工程制图D-基本几何体的投影

基本几何体的投影基本几何体的投影2.1导言2.2立体的投影2.3截交线2.4相贯线导言立体是占有空间的，其形状由封闭的表面（组成面）决定。这一封闭的表面，可由平面围合，也可由曲面围合。写为：立体的投影，实质上是构成该体的所有表面（组成面）的投影总和。ZWYHVX长对正宽相等高平齐前后前后导言

常见的基本几何体组成面均为平面称平面体组成面含有曲面称曲面体常见的基本几何体由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。⑶棱柱面上取点在图示位置时，六棱柱的顶面、底面为水平面，在水平投影中反映实形。前后两棱面是正平面，其余四个棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。点的可见性规定：若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。⑵棱柱的三面投影

a

a

a

(b

)

b⑴棱柱的组成

b

由两个底面和若干棱面组成。棱面与棱面的交线叫棱线，棱线相互平行。1.棱柱平面立体的投影棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在水平投影上反映实形。棱面SAC为侧垂面，另两个棱面为一般位置平面。()

s

s

2.棱锥⑵棱锥的三面投影⑶在棱锥面上取点

k

k

k

b

abc

a

(c

)b

s

n

⑴棱锥的组成

n

由一个底面和若干棱面组成。棱线交于有限远的一点——锥顶。同样采用平面上取点法。

nABCS

a

c

平面立体的投影VWH平面立体的投影圆柱体

⑵圆柱体的三面投影圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。

⑴圆柱体的组成由圆柱面和两个底面组成。圆柱面是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成。A1AOO1直线AA1称为母线。

回转体的投影左边转向轮廓线右边转向轮廓线前面转向轮廓线后面转向轮廓线轴线对称中心线

圆柱面的水平投影积聚成一个圆，在另两个投影上分别以两个方向的轮廓素线的投影表示。圆柱体的投影圆柱体的投影二、回转体的投影

(3)圆柱面上取点取线A1AOO1圆柱体的投影圆柱体

⑵圆柱体的三面投影圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。

⑴圆柱体的组成由圆柱面和两个底面组成。圆柱面是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成。直线AA1称为母线。

圆柱体表面上取点取线圆柱体的投影VWHVWH圆柱体的投影圆锥体的形成圆锥体的三面投影在图示位置，水平投影为一圆。另两个投影为等边三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条转向轮廓线的投影。圆锥体的投影圆锥面上取点取线线上取点法回转面上取点法（纬圆法）圆锥体表面取点取线VWHVWH圆锥体的投影左右转向轮廓线前后转向轮廓线上下转向轮廓线圆球的形成圆球的三面投影

三面投影分别为三个和圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三个方向转向轮廓线的投影。球的投影转向轮廓线上取点法回转面上取点法（纬圆法）圆球面上取点取线球表面取点取线根据回转面的定义，可知回转面是其母线绕轴回转的轨迹。这里，母线和轴是回转面的两个形成要素。所以，回转体投影上的回转面（曲面）部分应由回转面的母线和回转轴来表达。规定：母线轨迹由转向轮廓线表达，回转轴则由特定的线型——点画线作出。注意描述回转面及回转体空间形状的各个方向上的转向轮廓线，也是该向上的可见性分界线。同时，由于母线的每一位置称为素线，所以转向轮廓线也是条特定位置上的素线，在相关投影中都可找到它的对应投影。这点对于在回转面上取点取线相当重要。转向轮廓线和轴线是在投影图上描述回转面的特征线，也是描述回转体的特征线，尤其是回转轴的轴线。所以应该很好地把握,

必须在其投影图中作正确的表达。

注意1.圆锥台2.圆柱体3.半球3.半球2.圆柱体1.圆锥台a.回转体投影的错误画法--缺少回转轴的投影b.回转体投影的正确画法注意截交线平面与立体表面的交线——表面性是相交双方共有点的集合——共有性是封闭的平面图形——封闭性截交线的特性截交线平面与平面立体表面相交产生的交线，为封闭的平面多边形。由于平面立体由平面围合，所以上述交线可看成是平面与平面相交产生的交线（直线段）的组合。换言之，平面立体表面交线的求解，可归结为平面与平面求交线的问题。解题步骤：1）判断：首先是原形判断，并及时将其投影画下来；其次是相交判断，明确在投影图上需求些什么。2）求交：求出棱及边上的共有点即交点，然后连点（同面点）成线，即为交线。3）整形：即将尚未画完整的图形按规定线型完整之。包括交线虚实判断，棱边去留判断；当有多个截平面截交时，取其有效的交线部分，应特别注意截平面间存在的交线。例题例1：补全五棱柱被截切后的三面投影。例题例2：补全四棱锥被截切后的三面投影。平面截切圆锥θ=90°θ＝ααθ＞＞90°0°≤θ＜α过锥顶两相交直线圆椭圆抛物线双曲线ααθαθαθ平面截切圆柱垂直圆椭圆平行两条素线—矩形倾斜截交线1.截交线的求解思路：先知其名，后画其形，以少胜多，连点成线。2.截交线的求解步骤：1）判断—相交的双方及其相对位置、截交线形状及其投影、解决的问题。2）求交—求点（先求特殊点，再求中间点）连点成线3）整形—截交线的可见性判断；轮廓线的去留判断3.求点的方法：1）轮廓线上取点2）回转面上取点3）利用积聚投影设点椭圆可由8点画出截交线1）轮廓线上取点这一方法实质是线上取点定理的直接应用。2）回转面上取点注意：回转体母线上的任意一点，其回转轨迹皆为圆。截交线1）轮廓线上取点2）回转面上取点1）轮廓线上取点面上取点必需先取线。取线为圆的这一方法，对于回转面来说，具有普遍的意义。辅助纬圆法2）回转面上取点1）轮廓线上取点积聚投影利用其积聚投影任意设点取点，方法见右图

3）利用积聚投影设点截交线例题d′●c′●e●c●a●d●b●例3:圆锥被正平面截切，补全正面投影图。EDCABb′●a′●截交线的空间形状？截交线的投影特性？e′●例题例4:圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三面投影。截交线的空间形状？截交线的投影特性？找特殊点如何找椭圆另一根轴的端点？补充中间点光滑连接各点

分析轮廓线的投影和交线的可见性判断分析和比较例题例题截交线的已知投影？例5：求侧面投影求特殊点再求中间点光滑连接各点分析轮廓线的去留截交线的侧面投影是什么形状？截交线的空间形状？

判断截交线的可见性判断分析和比较分析和比较椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。什么情况下投影为圆呢？截平面与圆柱轴线成45°时。例题例6：求水平投影例题例7：求侧面投影★空间及投影分析★求交★整形截交线的形状截交线的投影特性解题步骤：同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。例题例8：求侧面投影分析与比较例题例9：求水平投影例题例10：求水平投影分析与比较观察与思考例题水平面与圆球面的交线，水平投影为部分圆弧，侧面投影积聚为直线。两个侧平面与圆球面的交线，侧面投影为部分圆弧，水平投影积聚为直线。例11：求半球体截切后的水平投影和侧面投影。例题例12：求圆球被平面挖切后的水平投影和侧面投影。观察与思考例题例13：求作顶尖的水平投影首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成的以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。截交线一、截交线的形状

1、平面与平面立体相交是多边形2、平面与锥柱球相交是五三一三、表面交线的求解步骤

1、判断2、求交（求点连线）3、整形（虚实判断、轮廓线去留）封闭性表面性共有性二、截交线的求解思路先知其名，后画其形，求出几点，连点成线。截平面与轴线垂直时：截平面与轴线倾斜时：“锥五柱三球一圆”

截平面与母线平行时：截交线截交线四、求点方法

1、轮廓线上求点2、回转面上取点（纬圆法）3、利用积聚投影设点一、截交线的形状

1、平面与平面立体相交是多边形2、平面与锥柱球相交是五三一三、表面交线的求解步骤

1、判断2、求交（求点连线）3、整形（虚实判断、轮廓线去留）封闭性表面性共有性二、截交线的求解思路先知其名，后画其形，求出几点，连点成线。相贯线

两立体表面相交产生的交线——相贯线。相贯线

两立体表面相交产生的交线——相贯线。相贯线的性质求相贯线的作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影，光滑地连点成线。★

共有性★

表面性相贯线位于两立体的表面上。相贯线是相交双方共有点的集合。★

封闭性相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。两立体间相贯有平面体与平面体相贯,平面体与曲面体相贯,曲面体与曲面体相贯三种情况。平面立体与平面立体相贯★

平面立体与平面立体相交产生的交线为封闭的空间折线。

★

求相贯线的步骤：★

两平面立体间表面交线的求解，可归结为平面间求交线的问题。1）判断：包括原形判断，相交判断，明确投影图上需求些什么。2）求交：求出棱及边上的共有点，连点（同面点）成线。3）整形：即将尚未完整的图形完整之。包括交线虚实判断，棱边去留判断。例题例1已知正四棱锥及其上的缺口的V面投影，求其H面和W面的投影。

例题例2画出带切口四棱台的侧面投影，补全水平投影。

四棱台被四棱柱贯穿画出四棱台的侧面投影求点、连线整形平面立体与回转体相贯

★相贯线是由若干段平面曲

线或直线组成的空间折线，每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线。★求相贯线的步骤：

分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确定交线的形状。

求出各棱面与回转体表面的截交线。

连接各段交线，并判断可见性。

★求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。例题例3求作四棱柱与圆柱的相贯线。

例题例4：补全正面投影由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。

四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，其交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，其交线为两段圆弧。例题●●●例5：求作正面投影●●●◆空间及投影分析◆求相贯线◆分析轮廓线的投影●●●例题例5：求作正面投影回转体与回转体相贯★

相贯线一般为封闭的马鞍形的空间四次曲线。

★相贯线的产生及影响其形状的因素:回转体与回转体相贯回转体与回转体相贯⒈相贯线的产生：◆两外表面相交◆一外表面与一内表面相交◆两内表面相交影响相贯线形状的因素交线为两条平面

曲线即椭圆与相交双方的相对位置有关影响相贯线形状的因素动画演示回转体与回转体相贯★解题步骤:

判断:

求交：求点、连点成线

轮廓线上取点★求点方法:

回转面上取点（纬圆法）

利用积聚投影设点法

辅助平面法（切片法）

整形：进行可见性判断、搞清轮廓线去留★

相贯线一般为封闭的马鞍形的空间四次曲线。

★相贯线的产生及影响其形状的因素:★求相贯线的作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影，光滑地连点成线。例题例6：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。

空间及投影分析：

小圆柱轴线垂直于H面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影积聚在该圆上。大圆柱轴线垂直于W面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影应积聚在该圆上，为两圆柱面共有的一段圆弧。求相贯线的投影：

利用积聚性，采用表面取点法。☆判断☆求交☆整形例题例6：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。

利用积聚性，采用表面取点法。☆判断☆求交求相贯线的投影：☆整形例题例题例题例8：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。

◆空间及投影分析：相贯线为一光滑的封闭的空间曲线。它的侧面投影有积聚性，正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出。◆求点方法：辅助平面法辅助平面法根据三面共点的原理，用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。☆作图步骤：☆辅助平面的选择原则：使辅助平面与两回转体表面的交线的投影简单易画，例如直线或圆。一般选择投影面平行面。◆作辅助平面与相贯的两立体相交◆分别求出辅助平面与相贯的两立体表面的交线◆求出交线的交点（即相贯线上的点）辅助平面法例题例8：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。

假想用水平面P截切立体,P面与圆柱面的交线为两条直线，与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为相贯线上的点。P例题例8：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。

●●●●●●●●●●●●●求交线步骤：★求特殊点★用辅助平面法求中间点★光滑连接各点例题例8：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。

求交线步骤：★求特殊点★用辅助平面法求中间点★光滑连接各点特殊位置相贯线★共切球定理：当相交双方共切于一个球面时，相贯线由空间四次曲线变成二段平面曲线（椭圆）。特殊位置相贯线两个等径圆柱体相交两个不等径的圆柱体相交特殊位置相贯线共切球定理应用示例特殊位置相贯线★共轴回转定理：当相交双方的轴线重合时，相贯线由空间四次曲线变成平面曲线（垂直于轴线的圆）。特殊位置相贯线特殊位置相贯线共轴回转定理应用示例特殊位置相贯线★其它特殊情况例题例10：补全正面投影★外形交线◆

两外表面相贯◆一内表面和一外表面相贯★内形交线◆

两内表面相贯例题例10：补全正面投影★外形交线◆

两外表面相贯◆一内表面和一外表面相贯★内形交线◆

两