2024梅州市高三总复习质检数学试题(含答案)

试卷类型：A

梅州市高三总复习质检试题（2024.2）

数学

本试卷共6页。满分150分，考试用时720分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答

题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知集合4={%|x<a},B-{x\-\<x<2},A\^[,RB=R,则a的取值范围为

A.（-oo-l]B.（-1,2]C.[-1,2）D.[2,+8）

2.已知2-z•（其中，为虚数单位）是关于x的方程/+/+夕=0的一个根，则实数夕应分别

等于

A.p=4,g=5B.p=-4,q=-5C.p=-4,q-5D./?=4,q=-5

3.某单位有职工450人，其中男职工150人，现为了解职工健康情况，该单位采取分层随机

抽样的方法抽取了一个容量为90的样本，得出体重情况：男性平均体重为63千克；女性

平均体重为54千克。则下列说法不IE碘的是

A.抽查的样本中女职工人数为60B.该单位男职工的体重普遍比女职工较重

C.估计该单位职工平均体重为58.5D.每一位男或女职工被抽中的可能性均为（

4.某圆锥的底面直径和高均是2,则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为

C.8+1D./T

A.B.」

2222

5.已知tanan—=-2,则sin2a=

I4j

33

A.—B.一

54

高三数学试卷第1页共6页

6.如果双曲线1的离心率为2,那么椭圆£+^=1的离心率为

mnmn

15,V3

A.-B------C-----

222

7.已知△45C是锐角三角形，角4瓦C所对的边分别为a,"c,S为△/3C的面积，2S^b2+c^a2,

则£的取值范围为

U

8.如图，正四棱柱243Gp-44CQ1中，441=248=2,点尸是

面血用其上的动点，若点P到点A的距离是点P到直线AB的

距离的2倍，则动点尸的轨迹是()的一部分

A.圆B.椭圆

C.双曲线D.抛物线

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知直线神〃和平面见/，且〃ua,则下列条件中，P是9的充分不必要条件的是

A.p'.mlla,q:mllnB.p\mLa,q:mLn

C.p：all。，q:nll/3D.p:nA.0,q;aL/3

10.已知函数/(力=6'.-e。。"则下列说法正确的是

A.7(x)的图象关于直线x=?对称B./(无)的图象关于点(?,0)中心对称

C./(%)是一个周期函数D,〃x)在区间(0㈤内有且只有一个零点

11.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向

右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9,

1-2-3->5-7-8-9就是一条移动路线。从1移动到数字〃(〃=2,3,…9)的不同

路线条数记为小从1移动到9的事件中，跳过数字〃("=2,3,…8)的概率记为％,则下

高三数学试卷第2页共6页

列结论正确的是

9

A-%=8B.C,区=百D.PT>P8

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知晟表示两个夹角为?的单位向量，。为平面上的一个固定点，尸为这个平面上

任意一点，当方=E+时，定义（x,y）为点尸的斜坐标.设点。的斜坐标为（2,1）,

则\OQ\=.

13.3+33+333+…+333…3=_______.

'----V----'

〃个3

14.已知圆C:（x-4）2+/=5,点P在抛物线T：/=4x上运动，过点尸引圆。的切线，切

点分别为45,贝（）|48］的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）设｛%｝是等差数列，也｝是等比数列.已知a】=4=4,&=%+1,%=243-4.

（1）求｛%｝和也｝的通项公式；

（2）数列｛%｝和｛4｝的项从小到大依次排列（相等项计两项）得到新数列｛g｝,求｛cj的

前50项的和.

高三数学试卷第3页共6页

16.(15分)甲、乙两人进行五局三胜制乒乓球比赛，已知每局比赛，甲胜的概率为2,乙

3

胜的概率为3.

(1)求甲赢得比赛的概率；

(2)求两人比赛局数的数学期望,

17.（15分）已知三棱柱ABC—ARG中，AB=4C=2,ZBAC^120°,且BC=2BBjNCBB",

侧面BCG用，底面4®。。是3c的中点.

(1)求证：平面G3J_平面与4D；

(2)在棱441上是否存在点。，使得5Q与平面ZCG4的所成角为60°.如果存在，请求

出半；如果不存在，请说明理由.

AA^

高三数学试卷第4页共6页

18.(17分)已知函数f(x)=ln(x+l)--^-(a>0),

x+1

(1)若x=l是函数/(x)的一个极值点，求a的值；

(2)若0在电+8)上恒成立，求a的取值范围;

(3)证明：(网y°24>e(e为自然对数的底数).

2023

高三数学试卷第5页共6页

19，(17分)有一种曲线画图工具如图1所示，0是滑槽的中点，敏FON可绕。转动，长

杆"N通过N处较链与ON连接，上的栓子。可沿滑槽4s滑动，旦DM=DN=ON=\.

当栓子。在滑槽43内做往复运动时，带动N绕。转动，跟踪动点N的轨迹得到曲线Q,

跟踪动点M的轨迹得到曲线。2,以。为原点，42所在的直线为力轴建立如图2所示的

(1)分别求曲线G和。2的方程；

(2)曲线G与入轴的交点为瓦/，动直线/：、=丘+加与曲线G相切，且与曲线。2交

于己0两点，求△月尸。的面积与△尸尸。的面积乘积的取值范围.

梅州市高三第一次质检（2024.2）

数学参考答案与评分意见

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

12345678

DCCBADAC

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011

BCDBCDABC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

14.［半,2病

13—xlOw+1--w-—

,27327

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分13分）

解：（1）因为｛%｝为等差数列，设其公差为d；｛2｝为等比数列，设其公比为q,

4=%=4

依题意有：〈人.=为+d+i..........................................2分

如2-2(q+2^)-4

4q=5+d

得至!J：..........................................3分

q1=1+d

q=2

解得：\..........................................4分

d=3

因此=4+3(〃-1)=3〃+1,..........................................5分

〃=4・2〃T=2叫..........................................6分

=

(2)因为%4=3x44+1=133,又4=27=128<%4，256>tz44,............8分

且等差数列｛%=3〃+1｝和等比数列也=2〃M｝均为单调递增数列，.....................9分

所以数列匕｝的前50项包含｛(｝的前44项和也｝的前6项,............10分

数列｛c〃｝的刖50项和=%+出++%4+4+a+4+&+&+。.....11分

44x(4+133),4(1-26)，。八

21-2

=3266........................................13分

16.(本小题满分15分)

解：(1)由已知可得，甲赢得比赛的情况有以下三种：

①情况一：比赛三局且甲均获胜，其概率为4=郎，.................2分

②情况二：比赛四局，甲前三局胜两局，输一局，第四局甲获胜，

其的概率为：x^l-|^x|=^,......................................4分

③情况三：比赛五局，甲前四局胜两局，输两局，第五局甲获胜，

其概率为…2：卜""$.......................6分

综上，甲获胜的概率为尸=4+月+巴=§+§+3=3....................................8分

327278181

(2)设两人比赛局数为X,则随机变量X的可能取值为3,4,5,................................9分

…UM，.......................................1。分

218210

P(X=4)=C3X—X—=--------1--------=——,..........11分

33272727

P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=1—g—£=卷，......12分

则随机变量X的数学期望E(X)=3X』+4XW+5X*-=M...........15分

3272727

17.（本小题满分15分）

解：（1）因为45=/C=2,。为的中点,

所以1分

因为侧面5CC.S）±底面ABC,且侧面BCC[B\Q底面ABC=BC,

所以40,侧面BCCQi，

而BQu侧面BCG4,所以.......2分

取AG的中点连结DM,

易知四边形ADA"]为平行四边形，

DM=BB[=gBG，.......3分

所以由A5QG为直角三角形，8Q，£（G，...................4分

又ADu平面£>Gu平面/DC],AD[}DCX=D,

所以BQ,平面4DG，...................5分

又BQu平面4031,所以平面440_L平面40G....................6分

（2）取的中点为E,连接用£,则用£，60,由（1）得，耳平面48c

过D作直线I平行于四£,则以为。坐标原点,I为所在直线为z轴，为所在直线为x轴,

£%为所在直线为y轴，建立空间直角坐标系。-町2,...................7分

则8(6,0,0),耳(?,0,g),C(-Ao,O),Z(0,—1,0),...............8分

所以55二(—5-,05)，AA、=BB',

所以怒=(—3,0,g),设而=2五4,2e[0,l],

所以。=（一............9分

所以加=（—告2—G,—1,|彳），........10分

又设平面ZCC/i的法向量为〃=（x,y9z）,

—y/ix+y=0

n^AC=O

因为［•石；=0'即《G3n...................n分

［22

令x=A/3,则y=3,z=1,

所以［=(6,3,1),...................12分

我.百—3+以

=3............13分

所以sin60°—cos(8。,〃，=

(一,4_+1+(3)22，

整理得：3922+392+4=0

而显然当OKXKl时，39丸2+392+4〉0,

39万+394+4=0在区间［o,i］上无解，...................14分

即在棱44］上不存在满足题意的点0....................15分

18.（本小题满分17分）

解：（1）因为/（%）=ln（x+l）-上一（。＞0）,

x+1

所以（（X）=^^（。＞0），...................1分

（x+1）

因为x=l是函数/（X）的一个极值点，

故/''（1）=0,即0=2,...................2分

当。=2时，代入检验，x=l确是函数〃x）的一个极小值点，...................3分

所以。=2....................4分

（2）因为〃x）20在［0,+s）上恒成立，所以20....................5分

当0＜aW1时，/（x）==I-，20在［0,+8）上恒成立，

（x+1）

即/'（X）在［0,+8）上为增函数，...................6分

所以/（x）加”=/（。）=0成立，即0＜。VI满足题意....................7分

当。＞1时，令/(幻="I-，＞0,得x＞a-l,

(x+1)

令广(x)=X+1在<0,得0<x<a-l,......................................8分

(x+1)-

即/(x)在(0,0-1)上为减函数，在(a-1,+8)上为增函数.........................9分

当xe(0,a-l)时，/(x)<〃0)=0,这与/'OONO矛盾....................10分

综上所述，。的取值范围是(0J.11分

(3)证明：要证(2空产24>e,

2023

20241

两边取自然对数得，2024・ln'上>1,等价于：In12分

202320232024

20241

只需证：InH丝———>0,13分

20232024

x

由(2)知，当。=1时，f(x)=ln(x+1)-在(0,+00)单调递增.14分

x+1

]

1、，八1、2023120241,小、八

f(-----)=ln(l+-------)-----—=In---------------------->/(0)=0>......................................16分

202320231,120232024

2023

从而原命题成立....................17分

19.(本小题满分17分)

解：(1)因为ON=1,所以点N的轨迹是以原点。为圆心，半径为1的圆，...........1分

于是曲线G的轨迹方程为一+/=1.......................................2分

由题可知,疵=丽,|丽|=|丽卜1,

(r-x,-v)=(x0-r,j0)[x=2t-x0

所以<x：+y：=l<y=-y0......................................3分

2

(x0-r)+^=l卜(/-2/)=0

由于/不恒为0,所以7=2%,

X

故3.......................................4分

旧=-V

又看+了；="所以+(-了)2=1，即1+/=1，......................................5分

2

故曲线。2的轨迹方程为]+/=!....................6分

（2）易知E（—1,0）,尸（1,0）,

设尸（西，%），。（々，%）»

\—k+m\

则点E到直线l:y=kx+m的距离为&=1,1，

点F