2024届山东省联合模拟考试数学试题含答案

2024年全国普通高考模拟考试数学试题

2024.5

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

3.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的.

1.样本数据2,3,4,5,6,8,9的第30百分位数是()

A.3B.3.5C.4D.5

2.已知集合4={%]-1<%(2024},2={x|aWxWa+l}(q>0),若则。取值范围是

()

A.(0,2024)B,(0,2024]C.(0,2023)D,(0,2023]

3.已知抛物线C:Y=4y的焦点为尸，点尸在C上，若P到直线尸一3的距离为5,则|。同=()

A.5B.4C.3D.2

4.某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为

()

A.120B.72C.64D.48

5.已知口=5,恸=4,若a在6上的投影向量为一，6,则a与人的夹角为()

A.60°B.120°C.135°D.150°

6.已知圆Af:*+y2+2-=o(a〉o)圆心到直线3x+2y=2的距离是灰，则圆M与圆

N:(x—2)2+(y+2)2=1的位置关系是()

A相离B.相交C.内切D.内含

7.己知等差数列｛q,｝满足a；+a：=4,则%+%可能取的值是()

A.-2B.-3C.4D.6

1

8.已知函数/(x)=COS47TX--+，贝ijy=2x-l与/(%)图象所有交点的横坐标之和为

I2J2x-l

()

13

A.-B.2C.-D.3

22

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知Z1,Z2为复数，贝IJ()

A.l^+z^lzj+lzjB.若Z]=Z2，则忖Z2|=|z/

C.若㈤=1,则归―2|的最小值为2D,若4/2=0,则4=0或Z2=0

10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出两个球，设事件A="取出的

球的数字之积为奇数”，事件3="取出的球的数字之积为偶数”，事件c="取出的球的数字之和为偶数”，

则()

A.P(A)=1B.P(B|C)=1

C.事件A与5是互斥事件D.事件8与C相互独立

已知双曲线

11.—V=l(a>0)的渐近线方程为y=过C的右焦点F2的直线交双曲线右支

a

于A,3两点，KA3的内切圆分别切直线£A,F、B,AB于点P,Q,M,内切圆的圆心为/,半

径为0，则()

A.C的离心率等于好B.切点M与右焦点工重合

2一

CSARBI+S△F、A]~•S'AAB/=2&D.cosNAF]B=-

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.二项式+的展开式中，了3的系数为io,则。=.

13.若函数/(x)=cos(x-9)+sin[x+m)的最大值为2,则常数9的一个取值为

14.如图，正方形A3CD和矩形形历所在的平面互相垂直，点尸在正方形A3CD及其内部运动，点。

在矩形WF及其内部运动.设AB=2,AF=母，若B4_L/>E，当四面体PAQE体积最大时，则该

四面体的内切球半径为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15已知函数/（x）=x（l-InAx）•

（1）若曲线/（%）在％=0处的切线与直线y=x垂直，求左的值;

⑵讨论"％）的单调性.

16.如图，在四棱台ABC。—A4GR中，底面A3CD为正方形，ABC1为等边三角形，E为A5的中

点.

（1）证明：G2，gE；

（2）若BC=2与G=4,4石=20，求直线BC1与平面CDDG所成角的余弦值.

17.己知数列｛。"｝满足q=2,WeN,.

（1）若q=l,｛4｝为递增数列，且2,«5,%+3成等比数列，求d；

（2）若d=l,<7=1,且｛%“_1｝是递增数列，｛电“｝是递减数列，求数列｛q｝的通项公式.

18.已知椭圆C：—+%=1（。〉。〉0）的上顶点为A,左焦点为尸，点4,gj为C上一点，且以

A3为直径的圆经过点尸.

（1）求。的方程；

（2）过点G（—5,0）的直线/交C于£>,£两点，线段OE上存在点M满足|。河|一,4=0@・30卜过

G与/垂直的直线交y轴于点N,求.GW面积的最小值.

19.设点集％={（4电，/，1,。"）1。”{0,1},14区&QN*},从集合M"中任取两个不同的点

4（%,g,…,a“）,5（伪也也，…也）,定义A,B两点间的距离4（4,3）=£|4-4|.

Z=1

（1）求M3中刈A0=2的点对的个数；

（2）从集合〃“中任取两个不同的点A,B,用随机变量X表示他们之间的距离d（A6），

①求X的分布列与期望；

②证明：当“足够大时，4D（X）＜w2.（注：当“足够大时，2fH0）

2024年全国普通高考模拟考试数学试题

2024.5

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

3.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的.

1.样本数据2,3,4,5,6,8,9的第30百分位数是()

A.3B.3.5C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】利用百分位数的求法计算即可.

【详解】易知7x30%=2.1,则该组数据的第三个数4为第30百分位数.

故选：C

2.已知集合74={%[-1<%(2024},2={x|aWxWa+l}(q>0),若AcBW0,则。的取值范围是

()

A.(0,2024)B,(0,2024]C.(0,2023)D,(0,2023]

【答案】B

【解析】

【分析】由AC5N0,则集合8中最小元素。应在集合A中，即可得到a的取值范围.

【详解】由题意再由a>0,所以集合B中最小元素。应在集合A中，

所以0<aW2024,即4的取值范围是(0,2024].

故选：B.

3.己知抛物线。：炉=4丁的焦点为尸，点P在。上，若尸到直线尸―3的距离为5,则归耳=()

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】

【分析】利用抛物线的定义先确定准线及焦点，计算即可.

【详解】由题意可知尸(0,1),抛物线准线为y=-1,而可与尸到准线的距离相等，

所以忸目=5—(—1—(—3))=3.

故选：C

4.某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为

()

A.120B.72C.64D.48

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用不相邻的排列问题列式计算即得.

【详解】依题意，两名老师不相邻，所以不同的站法种数为=6x12=72.

故选：B

5.己知忖=5,恸=4,若。在6上的投影向量为则a与6的夹角为（）

A.60°B.120°C.135°D.150°

【答案】B

【解析】

【分析】利用投影向量的定义计算即可.

7II/757cos6z,Z?|^|5

【详解】易知〃在〃上的投影向量为cos。乃同•后=--b=>---3-------=---,

\b\3\b\o

5\b\i，—

而COSQ,/?=---出=——，所以〃与Z?的夹角为120.

8同2

故选：B

6.已知圆M:%2+y2+2殴=0（〃>0）的圆心到直线3x+2y=2的距离是耳，则圆M与圆

N:（x—2y+（y+2）2=1的位置关系是（）

A.相离B.相交C.内切D.内含

【答案】D

【解析】

【分析】根据点到直线的距离公式求a的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.

【详解】圆M：x2+y2+2ay=Q=>x2+（y+a）'=a2,所以圆心M（0,—a）,半径为a.

由点到直线距离公式得：华旦=竺占3=岳，且a〉0,所以。=口.

A/32+22V132

又圆N的圆心N（2,—2）,半径为：1.

所以|MN|=J??+国la-1l=2-

由姮<2,所以两圆内含.

22

故选：D

7.已知等差数列｛4｝满足a；+aj=4,则为+%可能取的值是()

A.-2B.-3C.4D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，令q=2cos£,%=2sin。，由等差数列的下标和性质结合三角函数的性质求解即可.

【详解】设q=2cos。，«4=2sin6>,

则出+%=+«4=20sin(6+：),所以4+/e[-2A/2,272],

故选：A.

8.已知函数/(%)=COS4-7TX--+则y=2x-1与/(九)图象的所有交点的横坐标之和为

I2J立4L

()

13

A.-B.2C.-D.3

22

【答案】D

【解析】

【分析】先用诱导公式化简函数，然后变形成一致的结构，再换元，转化成新元方程根的横坐标之和，分别

画图，找出交点横坐标的关系，再和即可.

【详解】由题意化简/(x)=cosj4G1

=sin(4^x)+

k2)2x—12x-l

=sin(4»x-2»)+---=sin27r(2x-1)+---,丁=21-1与/(%)图象有交点，

2x-l2x-l

则sin27r(21一1)+---=2九一1有实根，令，=2%—1,则%

2x-l2

则化为sin271t+-=t,即sin271t=t--的所有实根之和，即g«)=sin2兀t与h(t)=t--所有交点横坐

ttt

标之和，显然g(。是周期为1的奇函数，力⑺为奇函数且在(0,+8)上为增函数，图像如图所示,

显然，一共有6个交点个%的如/％，它们的和为。，则

=

X]+%2+%3+x4+%5+%6=6x—+-——=————=3,

故选：D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知z-为复数，贝ij()

A.l^+z^lzj+lzjB.若Z1=Z2,则忖Z2|=|z/

C.若|zj=l,则归一斗的最小值为2D.若4/2=0,则4=0或Z2=0

【答案】BD

【解析】

【分析】通过列举特殊复数验证A;设4=。+历,(。为€1i),则22=。—历,(。力€1<),通过复数计算即

可判断B；设Z1=a+bi,(aSwR),由复数的几何意义计算模长判断C；由马乌=0得闵闾=0,即可

判断D.

【详解】对于A,若4=1+也=1—i,则忆+为=|l+i+l—i|=2,\Zl\+\z2\=\l+i\+\l-i\=2y/2,

则B+Z2I引zJ+闾,故A错误；

对于B,设4=a+历,(a,Z?eR),则z2=a—历,(a,Z?eR),

所以|乎2|=|(。+历)(a—历)1="+/,而=cr+b2,

所以匕邑卜,「故B正确；

对于C,设4=a+bi,(a,bwR),因为|zj=l,所以"+^二］,

所以卜=|（。—2）+历|=—2）~+。2=Ja?+，2-4a+4=j5-4a，

因为—iWaWl,所以1W5—4aW9,所以—2|的最小值为1,故C错误;

对于D,若2产2=0,所以|4勾=0,所以团闫=0,

所以团=0或区|=0,所以z“Z2至少有一个为0,故D正确.

故选：BD

10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出两个球，设事件A="取出的

球的数字之积为奇数”，事件3="取出的球的数字之积为偶数”，事件C="取出的球的数字之和为偶数”，

则（）

A,尸（4）=（B.P（B|C）=1

C.事件A与B是互斥事件D.事件B与。相互独立

【答案】AC

【解析】

【分析】分别求出事件A,B,C概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断.

【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”,

C231

所以。（A）=W；故A正确;

J.

“取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，

C234

所以。（8）=1-混■=1-百=不

”取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，

C22

所以尸（C）=2x清=］；

A+3表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以尸（A+B）=l；

表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，

「21

所以P（8C）=E=M

/、P（BC）1

因为尸（81。）=p（c）=5故B错误；

因为尸（A+B）=尸（A）+P（B）,所以A,3互斥，故C正确；

因P（BC）^P（B）P（C）,所以反C不独立，故D错误.

故选：AC

11.已知双曲线C:1一/=1（。〉0）的渐近线方程为丁=土5工，过。的右焦点工的直线交双曲线右支

于A,3两点，耳A3的内切圆分别切直线耳A,F、B,AB于点P,Q,M,内切圆的圆心为/,半

径为贝U（）

A.C的离心率等于1B.切点M与右焦点工重合

2

CSAF、BI+SAF、AI—S=2脏D.cosZAF^B=—

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，根据渐近线方程求出。=2,得到离心率；B选项，由双曲线定义和切线长定理得到

|AP|—忸。忸M|=|A闾—忸闾，得到切点M与右焦点B重合；C选项，根据双曲线定义和

FXAB的内切圆的半径得到SAFBI+S^FA!-=40；D选项，作出辅助线，得到

\PI\叵

tanNAFJ=第=一，利用万能公式得到答案.

1M4

【详解】A选项，由题意得工=工，解得”=2,故离心率6=£=，适=好，A正确；

a2〃22

B选项，|M=|4⑷，闺「六闺Q|,|QB|=/M，

由双曲线定义可得|M|—|9|=2a=4,忸制—忸鸟|=2a=4,

两式相减得|A£H班卜19HB闾，即\AP\-\BQ\^\AM\-\BM\^|A闾—忸闾，

故切点V与右焦点工重合，B正确；

C选项，耳的内切圆的半径为厂=1,

故sF&+S%—Sm=g|GA|r+J耳/一=寓A|+闺⑶一|AB|）x也

=（（寓.—|3|+闺却—忸闾）＞＜行=：*44&=40,C错误；

D选项，连接居/,则耳/平分NA£3,

其中用|AP|=|M|—|9|=2。=4,

冏=0

故tanZAFJ=

西一4

cos2ZAFJ-sin2ZAFJ

所以cosZAFiB=cos2ZAFJ-sin2ZAFJ=

cos2ZA7^/+sin2ZAFJ

_1-tan2/AFJ

1+tan2ZAFJ

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：利用双曲线定义和切线长定理推出切点M与右焦点歹2重合，从而推理得到四个选

项的正误.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.二项式+的展开式中，V的系数为10,则。=.

【答案】2

【解析】

【分析】利用二项式展开式的通项计算即可.

【详解】易知二项式［x+3］的展开式通项公式为7；+i=C#5f卜.k］=G，y5-2r,

显然尸=1时，C"=10=＞〃=2.

故答案为：2

13.若函数/（"=85（%一9）+5由上+1］的最大值为2,则常数。的一个取值为

JTTT

【答案】一（答案不唯一，满足/=—+2E«£Z即可）

66

【解析】

【分析】利用和(差)角公式化简，再判断sin"+gwO,利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求

出。.

71

【详解】因为/(x)=cos(x-9)+sinX—

3

=cosxcos(p+s.mxs.in(p+s.mxcos—兀+cosxsi.n—71

cosx+(sine+；］sinx,

若sine+〈=0,则cos0=±且，所以〃x)=o或/(£)=石cosx,显然不满足的最大值为

22

2,

所以sin°+gwO,

2(2cos^+—

则/(%)=

J1sin°+g|+cos^7+sin(x+6)，(其中tan。=),

~r

sm°+/

2f

依题意可得卜in0+gj+cos°+走

2

71

即sincp+A/3cos0=2,所以sin(p+—=1,

3

TTTTTT

所以夕+―=—+2左兀,左£Z,解得cp--+2%兀/£Z.

326

TTJT

故答案为：一(答案不唯一，满足夕=—+2E/£Z即可)

66

14.如图，正方形A3CD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，点P在正方形A3CD及其内部运动，点。

在矩形Wb及其内部运动.设AB=2,AF=叵,若E4LPE，当四面体QAQE体积最大时，则该

四面体的内切球半径为

立或艮五面

【答案】2-8+453

-2--2

【解析】

【分析】先确定P点的轨迹，确定四面体P-AQE体积最大时，P,。点的位置，再利用体积法求内切球

半径.

【详解】如图:

因为平面A3CD1平面AB£F,平面ABC。C平面AB跖=A3,BEu平面ABEF,且BELAB,

所以平面ABCD.

APu平面ABCD,所以5E1AP,

又PELAP,PE,BEu平面PBE,所以AP/平面PBE,

PBu平面PBE,所以北，依.

又P在正方形A3CD及其内部，所以P点轨迹是如图所示的以A5为直径的半圆,

作PHLAB于a，则PH是三棱锥产一AQE的高.

所以当,AQE的面积和PH都取得最大值时，四面体PAQE的体积最大.

此时。点应该与B或尸重合，尸为正方形A3CD的中心.

如图:

当。点与B重合，尸为正方形ABCD的中心时:

=X

^P-AQE2AQE，PH=-V2X1=,SAQE=^2,SpEQ=1，S总。=1,

VAFE中，因为APJ_?E,AP=肥,PE=2,所以S”E=&.

设内切球半径为一，由匕一A°E=；(SA°E+SAPE+SMB+SPQE),，得:

V22-V2

r=—产=-----.

2V2+22

如图：

当。点与尸重合，P为正方形A3CD的中心时:

V…TA°E.所;X也义1=%

S.AQE=逝'，S,p£Q=百，SpAQ=1,

SAPE=72.

设内切球半径为广，由/_AQE=:(SAQE+SAPE+SAPB+SPQE),，得:

:叵8+46-5后-3面

-272+^+1—2.

综上可知，当四面体丛QE的体积最大时，其内切球半径为：上正或8+4―-50-3>

22

故答案为：

22

【点睛】关键点点睛：根据町得到P点在以AE为直径的球面上，又P点在正方形A3CD及其内

部，所以P点轨迹就是球面与平面A3CD的交线上，即以A3为直径的半圆上.明确P点轨迹是解决问题

的关键.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(%)=x(l-InAx).

⑴若曲线"%)在x=e处切线与直线y=x垂直，求左的值；

(2)讨论了(%)的单调性.

【答案】(1)k=l

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)对函数求导，结合题意有，/,(e)=-ln(te)=-l,即可求解左值；

(2)对函数求导，分左＞0和左＜0两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性.

【小问1详解】

因为/(x)=x(l—lnAx),kwO,所以/'(x)=-ln(Ax),

曲线/(尤)在x=e处的切线与y=%垂直，

所以/'(e)=—lnO)=—1,得％=1；

【小问2详解】

由/(x)=Ml_lnAx)得/'(X)=—ln(Ax),

当左＞0时，/(九)的定义域为(0,+8),

令/'(x)=0得X=；，

K

xe"时

当时，/(%)＞0,当rW<o

上单调递增，在5,+“

所以/(%)在上单调递减;

当左＜0时，/(X)的定义域为(-8,0),

令/，(%)=0得了=:

K

时，/(x)＜0,当

当工£一8,xerW>o

所以/(%)在[-巩,]

上单调递减，在上单调递增.

综上所述：当左＞0时，/(X)在0,I上单调递增，在上单调递减;

1

当左＜0时，/(X)在上单调递减，在上单调递增.

k

16.如图，在四棱台ABC。—A4GR中，底面A3CD为正方形，ABC1为等边三角形，E为A3的中

点.

(1)证明：CXDX±B.E；

(2)若BC=2301=4,B[E=2拒,求直线与平面CD0G所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵逅

3

【解析】

【分析】(1)连接EC1，可得由已知得ABLgq,所以得AB1平面与。1石，可得GA，

平面BgE,则可得G21B.E.

(2)以点E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出6C1的坐标及平面CDQC的一个法向量

〃的坐标，由6cl和〃夹角的余弦值的绝对值即为直线BG与平面CDRG所成角正弦值，由向量夹角的

余弦公式算出，再算出直线BC,与平面CDDG所成角的余弦值.

【小问1详解】

连接EC-因为一ABC1为等边三角形，所以

因A3CD为正方形，所以A3_Z8C

在四棱台ABC。—A4Goi中，BCMBQ

所以AB，B©,又BQiCGE=Q,B.C^C.Eu平面BgE,

所以AB/平面片CE,

因为AB//。】。】，所以GA，平面4GE，

因为与Eu平面B]GE,所以G2,4E；

【小问2详解】

因为底面A3CD为正方形，ABC1为等边三角形，

所以AB=3C=4,所以GE=2g,

因为4石=2夜，用G=2,所以6及+印石2=。£2,所以片E,gG，

又由（1）1BtE,且G24G=G，。12，片。1匚平面4用。1。1，

所以耳E，平面A]B1G2，即4E，平面A3CD,

取CD的中点尸，连接所，

以点E为坐标原点，以EB，EF，E4分别为无，,，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

5（2,0,0）,C（2,4,0）,5（0,2,2点），。（—2,4,0）,

所以3C1=卜2,2,2后），Cq=（-2,-2,2V2）,CD=（T,0,0）,

设〃=（羽y,z）是平面CDDg的一个法向量，

..n-CC,=0f-2x+-2y+2^/2z=0,/八后八

所以《，即，得〃=0,j2,l,

n-CD=04x=0'）

直线8G与平面CDDG所成角正弦值为"I4A/2IA/6

K-H14,闫一3

则直线BQ与平面CDDG所成角的余弦值为_7|

一1

17.已知数列｛%｝满足q=2,|a“+i—aj=d.q",neN*.

（1）若q=l,｛4｝为递增数列，且2,%，%+3成等比数列，求d；

（2）若d=l,q=；,且｛Wa｝是递增数列，｛%“｝是递减数列，求数列｛%｝通项公式.

【答案】（1）d=-

2

1

（2）a=Z+l/~）"

"332"T

【解析】

【分析】（1）利用数列｛%,｝为单调递增数列，得到再根据2,a5,%+3成等比数列，得

到8d2+24—3=0，即可求出的值.

（2）由数列｛4,1｝是递增数列得出。20+1一%1>0，可得（如+1一%"）+（%一%-1）>。，但

2n-l/[\2〃

《<生?，可得|%+1一%」<|%一%--可得。2.—1==冒二；由数列｛//是递减

数列得出。2〃+1一。2〃<0,可得_%=（一；），再利用累加法可求出数列｛0“｝的通项公式.

【小问1详解】

因为％=2,且｛q,｝为递增数列，所以。用—a“=d,

所以｛%｝为等差数列，因为2,%，%+3成等比数列，

所以（q+4d丫=2（q+6d+3）,整理得8d2+24—3=0，

13

得4=5,d=--,因为｛a“｝为递增数列，

所以d=L

2

【小问2详解】

由于｛生"-1｝是递增数列，因而。2计1一%1>°，

于是(。2"+1—。2")+(%—)>。①

/11

但尹■〈河T，

所以|。2"+1—。2"|<|—。2"-11.②

又①，②知，a2n-a7n_x>0,

因此…d『二事③

因为｛?“｝是递减数列，同理可得。2用一＜°，

于是=4+（%-4）+（%一%）+「+（。”一。〃-1）

故数列｛q｝的通项公式为/=[+,（；?.

【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.

（1）数列｛4｝为等差数列，利用等差数列的性质即可；

（2）根据数列｛。2“_1｝是递增数列得，。2”+1一＞0,数列｛4〃｝是递减数列得，4"+1—。2”＜0,综合

数列｛%y｝和｛%｝即可得。“+1-4=（-?,最后利用累加法可求出数列｛4｝的通项公式.

22（

18.已知椭圆C：—+£=1（。〉5〉0）的上顶点为A,左焦点为尸，点为C上一点，且以

A3为直径的圆经过点尸.

（1）求。的方程；

⑵过点G（—5,0）的直线/交C于。，E两点，线段。E上存在点/满足|£必,团=|0叶,701过

G与/垂直的直线交＞轴于点N,求.GMN面积的最小值.

22

【答案】（1）二+匕=1

189

（2）7

【解析】

【分析】（1）根据已知条件和椭圆中仇c的关系，求出仇c的值，可得椭圆的标准方程.

⑵设直线/：丁=左（x+5）,再设。（七,％）,£（%,%）,加（如%），把直线方程代入椭圆方程，消去

V,得到关于X的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，表示出%+%2，%1%2,并用芯,电,天

表示条件而=整理得X。为定值；再结合弦长公式表示出|GM|,利用两点间的距离公

式求|GN|,表示出..GMN的面积，利用基本（均值）不等式求最值.

【小问1详解】

由题意知4（03），F（-c,0）,因为点4―4,g］在椭圆C上，

所以一Y-I—2=1=a?=18,

a29b2

7,2

由以AB为直径的圆经过点产，知FA-尸3=0，得c?—4c+—=0①，

3

又〃+/=〃2②，

由①②得c=3,b=3,

22

所以C的方程为：土+匕=1.

189

【小问2详解】

如图：

由题意，直线/斜率存在且不为0,设直线/的方程为丁=左（》+5）,

且。（％，乂），E（%，％），耳（如为），

22

将y=左（l+5）代入^_+T=l

整理可得（1+2左2）尤2+20左2尤+50左2—18=0,

△=（20左2/一4（1+2左2）（50左2—18）＞0,

解得3H＜k＜亚,

77

20k250左2—18

由根与系数的关系可得%+々=-

,x.x2=--------r

1+2左2121+2公

根据\DM\\GE\=\DG\\EM\,得7言

50左2—18（20人2）

.,2+5

（玉）1+242I1+2已

解得「2x^2+5+%18

x+%+1020k2y

12+10

1+242

设与直线/垂直的直线方程为y=--（%+5）,

k

5

令x=0,则丁=一9,即N］。,一：

kkIk

故|GN|=25+f

\GM\=yj\+k2-y-（-5）=171+F,

5

记工GMN面积为S,

725_7

则S=；|GM|x|GN|=A&+.也+1+k2

10V=2

2+k2+~>-x2^7,当且仅当左=±1时取等号,

2Vk22

所以_GMN面积的最小值为7.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线求取值范围的问题，常见的解决方法有：

（1）转化为二次函数，利用二次函数在给定区间上的值域求范围；

（2）转化为不等式，利用基本（均值）不等式求最值；

（3）转化为三角函数，利用三角函数的有界性求取值范围；

（4）转化为其它函数的值域问题，通过分析函数的单调性求值域.

19.设点集,从集合M“中任取两个不同的点

A（a1,a2,a3,,an）,5（4也也,也），定义A，3两点间的距离d（A3）=£旧-可.