2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁UM，则（）A．N⊆M B．M⊆∁UN C．∁UM＝∁UN D．M⊆N2．（5分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（）A．13 B．23 C．14．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，则这些数学专著至少有（）A．9本 B．10本 C．11本 D．12本5．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）从x到x+Δx的平均变化率为f(x+Δx)-f(x)Δx=2x+Δx+A．（0，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（2，+∞）6．（5分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型y＝aebx（其中e＝2.71828⋯）拟合，设z＝lny，得到数据统计如下表：年份2018年2019年2020年2021年2022年x12345ym112036.654.6zn2.433.64已知回归方程ẑ=0.52x+1.44，则A．1.96 B．2 C．6.9 D．7.47．（5分）已知A，B为某随机试验的两个事件，A为事件A的对立事件．若P(A)=23，P(B)=58，A．38 B．58 C．148．（5分）已知实数a，b，c满足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝ea﹣a，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知随机变量X服从二项分布B(8，1A．E（X）＝4 B．D（X）＝3 C．P(X=2)=732 D．P（X＝3）＝P（（多选）10．（5分）已知函数f（x）及其导数f'（x）的定义域均为R，则下列结论正确的有（）A．若f（x）为奇函数，则f（x）+2f（﹣x）为偶函数 B．若f（x）+2f（﹣x）为奇函数，则f（x）为奇函数 C．若f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数 D．若f（x）为偶函数，则f'（x）为偶函数（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣sinx，x∈[0，πA．当a=12时，f（x）在x=B．当a=12时，f（xC．若f（x）≤0恒成立，则0＜a≤2D．若f（x）≥0恒成立，则a≥1（多选）12．（5分）现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人，则（）A．2张有奖券分给同一个人的概率是14B．2张有奖券分给不同的人的概率是911C．2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为311D．2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知(x-2x)14．（5分）某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第个项目中的成绩排名最靠后，在第个项目中的成绩排名最靠前．（填序号）序号一二三四项目新闻六十秒挑战会客厅趣味绕口令创意百分百μ71758185σ4.92.13.64.315．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，则x2+y16．（5分）已知不等式-14x2≤ax+b≤ex对任意x∈R四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+6．（1）求f（x）的极小值；（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．18．（12分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*．（1）当n＝9时，求a1+a2+…+a9的值；（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，求n的值．19．（12分）已知某校高一有450名学生（其中男生250名，女生200名）．为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的校本课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习．学校统计了学生的选课情况，得到如下的2×2列联表．选择课程A选择课程B总计男生150女生50总计（1）请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；（2）从所有男生中按列联表中的选课情况进行分层抽样，抽出10名男生，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+P（χ2≥x0）0.010.0050.001x06.6357.87910.82820．（12分）已知函数f（x）满足f（2+x）•f（2﹣x）＝4．当x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2（a＞0）．（1）若f（2）+f（3）＝6，求a的值；（2）当x∈[0，4]时，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．21．（12分）十番棋也称十局棋，是围棋比赛的一种形式．对弈双方下十局棋，先胜六局者获胜．这种形式的比赛因对局较多，偶然性较小，在中国明清时期和日本都流行过．在古代比较有名的十番棋有清代黄龙士和徐星友的“血泪十局”以及范西屏和施襄夏的“当湖十局”．已知甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12（1）若甲、乙两人进行十番棋比赛，求甲至多经过七局比赛获胜的概率；（2）甲、乙两人约定新赛制如下：对弈双方需赛满2n（n∈N*）局，结束后统计双方的获胜局数，如果一方获胜的局数多于另一方获胜的局数，则该方赢得比赛．研究表明：n越大，某一方赢得比赛的概率越大．请从数学角度证明上述观点．22．（12分）已知函数f(x)=12ax2-lnx-1与函数g（x（1）求实数a的值；（2）求不等式ex

2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁UM，则（）A．N⊆M B．M⊆∁UN C．∁UM＝∁UN D．M⊆N【解答】解：∵M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁UM，∴M∩N＝∅，∴M⊆∁UN．故选：B．2．（5分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若log2a＞log2b，则a＞b＞0，此时充分性成立，若0＞a＞b，则log2a＞log2b无意义，则必要性不成立，故“log2a＞log2b”是“a＞b”成立的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（）A．13 B．23 C．1【解答】解：由y＝e﹣x+1，得y′＝﹣e﹣x，∴y′|x＝0＝﹣1，可得曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线方程为y＝﹣x+2．如图：A（2，0），联立y=xy=-x+2，解得B∴曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为12故选：C．4．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，则这些数学专著至少有（）A．9本 B．10本 C．11本 D．12本【解答】解：因为x，y，z∈N*，x＞y＞z＞0，不妨先令z＝1，则4z＝4＞x+y，此时由于ymin＝2，xmin＝3，（x+y）min＝5＞4，不合要求，舍去；令z＝2，则4z＝8＞x+y，此时ymin＝3，xmin＝4，（x+y）min＝7＜8，满足要求，故这些数学专著至少有2+3+4＝9本．故选：A．5．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）从x到x+Δx的平均变化率为f(x+Δx)-f(x)Δx=2x+Δx+A．（0，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（2，+∞）【解答】解：根据导数的定义得：f′（x）=Δx→0limf(x+Δx)-f(x)Δx=令f′（x）＞0，解得x＞1，故f（x）的递增区间是（1，+∞）．故选：C．6．（5分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型y＝aebx（其中e＝2.71828⋯）拟合，设z＝lny，得到数据统计如下表：年份2018年2019年2020年2021年2022年x12345ym112036.654.6zn2.433.64已知回归方程ẑ=0.52x+1.44，则A．1.96 B．2 C．6.9 D．7.4【解答】解：由题意可得，x=将x=3代入ẑ=0.52x+1.44可得z所以n＝2，又因为z＝lny，即2＝lnm，所以m＝e2≈7.4．故选：D．7．（5分）已知A，B为某随机试验的两个事件，A为事件A的对立事件．若P(A)=23，P(B)=58，A．38 B．58 C．14【解答】解：由概率性质可知，P（AB）+P（AB）＝P（B即12+P(AB)=58，∴由P（A）=23，可得P（A）所以P（B|A）=P(故选：A．8．（5分）已知实数a，b，c满足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝ea﹣a，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：设f（x）＝ex﹣ex，f'（x）＝ex﹣e，当x＞1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，当x＜1时，f'（x）＜0，此时，f（x）单调递减，f（x）min＝f（1）＝0，则f（x）≥0，即ex≥ex，因为c﹣a＝ea﹣2a≥ea﹣2a＝（e﹣2）a＞0，所以c＞a，由5b因为f(x)=(35)而a＝1.110＝（1+0.1）10＞C100（0.1）所以f（a）＜f（2）＝（35）2+（45）即5b5a＜1，∴5b＜5a，∴综上可得：b＜a＜c．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知随机变量X服从二项分布B(8，1A．E（X）＝4 B．D（X）＝3 C．P(X=2)=732 D．P（X＝3）＝P（【解答】解：因为随机变量X服从二项分布B(8，1所以E（X）=8×12=4，D（X）=8×12P（X＝2）=C82P（X＝3）=C83（12）8=C8故选：AD．（多选）10．（5分）已知函数f（x）及其导数f'（x）的定义域均为R，则下列结论正确的有（）A．若f（x）为奇函数，则f（x）+2f（﹣x）为偶函数 B．若f（x）+2f（﹣x）为奇函数，则f（x）为奇函数 C．若f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数 D．若f（x）为偶函数，则f'（x）为偶函数【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，设g（x）＝f（x）+2f（﹣x），若f（x）为奇函数，则g（x）＝f（x）+2f（﹣x）＝﹣f（x），g（x）是奇函数不是偶函数，A错误；对于B，设g（x）＝f（x）+2f（﹣x），若g（x）为奇函数，即f（﹣x）+2f（x）+f（x）+2f（﹣x）＝3[f（x）+f（﹣x）]＝0，则有f（﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，B正确；对于C，若f（x）为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），两边同时求导可得﹣f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f（x），则函数f′（x）为偶函数，C正确；对于D，若f（x）为偶函数，即f（﹣x）＝f（x），两边同时求导可得﹣f′（﹣x）＝f′（x），即f′（﹣x）＝﹣f（x），则函数f′（x）为奇函数，D错误．故选：BC．（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣sinx，x∈[0，πA．当a=12时，f（x）在x=B．当a=12时，f（xC．若f（x）≤0恒成立，则0＜a≤2D．若f（x）≥0恒成立，则a≥1【解答】解：a=12时，f（x）=12x﹣sinx，x则f′（x）=12-令f′（x）＞0，解得：π3＜x令f′（x）＜0，解得：0≤x＜π故f（x）在[0，π3）递减，在（π3，故f（x）在x=π3处取得极小值，故f（x）min＝f（π3）=16（π而f（0）＝0，f（π2）＝π故f（x）有且只有2个零点，故B错误；若f（x）≤0恒成立，则ax≤sinx，x＝0时，成立，x∈（0，π2]时，问题转化为a≤令g（x）=sinxx，x∈（0，则g′（x）=xcosx-sinx令h（x）＝xcosx﹣sinx，x∈（0，π2则h′（x）＝﹣xsinx＜0，故h（x）在（0，π2故h（x）＜h（0）＝0，故g′（x）＜0，g（x）递减，x→0时，x→0limx=π2时，g（π2∴2π≤g（x）＜1，故a≤2若f（x）≥0恒成立，则a≥[g（x）]max，而g（x）＜1，故a≥1，故D正确．故选：AD．（多选）12．（5分）现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人，则（）A．2张有奖券分给同一个人的概率是14B．2张有奖券分给不同的人的概率是911C．2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为311D．2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为3【解答】解：选项A，2张有奖券分给同一个人的概率P=C41选项B，2张有奖券分给不同的人与2张有奖券分给同一人是互斥事件，因此概率P＝1-C41选项C，分两种情况讨论：（1）2张都分给丙或丁：概率P=C（2）丙丁各一张：概率P=C因此，2张都没有分给甲和乙的概率为111+3选项D，2张有奖券分给甲和乙各一张的概率P=C21故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知(x-2x)【解答】解：由于已(x-2x)n(n∈N*)故n-3r2=0有解，故n＝3r，且故答案为：6（答案不唯一）．14．（5分）某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第四个项目中的成绩排名最靠后，在第二个项目中的成绩排名最靠前．（填序号）序号一二三四项目新闻六十秒挑战会客厅趣味绕口令创意百分百μ71758185σ4.92.13.64.3【解答】解：因为只有第四个项目的成绩小于均值，所以第四个项目的成绩排名最靠后；第一、二两个项目的成绩大于均值，第三个项目成绩等于均值，所以排名靠前的为第一或第二个项目，因为第二个项目的标准差小于项目一的标准差，所以项目二的数据更集中，小星在项目二的排名更靠前．故答案为：四；二．15．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，则x2+y2+x【解答】解：因为x＞0，y＞0，2x+y＝1，则x2+y当且仅当3xy=yx且2x+y＝1，即x＝2-3故答案为：23+16．（5分）已知不等式-14x2≤ax+b≤ex对任意x∈R【解答】解：要求a+b的最大值，即求当x＝1时，函数y＝ax+b的最大值，已知不等式-14x2≤ax+b≤可得当直线y＝ax+b为函数f（x）=-14x2和g（x）＝e所以ax+b+14x此时Δ＝a2﹣b＝0，解得b＝a2，此时直线y＝ax+a2与函数g（x）＝ex相切，不妨设切点为（x0，ex因为g′（x）＝ex，所以g′（x0）=e又g（x0）=e所以函数g（x）在点（x0，exy-ex0=ex即y=ex0x﹣x此时ex解得a=1x所以公切线方程为y＝x+1，则a+b的最大值为2．故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+6．（1）求f（x）的极小值；（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣3x2+6，∴f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得0＜x＜2，故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故f（x）极小值＝f（2）＝8﹣12+6＝2；（2）由（1）得f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，1]递减，故f（x）最大值＝f（x）极大值＝f（0）＝6，而f（﹣1）＝2，f（1）＝2，故f（x）最小值＝2．18．（12分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*．（1）当n＝9时，求a1+a2+…+a9的值；（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，求n的值．【解答】解：（1）∵（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*．当n＝9时，令x＝0，可得a0＝1，再令x＝1，可得1+a1+a2+…+a9＝29＝512，∴a1+a2+…+a9＝29＝511．（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，不妨假设Cnr-1：Cnr：Cn则有CnrCnr-1=n!Cnr+1Cnr=n!联立①②，解得n＝62，r＝27．即当n＝62时，存在连续三项的系数之比为C6226：C6219．（12分）已知某校高一有450名学生（其中男生250名，女生200名）．为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的校本课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习．学校统计了学生的选课情况，得到如下的2×2列联表．选择课程A选择课程B总计男生150女生50总计（1）请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；（2）从所有男生中按列联表中的选课情况进行分层抽样，抽出10名男生，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+P（χ2≥x0）0.010.0050.001x06.6357.87910.828【解答】解：（1）由题意，2×2列联表为：选择课程A选择课程B总计男生100150250女生50150200总计150300450提出零假设H0：即选择课程与性别无关，则由x2=450×(100×150-150×50)2150×300×250×200即有99.9%的把握认为选择课程与性别有关．（2）从250名男生中用分层抽样抽10名男生，抽取比例为125，根据表中数据，这10人中有4人选择课程A，有6人选择课程B从这10人中再抽取3人，则抽到选择课程A的人数X可能为0，1，2，3，设事件X发生的概率为P（X），则P（X＝0）=CP（X＝1）=CP（X＝2）=CP（X＝3）=C所以X的分布列为：X0123P1612310130E（X）=0×120．（12分）已知函数f（x）满足f（2+x）•f（2﹣x）＝4．当x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2（a＞0）．（1）若f（2）+f（3）＝6，求a的值；（2）当x∈[0，4]时，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．【解答】解：（1）已知当x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2（a＞0），所以f（1）＝1﹣a+2a﹣2＝a﹣1，f（2）＝4﹣2a+2a﹣2＝2，又函数f（x）满足f（2+x）•f（2﹣x）＝4，即f（3）•f（1）＝（a﹣1）f（3）＝4，易知a≠1，所以f(3)=4若f(2)+f(3)=2+4解得a＝2；（2）由f（2+x）•f（2﹣x）＝4，可得f（x）•f（4﹣x）＝4，当x∈[0，2]时，4﹣x∈[2，4]，此时f(4-x)=4因为当x∈[0，4]时，都有1≤f（x）≤3，所以当x∈[2，4]时，f(4-x)=4解得43因为1≤f（x）≤3，所以43当0＜a≤2时，f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2为开口向上的二次函数，对称轴x=a2所以当x=a2时，f（x）取得最小值，最小值f（a2当x＝0时，f（x）取得最大值，最大值f（0）＝2a﹣2，需满足2a-2≤3-解得4-263又0＜a≤2，所以不存在满足条件的a的值；当2＜a≤4时，函数f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2为开口向上的二次函数，对称轴x=a2所以当x＝2时，f（x）取得最小值，最小值f（2）＝2，当x＝0时，f（x）取得最大值，最大值f（0）＝2a﹣2，需满足2a-2≤3-解得4-263又2＜a≤4，所以4-263当a＞4时，函数f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2为开口向上的二次函数，对称轴x=a所以当x=a2时，f（x）取得最小值，最小值f（a2当x＝0时，f（x）取得最大值，最大值f（0）＝2a﹣2，需满足2≥3解得a≤5又a＞4，所以不存在满足条件的a的值，综上，a的取值范围为[4-221．（12分）十番棋也称十局棋，是围棋比赛的一种形式．对弈双方下十局棋，先胜六局者获胜．这种形式的比赛因对局较多，偶然性较小，在中国明清时期和日本都流行过．在古代比较有名的十番棋有清代黄龙士和徐星友的“血泪十局”以及范西屏和施襄夏的“当湖十局”．已知甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12（1）若甲、乙两人进行十番棋比赛，求甲至多经过七局比赛获