2024年中考数学总复习学案：图形的相似-知识讲解提高

2024年中考数学总复习：图形的相似一知识讲解（提高）

【考纲要求】

1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质.

2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题.

3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小.

4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出

它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置.

【知识网络】

林目似多边形的特征|

在目似的图形H

L定义|

2.两角对应相函

■］识别方法］―

3.两边对应成比例且夹角相等1

图4.三边对应成比例|

形L对应角相匐

的T相彳但角形1

相1性质卜2.对应边、对应中线、对应角平分线、

似对应高线、周长的比等于相似比

3.面积的比等于相似比的苹用

—|应用：解决实晾丽

---1位似I

T用坐标来确定位置I

图形与坐标

-1图形的运动与坐标］

【考点梳理】

考点一、比例线段

1.比例线段的相关概念

如果选用同一长度单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是

nrrj

-=或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.

bn

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，

简称比例线段.

若四条a,b,c,d满足或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做组成比例的项，线段a,d叫做比例外

项,线段b,c叫做比例内项.

nh

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即一=—或a：b=b：c,那么线段b叫做线段a,c的比例

bc

中项.

2、比例的性质

（1）基本性质：①a：b=c：doad=bc②a：b=b：c<=>b2=ac.

（2）更比性质（交换比例的内项或外项）

厂（交换内项）

cd

乂

acdc_^_

一=一=>—=—(z父换外项)

bdba

db

-=-(同时交换内项和外项)

ca

(3)反比性质(交换比的前项、后项)：y=4^-=-

bdac

，、人aca+bc+d

(4)合比性质：一=—=>-----=-----

bdbd

/_、Mm工hacem,,„八、a+c+e-\----\-ma

(5)等比性质：—=—=—=•••=—(zb+d+f------F“wO)=>-------------------------=—

bdfnb+d+f------1-nb

3、黄金分割

把线段AB分成两条线段AC,BC(AOBC),并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割,

J5-1

点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=——AB®0.618AB.

2

考点二、相似图形

1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.

也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相

似图形).

2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.

3.相似多边形的性质：

相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.

相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性质：

(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，

都等于相似比.

(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.

【要点诠释】

结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数

和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；

(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相

等，那么这两个三角形相似.

考点三、位似图形

1.位似图形的定义：

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的

两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.

2.位似图形的分类：

(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.

(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.

3.位似图形的性质

位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

【要点诠释】

位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

4.作位似图形的步骤

第一步：在原图上找若干个关键点,并任取一点作为位似中心;

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接截取点.

【要点诠释】

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐

标的比等于k或-k.

【典型例题】

类型一、比例线段

C1.己知三个数1,2,G，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是

分析：这是一道开放型试题，由于题中没有告知构成比例的各数顺序，故应考虑各种可能位置.

【思路点拨】这是一道开放型试题，由于题中没有告知构成比例的各数顺序，故应考虑各种可能位置.

【答案与解析】根据比例式的概念，可得：

]X百4-2=—；

2

2X73+1=2石

nr2y/3

1X24-V3=二一

3

【总结升华】要构成一个比例式，根据比例式的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘

积，则四条线段叫成比例线段.

举一反三：

【变式】将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是()

A.菱形的各角扩大为原来的2倍B.菱形的边长扩大为原来的2倍

C.菱形的对角线扩大为原来的2倍D.菱形的面积扩大为原来的4倍

【答案】A.

类型二、相似图形

【高清课堂：图形的相似考点10(3)1

▼2.（2015•资阳）如图，在AABC中，/ACB=90°,AC=BC=1,E、F为线段AB上两动点，且/ECF=45°,

过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M,垂足分别为H、G.现有以下结论：①AB=«；②当点E与

点B重合时，MH=1；③AF+BE=EF；④其中正确结论为（）

22

【思路点拨】利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比（共底三角形的面积之比等于

高之比）.

【答案】C.

【解析】解：①由题意知，AABC是等腰直角三角形,

,AB=JA,2+Bc2=V^,故①）正确；

②如图1,当点E与点B重合时，点H与点B重合，

.".MBXBC,ZMBC=90°,

VMGXAC,

NMGC=90°=/C=NMBC,

；.MG〃:BC,四边形MGCB是矩形，

/.MH=MB=CG,

VZFCE=45°=ZABC,ZA=ZACF=45°,

；.CE=AF=BF,

；.FG是AACB的中位线，

/.GC=1AC=MH,故②正确；

③如图2所示，

图2

VAC=BC,ZACB=90°,

.\ZA=Z5=45°.

将AACF顺时针旋转90。至ABCD,

贝!|CF=CD,Z1=Z4,ZA=Z6=45°；BD=AF；

•/N2=45°,

.*.Z1+Z3=Z3+Z4=45°,

/.ZDCE=Z2.

在AECF和AECD中，

'CF=CD

<N2=NDCE，

CE=CE

.,.△ECF^AECD(SAS),

.\EF=DE.

VZ5=45°,

/.ZBDE=90°,

.*.DE2=BD2+BE2,即EF2=AF2+BE2,故③错误;

(4)VZ7=Z1+ZA=Z1+45°=Z1+Z2=ZACE,

VZA=Z5=45°,

.".△ACE^ABFC,

•AE^AC

"BC而’

；.AE・BF=AC・BC=1,

由题意知四边形CHMG是矩形，

；.MG〃BC,MH=CG,

MG〃BC,MH〃AC,

CH-A.ECG一_B-F

BCAB,AcAB

即

近BF,

22

；.MG・MH=^AEx立BF」AE・BF」AC・BC」,

22222

故④正确.

故选：c.

【总结升华】考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性

质，三角形中位线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，综合性较强，有一定的难度.

C3.（2015•杭州模拟）如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF二EC,

连结EF,DE,DF,M是FE中点，连结MC,设FE与DC相交于点N.则4个结论：①DN=DG；

②△BFGs/iEDGsZ^BDE；③CM垂直BD；④若MC=«,则BF=2；正确的结论有（）

A.①②B.①②③C.②③④D.①②③④

【思路点拨】根据正方形的性质可得AD=CD,然后利用“边角边”证明4ADF和4CDE全等，根据全等三

角形对应角相等可得ZADF=ZCDE,然后求出ZEDF=ZADC=90°,而ZDGN=45°+ZFDG,

ZDNG=45°+ZCDE,NFDGW/CDE,于是/DGNW/DNG,判断出①错误；根据全等三角形对应边相等可

得DE=DF,然后判断出4DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得/DEF=45°,再根据

两组角对应相等的三角形相似得到△BFGs/kEDGs^BDE,判断出②正确；连接BM、DM,根据直角三角

形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM=°EF,然后判断出直线CM垂直平分BD,判断出③正确；过

2

点M作MHLBC于H,得到NMCH=45°,然后求出MH,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第

三边的一半可得BF=2MH,判断出④正确.

【答案】C.

【答案与解析】

解：正方形ABCD中,AD=CD,

在4ADF和ACDE中，

'AD=AD

■ZA=ZDCE=90"，

AF=EC

/.△ADF^ACDE（SAS）,

/.ZADF=ZCDE,DE=DF,

ZEDF=ZFDC+ZCDE=ZFDC+ZADF=ZADC=90°,

：.ZDEF=45°,

VZDGN=45°+ZFDG,ZDNG=45°+ZCDE,ZFDGT^ZCDE,

/.ZDGNT^ZDNG,

.♦.DNWDH,判断出①错误；

VADEF是等腰直角三角形，

VZABD=ZDEF=45°,ZBGF=ZEGD（对顶角相等），

/.△BFG^AEDG,

VZDBE=ZDEF=45°,ZBDE=ZEDG,

.,.△EDG^ABDE,

/.△BFG^AEDG^ABDE,故②正确；

连接BM、DM.

VAAFD^ACED,

ZFDA=ZEDC,DF=DE,

.\ZFDE=ZADC=90°,

是EF的中点，

.".MD=1EF,

2

,.,BM=1EF,

2

在ADCM与ABCM中，

rDM=MB

<BC=CD，

CM=CM

/.△DCM^ABCM(SSS),

/.ZBCM=ZDCM,

ACM在正方形ABCD的角平分线AC上,

；.MC垂直平分BD；故③正确；

过点M作MH_LBC于H,则NMCH=45°,

VMC=V2>

二亚X&=1,

2

是EF的中点，BF±BC,MH±BC,

...MH是ABEF的中位线，

；.BF=2MH=2,故④正确；

综上所述，正确的结论有②③④.

故选C.

【总结升华】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性

质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，三角形的中位线

平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键.

举一反三：

【变式】(2011湖南怀化)如图8,△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40cm,AD=30cm,

从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在

AC,AB上，AD与HG的交点为M.

AMHG

(1)求证:

~\D~BC

(2)求这个矩形EFGH的周长.

【答案】(1)证明：：四边形EFGH为矩形,

；.EF〃GH,

ZAHG=ZABC,

又：NHAG=/BAC,

AAHG^AABC,

.AMHG

ADBC

AMHG

(2)解：由(1)----=----

ADBC

得：设HE=xcm,MD=HE=x,

VAD=30,

.\AM=30-x,

VHG=2HE,

；.HG=2x,

AM=AD-DM=AD-HE=30-x(cm),

30-xlx

可得

3040

解得,x=12,

2x=24

所以矩形EFGH的周长为：2X(12+24)=72(cm).

答：矩形EFGH的周长为72cm.

如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点/的坐标为(-8,0),直线/经过点5(-8,6),

C(0,6),将四,边形OABC绕点。按顺时针方向旋转。度得到四边形。4'3'C,此时直线。4'、直线B'C

分别与直线以相交于点只Q.

BP

(1)四边形十回的形状是，当c=90°时，——的值是

BQ

BP

(2).①如图1,当四边形QA'3'C'的顶点8'落在y轴正半轴时.，求通的值;

②如图2,当四边形OAB'C的顶点3'落在直线BC上时，求△005'的面积.

(3)在四边形物8c旋转过程中，当0<aW180°时，是否存在这样的点尸和点Q,使BP=^BQ?若

2

存在，请直接写出点户的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】(1)根据有一个角是直角的平行四边形即可得出四边形OA'B,L是矩形，当a=90。时,

BP4BP4

可知——=—,根据比例的性质得出——=-；

PQ3BQ7

9

(2)①由△COPs/kA'OB',根据相似三角形对应边成比例得出CP=—,同理由△B'CQS/^B'C'O,得出

2

CQ=3,则BQ可求；

②先利用AAS证明△OCP0ZkB'A'P,得出OP=B'P,即可求出；

(3)当点P位于点B的右侧时，过点Q画QH_LOA'于H,连接0Q,则QH=OC'=0C,根据SAPOEAPOQ,即

可证明出PQ=OP；

设BP=x,在RtZiPCO中，运用勾股定理，得出x=上25，进而求得点P的坐标.

4

【答案与解析】(1)为坐标原点，点A的坐标为(-8,0),直线BC经过点B(-8,6),C(0,6),

.*.0A=BC=8,0C=AB=6,

四边形OABC的形状是矩形；

当a=90°时，P与C重合，如图，

DDQA

根据题意，得'二=2=?,

PQ63

(2)①如图1,VZPOC-ZB'OA",ZPC0=Z0A'B'=90°,

.".△COP^AA'OB',

.CP_OCPnCP_6

A'B'OA!68

97

；.CP=—,BP=BC—CP=-.

22

同理AB'CQ^AB'CO,

CQ_B'CCQ10-6

——,民|J—9

OCB'C68

；.CQ=3,

BQ=BC+CQ=11,

7

-

B尸2

-一--

B。n

备用图

②图2,在△OCP和aB'A'P中,

'ZOPC=ZB'PA'

<AOCP=ZA'=90",

OC=B'A'

/.△OCP^AB,A'P(AAS).

.\OP=B,P.设B'P=x,

在RtZXOCP中,(8-x)2+62=X2,

解得x=235.

4

.c125/75

••SAOPB*XXO----;

244

(3)过点Q作QH_LOA'于H,连接0Q,则QH=OC'=0C,

11

=

•SAPOQ=—PQ*OC,SAPOQ=—OP*QH,••PQOP.

22

设BP=x,

1

VBP=-BQ,；.BQ=2x,

2

如图4,当点P在点B左侧时，

0P=PQ=BQ+BP=3x,

在RtZXPCO中，(8+x)2+62=(3x)2,

解得如=1+3而，X2=1--V6(不符实际，舍去).

22

3

.,.PC=BC+BP=9+-V6,

如图5,当点P在点B右侧时，

.\OP=PQ=BQ-BP=x,PC=8-x.

25

在RtZkPCO中，(8-x)2+62=X2,解得x=—.

4

257

.\PC=BC-BP=8--

44

7

.,.P26),

4

综上可知，存在点Pi(-9-—3Jd,6),Pz(_7—,6),

24

，士

使BP=—1BQ.

2

【总结升华】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性

质，勾股定理.特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的

未知边，根据勾股定理列方程求解.

【高清课堂：图形的相似考点10(5)]

Cs.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EFLDE交BC于点F.

①求证：AADEsABEF；

②设正方形的边长为4,AE=x,BF=y.当x取什么值时，y有最大值?并求出这个最大值.

【思路点拨】本题涉及到的考点有相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，二次函数的最值以及正

方形的性质.

【答案与解析】（1）证明：YABCD是正方形，；./DAE=NEBF=90°,

.•.ZADE+ZAED=90°,

又EF_LDE,/.ZAED+ZBEF=90°,

.\ZADE=ZBEF,

.'.△ADE^ABEF

由（1）AADE^ABEF,AD=4,BE=4-x

BFBEy_4-x

AEADx4

得：y=—x~+x=—（x—2）"+1,（0<x<4）

44'

（3）解：当x=2时，y有最大值，y的最大值为1.

该函数图象在对称轴x=2的左侧部分是上升的，右侧部分是下降的.

【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用.确定个二次函数的最值是,

首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某

个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值.

类型三、位似图形

.如图，用下面的方法可以画出AAOB的“内接等边三角形”，•阅读后证明相应的问题.

画法：（1）在AAOB内画等边aCDE,使点C在OA上，点D在OB上；

（2）连结OE并延长，交AB于点E',过E'作E'C//EC,交OA于点C',

作E'Dz//ED,交OB于点D'；

（3）连结C'D'，则△（：'D'E'是AAOB的内接三角形.

请判断D'E'是否是等边三角形，并说明理由.

【思路点拨】由画法可知,△CDE和△（：'D'E'是位似图形.

【答案与解析】D'E1是等边三角形.

证明：'：CE,//CE,/.△OEC^AOE,C',

:.乌-■些同理辨我-■里,ZCE'D，=/CED=60。，

CTOE'EfE'OE'

/.△C,D'E's/\CDE.：4CDE为等边三角形，•

/.△C,D'E'为等边三角形.

【总结升华】重点考查阅读理解能力和知识的迁移能力.

举一反三：

【变式】如图，直角坐标系中AABC的A、B、C三点坐标为A(7,1)、B(8,2)、C(9,0).

请在图中画出AABC的一个以点P(12,0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要求与AABC同在

P点一侧)；

【答案】连接位似中心P和4ABC的各顶点，并延长，使PA'=3PA,PB'=3PB,PC'=3PC

连接48、NC'、B'C,则得到所要画的图形.画出△^‘3'。'，如图所示.

y

中考总复习：一次方程及方程组一知识讲解

【考纲要求】

1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；

2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；

3.能根据具体问题中的数量关系列出方程(组)，体会方程思想和转化思想.

【知识网络】

方程

一元一次方程

概念

方程的解

解方程

等式的性质1

性质

式的性质2

L去分母|

一

元2.去括号

一

次解法（一般步骤）3.移项

方

程4.合并同类项

5.系数化为1

1.行程问题

2.等积问题

3.和差倍分问题

4.商品利润率问题

应用（常见问题）

5.工程问题

6.储蓄问题

7.数字问题|

8.劳动力分配问题

二元一次方程

概念二元一次方程组

二

元三元一次方程组

(

三

元代入消元法

二解法

次加减消元法

方

程

组审题、设未知数

列方程组

应用

解方程组

检验作答

【考点梳理】

考点一、一元一次方程

1.等式性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍是等式.

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式.

2.方程的概念

（1）含有未知数的等式叫做方程.

（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解（一元方程的解也叫做根）.

（3）求方程的解的过程，叫做解方程.

3.一元一次方程

（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.

（2）一元一次方程的一般形式：ac+Z?=0（。/0）.

（3）解一元一次方程的一般步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1;⑥检验（检验步骤可以不写出来）.

要点诠释：

解一元一次方程的;股步骤

步

名称方法依据注意事项

骤

在方程两边同时乘以所有分

母的最小公倍数（即把每个含1、不含分母的项也要乘以最小公

去分

1分母的部分和不含分母的部分等式性质2倍数；2、分子是多项式的一定要

母

都乘以所有分母的最小公倍先用括号括起来.

数）

去括去括号法则（可先分配再去括注意正确的去掉括号前带负数的

2乘法分配律

号号）括号

把未知项移到方程的一边

3移项等式性质1移项一定要改变符号

（左边），常数项移到另一边

(右边)

合并1、整式的加减；

分别将未知项的系数相加、

4同类2、有理数的加法法单独的一个未知数的系数为"±1”

常数项相加

项则

系数在方程两边同时除以未知数

不要颠倒了被除数和除数(未知数

5化为的系数(或方程两边同时乘以等式性质2

的系数作除数一一分母)

未知数系数的倒数)

方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果.

检根①若左边=右边，则x=a是方程的解；

*6

x二a②若左边W右边，则x=a不是方程的解.

注：当题目要求时，此步骤必须表达出来.

说明：

(1)上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经

过六个步骤；

(2)解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；

(3)对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一

般方法解.

考点二、二元一次方程组

1.二元一次方程组的定义

两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.

要点诠释：

判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，

并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组.

2.二元一次方程组的一般形式

ax+by=c；

<xx

a2x+b2y=c2

要点诠释：

ai、a?不同时为0,bi、b2不同时为0,ai、bi不同时为0,az、b2不同时为0.

3.二元一次方程组的解法

(1)代入消元法；

(2)加减消元法.

要点诠释：

(1)二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解.教材中主要是研究有唯一

解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透.

(2)一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：

当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的

取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当

y=0时，求x的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.

考点三、一次方程(组)的应用

列方程(组)解应用题的一般步骤：

L审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；

2.设:选择恰当的未知数（直接或间接设元），注意单位的统一和语言完整；

3.歹！J:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程（组）；

4.解:解所列的方程（组）；

5.验：（有三次检验①是否是所列方程（组）的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义）；

6.答:注意单位和语言完整.

要点诠释：

列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值

相等.

【典型例题】

类型一、一元一次方程及其应用

C1.如果方程|x?=1是关于X的一元一次方程，则n的值为（）.

A.2B.4C.3D.1

【思路点拨】未知数x的指数是1即可.

【答案】B；

【解析】由题意可知2n-7=l,，"生

【总结升华】根据一元一次方程的定义求解.

举一反三：

【变式1］已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=5,则m的值为.

【答案】由题意可知4X5-3m=2,

【高清课程名称：一次方程及方程组高清ID号：404191关联的位置名称（播放点名称）：例4】

【变式2】若a,6为定值，关于x的一元一次方程经二二竺=2无论"为何值时，它的解总是1,

36

求a,6的值.

【答案】a=0,b=ll.

C2.一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%,下午收割了剩下麦田的20队结果还剩下6

公顷麦田未收割.这块麦田一共有多少公顷？

【思路点拨】设这块麦田一共有x公顷，根据上午收割了麦田的25%,则剩余x（1-25%）公顷，再利

用下午收割了剩下麦田的20%,则剩余x（1-25%）（1-20%）公顷，进而求出即可.

【答案与解析】解：设这块麦田一共有x公顷，

根据题意得出：x（1-25%）（1-20%）=6,

解得：x=10,

答：这块麦田一共有10公顷.

【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出两次剩余小麦的亩数是解题关键.

举一反三：

【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080

元.设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（）

A.x(l+30%)x80%=2080B.x-30%-80%=2080

C.2080x30%x80%=xD.%-30%=2080x80%

【答案】成本价提高30%后标价为x(l+30%)，打8折后的售价为耳1+30%)义80%.

根据题意，歹U方程得%(1+30%)*80%=2080,故选A.

类型二、二元一次方程组及其应用

3.解下列方程组.

⑴倍+3U

x=-2y+3

(2)[2m+3n=13

(3m-4n=-6

【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可.

【答案与解析】

'2x+3产7①

解：⑴.

x=-2y+3②'

将②代入①得：2(-2y+3)+3y=7,

去括号得：-4y+6+3y=7,

解得：y=T,

将y=-1代入②得：x=2+3=5,

则方程组的解；

尸_1

⑵[2M3n=13①

(3m-4n=-6②

①x4+②x3得：17m=34,

解得：m=2,

将m=2代入①得：4+3n=13,

解得：n=3,

则方程组的解为11rl=2.

1n=3

【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.

举一反三：

x+4,=14①

【变式1解方程组

x-3y-31②

~4~~3=12

x=3

【答案】方程②化为3x-4y=-2，再用加减法解,答案:11

7=7

〃：b:c=3:4:5,

【变式2】解方程组

a+b+c=36.

【答案】a=9,b=12,c=15.

@4.小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示.根据图中的数据(单

位：m),解答下列问题：

(1)写出用含X、y的代数式表示的地面总面积；

(2)已知客厅面积比卫生间面积多21m2,且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺In?地砖的平

均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？

【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题.

【答案与解析】

(1)地面总面积为：(6x+2p+18)m2；

6x-2y=21,

(2)由题意，得

6x+2y+18=15x2y.

x=4,

解之，得3

a

...地面总面积为：6x+2y+18=6X4+2x3+18=45(m2).

2

:铺In?地砖的平均费用为80元，

，铺地砖的总费用为：45X80=3600(元).

【总结升华】注意不要丢掉题中的单位.

举一反三：

【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图

②方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是()

①②

A.73cmB.74cmC.75cmD.76cm

【答案】设桌子高度为acm,木块竖放为bcm,木块横放为ccm.则/+°一。=80,解得@=75.故选c.

\a+c-b=7Q

类型三、一次方程(组)的综合运用

@5.某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励

10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以

上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上

的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？

【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上

失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解.

【答案与解析】

方法一：

设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人，

则根据题意列出方程1000x+(60-x)(1000+2000)=100000,

解得：x=40,.\60-x=60-40=20

答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定

就业一年以上的农民有20人.

方法二：

设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以

上的农民有分别有X,y人，

x+y=60

根据题意列出方程组：

1000%+(1000+2000)y=1OOOOO

答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40,自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业

一年以上的农民有20人.

【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系.

举一反三：

【变式】某公园的门票价格如下表所示:

购票人数1-50人51―100人100人以上

票价10元/人8元/人5元/人

某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人.如

果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要

付515元.问：甲、乙两班分别有多少人？

【答案】设甲班有X人，乙班有y人，由题意得:

8x+10y=920,fx=55

[5(x+y)=515[丁=48

答：甲班有55人，乙班有48人.

Cb.在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四

环路的车流量(每小时通过观测点的汽车车辆数)，三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：

甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；

乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；

丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是一环路车流量的2倍”；

请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？

【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解.

【答案与解析】

设高峰时段三环路的车流量为每小时X辆，四环路的车流量为每小时尸辆，根据题意得：

'3x-7=2x10000_[x=11000

y=x+20003=13000

答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆.

【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键.

中考总复习：一次方程及方程组一巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1.小明在解关于x、p的二元一次方程组x1+7=3,时得到了正确结果(fx=㊉，后来发现