江西省赣州市龙南市2023-2024学年八年级下学期月考数学试题(含解析)

2023—2024学年度八年级下学期阶段评估（一）数学

下册第十六〜十七章

说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟.

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的.请将其代码填入

题后括号内.错选、多选或未选均不得分.

1.下列各式中，属于最简二次根式的是（）

A.gB.底C."

D.晒

2.以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（

A.1,石B.石，"，'5C.2,3,75D.9,40,41

3.若+则。的值是（）

A.GB.2括C.3D.9

4.在等腰直角三角形48。中，ZC=90°,/B,/C的对应边长分别为a,b,c,

则下列式子成立的是（）

A.。2—。2=b2B.Z72=。2+C2C.c2=2b2D.b?=2。2

5.如图，数轴上点/表示的数是-2,点5表示的数是0,力5于点5,且5。=2,以

点4为圆心，/C的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点。，则点。表示的数是（）

C.25/2-2D.>/2-1

6.如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高为12cm.若

铅笔的长为20cm,则这只铅笔露在笔筒外面的长度/的取值范围是（）

A.9cm</<12cmB.5cm</<8cmC.5cm<1<9cmD.12cm</<20cm

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.使代数式VT为有意义的x的取值范围是.

8.试写出一组勾股数.

9.已知x,y是实数，且满足y=Jx-2024+，2024-x,则—的值为.

10.如图，一艘小船以15海里/时的速度从港口/出发，向东北方向航行，另一小船以8海

里/时的速度同时从港口/出发，向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距海

里.

北

南

11.一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度.已知动

能的计算公式是E=：加V2,其中E表示动能（单位：焦耳），加表示物体的质量（单位：

k2k

千克），V表示物体的运动速度（单位：米/秒），现一个运动的物体的质量是10千克，动能

是1000焦耳，则该物体的运动速度是米/秒.

12.如图，有一块直角三角形的菜地，记为测量得直角边/C=4m,直角边

BC=3m.现要将菜地扩充成等腰三角形且扩充部分是以/C为直角边的直角三角形,

则扩充后的等腰三角形的周长为—.

三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

13.(1)计算：V''8XV'72-72.

(2)如图，在。8C中，4B=4C=13,BC=10,求。8C的面积.

14.已知a=J13+5/5,b=\'13—^5.求<72+上-2ab.

15.如图，这是3x3的正方形网格，每个小正方形的边长为1个单位长度、/在格点(小正

图1图2

(1)在图1中作Rt^/BC,使8,C在格点上，且三边的长为不相等的无理数.

(2)在图2中作一个面积为|的等腰直角三角形/尸。，P,0在格点上.

16.淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入四个小球，小球分别标有如图所示

的数.现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就

(2)若淇淇摸出全部的四个球，计算结果为x,嘉嘉说无的值与同属于同类二次根式，你认

为嘉嘉的说法对吗？并说明理由.

17.如图，这是某推车的简化结构示意图.现测得8C=2dm,CD=8dm,AD=16dm,

^5=18dm,其中/。与8。之间由一个固定为90。的零件连接（即44。8=90。），按照设计

要求需满足BCLCD,请判断该推车是否符合设计要求，并说明理由.

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.如图，在5x5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，/,2,C,。四

点都在格点（小正方形的顶点）上，连接BC,CD.

（1）求48,3C和CD的长.

（2）仔细观察（1）中的运算过程，在加+〃=6（«,〃为大于0的实数）的条件下，若代数式

Jnu+n；的值最小，直接写出m,n的值.

（3）连接4。，求四边形/8CD的面积.

19.课本再现

如图1,我们称该图案为“赵爽弦图“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方

形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a,b（Z?>a>0）,斜边

长为c.

(1)请利用图1验证勾股定理.

知识应用

(2)在图1中，若c=15,b=12,求小正方形的面积.

(3)小明按图2的方式把边长为3cm和2cm的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝

拼成一个大正方形，则大正方形的边长是.

20.一座吊桥的钢索立柱ND两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示，小敏和小云想测

钢索48的长度.她们测得为30。.由于8,。两点间的距离不易测得，通过探究和

测量，发现恰好为60°,点8与点C之间的距离约为20m.已知8,C,。三点共线，

AD1BD,求钢索N8的长，(结果保留根号)

五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21.如图，有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别

为20dm2和45dm2的正方形木板.

(1)截出的两块正方形木板的边长分别为,.

(2)求剩余木料(即阴影部分)的面积.

(3)如果木工师傅想从剩余的木料中截出边长为2dm的正方形木板，那么最多能截出

块木板.

22.阅读材料：在二次根式运算中，若两个二次根式的乘积不含根号，则称这两个二次根式

互为有理化因式，其中一个二次根式是另一个二次根式的有理化因式，例如:

（行+3）（^-3）=则称(5+3)与(5-3)互为有理化因式;3+应）匕-应）=1,

-4,

则称G+点)与G一拒)互为有理化因式.因此，我们可以利用互为有理化因式的特征把

1_1X73一小

分母中的根号或根号中的分母化去,如国二万玄=守'

这一过程叫做分母有理化.

(1)3+2班的一个有理化因式是.分母有理化：匚与

⑵已知，加+5-Jm-2=2,求-Jm+5+y/m-2的值.

f----广+—/=尸+------1■…+/----/]°26+1）.

(3)计算:

U+>/2及+^73+2J2025+J2026J

六、解答题(本大题共12分)

23.一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片/3CD放在平

面直角坐标系中，点/与原点O重合，顶点8、。分别在x轴、y轴上，48=4,4D=3,P

为边CD上一动点，连接3尸，将A3CP沿AP折叠，点C落在点。处.

(2)如图2,当点P与点。重合时，沿8。将△BCD折叠得△8C£>,与无轴交于点E,

求的面积.

(3)是否存在点P,使得点C'到长方形的两条较长边的距离之比为1:2?若存在，直接写出点

P的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案与解析

1.D

【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.

判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件（①被开

方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式）是否同时满足，同时满足的就

是最简二次根式，否则就不是.

【详解】解：A、/=¥，被开方数里含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题

意；

B.眉=5=¥，被开方数里含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；

C."=2被开方数里含有能开得尽方的因数；故本选项不符合题意；

D.炳符合最简二次根式的条件；故本选项符合题意.

故选：D.

2.B

【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三

边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.勾股定理的逆定理：若三角形三边满足

02+62=02,那么这个三角形是直角三角形.欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，

只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【详解】解：A、（/［）+（也）=（回），故能构成直角三角形，故A不符合题意；

B、（存）+（/?）片（污），故不能构成直角三角形，故B符合题意；

C、22+（万）=32,故能构成直角三角形，故C不符合题意；

D、92+402=412,故能构成直角三角形，故D不符合题意.

故选：B.

3.A

【分析】本题考查了二次根式的加法，利用二次根式的性质进行化简.熟练掌握二次根式的

加法，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键.

由题意知，岳=20a+B计算求解即可.

【详解】解：由题意知，，12=2jJ=a+JJ,

解得，a=W，

故选：A.

4.C

【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.根据题意，可得。为斜边，a,b

为直角边，根据勾股定理即可求解.

【详解】解：••・在等腰直角“8C中，ZC=90°,/A,AB,/C的对应边分别是a,b,c,

.•.c为斜边，为直角边，

a2+b2=c2,a=b,

•••C2=2a2=2bl,

故选：C.

5.C

【分析】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识和勾股

定理进行求解.先运用勾股定理求得线段NC的长，再计算出此题结果即可.

【详解】由题意得，/C=QAB2+BC。=J（-2-0。+22=2、5,

•,•AC=AD=2垃,

.•.点。表示的数2JI-2,

故选：C.

6.B

【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两

种极端情况，问题即解决.当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒

部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的

最大长度；从而可确定答案.

【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：J122+92=15（cm）,

则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：20-15=5（cm）；

当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为20-12=8（cm）,

即铅笔在笔筒外面最长不超过8cm,

所以这只铅笔露在笔筒外面的长度/的取值范围是5cmV”8cm.

故选：B.

7.x>-l

【分析】本题考查了二次根式有意义：被开方数为非负数，据此列式计算，即可作答.

【详解】解：•.•代数式47有意义，

/.x+7>0,

x>-7

故答案为：x>-7.

8.3、4、5（答案不唯一）.

【详解】解：最常见的勾三股四弦五，勾股数为3,4,5.

故答案为：3、4、5（答案不唯一）.

9.1

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数爆，代数式求值.解题的关键在于

求解x的值.由y=yfx-2024+,2024-6,可知x=2024,贝i]y=0,代入计算求解即可.

【详解】解：:x,y是实数，且满足y=Jx—2024+J2024—x,

Jx-2024>0

"[2024-x>0，

解得：x=2024,

则y=o,

xy=2O24o=1,

故答案为：1.

10.34

【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是关键.根据方位

角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度x时间，得两条船分别走了30

海里和16海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离.

【详解】解：设两艘船航行2小时后分别到达3、C的位置，连接3C,如图所示：

两船行驶的方向是东北方向和东南方向，

.-.ABAC=90°,

两小时后，两艘船分别行驶了15x2=30（海里），8x2=16（海里）,

根据勾股定理得：7302+162=34（海里），

即离开港口2小时后，两船相距34海里.

故答案为：34.

11.10、5

【分析】本题主要考查了算术平方根和二次根式的应用，解题的关键是根据题目中给出的等

'巴,然后代入数据进行计算即可.

式变形为"=

m

【详解】解：•・・£机=10千克，E=1000焦耳,

k2k

2E^-(米/秒),

...v=12x1000=10

m

故答案为：ioj，.

12.16m或(o+2«5)m或竺m.

3

【分析】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意

熟练应用勾股定理是解题关键.

由勾股定理可得48=5m,则由题意可分当/B=4D=5m时，当A4=3。=5m时和当

DA=DB,然后分别求解即可.

【详解】解：在RtZ\4BC中，两直角边NC=4m,SC=3m,

-'-AB=^AC2+BC2=5m>

则根据题意可分①当4B=/D=5m时，如图所示：

•••DC=ylADi-ACi=3m，

:.BD=DC+BC=6m,

则△NaD的周长为：AD+AB+BD=5+5+6=l6m；

②当A4=2D=5m时，如图所示:

，DC=BD—BC=2m,

•/ACABD,AC=4m,

AD=4AC?+℃=2>/5m，

则△73。的周长为：胡+/。+8。=5+26+5=(0+26)111；

③当时，如图所示:

设DC=xm,则4D=D3=(3+x)m,

•••AC人BD,

DC2+AC2=AD2,AC=4m,

即X24-42=(3+x)2,

7

解得；x=,

6

725

,.AD=3+-=—

66

2525p40

故人ABD的周长为：AD+BD+AB=一+--b5=-m.

663

综上所述，扩充后的等腰三角形/8D的周长为16m或《0+26)m或

(o+2V0m或手m.

故答案为：16m或

13.(1)12^/2;(2)60

【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关

键是熟练掌握运算法则和勾股定理，数形结合，作出辅助线.

(1)根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可；

(2)过点/作8c于点。，根据等腰三角形的性质求出BO=CD=L3C=5,根据勾股

2

定理求出/。=，4比一8〃2=而7行7=12,最后根据三角形面积公式求出结果即可.

【详解】解：(1)通又配3

=j8x72+2

=v^288

=12^2;

(2)过点/作于点。，如图所示：

在中，根据勾股定理得：

AD=4AB-BDz=4132-52=12,

...S=18CX/0=L10X12=60.

△4BC22

14.20

【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，先求出

a-b=2^5,然后将以+拉一2岫变形为(。-6>,整体代入求值即可.

【详解】解：“=5/11+6，b=y^-y/5,

:.a-b=7布+邪-岳+邪=2军,

+bi-2ab=(a-。=vV5)=20.

15.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，三角形面积的计算，解题的关键

是数形结合，熟练掌握勾股定理.

(1)根据要求，结合勾股定理作图即可；

(2)作直角边长为的等腰直角三角形即可.

【详解】(1)解：如图，-3C即为所求作的三角形.

AB=y/12+h=V2,AC=A/22+22=272，3c=也+北=厢，

5)+(应)=io=C,To),

•••/8C为直角三角形；

(2)解：如图，即为所求作的三角形.

Q

AP=AQ=712+22=BPQ=J12+32=M,

...(/5)+(/5)=10=Qio),

.•.△/p。为等腰直角三角形，

...s=lxN/5x,/5=-.

-APQ22

16.(1)73

(2)嘉嘉的说法对，理由见详解

【分析】本题考查了根据二次根式的性质，二次根式加减混合运算.

(1)根据二次根式的性质运算即可；

(2)二次根式加减混合运算法则计算即可.

【详解】(1)解：依题意，得屈一;用=2、回一=

(2)解：嘉嘉的说法对，理由如下：

依题意，得痴一;、/力+、后-2^|=*+<6-v'6=后,

■:回,=4币,与、§是同类项，

故嘉嘉的说法对.

17.该推车符合设计要求，理由见解析

【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理.

首先根据勾股定理求出=68,然后根据勾股定理的逆定理得即可得答案.

【详解】-：AD=\6Am,/8=18dm,AADB=90°

•­•BDi=AB2-AD2=324-256=68

•••BC=2dm,CD=8dm,

•••J3C2+CZ>2=4+64=68

BC2+CD2=BD2

：,BCLCD

•••该推车符合设计要求.

18.(1)4B=而,BC=2r,CD=3五

(2)加=〃=3

⑶14

【分析】(1)根据勾股定理求出“2,3C和。。的长即可;

(2)观察解析(1)的运算过程和结果，得出答案即可；

(3)利用割补法求出四边形的面积即可.

【详解】(1)解：AB=712+52=J26,

BC=722+42=闻=2<5,

CD=V32+32=V18=3V2；

(2)解：观察(1)中的运算结果可知，>V'20>718,当山+〃=6时，加与〃的值越

接近时，Jm2+口2的值越小，

.•.当加="=3时，+m最小.

(3)解：S=5x5-—xlx5--x2x4--x3x3=14,

tsa^ABCD222

即四边形/BCD的面积为14.

19.(1)见解析；(2)9；(3)Jllcm

【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，利用勾股定理进行计算，算术平方根的应用,

解题的关键是数形结合.

(1)根据大正方形的面积的两种表示方法=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，列

式证明即可；

(2)先根据勾股定理求出。=9,然后根据正方形的面积公式求解即可；

(3)根据两个图形的面积相等，求出图3中大正方形的面积，然后再求出边长即可.

【详解】(1)证明：•••大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，

C2=(Z?-a)2+4x；a6

=Z>2-2ab+。2+2ab

=62+。2,

:.a2+bi=c2.

(2)由勾股定理得a=y/c2—b2=1152-122=9，

•.小正方形的面积S=(12-9)2=9.

(3)大正方形的面积为：32+22=9+4=13(cm：

大正方形的边长：x/i3cm.

20.20V3m

【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，三角形外角的性质，解题的关键是

数形结合，先根据三角形外角性质求出NA4C=//CO-N48r>=30。，得出N34c=N4BC,

根据等腰三角形的判定得出4c=2C=20m,再根据勾股定理求出

AD=yjAC2-CD2=1073m,最后根据直角三角形的性质求出结果即可.

【详解】解：Q^ABD=30°,ZACD=60°,

ABAC=ZACD-ZABD=30°,

ABAC=NABC,

，/C=BC=20nl.

QADLBD,ZACD=6Q°,

ZCAD=90°-60°=30°,

:.CD=~AC=Wm,

2

根据勾股定理，^AD=JAC2-CD2=1O^m,

在中，ADYBD,ZABD=30°,

AB=2AD=206m.

答：钢索的长度是20鬲.

21.⑴2、为dm,3行dm

(2)10Gmz)

(3)2

【分析】本题考查的是二次根式的应用；

(1)根据二次根式的性质化简，可得答案；

(2)利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案；

(3)先计算剩余木条的长为26(dm),宽为3A-2、,3=7'5dm,再利用2x2<2r<2x3,

75>2,从而可得答案.

【详解】(1)解：、，瓯=2、，&lm,<45-3<15dm,

故答案为：2、，5dm,345dm；

(2)解：矩形的长为2、«(dm),宽为36-205=7'5dm,

••・剩余木料的面积=2/x6=10(dm2),

(3)解：矩形的长为2、行(dm),宽为3乔-2乔=疯皿,

••12x2<2>/5<2x3,45>2,

最多能截出2块木板.

故答案为2.

22.(1)3-2、叵；-1-X./2

7

⑵2

(3)2025

【分析】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解

答问题的关键.

(1)根据题干信息找出3+2点的有理化因式，按照分母有理化的方法求解即可；

(2)先求出[m+5->fm-2)(加+5+yJm-2)=7,再根据y/m+5--2=2计算即可得

到结果;

(3)原式各项分母有理化，合并即可得到结果.

【详解】(1)解：3+2职的一个有理化因式是3-2JI;

1

-l-y/2.

l-x/2

(2)解:

=m+5-(m-2)

=m+5—m+2

=7,

又,**y/m+5-yfm-2=2,

2\lm+5+\lm-2)=7,

=2026-1

=2025.

23.(1)点尸的坐标为［|,3

呜

/或(4一

(3)点P的坐标为4J弋

【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨

论.

(1)首先根据勾股定理求出m=+=5,然后根据折叠的性质得到

BC'=BC=AD=3,PC=PC,NPC'B=NC=90。,设PC'=PC=x,贝ij

DP=DC-PC=4-x,在RtADPC'中，利用勾股定理得到(4一=2?，求出

335

PC'=PC=~,得到。夕=4一5=彳，进而可求出点尸的坐标；

(2)首先根据平行线的性质和折叠的性质得到。E=设DE=BE=a,则

77

AE=AB-BE=4-a,在RS4DE中，根据勾股定理求出得到然后利用

OO

三角形面积公式求解即可；

(3)过点C作石尸~LC£＞交CD于点£,交48于点?根据题意得到£尸=40=3,然后分

两种情况讨论：C'E:CN=1:2和C'£:CN=2:1,分别根据勾股定理求解即可.

【详解】(1)•••AB=4,AD=3,ZDAB=90°

BD=-JAD2+AB2=5

•.•将ABCP沿3P折叠，点C落在点C，处

...BCr=BC=AD=3,PC=PC,ZPCB=ZC=90°

・•.DC=BD-BC=2

设PC'=PC