江西省新余四中高三第六次模拟考试新高考数学试卷及答案解析

江西省新余四中高三第六次模拟考试新高考数学试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（）A． B． C．2 D．2．已知函数的最小正周期为的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的单调递增区间为()A． B．C． D．3．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（）.A． B．9 C．5 D．4．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（）A． B． C． D．大小关系不能确定5．设，，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．7．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．B．C．D．8．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（）A． B． C． D．9．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x的值为()A．3 B．3.4 C．3.8 D．410．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率A． B．C． D．11．若复数，，其中是虚数单位，则的最大值为()A． B． C． D．12．是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，若在上的最大值为，则________.14．已知等差数列的前项和为，且，则______.15．如图，已知圆内接四边形ABCD，其中，，，，则__________．16．若存在直线l与函数及的图象都相切，则实数的最小值为___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且(1)求数列{a(2)求数列{1Sn}的前18．（12分）如图，为坐标原点，点为抛物线的焦点，且抛物线上点处的切线与圆相切于点（1）当直线的方程为时，求抛物线的方程；（2）当正数变化时，记分别为的面积，求的最小值．19．（12分）已知，函数.（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；（2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立.20．（12分）本小题满分14分）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段的长度21．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，其短半轴长为1，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上，且．（1）证明：直线与圆相切；（2）设与椭圆的另一个交点为，当的面积最小时，求的长．22．（10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率(=0，1，2，3)中,若的值最大,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴，得，再结合关系求解即可【详解】因为，所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以，即，则，故.故选：C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．2、D【解析】

先由函数的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数的解析式，从而得出的解析式，再根据正弦函数的单调递增区间得出函数的单调递增区间，可得选项.【详解】因为函数的最小正周期是，所以，即，所以，的图象向左平移个单位长度后得到的函数解析式为，由于其图象关于轴对称，所以，又，所以，所以，所以，因为的递增区间是：，，由，，得：，，所以函数的单调递增区间为（）.故选：D.【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于中档题.3、A【解析】

根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.【详解】定点为,，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.故选：A【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.4、B【解析】

先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得．【详解】根据题意，阴影部分的面积的一半为：，于是此点取自阴影部分的概率为．又，故．故选B．【点睛】本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题．5、A【解析】

根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.【详解】若，，则，可得；若，可得，无法得到，所以“”是“”的充分而不必要条件.所以本题答案为A.【点睛】本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系.6、B【解析】

先利用对称得，根据可得，由几何性质可得，即，从而解得渐近线方程.【详解】如图所示：由对称性可得：为的中点，且，所以，因为，所以，故而由几何性质可得，即，故渐近线方程为，故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出是解题的关键，属于中档题.7、D【解析】

如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.【详解】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.故，，.故，故，.故选：.【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8、B【解析】

先列举出不超过的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】不超过的素数有：、、、、、，在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况，其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、、、，共种情况，因此，所求事件的概率为.故选：B.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.9、D【解析】

根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.【详解】由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为和一个底面半径为，高为的圆柱组合而成.该几何体的表面积为，解得，故选：D.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.10、B【解析】

设，则，，因为，所以．若，则，所以，所以，不符合题意，所以，则，所以，所以，，设，则，在中，易得，所以，解得（负值舍去），所以椭圆的离心率．故选B．11、C【解析】

由复数的几何意义可得表示复数，对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得，复数对应的点为，复数对应的点为，所以，其中，故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.12、D【解析】

根据是定义在上的增函数及有意义可得，构建新函数，利用导数可得为上的增函数，从而可得正确的选项.【详解】因为是定义在上的增函数，故.又有意义，故，故，所以.令，则，故在上为增函数，所以即，整理得到.故选：D.【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求出函数的导数，由在上，可得在上单调递增，则函数最大值为，即可求出参数的值.【详解】解：定义域为，在上单调递增，故在上的最大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题.14、【解析】

根据等差数列的性质求得，结合等差数列前项和公式求得的值.【详解】因为为等差数列，所以，解得，所以.故答案为：【点睛】本小题考查等差数列的性质，前项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，应用意识.15、【解析】

由题意可知，，在和中，利用余弦定理建立方程求，同理求，求，代入求值.【详解】由圆内接四边形的性质可得,．连接BD，在中，有．在中，．所以,则，所以．连接AC，同理可得,所以．所以．故答案为：【点睛】本题考查余弦定理解三角形，同角三角函数基本关系，意在考查方程思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是熟悉圆内接四边形的性质，对角互补.16、【解析】

设直线l与函数及的图象分别相切于，，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为存在直线l与函数及的图象都相切，所以，所以，令，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，所以实数的最小值为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）an=2n【解析】

(1)先设出数列的公差为d，结合题中条件，求出首项和公差，即可得出结果．(2)利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：(1)设公差为d的等差数列{an}且a1+a则有：a1解得：a1=3，所以：a(2)由于：an所以：Sn则：1S则：Tn=1【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18、（1）x2=4y．（2）.【解析】试题解析：（Ⅰ）设点P（x0，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求导y′=，因为直线PQ的斜率为1，所以=1且x0--√2=0，解得p=2，所以抛物线C1的方程为x2=4y．（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：y-=（x-x0），即2x0x-2py-x02=0，∴OQ的方程为y=-x根据切线与圆切，得d=r，即，化简得x04=4x02+4p2，由方程组，解得Q（，），所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=点F（0，）到切线PQ的距离是d=，所以S1==，S2=，而由x04=4x02+4p2知，4p2=x04-4x02＞0，得|x0|＞2，所以==+1≥2+1，当且仅当时取“=”号，即x02=4+2，此时，p=．所以的最小值为2+1．考点：求抛物线的方程，与抛物线有关的最值问题.19、（1）（2）见解析【解析】

（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离得在上恒成立.设，求出即可得到参数的取值范围；（2）不妨设，，，利用导数说明函数在上是减函数，即可得证；【详解】解：（1）∵∴，且函数在上为减函数，即在上恒成立，∴在上恒成立.设，∵函数在上单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围为.（2）不妨设，，，则，∴.∵，∴，又，令，∴，∴在上为减函数，∴，∴，即，∴在上是减函数，∴，即，∴，∴当时，.∵，∴.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20、【解析】解：解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，即，它表示以为圆心，2为半径圆，………4分直线方程的普通方程为，………8分圆C的圆心到直线l的距离，……………10分故直线被曲线截得的线段长度为．……………14分21、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）分斜率为0，斜率不存在，斜率不为0三种情况讨论，设的方程为，可求解得到，，可得到的距离为1，即得证；（2）表示的面积为，利用均值不等式，即得解.【详解】（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且，所以．所以椭圆的方程为．由点在直线上，且知的斜率必定存在，当的斜率为0时，，，于是，到的距离为1，直线与圆相切．当的斜率不为0时，设的方程为，