法，可判定D正确.

【详解】对于A中，若2x2的列联表中的每个数字变成原理的2倍，

m2_2"(2ax2d-2bx2c?n(ad-be?_______

人,(2a+26)(2c+2d)(2a+2c)(2b+2力(a+.(c+@(a+0(6+)'

此时犬变为原理的2倍，所以A错误；

对于B中，在随机变量J服从正态分布N(3,4),若J=2〃+3,则。所以

B正确；

对于C中，若所有样本点=都在直线冲0.9x+l上，则这组样本数据完全

相关，所以这组样本数据的样本相关系数为1,所以C不正确；

对于D中，分别抛掷2枚相同的硬币，事件M表示为“第1枚为正面“，事件N表示为“两枚

结果相同”，可得尸(M)=g,尸(N)=g,P(MN)=；,可得P(MN)=P(M)P(N),所以事件

是相互独立事件，所以D正确.

故选：BD.

10.AC

【分析】根据。(。+6)=1可得即可代入选项中，结合基本不等式求解AB,利用

a

导数求解函数单调性求解最值即可求解C,根据。,6的范围即可判断D.

【详解】由。(。+方)=1可得,一。=6,

a

对于A,a2+b2=a2+|^--«J=2«2+4-2>2V2-2,当且仅当2。2=5时，即

a=£b=啦-◎时取等号,故A正确，

对于B,2a+b=2a+--a=a+—>2,当且仅当“=’时，即a=1时等号成立，但止匕时b=0,

aaa

故等号取不到，故B错误，

11111

__1__———(______------------

对于c,aba£_aa(l-叫，记

a

/(a)=a(l-a2)(l>a>0),<(a)=(1-a2)-2a2=1-3a2,

当0<a<g,f'(a)>0,/(a)单调递增,当亨<a<1,f(a)<0,/(a)单调递减,

答案第5页，共17页

故"人=/图=孚,

111a3A/3

故，+彳=3—若的最小值为：=受,故c正确，

Qb。（1-Q）2省2

对于D,由于工-。=b〉OnO<a<l,b>0,4a-4b<1,故人-新的最大值不可能为L

a

故D错误，

故选：AC

11.BCD

【分析】根据力（r+2无片力（x）可判断选项A；根据析（x+2兀）=龙a）可判断选项B；利

用导数研究函数的最值的方法及三角恒等变换即可判断选项C；根据工（-x+2兀）+工G）=0

可判断选项D.

【详解】因为力（x）=sinx+；sin2x,

1.

f（-x+2兀）=sin（一x+2兀）+—sin2（-％+2兀）=-sinx——sin2x=-f（x）,

222

所以力（-x+27i）w人（x）,

则X=7t不为力（X）的一条对称轴，故选项A不正确;

因为力（x+2兀）=sin（x+27i）+；sin2（x+2兀）=sinx+；sin2x,

所以力（X+2兀）=力3,

则力（X）的周期为2兀，故选项B正确;

因为力（x）=sinx+；sin2x+gsin3x

所以/（%）=cosx+cos2x+cos3x

=cosx+cos2x+cos（2x+x）

=cosx+cos2x+cos2xcosx-sin2xsinx

=cosx+cos2x+cos2xcosx-2sin2xcosx

=cos2x+2cos2xcosx

=cos2x（l+2cosx）

答案第6页，共17页

又因为力（x+2兀）=sin（x+27c）+gsin2（x+27c）+gsin3（x+27i）=f3（x）

所以力（X）的周期为2兀.

故只考虑函数/（x）在［0,2可上的最大值即可.

令4（x）＞0,得：0＜x＜：或］＜x＜，或］＜x＜：或］＜》＜2兀；

令丑）＜。,得：卜/或者*、后或詈、号

所以函数之卜）在）2兀3兀5兀4兀和2兀］上单调递增；在兀2兀3兀5兀

34434'344

和m上单调递减.

71V211V212y/2,3兀12724兀

又因为人------F—+—X——=—+,<——+--，---力-

2--23223342334

力（2兀）=0

所以力（x）的最大值为：+与，故选项C正确;

因为，（1）=si11^+—sin2x+—sin3xH-----F—sinwx,

fn（-x+2兀）=sin（—x+27i）+；sin2（-x+27i）+；sin3（-x+27i）d----F—sinw（-x+27i）

1.

=-sinx----sinnx

n

所以工（f+2兀）+＜（x）=0,

则力（无）关于点（兀,0）中心对称，故选项D正确.

故选：BCD

12.ABD

【分析】选项A,由点4（-2,-1）在抛物线上，代入方程待定系数，求出抛物线C方程，则

得到准线方程；选项B,利用导数求出切线斜率，与直线NB斜率相同即可说明相切；选项

C,设出直线方程，联立抛物线方程，将丽•丽坐标化韦达定理代入可证；选项D,利

用弦长公式用（1+〃）卜匐表示，再代入韦达定理，结合判别式A＞0得出的公的范围，即可

判断得出答案.

【详解】对于A：因为点-2,-1）在抛物线C：/=_2处（？＞（））上，

答案第7页，共17页

贝ij4=2p,解得p=2,

所以抛物线C：/=-外，

其准线为>=1,故A正确；

对于B：令=

贝lj/'(x)=x,可得/(一2)=1,勤=^^=1，

即抛物线在/点处切线斜率与直线斜率相同，

所以直线与抛物线C相切，故B正确；

对于C：由题意可知，直线尸。斜率存在，

设直线PQ的方程为〉=Ax+l,Pa，M),Q(X2，%),

联立方程二:，消去V得：/+4而+4=0,

可得A=1642—16>0,得公>1,

且［再+迎=T左

［西'2=4'

UUTUU1T(W2\

XX

因为OP.O0=XjX2+乃力=12+I-才JI-才J

22

=占%+2=4+1=5,故C错误；

16

对于D：由题意可知忸=(_2-0)2+(-1-1)2=8,

因为忸尸卜忸°|=川+左2卜「0|.卜「0卜Q+左2监2卜4(+为),

则忸斗忸9=4(1+F)>8,

所以忸斗忸0|>|网2,故D正确.

故选：ABD.

答案第8页，共17页

【分析】根据题意得到(1-XA的展开式的通项公式，再由条件列出方程即可得到结果.

【详解】因为(1-x)4的展开式的通项公式为(-

则展开式中含/项的系数为(一1)七；一“T)3c：=8

解得。=3

故答案为:3

14.(x+1)2+j2=1(答案不唯I,+(y-a-1)~=a2(aeR))

【详解】因为圆C的圆心在直线＞='+1上，不妨设其圆心C(a,a+D(aeR),

又因为圆C与V轴相切，则半径为「=时，

所以圆C的标准方程为(x-a)2+(y-"l)2=/(aeR),

取。=一1,则一个同时满足上述条件的圆的标准方程为(x+1尸+/=1.

故答案为：(x+l)2+_/=l(答案不唯一，(x-a)2+(j-a-l)2=a2(aeR))

1

⑹J

【分析】作出圆台的轴截面，然后根据题意可求出圆台的母线长，从而可求出圆的高，进而

可求出圆台的体积.

【详解】作出圆台的轴截面，如图所示：£为切点，。厂为圆台的高.

答案第9页，共17页

圆台的母线AD=DE+AE=a+b,AF=———-b-a

2

所以圆台的高£R=^IAD2-AF2=4a+bf-（b-af=14ab

球O的半径r==，石，由球。与该圆台体积比为尚得：

3

=。，整里得：3a2-10/+3/=0

1

—(ri：a1+7rb2+7rab)-2

3

方程两边同除/，解得/或3（舍去）

b3

故答案为：g

16.V2

【分析】设C（f,0）（"a）,设N［等,yj,尸伍.），由题意可得L•ev=T,再根据

进一步求出关系式，进而可求得力，々的关系式，再根据点P在双曲线上得出。1,c的关系,

即可得解.

【详解】由题意，设C&0®>a）,

/(-a,0),3(a,0),贝！］|NC|=a+f,

则设等,必［网马,为），

因为以/C为直径的圆交直线AP于点M,所以即4PLNC,

所以右一=

所以k』p,kCN

x2+aa-tx2+a2y1

因为尸,5,N三点共线,

力-2%

所以左m=kpN,即x,—aa+tt-a>

2

%二t-a次二］

所以

x2+ax2-a2y{t-a

即222=1，

%2-a

答案第10页，共17页

222222

因为点P在双曲线0-A=l上，所以答一冬=1,所以只=&2+等,

ababb

££一一

所以只一〃22C^y\2/，

aH--------z—a

b2

故答案为：4i-

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得“、。的值，根据离心率的定义求解离心率e

的值；

(2)齐次式法：由已知条件得出关于。、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

17.(1)-

(2)—

4

【分析】(1)利用两角差的正弦展开结合正余弦定理角化边求解；

(2)由正弦定理结合面积公式求解.

【详解】(1)sirU(sin5cosc-cosHsinC)+sin5(sinCcos/-cosCsiiL4)=sinCsinS-sin2C

由正弦定理可得：abcosC-accGsB+bccGsA-abcosC=bc-c2

bccosA-accosB=bc-c2,

答案第11页，共17页

由余弦定理：6J+c?"+d-=bc-J,

2bclac

化简得：b2+c2-a2=bc,

所以COS。=b+0———,^4G(0,7T),

2bc2v7

所以N=三;

(2)由正弦定理：-^-=—=^-=2,

SIIL4sinBsine

所以be=4sin5sinC=3,

|7[r|1,..3373

贝USc=—besmA=—x——=---

2224

18.2〃+l,bn=n•

(2)耳=4-2〃+2+2/+5〃.

【分析】(1)求出/d即得数列抄〃｝的通项公式，利用凡与S”的关系求出数列｛4｝的通项

公式；

(2)求出。2小=-2〃+2〃+1,再利用分组求和求数列｛g｝的前2〃项和耳.

【详解】(1)解：令〃=i，d=2%+4=1,

令〃=2,Sz=242+62=%+%,又出+4=。，所以"一"=一1二一"，即d=l.所以4二〃，

Sn=2(1n+n,①Si=2。1+”1,(心2).②

两式相减得4=2%-2a,i+1,/.%=一1二:=2,(n22),

即｛%-1｝是公比为2的等比数列，且%-1=-2,

所以%-1=-2；.%=-2"+1.

(2)解:由。2,=C2„-l+bl，。2”+1=C2n+an可得。2用=-2"+2

C=C=C

2n-12n-3~+2,C2n-32n-5~+2,••-C3=C]—2+2.

累力口可得C2,T=-2"+2〃+1,

=(G+°3+°5+…+C2n-l)+(C2+C4+C6+'"+C2n)

答案第12页，共17页

w

=(C1+c3+c5H---FC2n_j)+(Cj+1+c3+1+c5+1H---FC2n_j+1)=2(Cj+C3+C5H---FC2n-1)+>

而C]+C3+c$+…+<?2h_|=-(2’+2-+…+2")+(3+5+…+2n+1)

=2-2"+】+/+2〃，

+22

T2n=4-2"+2n+5n.

19.(1)证明见解析

(2)存在，理由见解析

【分析】(1)以。为原点，分别以DC,DB,DE方向为％%z轴建立如图所示空间直角坐标系,

证明而与平面&C尸的法向量垂直即可证；

(2)由线面角的向量法求线面角后可得结论.

【详解】(1)如图，以。为原点，分别以。方向为x/，z轴建立坐标系.

C(2,0,0),3(0,1,0),/(-2,1,0),£(0,0,6),尸(0,1,26).

5C=(2,-1,0),SF=(0,0,2A/3),2E=(2,-1,V3),EF=(0,1,V3),

设平面BC厅的法向量为4=(x1,j1,z1),

2e—必=0

则由BC,%=0,BF•〃]=(),<取斗=1得々=(1,2,0).

2后=0

因为DC=EF=2,EG=DH=2,所以)=°反，豆存二,诙

22

解得"(4O,O),G,O,*6+；"M=2,-p

答案第13页，共17页

所以•GH=0,且GH（Z平面BCF,所以GHII平面BCF

7

（2）设平面4E7的法向量为几2

2X-%+色z?-0

2,解得心（百，百,一1）.

则由AE-n2=O,EF-n2=0,*

y2+V3Z2=0

疮

所以sin8=|cos,2,GH，卜&+G

A/7-A/2A2+3A+3~\A

解得4=1.

20.(1)45

(2)22

【分析】⑴记“小杭被抽中”为事件A,“小杭第i次被抽中”为事件4（，=1,2）,可知

A=AlA2+A^2+AxA2,利用独立事件的概率公式可得出关于N的等式，解之即可；

「5「10

（2）求得尸（X=20）=,解不等式幺包21,解出N的取值范围，即可得解.

aN

【详解】（1）解：记“小杭被抽中”为事件A,“小杭第i次被抽中”为事件4（，=1，2）.

15N-155_

P(4)=P(44)+P(/W)+P困22=

NN9

整理可得N?-54N+405=0,即（N-9）（N-45）=0,

又因为NN15且NeN*,解得N=45.

（2）解：“X=20”表示第一次在N个人中抽取15个，

第二次抽取的15个人中，有5人在第一次抽取的15人以外，另外的10个人在第一次抽取的15

人中，

「15「5010「5「10「5010

P（X=20）=。％机=5养,记心=学和，

由

必=L=（"14）!N!5!.-20）

4-5!（N-19）!15!•2-15）（V+1）!^-15!）

答案第14页，共17页

3-14）2>]

（N+1）（N-19）-

解得NW21.5,又NeN*,所以N=22时，尸（X=2O）取最大值.

21.（1）证明见解析

【分析】（1）列出关于。，c的方程组，求得，后再求出6得椭圆方程，设尸（士,必）,Q,％）,

3

直线的斜率分别为左，月，设直线2。为x=（y+/,代入椭圆方程应用韦达定理得必%,

%+%,计算上并代入韦达定理的结论可证；

（2）设％=；/2=《，贝此4=-9,由直线/尸,/。方程求得的纵坐标，从而求得|九CV|,

/v|K?

计算A到直线MN的距离，计算出AMVW面积，再转化为一元函数后，利用判别式法求得

最值.

£_V|4=3____

【详解】（1）由题意得~a~~T，解得，,所以6=J32_6=邓>

。二3

所以椭圆C的方程为工+匕=1,

93

设尸（西,必）,。@2，%）,直线/尸,/。的斜率分别为匕,七,

2+3/=9

一3X

设直线?。为'=与椭圆联立＜3，

X=ty+2

t2+3）y2+3ty-^-=Q,

3t

M+%=-7+3

所以

271

%为=-4»+3

代入可得心心=-§,

答案第15页，共17页

所以直线/P与/。的斜率之积为定值-，

1112

(2)设公厂,。2=厂，则区=-9,又点/(-3,0)到直线X+2尸9=0的距离是4=下，

x+2y-9=01212

解得PM=同理%=\y.

x=txy-3

12129

所以|M2V|=1+