北京市海淀区2023-2024学年高三年级下册期末练习（二模）数学试题（解析版）

海淀区2023-2024学年高三第二学期期末练习

数学试卷

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知集合"={一1，°，1，2},5={乂。"“<3},若4。8,则。的最大值为（）

A.2B.OC.-1D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的包含关系可得aW-1求解.

【详解】由于所以aW—1,

故。的最大值为-1,

故选：C

2

2.在（x——）5的展开式中，尤的系数为（）

X

A.40B.10

C.-40D.-10

【答案】A

【解析】

【分析】利用二项式定理的性质.

5

【详解】设（X--）的通项1+1,则Tk+l=C*5-1_2XT，化简得Tk+l=C'（一2『-/2L,

X

令人=2,则x的系数为C；（—2）2=40,即A正确.

故选：A

'3\x<0,

3.函数〃x）=blY是（）

…〉。

A.偶函数，且没有极值点B.偶函数，且有一个极值点

C.奇函数，且没有极值点D.奇函数，且有一个极值点

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可.

【详解】当尤W0时，一x>0,则/'（—x）=（—）-'=3工=/（功，

当x>0时，—1<0,则/(-x)=3一*=(―)A=J(x),

所以函数/（X）是偶函数，由图可知函数有一个极大值点.

故选：B.

4.已知抛物线必=4>的焦点为尸，点A在抛物线上，|4n=6,则线段A厂的中点的纵坐标为

57,

A.—B.—C.3D.4

22

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线定义求得点A的纵坐标，再求AE中点纵坐标即可.

【详解】抛物线好=4》的焦点尸（0,1）,又|AF|=l+%=6,解得%=5,

故线段AF的中点的纵坐标为巨»=3.

2

故选：C.

3

5.在中，AB=4,AC=5,cosC=-,则的长为（）

4

3

A.6或万B.6C.3+372D.3

【答案】A

【解析】

【分析】根据余弦定理即可求解.

【分析】用CB，C4表示A3,根据C4-Cfi=0,结合已知条件，以及数量积的运算律，求解即可.

【详解】由题可知，CACB=O'

故00.48=[201+(1_%)051(03_04)=_鼻04『+(1_2)口5『=_8/1+8(1_/1)=_16/1+8,

故一164+8=4,解得4=工.

故选：B.

8.设｛4｝是公比为q(qw—l)的无穷等比数列，S”为其前九项和，4〉0.则“q>0”是“S”存在最小值”

的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的判定以及等比数列前九项和公式判断即可

【详解】若q〉0且公比q>0,则a“=au"T〉o,所以S.单调递增，S“存在最小值S「故充分条件

成立.

2<1¥2

当〃为奇数时，Sn=~aX1+1-1，S〃单调递减，故最大值为〃=1时，$=4,而

当〃为偶数时，S,=gq1-出,S“单调递增，故最小值为〃=2,S]*,

所以S“的最小值为gq,

即由%>0,S”存在最小值得不到公比q>0,故必要性不成立.

故q〉0公比“4〉0”是“5“存在最小值”的充分不必要条件.

故选：A

9.设函数/(x)的定义域为£),对于函数/(力图象上一点(七,%)，若集合

｛keRlM尤—尤o)+阳W/W，VXGD｝只有1个元素，则称函数〃尤)具有性质纥.下列函数中具有性

质《的是(

A./(x)=|x-l|B./(x)=lgx

C./(%)=x3D.f^x)=-sin-|x

【答案】D

【解析】

【分析】根据性质:的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.

【详解】根据题意，要满足性质片，则/(%)的图象不能在过点(1,7。))的直线的上方，且这样的直线

只有一条；

对A：/(x)=|x—1］的图象，以及过点(1,0)的直线，如下所示：

数形结合可知，过点(1,0)的直线有无数条都满足题意，故A错误;

对B：/(x)=lgx的图象，以及过点(1,0)的直线，如下所示：

数形结合可知，不存在过点(1,0)的直线，使得/(九)的图象都在该直线的上方，故B错误;

对C：/(x)=d的图象，以及过点(1,1)的直线，如下所示：

%>2al

%满足1%22%>4a｛，取附的最小值8囚；

%>2a5>4%>8q

同理,取。9的最小值16%；

所以q+/+%+%+。9=4+2%+46+84+16%=31%,

为满足。422%,取〃4的最小值22；

a,>2名

〃6满足<c4，因为。2<0，所以24>4%,取&的最小值2%；

a6>2%24%

%22%

。8满足｛a8-2a4-4<21，因为〃2<。，所以2%>42>82，取。8的最小值2%；

/22as24%28〃]

同理，取。1（）的最小值2%；

所以出+%+%+必+^io=%+2%+2%+2a2+2a2=9%，

所以510—31%+9G2—3所—94=22al,

因为数列｛4｝的各项均为非零的整数，所以当q=1时，Ho有最小值22.

故选：B

【点睛】关键点点睛：Sl0有最小值的条件是确保各项最小，根据递推关系aj>24分析可得奇数项的最

小值与偶数项的最小值，从而可得Ho的最小值.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

H.若（x+i）2=2i（xeR）,则％=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用复数的四则运算，结合复数相等的性质得到关于x的方程组，解之即可得解.

【详解】因为（x+i）2=2i,

所以V+2jd+i2=2i,即以=l+2jd=2i,

%2-1=0&/

所以《，解得x=l.

[2x=2

故答乡言为:1.

2

12.EL知双曲线C:土—y2=i,则。的离心率为___________；以C的一个焦点为圆心，且与双曲线C

4

的渐无生线相切的圆的方程为___________.（写出一个即可）

g]①.日②.（x+火）2+y2=1或（（X—府+9=1）

【答乡

m斤】

【分今斤】根据离心率的定义求解离心率，再计算焦点到渐近线的距离，结合圆的标准方程求解即可.

岸】。：二一/=1的离心率为年1=好，又渐近线为y=^x,即x—2y=0,

【详询

4-V42-2

/l\/l\k/5-2x0

故焦F气（V5,0）与（一J?,0）至Ux—2y=0的距离均为；；=1，

如+（-2）

则以（[一个焦点为圆心，且与双曲线C的渐近线相切的圆的方程为（x+J?）2+/=i或

（X-、后）2+V=i,

苍为：与；（%+乔）2+（2=]或（（兀_6）2+（2=]）

故答3

13.EL知函数/（%）=cos2x+asinx.

（i）若〃=0,则函数/（力的最小正周期为__________.

（ii）若函数/（%）在区间（0,兀）上的最小值为—2,则实数。.

【答招①.兀②.-2

【解1斤】

【分本斤】根据二倍角公式即可结合周期公式求解，利用二次函数的性质即可求解最值.

cos2Y+]27r

【详询岸】当a=0时，/（x）=cos2%=^y—，所以最小正周期为7=m=兀，

=cos2x+asinx=一sin2x+asinx+1=一（sinx—+1+（,

/（X；

当XW[0,兀）时，sin%e（0,1],且二次函数开口向下，

要使彳导"％）在区间（0,兀）上的最小值为—2,则需要1-守葭-0,

且当sin%=l时取最小值，故—1+Q+1=—2,解得。二一2,

故答案为：兀，-2

14.二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由“2(〃WN*)个黑

白方块构成的"X"二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成2胎

个不重复的二维码，为确保一个"X"二维码在I分钟内被破译的概率不高于A,则〃的最小值为

【答案】7

【解析】

【分析】根据题意可得竺辔〈士，即可由不等式求解.

22

【详解】由题意可知〃的二维码共有2层个，

216X601

由一一<铲可得x60x215<2/=>60<2"2-31，故川一3126=>/37，

22

由于〃eN*，所以7,

故答案为：7

15.如图，在正方体ABC。—44GR中，尸为棱A3上的动点，平面，PCQ为垂足.给出下列

四个结论：

Ac,

4pB

①AQ=CQ；

②线段。。的长随线段好的长增大而增大；

③存在点p,使得5。；

④存在点P,使得尸。//平面

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】根据给定条件，以点。为原点，建立空间直角坐标系，求出平面2PC的法向量坐标，进而求出

点。的坐标，再逐一计算判断各个命题即得答案.

【详解】在正方体ABC。-44G2中，令A3=1,以点。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

设AP=«04rW1),则D(0,0,0),C(O,1,0),Dt(0,0,1),P(l,t,0),CDt=(0,-1,1),CP=(l,t-l,0),

n-CD.=-y+z=0

令平面2尸。的法向量〃=(x,y,z),贝"，取y=l,得〃=(1一/,1,1),

n-CP=x+(/_l)y=0

由DQ,平面，PC于。，得。。=沏=((1—7)%/1,/1),即Q((1T)X,4；1),

Ce=((l-r)2,2-l,2),显然CQf=(l_f)24+/l_l+/l=0,解得」=«_]；+2,

于是"("1)2+2'(-1)2+2'("1)2+2)，

对于①，|RQ|=J(17)2%1)2=5(17)222+(彳_1)2+%=|CQ|，①正确;

1

对于②，IDQI="_I；+3J(IT)2+I+I在［0,1］上单调递增，②正确;

对于③，而4(1,0,0),3(1,1,0),AQ=((1-02-1,2,2),BQ=((1-r)2-1,2-1,2),

AQ-BQ=[(1-r)2-1]2+2(2-1)+22=(t2-2t+3)22-(3-2t)A+1=0,

显然△=©—24—4(产—2/+3)=-4-3<0,即不存在使得AQ*BQ=0,③错误;

对于④，平面的一个法向量力c=(0,l,0),ffi]P2=((i-r)2-i,2-r,2),

由PQ・DC=X—7=0,得2=t,即f=7~^―,整理得/一2产+3/—1=0,

(/-1)+2

令/⑺=/—2/+3t—1,/e[0,1],显然函数/⑺在[0,1]上的图象连续不断，

而/(0)=-1<0,/(1)=1>0,因此存在次(0,1),使得/«)=。，此时尸Q<Z平面RD4,

因此存在点P,使得尸Q//平面RD4,④正确.

所以所有正确结论的序号是①②④.

故答案为：①②④

【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的位置问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间

位置关系的方法解决.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数/(x)=2cos2曹+J§sin(yx(o>0),从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作

为己知，使函数/(X)存在且唯一确定.

(1)求0的值；

(2)若不等式/(x)<2在区间(0,加)内有解，求加的取值范围.

条件①：/(y)=2；

条件②：y=/(x)的图象可由y=2cos2x的图象平移得到；

条件③：/*)在区间(―二与内无极值点，且/C)—2=/(—=)+2.

3663

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)条件选择见解析，。=2；

兀

⑵(§，+8).

【解析】

TTTT|

【分析】(1)选条件①，由cos(—。--)=—的解不唯一，此条件不符合题意；选条件②，由周期求出0；

332

选条件③，由给定等式确定最大最小值条件，求出周期范围，由给定区间内无极值点求出周期即可.

(2)由(1)求出函数Ax)的解析式，再借助不等式有解列式求解即得.

【小问1详解】

依题意，f(x)=coscox+V3sin&>%+1=2cos(j)+l,

选条件①，由f(—)=2,得2cos(—co—)+1=2,即cos(—co—)=—,

333332

于是一。——=—+2E,4eN或一。——=---1-2foi,eN*,显然0的值不唯一，

333333

因此函数〃戈）不唯一，不符合题意.

选条件②，>=/（尤）的图象可由y=2cos2x的图象平移得到，

2兀

因此y=/（x）的最小正周期为函数y=2cos2x的最小正周期兀，而。>0,则——=兀，

G）

所以<9=2.

选条件③，“X）在区间内无极值点，且/（$—2=/（—三）+2,

'11JIJIJI

则/（：）—/（—彳）=4，即函数人%）分别在％==——时取得最大值、最小值，

6363

JTJT

于是fM的最小正周期T<2x]——（——）]二兀,

63

TTTT7T7T

由/⑴在区间内无极值点，得了（%）的最小正周期T22x[——（——）]二兀，

3663

因此T=兀，而G>0,

所以G=2ZE=2.

T

【小问2详解】

jIjIjIjI

由（1）矢口/Cx）=2cos（2元一§）+1,由1£（0,加），得2九一§£（一耳，2根一耳），

TT]

由不等式/'（X）V2在区间（0,tn）内有解，即cos（2x——）<—在区间（0,相）内有解，

32

JC7L兀

则有2加——>-,解得相>—,

333

JT

所以加的取值范围是（g,+oo）.

17.在三棱锥P—A5C中，46=%=2,/为针的中点.

（1）如图1,若N为棱尸C上一点，且MNLAP,求证：平面BAWL平面PAC；

P

图1

（2）如图2,若。为C4延长线上一点，且尸01平面ABC,AC=J5pA=2,直线PB与平面ABC所

TT

成角为:，求直线CM与平面P3C所成角正弦值.

6

⑵告

【解析】

【分析】(1)根据LAP和MNLAP,可证线面垂直，即可求证面面垂直，

7T

(2)根据线面角的几何法可得/尸8。=—,建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求

解.

【小问1详解】

超差BM,MN,BN.

因为=为针的中点，所以

又MNLAP,MNcBM=M,MN,BMu平面RWN,所以AP1平面BAW.

因为APu平面PAC

所以平面6/VCVJ_平面PAC.

【小问2详解】

因为P01平面ABC,OB<=平面ABC,OCu平面ABC,

所以PO，OB,PO±OC,NPBO为直线PB与平面ABC所成的角.

TT

因为直线PB与平面ABC所成角为:，

6

兀

所以/PBO=—.

因为P3=2,所以P。=1,03=6.

因为J5PA=2，所以OA=1.

又AB=2,故AB?=052+042

所以06LQ4.

如图建立空间直角坐标系。-孙z.

则A（0』,0）,3（60,0）,C（0,3,0）,P（0,0,l）,

所以PC=（0,3,—1）,BC=（-73,3,0）,MC=k|,-1j.

X

设平面PBC的法向量为〃=（羽y,z）,贝U

n-PC=0,[3y-z=0,

<即<r令y=l,则〃=

n-BC-0,—y/3x+3y-0.

设CM与平面P5c所成角为e,则

|MC.«|1

sinS=|cosMC,n|=।__V|

呵”「后+；屈13,

JI

所以直线CM与平面PBC所成角的正弦值为注.

13

18.图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识

别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数

据如下表（单位：张）：

结果

男女无法识别

真实性别

男902010

女106010

假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.

（1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；

（2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出

现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设X表示测试的次数，估计X的分布列和数学期望

EX；

（3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：

方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；

方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；

方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%,判定为女性的概率为

50%）.

现从若干张不同的人脸照片（其中男性、女性照片的数量之比为1:1）中随机抽取一张，分别用方案一、方

案二、方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为化,。2，。3•试比较的大小.（结论不要

求证明）

3

【答案】（1）-

4

（2）分布列见解析；E（X）=—

16

⑶2＞。3＞。1

【解析】

【分析】（1）利用用频率估计概率计算即可

（2）由题意知X的所有可能取值为L2,3,分别求出相应的概率，然后根据期望公式求出即可

（3）分别求出方案一、方案二、方案三进行识别正确的概率，然后比较大小可得

【小问1详解】

根据题中数据，共有20+60=80张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为

女性的概率为黑=1.

804

【小问2详解】

设事件A:输入男性照片且识别正确

根据题中数据，P（A）可估计—

由题意知X的所有可能取值为1,2,3.

尸（X=1）=|，P（X=2）=%.1,P（X=3)=*=>

所以X的分布列为

X123

331

P

41616

33121

所以E(X)=lx三+2x3+3x—=—.

',4161616

【小问3详解】

P，>p3>

19.已知椭圆E的焦点在x轴上，中心在坐标原点.以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三

角形，且其周长为6vL

（1）求樟圆E的方程;

（2）设过点M（2,0）的直线/（不与坐标轴垂直）与椭圆E交于不同的两点AC,与直线x=16交于点

尸.点B在＞轴上，。为坐标平面内的一点，四边形A3CD是菱形.求证：直线尸。过定点.

【答案】(1)—+^=1

86

（2）证明见解析

【解析】

c1

【分析】（1）根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质可得2a+2c=66■，且一=—,即可求解”,仇c

a2

得解,

（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式可得N,进而根据菱

6t（8

形的性质可得5D的方程为y+不一-=-t\%-，即可求解50,

3r+413r+4

D.进而根据点斜式求解直线PD方程，即可求解.

【小问1详解】

22

由题意可设椭圆E的方程为=+%=1（。〉。〉0）,0?=/一层.

ab

因为以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为6近，

C]

所以2。+2。=6A/2,且一=—,

a2

所以a=20,c=JL所以/=6.

22

所以椭圆E的方程为土+工=1.

86

【小问2详解】

设直线I的方程为X二9+2"w0）,

14（14、

令x=16,得,=—,即尸[16,「-J.

242

由,3x+4y=^i|/3/+4）/+12ty-12=0.

x=ty+2'7

I2t12

设A（内，x），c（%,%），则%+%=一~r^，%%=一—r^-

设AC的中点为N(%,%)，则%==”=―

8

所以退=0^+2=铲百.

因为四边形A5CD为菱形，

所以N为的中点，AC1BD.

所以直线的斜率为一九

6t8

所以直线BD的方程为y+―一7

3r+4

St6t_2t

令％=。得y二.所以3

3d+43r+4-3』+4

设点D的坐标为(%”)，则5=2&=，％=2%—另出=一/匕，

1414f

所以直线9的方程为卜?=户留口—16)'即y="x—4).

所以直线P£＞过定点(4,0).

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法：

(1)引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关

系，找到定点.

(2)特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

20.已知函数九)=ln(九一a)+2j3a-x(a>0).

(1)若。=1,

①求曲线产/(%)在点(2,/(2))处的切线方程；

②求证：函数〃力恰有一个零点；

(2)若/(X)Wlna+2a对xe(a,3a)恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)①,=2；②证明见解析

(2)

【解析】

【分析】(1)①求导，即可求解斜率，进而可求直线方程，②根据函数的单调性，结合零点存在性定理即

可，

⑵求导后构造函数g(x)=j3a—尤—(x—a),x«a,3a),利用导数判断单调性，可得外力的最大值

为/(Xo)=M(Xo-a)+2(Xo—a)，对。分类讨论即可求解.

【小问1详解】

当a=l时，f(x)=In(x-1)+2>j3—x.

11

①r(x)=

x—1y/3—X

所以〃2）=2，r（2）=0.

所以曲线y=/（x）在点（2,/（2））处的切线方程为尸2.

②由①知—D+-7^=,且/（2）=0.

X—1x/3—x

当工£(1,2)时，因为---->1>I------，所以/«%）＞。；

X-L73—x

/、1।1

当xe（2,3）时，因为（声,所以以（x）＜0.

所以/(%)区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减.

因为/(2)=2,/(3)=ln2>0,/(l+e-)=—3+2,2--3<-3+2忘<。

所以函数/(九)恰有一个零点.

【小问2详解】

由f(x]=ln(x-a)+2y/3a-x得f'(x)=~7~:户

[x-a)y/3a-x

设g(x)=13a_x_(%_a),xe(a,3a),则^f(x)=---1<0.

所以g(x)是(a,3a)上的减函数.

因为g(a)=-Jia>0,g(3a)=-2a<0,

所以存在唯一/e(a,3a),g(九0)=J3a-%-(xo-tz)=O.

所以/'(%)与的情况如下：

X（。,X0）%(%,3a)

/'(x)+0-

/(x)极大

所以〃力在区间(a,3a)上的最大值是

/(x0)=ln(x0-«)+2yl3a-x0=ln(x0-a)+2(x0-a).

当aNl时，因为g(2a)=G-a<0,所以x(,<2a.

所以/(x0)<ln(2a-a)+2(2a-a)=ln«+2a.

所以/(x)W/(Xo)Wlna+2a,符合题意.

当0<。<1时，因为g(2a)=G-a>0,所以与〉2a.

所以/(Xo)>ln(2a-a)+2(2a-a)=lna+2a,不合题意.

综上所述，a的取值范围是[L+8).

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造

的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和

放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

21.设正整数422,ai,diGN*,A={M尤=q+(左一1)4,左=1,2,},这里7=1,2,，”.若

uu

AAU4=N*,且4cAz=0(iwi<，则称4,4…,4具有性质尸.

(1)当〃=3时，若A，4,A具有性质产，且q=l，a2=2,%=3,令m=d[d2d3,写出，〃的所有

可能值；

(2)若4,4,…，4具有性质p：

①求证：at<dt(f=1,2,•••,/!)；

②求£了的值•

i=i4

【答案】(1)27或32

72+1

(2)①证明见解析②——

2

【解析】

【分析】(1)对题目中所给的A，4，，4,我们先通过分析集合中的元素，证明qW4(i=l,2,,〃)，

E—=1,以及=工一，然后通过分类讨论的方法得到小问1的结果；

,=i4,=i42

(2)直接使用(1)中的这些结论解决小问2即可.

【小问1详解】

对集合S,记其元素个数为例.先证明2个引理.

引理1：若4,4,•,4具有性质尸，则444«=1,2,,n).

引理1的证明：假设结论。工4[=1,2,,〃)不成立.

不妨设白〉4，则正整数。1一4任4，但4。4口-UA,=N*,

故卬-4一定属于某个不妨设为a.

则由4-4C4知存在正整数左，使得%—4=a2+(k-l)d2.

这意味着对正整数C=6-4+482，有。=%-4+44=4+(4—1)4eA，

c=%-4+44=a,+(左一1)4+4。2=W+(%+4-1)〃，但44=0,矛盾.

所以假设不成立，从而一定有444。=1,2,,〃)，从而引理1获证.

引理2：若4,4，-,4具有性质P,则工7二1，且二二.

-汩4日42

证明：取集合T=口,2,...，44..4}.

dd

注意到关于正整数k的不等式0<4+(左—1)dt<4d2-4等价于1一?<左<1—彳+d'2；"，

(_/•,ii

a.

而由引理1有q<4，即-

结合是正整数,知对于正整数左，1—?〈左<i—?+也严当且仅当左〈也严=4,

44&444

这意味着数列/=at+(%—1)4(k=1,2,...)恰有H项落入集合T,即|Tc闻=[.

而4,4,,4两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，

故T中的元素属于且仅属于某一个a(""〃)，故|Tc4+|Tc阕+…+|TcAj=|T|.

所以J+J+...+?=rc闻+pc阕+...+pc4i=团,

11I1

从而万+7+…+:=1,这就证明了引理2的第一个结论;

।Ct(L/C〃

再考虑集合T中全体元素的和.

心.心.I1)

一方面，直接由7={12...，4%・・4}知7中全体元素的和为即ZJ

22

另一方面，Ted的全部B个元素可以排成一个首项为％,公差为4的等差数列.