2024年九年级中考数学复习：相似三角形常考模型

微专题8相似三角形常考模型

模型一“A”字模型

4A

图

/BAA----

条件EF//BCZAED=ZB

结论△AEF^AABC△ADE^AACB

1.（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：

OC=1：2,过点C作CD〃OB交AB于点D,C,D两点纵坐标分别为1,3,则B

点的纵坐标为（）

第1题图

A.4B.5C.6D.7

2.（2022•东营）如图，在AABC中，点F,G在边BC上，点E,H分别在边AB,

AC上，四边形EFGH是矩形，EH=2EF,AD是AABC的高，BC=8,AD=6,那么

EH的长为—.

3.（2023•广饶县模拟）如图，在钝角AABC中，AB=6cm,AC=12cm,点D从

A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点移动，点E从C点出发沿CA以2cm/s的

速度向A点移动，如果两点同时移动，经过____秒时，AADE与4ABC相似.

A

D,

E

BC

第3题图

模型二“8”字模型

4.如图，不能判定AAOB和ADOC相似的条件是（

第4题图

DOA0D

A.0A•CD=AB•0DD.——

OB0C

C.ZA=ZDD.ZB=ZC

5.（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC,

X则

DE,相交于点F•石

第5题图

模型三“母子”模型

图条件结论

A

ZACD=

AACD^AABC

ZB

A△ADE^AACB^

AAC±BC,

AD_AE_DE

DEXAB

AC-AB-BC

BC

①△ACDs^ABC'

AC2=AD•AB

A

CD±AB,②△ACDs^CBD'

/dAC±BCCD2=AD•BD

BC

③△BCDs/\BAC\

BC2=BD•AB

6.（2022•朝阳区一模）如图，在AABC中，AB=AC,点D在AC上（不与点A,C

重合），只需添加一个条件即可证明4ABC和ABDC相似，这个条件可以

是.（写出一个即可）

第6题图

7.(2023•湘潭)在RtZkABC中，ZBAC=90°，AD是斜边BC上的高.

(1)证明：△ABDs/xcBA；

⑵若AB=6,BC=10,求BD的长.

第7题图

8.如图所示，在Rt^ABC中，ZB=90°，点D在边AC上，且DELAC交BC于

点E.

（1）求证：ACDE^ACBA；

⑵若AB=3,AC=5,E是BC中点，求DE的长.

A

BEC

第8题图

模型四“一线三等角”模型

图条件结论

C

△CAPs

Z1=Z2=Z3

△PBD

锐角一线三等角

C

△CAPs

Z1=Z2=Z3

APB△PBD

钝角一线三等角

△CAPs

Z1=Z2=Z3

APB△PBD

直角一线三垂直

9.（2023•东营）如图，AABC为等边三角形，点D,E分别在边BC,AB上，ZADE

=60°.若BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为（）

E

BDC

第9题图

A.1.8B.2.4

C.3D.3.2

10.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,AB=CD=2,AD=5,若点P是AD上一

点（AP〈DP）,且NBPC=NA,则AP=—.

第10题图

11.一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为(0,1),直角顶点C的

坐标为(一3,0),ZB=30°,则点B的坐标为.

第11题图

12.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在BC,AB上，且△ADCs/\DEB,

则NADE的度数为一.

第12题图

模型五旋转型

图条件结论

A

Z1=Z2,△ADEs

ZB=ZDAABC

BC

13.如图所示，Z1=Z2,要使△ABCs/XADE,只需要添加一个条件即可，这

个条件不可能是(

第13题图

A.ZB=ZDB.NC=NE

ADABACBC

AE-ACAE-DE

3

14.（2021•益阳）如图，RtZkABC中，ZBAC=90°,tanNABC=一,将AABC绕

2

A点顺时针方向旋转角a(0°<a<90°)得到AAB'C,连接BB，,CCZ,

则△CAC'与ABAB'的面积之比等于

第14题图

15.如图，将矩形ABCD和矩形DEFG按如图方式放置，其中AD=2DE,AB=2DG,

AD=DG,设AE,CG交于点P.

第15题图

⑴求手的值；

CG

⑵证明:AE±CG.

16.【问题背景】如图1所示，在RtZkABC和Rt^ADE中，AB=AC,AD=AE,由

已知可以得到：

____________________；

(DAs△；

【尝试应用】如图2,在AABC和AADE中，ZACB=ZAED=90°,ZABC=ZADE

=30°,

求证：ZkACEs^ABD；

【问题解决】如图3,在AABC和4ADE中，ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE

=30°,AC与DE相交于点F,点D在BC上，应=次,求0P的值.

BDCF

图1图2

第16题图

微专题8相似三角形常考模型参考答案

1.（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：

OC=1：2,过点C作CD〃OB交AB于点D,C,D两点纵坐标分别为1,3,则B

点的纵坐标为（C）

第1题图

A.4B.5C.6D.7

2.（2022•东营）如图，在AABC中，点F,G在边BC上，点E,H分别在边AB,

AC上，四边形EFGH是矩形，EH=2EF,AD是4ABC的高，BC=8,AD=6,那么

EH的长为=.

5

3.（2023•广饶县模拟）如图，在钝角AABC中，AB=6cm,AC=12cm,点D从

A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点移动，点E从C点出发沿CA以2cm/s的

速度向A点移动，如果两点同时移动，经过3或=秒时,AADE与AABC相似.

5

第3题图

模型二“8”字模型

£______E

图

BCBC

条件EF//BCZA=ZD

结论AAEF^AABCAAOB^ADOC

4.如图，不能判定AAOB和△0（）（：相似的条件是（A）

第4题图

A.0A-CD=AB・ODB.-=―

OBOC

C.ZA=ZDD.ZB=ZC

5.（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC,

第5题图

模型三“母子”模型

图条件结论

A

ZACD=

AACD^AABC

ZB

A△ADEs^ACB今

AAC±BC,

AD_AE_DE

DE±AB

AC-AB-BC

BC

①△ACDs^ABC'

AC2=AD•AB

A

CD±AB,②△ACDsWBg

/dAC±BCCD2=AD•BD

BC

③△BCDs2\BAC今

BC2=BD•AB

6.（2022•朝阳区一模）如图，在AABC中，AB=AC,点D在AC上（不与点A,C

重合），只需添加一个条件即可证明^ABC和ABDC相似，这个条件可以是NA=

NCBD（答案不唯一）.（写出一个即可）

第6题图

7.(2023•湘潭)在RtZkABC中，ZBAC=90°,AD是斜边BC上的高.

(1)证明：△ABDSACBA；

⑵若AB=6,BC=10,求BD的长.

A

BDC

第7题图

解：（1）证明：:AD是斜边BC上的高，

NBDA=90°,

ZBAG=90°,

NBDA=NBAC,

又YNB为公共角，

AABD^ACBA；

⑵由⑴知△ABDs^CBA,

.BD_BA

，，BA-BC，

.BD_g

••，

610

二.BD=3.6.

8.如图所示，在RtZkABC中，NB=90°,点D在边AC上，且DEJ_AC交BC于

点E.

（1）求证:ACDE^ACBA；

⑵若AB=3,AC=5,E是BC中点，求DE的长.

第8题图

解：（1）证明：；DE_LAC,NB=90°,

：.ZCDE=ZB=90°.

又•「NC=NC,.,.△CDE^ACBA;

⑵在RSABC中，

NB=90°,AB=3,AC=5,

Z.BOAC2-AB2=4.

YE是BC中点，

1

.*.CE=BC=2.

2

VACDE^ACBA,

.DECE口DE2

…=,即=一,

ABAC35

2X36

，DE=----

55

模型四”一线三等角”模型

图条件结论

C

△CAPs

N1=N2=N3

△PBD

锐角一线三等角

C

△CAPs

Z1=Z2=Z3

APB△PBD

钝角一线三等角

△CAPs

Z1=Z2=Z3

APB△PBD

直角一线三垂直

9.（2023•东营）如图，AABC为等边三角形，点D,E分别在边BC,AB上，ZADE

二60。.若BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为（C）

E

BDC

第9题图

A.1.8B.2.4

C.3D.3.2

10.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,AB=CD=2,AD=5,若点P是AD上一

点（AP〈DP）,且NBPC=NA,则AP=1

第10题图

11.一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0,1）,直角顶点C的

坐标为（-3,0）,ZB=30°,则点B的坐标为（-3一/3,3x5）.

第11题图

12.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在BC,AB上，且△ADCs/\DEB,

则NADE的度数为60°.

第12题图

模型五旋转型

图条件结论

A

Z1=Z2,△ADEs

ZB=ZDAABC

BC

13.如图所示，Z1=Z2,要使△ABCs/XADE,只需要添加一个条件即可，这

个条件不可能是(D)

第13题图

A.ZB=ZDB.ZC=ZE

ADABACBC

,AE-AC,AE-DE

3

14.（2021•益阳）如图，RtZkABC中，ZBAC=90°，tanNABC=一,将AABC绕

2

A点顺时针方向旋转角a(0°<a<90°)得到4人8，C,连接BB'，CCZ,

则△CAC'与ABAB'的面积之比等于9:4.

第14题图

15.如图，将矩形ABCD和矩形DEFG按如图方式放置，其中AD=2DE,AB=2DG,

AD=DG,设AE,CG交于点P.

第15题图

⑴求手的值；

CG

⑵证明:AE±CG.

解：(1)由题意可知，

在矩形ABCD,DEFG中，

YNEDG=NADC=90°,

二.ZEDG+NGDA=ZADC+ZGDA,

即NEDA=NGDC.

・「AD=2DE,AB=2DG,DC=AB,

.ED=DG=]

7。—D。—2

..*ccc.EDAD1

.AD=DG,==一,

DGDC2

.,.△EDA^AGDC.

.AE=ED=].

，，CG-DG-2,

(2)证明：VAEDA^AGDC,

NDEA=NDGC

•?ZDEA+NEDG=