2025优化设计一轮课时规范练9　恒成立与能成立问题

课时规范练9恒成立与能成立问题一、基础巩固练1.(2024·吉林长春高三期中)若关于x的不等式a·2|x|>2|x|+1(x∈R)有实数解,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞) B.(2,+∞)C.[1,+∞) D.[2,+∞)2.(2024·江苏镇江模拟)已知函数f(x)=log3(x2-1),g(x)=x2-2x+a,对于任意x1∈[2,+∞),存在x2∈[13,3]有f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是(A.(-∞,1] B.(-∞,2]C.(-∞,-2] D.(-∞,1493.(2024·山东潍坊高三期末)已知函数f(x)=(12)x-x(x>3),对∀x∈(3,+∞)都有f(x)<m成立,则实数m的取值范围是.4.(2024·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)=9x+1(1)求实数m的值;(2)若对任意的x∈R,总存在y∈R,使得2-y2-2y+nf5.(2024·山西大同期末)定义在[-3,3]上的奇函数f(x),已知当x∈[-3,0]时,f(x)=14x+a3x(1)求f(x)在(0,3]上的解析式;(2)若存在x∈[-2,-1],使不等式f(x)≤m2x−1二、综合提升练6.(2024·广东汕头模拟)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=(12)x-m,若对任意x1∈[0,3],x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是(A.[14,+∞) B.(-∞,1C.[12,+∞) D.(-∞,-17.(2024·天津河东期中)已知f(x)=x+3,x≤1,-x2+2x+3,x>1,则使8.(2024·安徽安庆高三期中)已知函数f(x)=2x+1+b(1)求b的值,并用定义证明函数f(x)的单调性;(2)求不等式f[f(x)]+f(14)<(3)设g(x)=lnx+mx2,若对任意的x1∈[1,e],总存在x2∈[0,2],使得g(x1)=f(x2)成立,求实数m的取值范围.

课时规范练9恒成立与能成立问题1.A解析由题知a·2|x|>2|x|+1,而2|x|≥1,所以a>1+12|x|,又因为0<12|x|≤1,所以1<1+12|x|≤2,因为关于x的不等式a·2|x|>2|x|2.B解析对于任意x1∈[2,+∞),存在x2∈[13,3]有f(x1)≥g(x2)等价于[f(x1)]min≥[g(x2)]min由x∈[2,+∞),f(x)=log3(x2-1)单调递增,可得f(x)min=f(2)=1,又g(x)=x2-2x+a,∴当x=1时,g(x)min=g(1)=a-1,∴1≥a-1,解得a≤2,故选B.3.[-238,+∞)解析f(x)=(12)x-x在(3,+∞)所以f(x)<f(3)=-238因为对∀x∈(3,+∞)都有f(x)<m成立,所以m≥-234.解(1)因为f(x)=9x+13mx(x∈R)为偶函数,所以有f(-x)=f(x),取x=1,即f(所以有9-1+13-m=9+13m,(2)由(1)知,f(x)=9x+13x=3x+3-x,将2-y2-2y+nf(x)≥1变形为3x+3-x≥2y2+2y-n.因为3x+3-x≥23x·3-x=2,当且仅当3x=3-x,即x=0时,3x+3-x有最小值2.所以存在y∈R,使得2≥2y2+2y-n成立因为y2+2y-1=(y+1)2-2≥-2,当且仅当y=-1时,等号成立,所以有n≥-2,所以n的取值范围是[-2,+∞).5.解(1)根据题意,f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,则f(0)=1+a=0,得a=-1.经检验满足题意,故a=-1.当x∈[-3,0]时,f(x)=14x+a3x=14x−13x,当x∈(0,3]时,-x∈[-3,0),f(-x)=14-x−13-x=4x-3x.又综上,当x∈(0,3]时,f(x)=3x-4x.(2)根据题意,若存在x∈[-2,-1],使得f(x)≤m2x−13x-1成立,即14x−13x≤m2又由2x>0,则m≥12x+2·(23)x在[-2,-1]有解.设g(x)=12x+2·(23)x,g(x)在x∈当x∈[-2,-1]时,g(x)min=g(-1)=12-1+2·(23)-1=5,故m≥5.即实数m的取值范围是[5,6.C解析f(x)=ln(x2+1)在[0,3]上单调递增,f(x)min=f(0)=0,g(x)=(12)x-m在[1,2]上单调递减,g(x)max=g(1)=12对任意x1∈[0,3],x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则f(x)min≥g(x)max,所以12-m≤0,即m≥12,7.[2,+∞)解析因为f(x)-ex-m≤0⇔m≥f(x)-ex,令g(x)=f(x)-ex,x∈R,依题意,∀x∈R,m≥g(x),当x≤1时,g(x)=x+3-ex,g'(x)=1-ex,当x<0时,g'(x)>0,当0<x<1时,g'(x)<0,因此g(x)=x+3-ex在(-∞,0)内单调递增,在(0,1)内单调递减,当x=0时,g(x)max=g(0)=2,当x>1时,g(x)=-x2+2x+3-ex,g'(x)=-2x+2-ex,g'(x)在(1,+∞)内单调递减,g'(x)<g'(1)<0,于是函数g(x)=-x2+2x+3-ex在(1,+∞)内单调递减,g(x)<g(1)=4-e<2,因此g(x)max=2,则m≥2,所以m的取值范围是[2,+∞).8.解(1)因为f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=2x+1+b2x+1所以f(x)=2x+1-2下面用定义法证明单调性:∀x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2-42x1+1-(2-4因为x1<x2,所以2x2>2x1,2x1+1>0,2x2+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f((2)由(1)知f(x)在R上单调递增,且为奇函数,故不等式f[f(x)]+f(14)<0⇔f[f(x)]<-f(14)=f(-14)⇔f(x)即2-42x+1<-14,整理得42x+1>94,即2x<79,解得x<log2(3)因为f(x)在R上单调递增,所以在[0,2]上,f(x)max=f(2)=65f(x)min=f(0)=0,故