福建省长汀县城区五校2023-2024学年中考数学四模试卷含解析

福建省长汀县城区五校2023-2024学年中考数学四模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.下面四个几何体：

其中，俯视图是四边形的几何体个数是（）

B.2D.4

2.二次函数y+6x+c（a/0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（）

A.a>b>c

B.一次函数尸ax+c的图象不经第四象限

C.m(am+b)+bVa(%是任意实数)

D.3b+2c>0

3.1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

4.不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球,

下列事件是不可能事件的是（）

A.摸出的是3个白球B.摸出的是3个黑球

C.摸出的是2个白球、1个黑球D.摸出的是2个黑球、1个白球

5.如图，是由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视图

没变，则拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是（）

6.抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标X、纵坐标y的对应值如下表所示:

X・・・-2-1012.・・

y・・・04664・・・

从上表可知，下列说法错误的是

A.抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2,0）B.抛物线与y轴的交点坐标为（0,6）

C.抛物线的对称轴是直线x=0D.抛物线在对称轴左侧部分是上升的

7.分别写有数字0,-1,-2,1,3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是

（）

1234

A.—B.—C.-D.一

5555

8.如图，在ABC中，NB=3O。，6C的垂直平分线交A5于点石，垂足为如果C片=8,则的长为（）

A.2B.3C.4D.6

3

9.若分式一；在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）

x+1

A.x>—1B.XV—1C.x——1D.x丰—1

10.如图已知。。的内接五边形A3CDE,连接3E、CE,^AB=BC=CE9ZEDC=130°,则NA5E的度数为（）

C.35°D.40°

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.A、B两地之间为直线距离且相距600千米，甲开车从A地出发前往B地，乙骑自行车从B地出发前往A地，已

知乙比甲晚出发1小时，两车均匀速行驶，当甲到达B地后立即原路原速返回，在返回途中再次与乙相遇后两车都停

止，如图是甲、乙两人之间的距离s（千类）与甲出发的时间t（小时）之间的图象，则当甲第二次与乙相遇时，乙离

B地的距离为千米.

0\156x/Tt

12.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x?+2x在对称轴的左侧部分是的（填“上升”或“下降”）

13.若直角三角形两边分别为6和8,则它内切圆的半径为.

14.因式分解：3a3-3a=.

15.如图，在边长为4的菱形ABCD中，ZA=60°,M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AAMN沿MN

所在的直线翻折得到△A，MN,连接A，C,则线段A，C长度的最小值是.

16.某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%,若该书的进价为21元，则标

价为

17.已知一粒米的质量是1.111121千克，这个数字用科学记数法表示为

三、解答题（共7小题，满分69分）

xx-1

18.（10分）先化简，再求值:__________:___________,其中X=0-1.

x2+4x+4x+2x+2

19.（5分）如图，已知点C是以AB为直径的。O上一点，CH1AB于点H,过点B作。O的切线交直线AC于点D,

点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F,直线CF交AB的延长线于G.

（1）求证：AE»FD=AF»EC；

（2）求证：FC=FB；

（3）若FB=FE=2,求。O的半径r的长.

D

20.（8分）如图，已知A3是。的直径，点C、。在。。上，ZZ>=60且AB=6,过。点作OELAC,垂足

为E.

（1）求OE的长;

（2）若OE的延长线交。于点p，求弦AR、AC和弧CV围成的图形（阴影部分）的面积S.

2—x

21.（10分）已知：不等式一-<2+x

3

（1）求不等式的解；

（2）若实数a满足a>2,说明a是否是该不等式的解.

22.（10分）已知：如图，在梯形4BCZ）中，AB//CD,ZZ>=90°,AD=CD=2,点E在边AZ>上（不与点4、。重

合），NCEB=45。,E3与对角线AC相交于点凡设Z>E=x.

（1）用含x的代数式表示线段C厂的长；

（2）如果把ACAE的周长记作CACAE,△BAF的周长记作ChBAF,设乎迫=y,求y关于x的函数关系式，并写出

^\BAF

它的定义域；

3

（3）当NA5E的正切值是不时，求Ab的长.

23.（12分）现有一次函数y=g+〃和二次函数7=根“2+〃工+1,其中旭#）,若二次函数）=加工2+〃%+1经过点（2,0）,

（3,1）,试分别求出两个函数的解析式,若一次函数〃经过点（2,0）,且图象经过第一、三象限.二次函数

y=/nx2+〃x+i经过点"，山）和（。+1,山），且请求出〃的取值范围.若二次函数丁=加工2+收+1的顶点坐标

为A（ft,k）（屏0）,同时二次函数？=必+*+1也经过A点，已知-IV/iVl,请求出机的取值范围.

24.（14分）为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结

果制作统计图①和图②,

本次接受随机抽样调查的中学生人数为

图②

,图①中m的值是；求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；根据统计数据，估计该地

区250000名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

试题分析：根据俯视图是分别从物体上面看，所得到的俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱，

故选B.

考点：简单几何体的三视图

2、D

【解析】

b

解：A.由二次函数的图象开口向上可得。>0,由抛物线与y轴交于“轴下方可得cVO,由得出-丁=-1,

2a

故6>0,b=2a,则b>a>c9故此选项错误；

B.Va>0,cVO,，一次函数户ax+c的图象经一、三、四象限，故此选项错误；

C.当-1时，y最小，即a-8-c最小，故a-8-cV〃/+而+/即m+b>a,故此选项错误；

D.由图象可知x=l,〃+〃+c>0①，二•对称轴x=-L当x=l,j>0,・,•当x=-3时，j>0,即9a-3力+c>0②

①+②得10。-2H2c>0,°：b=2a,工得出我+2c>0,故选项正确；

故选D.

点睛：此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，会利用特殊值代入法求得特殊

的式子，如：y^a+b+c,然后根据图象判断其值.

3、D

【解析】

根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条

直线叫做对称轴.

【详解】

A、不是轴对称图形，故A不符合题意；

B、不是轴对称图形，故B不符合题意；

C、不是轴对称图形，故C不符合题意；

D、是轴对称图形，故D符合题意.

故选D.

【点睛】

本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

4、A

【解析】

由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选B.

5、B

【解析】

俯视图是从上面看几何体得到的图形，据此进行判断即可.

【详解】

由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视

图没变，得

拿掉第一排的小正方形，

拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是「|,

故选B.

【点睛】

本题主要考查了简单几何体的三视图，解题时注意：俯视图就是从几何体上面看到的图形.

6、C

【解析】

当x=-2时，y=0,

，抛物线过(-2,0),

••・抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0),故A正确；

当x=0时，y=6,

•••抛物线与y轴的交点坐标为(0,6),故B正确；

当x=0和x=l时9y=6,

工对称轴为X=g,故C错误；

当xV；时，y随x的增大而增大，

.•.抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；

故选C.

7、B

【解析】

试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生

2

的概率.因此，从0,-1,-2,1,3中任抽一张，那么抽到负数的概率是

故选B.

考点：概率.

8、C

【解析】

先利用垂直平分线的性质证明BE=CE=8,再在RtABED中利用30。角的性质即可求解ED.

【详解】

解：因为OE垂直平分

所以3E=CE=8,

在中，NB=3O。，

贝！|ED=—BE=—x8=4；

22

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30。直角三角形的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相

等.

9、D

【解析】

根据分式有意义的条件即可求出答案.

【详解】

解：由分式有意义的条件可知：x+lwO,

x丰—1)

故选：D.

【点睛】

本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型.

10、B

【解析】

如图，连接OA,OB,OC,OE.想办法求出NAOE即可解决问题.

【详解】

如图，连接。4,OB,OC,OE.

'：ZEBC+ZEDC^180°,ZE£)C=130°,

：.ZEBC=50°,

:.ZEOC^2ZEBC^100°,

'：AB=BC=CE,

...弧AB=MBC=MCE,

ZAOB=ZBOC=ZEOC=100°,

/.ZAOE=3600-3xl00°=60°,

ZABE=-ZAOE=30°.

2

故选:B.

【点睛】

本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

500

11、亍

【解析】

根据题意和函数图象可以分别求得甲乙的速度，从而可以得到当甲第二次与乙相遇时，乙离B地的距离.

【详解】

设甲的速度为akm/h,乙的速度为bkm/h,

<7+(5—l)(tz+b)=600

%-5)a=(5-1)6，

。=100

解得，｛

b=25

设第二次甲追上乙的时间为m小时，

100m-25(m-1)=600,

23

解得，m=y,

23500

••・当甲第二次与乙相遇时，乙离B地的距离为：25x(―-1)=—千米，

33

乂小生位500

故答案为亍.

【点睛】

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.

12、下降

【解析】

根据抛物线y=3x2+2x图像性质可得，在对称轴的左侧部分是下降的.

【详解】

解：,在丁=3f+2》中，a=3X),

.••抛物线开口向上，

二在对称轴左侧部分y随x的增大而减小，即图象是下降的，

故答案为下降.

【点睛】

本题考查二次函数的图像及性质.根据抛物线开口方向和对称轴的位置即可得出结论.

13、2或

【解析】

根据已知题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求出另一边的长,

再根据内切圆半径公式求解即可.

【详解】

若8是直角边，则该三角形的斜边的长为：762+82=10>

...内切圆的半径为：6+8T0=2；

2

若8是斜边，则该三角形的另一条直角边的长为：弁一62=2百，

.,・内切圆的半径为：6+258坊_].

2

故答案为2或旧」.

【点睛】

本题考查了勾股定理，三角形的内切圆，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.

14、3a(a+1)(a-1).

【解析】

首先提取公因式3a,进而利用平方差公式分解因式得出答案.

【详解】

解：原式=3a(a2-1)

=3a(a+1)(a-1).

故答案为3a(a+1)(a-1).

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

15、277-2

【解析】

解：如图所示：TMA，是定值，A，C长度取最小值时，即A，在MC上时，

过点M作MF_LDC于点F,

•在边长为2的菱形ABCD中，ZA=60°,M为AD中点，

；.2MD=AD=CD=2,ZFDM=60°,

/.ZFMD=30o,

1

AFD=-MD=1,

2

.,.FM=DMxcos30°=V3,

•*-MC=《FM?+CF2=2币，

.,.AC=MC-MA，=2"-2.

故答案为2J7-2.

【点评】

此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A，点位置是解题关键.

16、28

【解析】

设标价为x元，那么0.9x-21=21x20%,x=28.

17、

【解析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axil5，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定.

【详解】

解：1.111121=2.1x112.

故答案为：2.1X11-2.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axil1其中iqa|VU,n由原数左边起第一个不为零的数字前面

的1的个数所决定.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、V2-1.

【解析】

试题分析：

„„x1x+2x-1

试题解析:原式=------寸------------

(x+2)2xx+2

_x冗一1

x+2x+2

1

x+2

当*=应-1时，原式~=V2-1.

考点：分式的化简求值.

19、(1)详见解析；(2)详见解析；(3)272.

【解析】

(1)由BD是。O的切线得出/DBA=90。，推出CH〃BD,ffiAAEC^AAFD,得出比例式即可.

(2)证4AEC^AAFD,△AHE^AABF,推出BF=DF,根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可.

(3)求出EF=FC,求出NG=NFAG,推出AF=FG,求出AB=BG,连接OC,BC,求出NFCB=NCAB推出CG是

。。切线，由切割线定理(或AAGCs/^CGB)得出(2+FG)2=BGXAG=2BG2,在RtABFG中，由勾股定理得出

BG2=FG2-BF2,推出FG2-4FG-12=0,求出FG即可，从而由勾股定理求得AB=BG

的长，从而得到。。的半径r.

33

20、(1)OE=-(2)阴影部分的面积为彳乃

2;2

【解析】

(1)由题意不难证明OE为AA5C的中位线，要求OE的长度即要求的长度，根据特殊角的三角函数即可求得；

(2)由题意不难证明△COE丝44万E,进而将要求的阴影部分面积转化为扇形歹OC的面积，利用扇形面积公式求解

即可.

【详解】

解：⑴•••A3是。。的直径，

:.NAC5=90°,

\'OE±AC,

：.OE//BC,

又,•,点。是A3中点，

：.OE是XA3C的中位线，

,:ZD=60°,

.•.NB=60。，

又,.•43=6,

/.BC=AB*cos6Q0=3,

・13

AOE=-BC=~；

22

⑵连接OC,

,:zn=60°,

ZAOC=120°,

,:OFLAC,

'.AE=CE,j\p=CF，

...NAOF=NCO尸=60。，

.•.△AOF为等边三角形，

：.AF^AO=CO,

V在RtXCOE与RtAAFE中，

AF=CO

AE=CE'

：.ACOE注Z\AFE,

,阴影部分的面积=扇形FOC的面积,

..._60^-X32_3

•、扇形FOC---------------------—九•

3602

3

,阴影部分的面积为彳万.

2

【点睛】

本题主要考查圆的性质、全等三角形的判定与性质、中位线的证明以及扇形面积的计算，较为综合.

21、(1)x>-l；(2)a是不等式的解.

【解析】

(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得.

(2)根据不等式的解的定义求解可得

【详解】

解：(1)去分母得：2-xg3(2+x),

去括号得：2-x<6+3x,

移项、合并同类项得：-4xW4,

系数化为1得：xN-L

(2)Va>2,不等式的解集为xN-1,而2>-1,

.•.a是不等式的解.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键

22、(1)2F=3(x+4)；(2)y=32(0<x<2)；⑶AB=2.5.

4x+2

【解析】

试题分析：(1)根据等腰直角三角形的性质，求得NDAC=NACD=45。，进而根据两角对应相等的两三角形相似，可

得小CEF-ACAE,然后根据相似三角形的性质和勾股定理可求解；

(2)根据相似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；

(3)由(2)中的相似三角形的对应边成比例，可求出AB的关系，然后可由NABE的正切值求解.

试题解析：(1)VAD=CD.

.,.ZDAC=ZACD=45°,

VZCEB=45°,

/.ZDAC=ZCEB,

VZECA=ZECA,

/.△CEF^ACAE,

.CECF

••一9

CACE

在RtACDE中，根据勾股定理得，CE=7X2+4，

；CA=2夜，

.A/^2+4_CF

.20-6+4‘

J2(X2+4)

・・Vr------------;

4

(2)VZCFE=ZBFA,ZCEB=ZCAB,

AZECA=180°-ZCEB-ZCFE=180°-ZCAB-ZBFA,

VZABF=180°-ZCAB-ZAFB,

:.ZECA=ZABF,

VZCAE=ZABF=45°,

/.△CEA^ABFA,

A

CCAE_AE_2-x_2/2

V2(X2+4)X+2(0<X<2),

(3)由(2)知，△CEA^ABFA,

.AEAF

••一9

ACAB

.2-X_2V2-V2(X2+4)

.•运二

AB=x+2,

VZABE的正切值是：3，

,1

x=一,

2

23、(1)y=x-2,y=----x2+—+1；(2)a<—；(3)m<-2m>l.

222

【解析】

(1)直接将点代入函数解析式，用待定系数法即可求解函数解析式；

(2)点(2,1)代入一次函数解析式，得到n=-2m,利用m与n的关系能求出二次函数对称轴x=l,由一次函数

经过一、三象限可得m>l,确定二次函数开口向上，此时当yi>y2,只需让a到对称轴的距离比a+1到对称轴的距

离大即可求a的范围.

(3)将A(h,k)分别代入两个二次函数解析式，再结合对称抽得h=-旦，将得到的三个关系联立即可得到

h=———,再由题中已知-IVhVL利用h的范围求出m的范围.

m+1

【详解】

(1)将点(2,1),(3,1),代入一次函数y=/nx+〃中，

0=2m+n

V9

l=3m+n

m=l

解得

n=-2

・・・一次函数的解析式是j=x-2,

再将点(2,1),(3