北京市东城区2023-2024学年高三年级下册综合练习（二）（二模）数学试题（含答案解析）

北京市东城区2023-2024学年高三下学期综合练习(二)(二模)

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={#+14。},3={x|—2Wx<l},则()

A.{%|x<l}B.{x|-2<x<l}

C.{x|%>-2}D.{x|-2VxV-l}

2.下列函数中，在区间。,+⑹上单调递减的是()

A./(x)=VxB./(x)=e-'

C./(x)=x+—D./(X)=1ILV

3.在，ABC中，A=—,C=,b=，贝!J。=()

A.1B.V2C.73D.2

22

4.己知双曲线,-}=l(a>0*>0)过点(3,0),且一条渐近线的倾斜角为30,则双曲

线的方程为()

22

A.—-/=1B.f-匕=1

33

C.--^=1D.X?-4y2=1

62

5.直线/：y=-l与圆E:/+y2-4x=0交于A,3两点，若圆上存在点C,使得.ABC为

等腰三角形，则点C的坐标可以为()

A.(0,0)B.(4,0)C.(1,5/3)D.(2,2)

6.袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察

颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则

两次摸到的小球颜色不同的概率为()

A.1B.2C.3D,1

5555

7.己知函数/(x)=|x-l|e*与直线y=l交于4(%,%),3(%,%)两点，则|再-司所在的区

间为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

8.已知平面向量q,e2,e3,是单位向量，且qLe2,贝！J"q-63=e?-64”是"63-64=0”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为

g）=AsinW（A>0,o>0）,其中A表示振幅，响度与振幅有关；T表示最小正周期，T=/，

a）

它是物体振动一次所需的时间；/表示频率，/="，它是物体在单位时间里振动的次数.

下表为我国古代五声音阶及其对应的频率f：

音宫商角徵羽

频率f262Hz293Hz330Hz392Hz440Hz

小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔;个单位时间后，第二次弹奏同

一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏

产生的振动曲线在（；，+8）上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（）

A.宫B.商C.角D.徵

10.设无穷正数数列｛?｝,如果对任意的正整数〃，都存在唯一的正整数机，使得

%=%+%+%++%，那么称｛%｝为内和数列，并令2=加，称也｝为｛%｝的伴随数列，

则（）

A.若｛%｝为等差数列，则｛4｝为内和数列

B.若｛4｝为等比数列，则｛%｝为内和数列

C.若内和数列｛%｝为递增数列，则其伴随数列也,｝为递增数列

D.若内和数列｛”“｝的伴随数列｛〃｝为递增数列，则｛〃“｝为递增数列

二、填空题

试卷第2页，共6页

11.二项式（4-2）6的展开式中常数项为.（用数字作答）

X

12.若复数z满足三7=2+i.则在复平_面__.内，z对应的点的坐标是______.

1+1

13.设函数〃尤）［JR〉］，则/］匕1=，不等式〃x）＜/（2x）的解集是.

14.如图，在六面体ABCD-A耳GR中，平面ABCZ）〃平面，四边形ABCD与四边

形AgGR是两个全等的矩形.AB//A耳，AD//A.D,,四，平面ABCD.AB=4G=2，

8c=A旦=4,M=2,则.该六面体的任意两个顶点间距离的最大值

15.已知平面内点集&=｛片,£,…A中任意两个不同点之间的距离都不相等.设

集合8=｛叫Vme｛l,2,,〃｝（旭"）,0＜咫目福3=1,2,

M=｛Pi\PiPj^B,i=1,2,，4.给出以下四个结论：

①若〃=2,则&=加；

②若“为奇数，则Aw";

③若”为偶数，则4="；

④若忸弓",,"Pj\=B,则”5.

其中所有正确结论的序号是.

解答题

16.如图，在四棱锥尸―ABCD中，ABCD,AB=4,CD=2,ZPDA=9Q,平面PADJL

平面PCD.

p

⑴求证：AD1PC；

（2）若尸£＞="＞=2,PD1DC,求平面PAD与平面P3C夹角的余弦值.

17.已知函数〃尤）=$出（0%+。）［。＞0,0＜。＜5］的部分图象如图所示.

（1）求。的值;

⑵从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数/（x）存在，并求函数/（x）在0,］上的最

大值和最小值.

条件①：函数/1+1）是奇函数；

条件②：将函数“X）的图象向右平移专个单位长度后得到了=5也8的图象；

条件③："0）=/［g］

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解

答，按第一个解答计分.

18.北京市共有16个行政区，东城区、西城区、朝阳区、丰台区、石景山区和海淀区为中

心城区，其他为非中心城区.根据《北京市人口蓝皮书•北京人口发展研究报告（2023）》显

示，2022年北京市常住人口为2184.3万人，由城镇人口和乡村人口两个部分构成，各区常

住人口数量如下表所示：

东城西城朝阳丰台石景山海淀门头沟房山

行政区

区区区区区区区区

城镇人口（万70.4110343.3199.956.3305.436.2102.6

试卷第4页，共6页

人)

乡村人口(万

000.91.3073.428.5

人)

通州顺义昌平大兴平谷延庆

行政区怀柔区密云区

区区区区区区

城镇人口(万

137.387.8185.9161.632.827.934.920.5

人)

乡村人口(万

4744.740.837.511.117.717.7.13.9

人)

⑴在16个行政区中随机选择一个，求该区为非中心城区且2022年乡村人口在20万人以下

的概率；

⑵若随机从中心城区选取1个，非中心城区选取2个行政区，记选出的3个区中2022年常

住人口超过100万人的行政区的个数为X,求X的分布列及数学期望E(X)；

(3)记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为“，只，s；.试判断

s；,s；,学的大小关系.(结论不要求证明)

22

19.已知椭圆C:=+与=l(a>6>0)的右焦点为*3,0),左、右顶点分别为4B,直

线/:x=20，且A到尸的距离与A到I的距离之比为Y2.

2

⑴求椭圆C的方程；

(2)设N为椭圆C上不同的两点(不在坐标轴上)，过点N作直线2M的平行线与直线

AM交于点。，过点/作直线3N的平行线与直线4V交于点E.求证：点。与点E到直线,

的距离相等.

20.已知函数〃%)=xsin2x+cos2x.

(1)求曲线y=在卜"［一:］处的切线方程;

「2兀5兀一

(2)求函数/(x)在区间一—上的极值点个数.

21.已知A：4生,,为(“23)为有穷整数数列，若4满足：-qe{p,q}(i=l,2,,H-1),

其中P,4是两个给定的不同非零整数，且%=4=0,则称4具有性质T.

(1)若。=-1,q=2,那么是否存在具有性质T的A?若存在，写出一个这样的人；若不存

在，请说明理由；

(2)若。=-1,q=2,且A。具有性质T,求证：4,g,L,佝中必有两项相同；

(3)若2+4=1,求证：存在正整数左，使得对任意具有性质T的A,都有4，出，，4T中任

意两项均不相同.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】求得A={x|x4-1},易求

【详解】A={x|x+l<O}={x|x<-l},

所以A<JB={X\X<—\}<J{X\—2<X<Y\={X|X<1}.

故选：A.

2.B

【分析】根据基本初等函数的单调性判断A、B、D,利用导数判断C选项的单调性.

【详解】对于A：〃力=石在定义域[0,+8)上单调递增，故A错误；

对于B：/(x)在定义域R上单调递减，故B正确；

对于C：f(x)=x+~,则尸⑺=1一4=.+1)!"-1)，

%JCX

当时/什耳>。，所以/(x)=x+J在(1,+8)上单调递增，故C错误;

对于D：〃x)=lnx在定义域(0,+8)上单调递增，故D错误.

故选：B

3.D

【分析】由题意可得：B=g结合正弦定理运算求解.

6

【详解】由题意可得：B=it-A-C=^,

6

后x也

abZ?sinA

由正弦定理可得〃=2

sinAsinBsin3

2

故选：D.

4.A

【分析】根据渐近线方程可设双曲线方程为!-y?=%20,代入点(3,后)运算求解即可.

【详解】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为y=^x,

设双曲线方程为三-y2=彳*0,

3'

代入点(3,忘)，可得力=：一(匈2=],

答案第1页，共17页

所以双曲线的方程为:-丁=1.

故选：A.

5.D

【分析】设A3的中点为D,连接£»、AE.BE,即可求出/AEB=120。，分析可知：ABC

为等边三角形，即可得到点C在48的中垂线x=2与圆E的交点（A3上方），从而求出C点

坐标.

【详解】圆心/+/一4x=0,即（X—2）2+/=4,圆心为E（2,0）,半径r=2,

设的中点为。，连接££）、AE.BE,则ED_LAB,且怛。|=1,

ED1

贝所以44£。=60。，则NBED=60°,即NAEB=12O°,

AE2

若在圆上的点C使得.ABC为等腰三角形，

若|AC|=|AB|（忸C|=|AB|也类似），连接CE,则NA£C=/AEB=120。，

此时NCEB=12O。，贝1」。|=|4。=|48］,所以ABC为等边三角形，

若|ACj=|CB|也可得到ABC为等边三角形，所以点C在A3的中垂线尤=2与圆E的交点

（AB上方），

由［11"-"""。，解得彳［:或［I］'所以可以是。2,2）.

6.B

【分析】分第一次从袋中摸出1个白球，一次从袋中摸出1个黑球两种情况可求解.

【详解】若第一次从袋中摸出1个白球，则放入1个白球，第二次摸出黑球的概率3为2=）1,

565

答案第2页，共17页

若第一次从袋中摸出1个黑球，则放入1个黑球，第二次摸出白球的概率为2:x^3==1,

565

119

故两次摸到的小球颜色不同的概率为-+-=

故选：B.

7.B

/、(x-l)ex,x>1/、

【分析】根据题意可得〃X)=I工分X21和x<l,利用导数判断“X)的单调

性，进而可得函数/(元)与直线y=i的交点，即可得结果.

【详解】不妨设项<马，

(x-l)ex,x>1

因为〃x)=k-l|e'=，

若则/(x)=(x—l)e，,可得/'(x)=xe'>0,

可知/⑺在［1,+s)内单调递增，且/⑴=。(1,/(2)=e2)1,

即y=l与y=/(x),x21有且仅有一个交点，且交点横坐标在(1,2)内;

若n<1,则=可得了")=—%e”,

当x<0,/'(x)>0；当0<x<l,/'(x)<0；

可知在(-双0)内单调递增，在(0,1)内单调递减，则/(x)W/(O)=l,

综上所述：玉=0,%©。,2),所以后一引=苍«1,2).

故选：B.

8.D

【分析】根据题意不妨设耳=(1,0),/=(0,1),举反例结合充分、必要条件分析判断.

答案第3页，共17页

【详解】因为平面向量G，4，%，Q是单位向量，且弓,心，

不妨设q=(1,0),e2=(。,1)，

右令《二与乌，例如G=F'F，/=可，可卜

Miriru*/ouu

满足q•%=%q=»A~，但%q=1w0，即充分性不成立；

什…5(0(后逝］

右％4=。，例如％=---,―，/=—，

\7\7

-ITIT万ITIT万uuuLL

满足%•%=。，但Gq=--—,e2-e4=^~,即q4。与S，即必要性不成立；

综上所述：“q，；=/•%”是“％•/=。”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

9.C

【分析】根据题意可知：左T=g«eN*,可得/=3Z,keN*,结合题意分析判断即可.

11

【详解】由题意可知：kT=—,keN*,可得T=▽，笈eN*,

33k

1*

则/=7=3太GeN*,

结合题意可知：只有“角”的频率为3的倍角，

所以小明弹奏的音是“角”.

故选：C.

10.C

【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据题意分析可得。也〉。叫，结合单调性可

得相2>叫，即可得结果.

【详解】对于选项AB：例题与=1,可知｛q｝即为等差数列也为等比数列,

则为+的=2,但不存在meN*,使得4"=2,

所以｛q｝不为内和数列，故AB错误；

对于选项C：因为%>0,

对任意《i，%eN*,4<%，可知存在机1，/%eN*,

答案第4页，共17页

使得4%=ax+a2+a.+V+%,。也=a1+a2+a3+L+年,

则%-。叫=4+1+%产+L+"w>°，即％”>%,

且内和数列｛%｝为递增数列，可知？>叫，

所以其伴随数列也J为递增数列，故C正确；

对于选项D：例如2,1,3,4,5,…,

显然｛4｝是所有正整数的排列，可知｛%｝为内和数列，且｛%｝的伴随数列为递增数列，

但｛«„)不是递增数列，故D错误；

故选：C.

【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，把定义转化为已经学过的内容，简

化理解和运算.

11.60

【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出x的指数为0的项即得.

【详解】二项式(«-2)6的展开式的通项公式

X

J=G(石厂］一3=(-2)'屋/等,『46八N，

由3-5厂=0,得厂=2,则(=(-2)2或=4x15=6。，

所以二项式(火-2)6的展开式中常数项为60.

X

故答案为：60

12.(1,3)

【分析】根据复数的乘法运算求z,再结合复数的几何意义分析求解.

【详解】因为备=2+i,可得z=(2+i)(l+i)=l+3i,

所以z对应的点的坐标是(1,3).

故答案为：(1,3).

13.1I-co,-l|u|^,+coI

答案第5页，共17页

「mi।।f2x|>i,,

【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求KB］;分［2x|<l、和因21三

种情况，结合题中函数解析式分析求解.

【详解】由题意可知：f=/（i）=i；

因为/（%）</（2%）,

当|2x|<l,即」<x<L时，贝烟<；<1,可得1<1,不合题意；

222

当即U时，可得1<（2方

解得x>g或所以xe1l,-£|ugl}

当|尤仁1,即或xWT时，则网=2国之2>1,可得（2/）=4/,符合题意；

综上所述：不等式/«<〃2x）的解集是口］；,+8）.

故答案为：1；1一0°厂H,+sj

14.2A/26

【分析】建系，求相关点的坐标，结合空间中两点间距离公式求两点间距离，即可得结果.

【详解】因为四，平面ABCO,且平面ABC。，则叫，A3,惧，AZ）,

且即A4,AB,A。两两垂直,

如图，以A为坐标原点，AB,ADM分别为％y，z轴，建立空间直角坐标系,

则4（0,0,0）,3（2,0,0）,C（2,4,0）,7）（0,4,0）,4（0,0,2）,B,（4,0,2）,Q（4,2,2）,^（0,2,2）,

贝ljBBi=J（4-2）2+（0-0）2+（2-0）2=2点.

要求六面体的任意两个顶点间距离的最大值，只需考虑各体对角线的距离，

则M=2底,BtD=6,AQ=2后,BD、=2上,

答案第6页，共17页

所以该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为DBl=6.

故答案为：2应；6.

15.①③④

【分析】先证明A=H,得到①③正确，②错误，然后在｛片与，々弓，-，"尸/=2和左26的

情况下推导出矛盾，从而得到左45,即④正确.

【详解】由于A中任意两个不同点之间的距离都不相等，故所有风m个向量4弓（，*/）两

两不相等.

这表明对任意的4弓率*5当且仅当V机«1,2,1｝（加"），有

将其转换为更通俗的语言就是：对于点£,弓©4«〃），学*8当且仅当尸j是集合A里除

了A以外的点中到P.的距离最短的点.

所以，对每个耳wA,显然存在另一个到B距离取到最小值的点尸八

则此时就有片与©8,从而EeM,这就直接说明了4=”.

所以①③正确，②错误；

对于④，假设｛4《,々弓，k>6.

由于仍力，"弓，，蚌马*

故片,媪，…,Pik,与两两不同,且对每个m=l,2,...,k,点弓都是A中除与外到Pim距离最短的

点.

特别地，弓都是到片,空，…，”各自的距离最短（不包括其本身）的点.

不妨设（1修匕，4/5/6）=（1,2,3,4,5,6）,并记P,为点。，

则。是到62,…，心各自的距离最短（不包括其本身）的点.

对两个不同点”，N,记直线MN的倾斜角为0Mve[0,7t）.

假设存在1WM6（E）使得<pOPu=%斗，不妨设|<|0用,

则比q=|0划-|0q<|0州，这与。是到R的距离最短（不包括R,本身）的点矛盾.

答案第7页，共17页

所以0，…,夕(瑞两两不相等，不妨设外片<…<%稣.

由于|。制〈山剧,|。闾<|片闾，故NO恰〈幺”,AOPXP2<APXOP2,

11jr

所以APXOP2=-(ZROR+NROg+APXOP2)>-(/0旦<+ZOPtP2+ZP^OP,)=j.

jrJi

故幺">3,同理jo%"%"。心'""取404>§.

而对/=L2,3,4,5,有夕叫—50Pl—NQ°B+i或%%]一外弓=2兀—APtOPM>7t>Z.PtOPl+x,

故%%i-%勺>].

55兀

所以外券-(POR=E(%%-%/?)>7，这意味着ZP6OPl<矛盾.

1=133

这表明假设不成立，所以左W5,④正确.

故答案为：①③④

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对集合新定义的理解，以及三角形中边长的大小关

系与角度的大小关系之间的对应，即所谓的“大边对大角”.

16.(1)证明见解析

⑵近

3

【分析】(1)由已知可得尸D_LAD,结合平面尸ZM_L平面尸CD,可得AD_L平面PCD,可

证结论；

(2)延长AD与3c交于点/,可证AP1PM，PM工PB,所以NAPfi为平面PAD与平

面尸3C所成角的平面角，求解即可.

【详解】(1)因为/PZM=90。，所以尸D,AD,

又平面PD4_L平面PCD,平面PD41平面PCD=PD,ADu平面PZM,

所以AD_1_平面尸CD,PCu平面PCD,

所以ADLPC；

(2)延长AD与BC交于点M,连接PM,则平面PD4一平面=

答案第8页，共17页

所以。是AM的中点，又因为PD=AD,所以/APAf=90。，

所以4P1PM，又因为平面PCD,CDu平面PCD,

所以AD_LOC,又PD1DC,PDcAD=D,PD,AOu平面RM,

所以CD_L平面PZM,■PMu平面PZM,所以CD_LPM,所以AB_LPM,

又APAB=A,平面/MB,所以尸M_L平面E4B,

因为P3u平面弘8,所以

所以ZAPB为平面PAD与平面PBC所成角的平面角，

在RtARW中，因为P£)=A£>=2,可得PA=20，

在RtPA3中，因为PA=20,AB=4,可得9=J8+16=,

所以cosZAPB="=吗=①,

PB2瓜3

所以平面PAD与平面P3C夹角的余弦值为3.

3

17.(1)2

(2)最大值为1,最小值为-g

【分析】(1)根据题意可得7=兀，即可得。的值；

(2)若选条件①：根据题意结合三角函数的奇偶性可得。=j$r,以2x+7TB为整体，结合正弦

66

函数有界性分析求解；若选条件②：根据题意结合图象变换可得9二I占T，以2x+7BT为整体，

结合正弦函数有界性分析求解；若选条件③：根据题意代入，结合正弦函数值的符号分析判

断.

【详解】(1)设的最小正周期为T,

答案第9页，共17页

由题意可得：—=+^-j-x0=,即7=兀，

2冗

且。＞0,所以。=臼=2.

T

（2）由（1）可知：/（x）=sin（2x+0）,

若选条件①：函数小+!||=sin21+15|兀|+夕=sin12x+g+”是奇函数,

12

口八71l5兀5兀4K

且。＜0＜彳，贝rm+

2663

可得乎+0=兀，解得夕J，贝厅（x）=sii42x+m],

又因为xe05，贝IJ2x+\w,

2J01_66

可知：当2x+2=?,即x=g时，/（X）取到最小值

00，Z

当2了+巳=1,即x=£时，〃X）取到最大值1；

若选条件②：将函数〃x）的图象向右平移3个单位长度后,

得至！1＞=小林=sin2卜一1+0=sin[2x+°-E卜sin2%,

717171

且。则一—<（D-----<——

663

可得。4=0,解得9=5，贝（无）=sin|2x+g

66<o

又因为xe0,/，贝IJ2x+\e,

2J0l_00_

可知：当2X+£=F，即x=g时，/（尤）取到最小值-；；

00，Z

当2x+专三，即时,〃x）取到最大值1；

若选条件③：因为/'（O）=7'U，即sine=sint+（|,

口八兀mi4兀4兀1171

且。＜。＜7，贝1=＜二+9〈,，

2336

可知0皿0＞0,$也[]+0]＜0,即sin。wsin（手+"）,不合题意，舍去.

5

18.（1）—

16

（2）分布列见解析，E（X）=|

答案第10页，共17页

(3)S]>s2>S3

【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得；

（2）依题意X的可能取值为0,1,2,3,求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期

望；

（3）根据极差判断s；最小，再分别计算出s；,s；,即可得解.

【详解】（1）在16个行政区中有10个非中心城区，乡村人口在20万人以下的有门头沟区，

怀柔区，平谷区，密云区，延庆区，共5个；

所以随机选择一个行政区，则该区为非中心城区且乡村人口在20万人以下的概率P=

（2）6个中心城区中常住人口超过100万人的有4个区，

10个非中心城区中常住人口超过100万人的有5个区，

则X的可能取值为0,1,2,3,

所以尸(x=o)=器■=*尸(x=i)/c漂C&1

yJ。乙1yJ。3

c；Cc；+c；c；=4clc：4

p(X=2)=

CC°-9'（一）一爆或27

所以X的分布列为:

X0123

2144

P

273927

21445

所以石(X)=0x——+lx-+2x-+3x——=—

v72739273

(3)s；>

由数据可知城镇人口的最大值为343.3,最小值为20.5,极差为343.3-20.5=322.8；

乡村人口的最大值为44.7,最小值为0,极差为44.7,

常住人口为城镇人口与乡村人口之和，最大值为344.2,最小值为34.4,极差为

344.2—34.4=309.9,

所以城镇人口的极差最大，乡村人口的极差最小,

所以乡村人口的方差s；最小，

答案第11页，共17页

又城镇人口的平均数为t（70.4+110++20.5）=”35,

常住人口的平均数为()2184.3…

A70.4+110+343.3+0.9++20.5+13.9=---------=136.51875,

16

所以城镇人口的方差为

s；=5[(70.4-119.55)2+(110-119.55)2++(20.5-119.55)2]«"誓，

常住人口的方差为

s；=^[(70.4-136.51875)2+(110-136.51875)2++(20.5+13.9-136.51875)｝胃广

所以

19.⑴上+工=1

42

⑵证明见详解

【分析】（1）可知A（F,0）,c=VL根据题意求得4=2,进而可得/=2,即可得方程；

（2）设/（285C,>/^^1）,"（28$分,&'$山/?）,求相应的直线方程，进而可得点。、E的

横坐标，对比分析即可证明.

【详解】U）由题意可知：A（-a,0）,c=V2,

因为A到歹的距离与A至卜的距离之比为受，即“+«,=也,解得。=2,

2a+2V22

可得〃=/_。2=2,

22

所以椭圆C的方程匕+工=1.

42

（2）由（1）可知：A（—2,0）,5（2,0）,

sincrcosa・cos/?・sinpwO,

答案第12页，共17页

可知直线点黑人S'

过点N作直线BM的平行线为y=>sin°/_2cos0+0sin/3，

2coscr-2

6sina

y~x+2)

2cosa+2

联立方程,解得x=cos(a-7?)+cosa+cos/一l,

0sina

y~(x-2cos〃)+0sin/3

2coscr-2

即点。的横坐标为cos(a—〃)+cosa+cos〃一1,

可知直线,尸if*2?)，

过点M作直线BN的平行线为y=/珪(尤-2cos0+夜sina,

忘sin0

y=(x+2)

2cos夕+2

联立方程,,解得x=cos(a—/)+cosa+cos/7-l,

y二7sm"(%—2cosa)+0sina

2cos夕-2'

即点石的横坐标为cos(a—0+cosa+cos/7—l,

可知点。、£的横坐标相等，所以点。与点E到直线/的距离相等.

TT

20.(l)x+y-—=0

(2)2

【分析】(1)求导，可得结合导数的几何意义求切线方程；

(2)换元令t=2x,构建函数g(，)=?siru+cosf,利用导数判断g⑺在内的单调

47rSjr

性，结合g⑺的奇偶性可知g⑺在-5，至内的单调性，进而可得“X)的单调性和极值

点.

【详解】(1)因为f(%)=xsin2x+cos2%

贝U/'(%)=sin2x+2xcos2x—2sin2x=xcos2x—sin2x,

答案第13页，共17页

可知切点坐标为切线斜率左=-1,

所以曲线y=〃x）在处的切线方程为＞-：=-卜-口即x+y\=O.

（2）令％=2x,则x=令g（f）=gfsin/+cos/,

因为g⑺的定义域为R，且g（-。=；（一。sin（T）+cos（T）=5sin/+cos/=g,

可知g⑺为偶函数，

因为g'（，）=gsin/+g.cosf-sin.=；（

tcost-sint）

...「2兀5兀］…「4兀5兀

右工£一--，则/£一~-，

_36」|_a5_

取构建/z（t）=7cos7—sin/,贝!］〃'«）=cost—tsint—cost=—tsint,

当/©（0,兀）时，当fe1私^^时，〃⑺＞0；

可知％0在（o,兀）内单调递减，在卜内单调递增，

mi7/、1/八、c7/4兀、2冗\/3八7/5兀15TI6＞_

则/?（无）＜6（。）=。，/7v=__r+_r＜0,/zv=+0,

\JJ32v3yToV2

故在内存在唯一零点％e1手，gj，

当fe（OJo）时，h（t）＜G,即（⑺＜0；当止',"时，咐＞0,即g4）＞0；

可知g⑺在（。小）内单调递减，在内单调递增，

47r57r

对于fe-y,y,结合偶函数对称性可知：

g⑺在（oj。）内单调递减，在（告，巾。，"内单调递增，

又因为t=2x在定义域内单调递增，

由复合函数单调性可知：

〃尤）在内单调递减，在［三，内单调递增，

所以“X）在区间27r上57r的有2个极值点0,1：九，极值点个数为2.

_JoJ2

【点睛】方法点睛利用导数研究函数极值的方法

（1）若求极值，则先求方程1（无）=。的根，再检查尸（X）在方程根的左右函数值的符号;