2023-2024学年天津市南开区高考数学二模试卷+答案解析

2023-2024学年天津市南开区高考数学二模试卷

一、单选题：本题共9小题，每小题6分，共54分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集厂-I1」.：“，集合八={-1."何1|,则—()

A.{2}B.{3}C.{-I,1.2.3}D.{-1.0,1.2}

2.若a,6为实数，则%、2=0”是“ab-2”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.某车间从生产的一批零件中随机抽取了1000个进行一项质量指标的检测，整理检测结果得到此项质量指

标的频率分布直方图如图所示.若用分层抽样的方法从质量指标在区间I।71'的零件中抽取170个进行再

次检测，则质量指标在区间山，内的零件应抽取()

5.已知,，2I'1门―，,2则a,b,c的大小关系是()

A.b>c>aB.a>if>rC.a>c>bD.h>(i>r

6.如图，某种中药胶囊外形是由两个半球和一个圆柱组成的，半球的直径是6mm

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圆柱高8加根，则该中药胶囊的体积为（）

A.90万”“〃,B.万〃'C.210工，〃〃/D.36。丫〃〃〃」

7.已知抛物线厂门的准线过双曲线二/|s一八’山的左焦点，点P为双曲线的渐近线和抛物线

的一个公共点，若尸到抛物线焦点的距离为5,则双曲线的方程为（）

A.L=1B."r=1C.J---y-=2D.>J--2yJ=I

2"2

8.在'I"中，zx/2»A「，尸为'所在平面内的动点，且1,则

ri-/•/;的最大值为（）

A.4B.8C.12D.16

9.已知函数2人」L-*1,给出下列结论：

①T♦不）=/（l）；

②将/-的图象向左平移:个单位长度后，得到的函数图象关于原点对称；

o

③若11।'[,,则，；

④对[]/]，有〃JT]I:成立.

其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分。

10.，是虚数单位，复数2"的虚部为

3-1/

11.二项式；''1I的展开式中，常数项为.

-V-1-

12.若直线ir"-3=0与圆广•1JI相切，则卜.

13.计算10^32.k>m9I'।的值为.

14.一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中每次抽取1个产品.若抽取后不再

放回，则抽取三次，第三次才取得一等品的概率为；若抽取后再放回，共抽取10次，则平均取

得一等品次.

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15.已知函数八」,，则函数，一的各个零点之和为__________；若方程

I工，-3。

>'-1，，，恰有四个实根，则实数〃?的取值范围为.

三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题12分)

在中，角N,B,C所对的边分别为a,b,c,且、,13.,-〃O>ah"，3I

III求，"1的值；

III।求c的值；

III求「.己I・/八的值.

17.(本小题12分)

如图，在直三棱柱中，X\H，U2Mi2\\2,M■为/C的中点，.l|,VII(',

垂足为V.

(1)求证:a<'平面4BM；

1求直线与平面I"U所成角的正弦值;

(3)求平面AtBV与平面.Inif的夹角.

18.本小题小分)

设｛“卜为等比数列，｛「'，.)为公差不为零的等差数列，且仍=d=：1,

⑴求佃“｝和他｝的通项公式;

记：■的前n项和为、，mI的前n项和为/.,证明：1；

OnJ

［为奇数2»

i3i记，“=("~"，求52。

--_患一一K，”为偶故M

(6n-1)(6.,+1)

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19.।本小题12分）

已知椭圆二.’广卜“.山的离心率为';左、右顶点分别为/，B,上顶点为D,坐标原点。到直

夕2

线/。的距离为

Q

“求椭圆的方程；

，过/点作两条互相垂直的直线NP,与椭圆交于尸，。两点，求面积的最大值.

20.，本小题12分）

已知函数/iL」I”」，.！，，,」”』.，‘，"h'

八求J「的最小值；

，若I，I,且八，],求证：1，WI-I；

|3|若有两个极值点一，一，证明：八「，，JI.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查集合的运算，属于基础题.

根据集合运算的定义计算即可.

【解答】

解:由已知得C，.I-।1.，“，CiH{-1.2.31,

所以C.I：C,//|={3}.

故选：B

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了充分、必要条件的判断，属于基础题.

由,「-八-I”可得〃in,'i”，由,，八0,可得“=n或h।'1,利用充分、必要条件的定义进行判断

即可.

【解答】

解:由.步(I>可得"=0>6W0>

由…,，।',可得“II或八”，

故由,「.L「可推出/，”，所以+3'=。”是的充分条件，

由，浩I)推不出「-I.,所以.b--是'"，的不必要条件，

综上，”与+/.Q”是“，小=0”的充分不必要条件,

故选：.1.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了函数图象的变换，属于基础题.

求出",可排除/,B,C,即可得出答案.

【解答】

解：当「，时，,1.In11•■(),排除A,B,1

故选：D.

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4.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题.

由分层抽样按比例计算.

【解答】

解：设质量指标在区间山内的零件应抽取x个，

ri1

则，

解得.「二f.L

故选：C.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了三个数的大小的比较，解题时注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题.

根据指、对数函数单调性，结合中间值0,1,分析判断即可.

【解答】

解：由题意可得：“二2"-',P=1,/»=1-21g2=1-1gI,且()、「门-I,贝■]()「I・1,

因为1，「1।」2,贝(IJ।",

所以，"

故选：H.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查几何体的体积的求解，球的体积公式的应用，属基础题.

由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；

【解答】

解：由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，

所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，

由球体的体积为：I；=*-/i'1-'->：3,'TII'IH.in.'H',

3：l3

圆柱体积为：\"-八.；.『.、=iiirn

所以中药胶囊的体积为：\=I；>I；=:拓II72r=1(相”"“：

故选：〃

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7.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查抛物线与双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

由抛物线的标准方程求出准线方程即可求出双曲线的左焦点，即可求得c；由尸为双曲线的渐近线和抛物线

的一个公共点，尸到抛物线焦点的距离为5,可求出点尸的坐标，把点P的坐标代入双曲线的渐近线方程即

可得出。与b相等，再根据「-…•卜即可求解.

【解答】

解：设双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点尸在第一象限，

由题意知，抛物线，厂；，的准线方程为，I,

所以双曲线的左焦点坐标为(I山，所以双曲线半焦距，1.

又因为点尸为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，

P到抛物线焦点的距离为5,所以一•13,所以，，一I,

代入抛物线方程即可得八I",

因为I.「I在双曲线的渐近线方程「上，所以〃I,,

a

又因为双曲线中，「「•卜，所以-61.

2

所以双曲线的方程为：2.-2y'=1.

故选：什

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查平面向量的数量积运算，余弦定理，属于中档题.

根据已知数据求出.C-90,求出点尸的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出

/'\/1/；:一,、/，为48中点1,，小的最大值即圆心到定点。的距离加上半径，代入化简求值即可.

【解答】

解：」，，HCAISii(',2>所以〃一i则

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所以1/；b>..2ATI2,所以.('hr,

2V,2

由」可得，点P的轨迹为以C为圆心，1为半径的圆，

取48的中点。，则乃.而—2闻，

所以!'\­I'ii.-21,1>“-2,CD-1-2•I-I

故选：

9【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题.

由函数周期性判断①，由对称性判断②，由单调性判断③，取，，」为已知区间内两个最小值点，，为最

大值点，验证不等式成立，然后可判断④.

【解答】

解：/lJ|=2sin(2.r-g)+1,

则函数八」的最小正周期是/-\>①正确；

将卜，)的图象向左平移:个单位长度后，得到的图象的函数解析式是

o

42■:】I2.「-二-7+I2.in2/+1,图象关于点I】I对称，不关于原点对称，②错；

o3

1'一时，hI1，因止匕。「，在"上单调递增，③正确；

1233212

时，2r-具因此J:或:时，/(*)取得最小值9+1*,=1时，/")取得最大

333*>Z12

值3,取।,.1，—'，则；/_।成立，

3212

因此'，','.'[I，有“1।，f」「-/I「」成立，④正确，

«>2

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共有3个命题正确.

故选：（二

10.【答案】-3

【解析】【分析】

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

直接根据复数的除法运算以及复数虚部的概念即可得到答案.

【解答】

刈2.>t25i（3k）

解：I：；，，

故其虚部为-：L

故答案为：3

11.【答案】'

2

【解析】【分析】

本题主要考查二项式定理的应用，属基础题.

先求得二项式展开式的通项公式，再令X的幕指数等于0,求得r的值，即可求得结论.

【解答】

解：二项式।：的展开式的通项公式为：

-=好哼）上）'/'最」

令人>'•~>r0.'3;

6

所以展开式中，常数项为：；I}'•《r'，

故答案为：5

2

12.【答案】“

1*!

【解析】【分析】

本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

由圆心到切线的距离等于半径求解.

【解答】

解：由题意圆心为V.11,半径为2,

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1一公+3]

所以L解得L

故答案为:

13.【答案】8

【解析】【分析】

本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.

由对数的运算性质求解即可.

【解答】

解：原式—||2.HL：「-bIL,,.-ILII"l.1I'J-1；IL:;—JIL,;-1>'J

Iog2-♦log*>6

故答案为：、

14.【答案】'；6

KI

【解析】【分析】

本题考查条件概率以及二项分布相关知识，属于基础题.

由条件概率即可求出抽取三次，第三次才取得一等品的概率；设X为抽取一等品的次数，抽取一等品的概

率为:'，则、8W:，求出人即可得出答案.

口□

【解答】

解：令।为第，,1m次取得一'等品，

所以抽取三次，第三次才取得一等品的概率为：

若抽取后再放回，则设X为抽取一等品的次数，抽取一等品的概率为］

贝。一.3-6.

55

所以平均取得一等品6次.

故答案为：,;

10

15.【答案】$；；；I/In2.♦x；

【解析】【分析】

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本题考查了函数的零点与方程根的关系，由基本不等式求取值范围，属于难题.

求出函数小门的零点，可求得函数力，一的各零点之和；令f■-1,可得出函数r一J-L的值域为

XX

IX22.>XI,设方程jfl—川在I-X..2，XI上有两个不等的实根，设为，、1,可得出，、

\!--X或，、I，=、.木或"2,2,数形结合可得出实数冽的取值范围.

【解答】

解：当/H时，由f।/；Im-f二I),可得,「=-1,

当JII时，由fl.，Jh.i-b”,解得j—1或4,

所以，函数人」的各个零点之和为1，2,I；；

令/，、当，“时，，，'412，当且仅当“时，等号成立,

JTJT\X

当，・U时，­11■1-2,,,lZ：1-2,当且仅当.r1时，等号成立,

X1-/yI-r)

所以，函数，'-1的值域为IX22rI,

X

作出函数，.的图象如下图所示：

X

若方程，一•「，，，恰有四个实根，则方程/#-〃，在i-”.-2]-2+xj上有两个不等的实根，设为八，

X

由图可知，',—一或八，，「\小或，।-2、，[2,

作出函数，"在।\」上「上的图象如下图所示:

第H页，共17页

由图可得I”.111/或-］小，I),

因此，实数冽的取值范围是IUrIn?xi.

故答案为：5；I-1111-XI.

16.【答案】解：II］因为、］；?.<..-.1..1.inHIH

所以由正弦定理可得JJJgjubcoBa+sinXsinA=0，

又5为三角形内角，

所以、I-I♦、山.I二11,可得i.HI.I=-=\I•()，

ccm.4

可得/为钝角，可得1……\\「……厂…一\

所以解得<心1:或:舍去।；

।II1因为《sIL“2\打，八1，

所以由余弦定理6--,--)*ml，可得口1*>•.2-I-.•I1I,

4

整理可得，♦3、In

解得，［或I；舍去］;

IIII,•因为••»**1］,门2\h，八1，

所以、ii।1\1-1(»-1\-，*-111JI入日\一41',2III，

488

由正弦定理可得6'"4'\1--,4!H、'’，

a44

二匚I、I«c7、」<iv'15v10v6

所以21*KI，J、2I「n〃>T|21S|||liii-I।，

848416

【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式以及两角和的余弦公式

的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

III由正弦定理化简已知等式可得、1：71.〃….-ih.I〃"，结合711〃/",利用同角三角函数基

本关系式即可求解一小.1的值；

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I山由题意利用余弦定理可得J.%N”即可解得c的值;

inI利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求的值，由正弦定理可得

进而可求，“、〃，利用两角和的余弦公式即可解得，，1•乩的值.

17.【答案】解：11，证明：如图，以/为坐标原点，直线42为x轴，IA为了轴，NC为z轴建立空间直角

则川1」川)，「川,1),2".t|iO.1.1)1,//,1.Illi,CIII1Ji,.WillII1I

A\ii-(i,-1.u)，n\l—i)9—।~i.—i.21

设平面AJ川的一个法向量为万3.航.:”,

则1%"“的().，取市=(1」用.

IBM-nt■-X|+“.().

因为/?/'•H1'II•in所以!<('-.“；

又平面

所以平面

口设〃N-\H('iA<i,2A：,

则,碎=用瓦+方汨=(1一,0,24)，因为■〃iG，

所以干万转二(1-A,0.2A)(-l.(l.2)«a

即3入一I=。，解得人=--

所以〃\、""LI」

所以，，。葭

R\IriTI5

所以直线8N与平面I所成角的正弦值为'

5

"，设平面」"V的一个法向量为“，

第13页，共17页

因为"；ri1>120>所以卜；.

所以平面.1\与平面，/八/夹角为90.

【解析】本题考查向量法证明线面垂直，向量法求解线面角问题，向量法求解面面角问题，属中档题.

1「建立合适的空间直角坐标系，求出平面八/的一个法向量，由直线的方向向量与平面的法向量垂直及

线面平行的条件得证；

”由空间向量法求线面角；

.1由空间向量法求平面与平面所成的角.

18.【答案】解：111设等比数列｛&｝的公比为分等差数列｛鼠｝的公差为d(d八)1，

依题意，%•如=八二，即3(342-W)(3解得d-1.

所以L”<,

因为3,(所以”3,从而”,3".

I2i由"I知、―'所以工行一

”为奇数,

n为倜数,

(2”-2卜3。3113*

因为，

(2n—1)(2“+1)22rm而二I

所以

J3

1323\L333\L3*3、1,3"u3"

2、317253’2、75’2，n+l2n-1

【解析】本题考查等差数列的通项公式的应用，裂项求和法求和，属拔高题.

11I由等差数列、等比数列的基本量法求得通项公式;

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ru由等差数列、等比数列的前〃项和公式求得后，用作差法证明;

E并项…「然后裂项求和.

19.【答案】解：1由题意可得八u.l>),Hui.01,J»Hi-.i,

解得<i-2,'i1,,\：，，

所以椭圆的方程为(4-^-1.

2由题意可知直线PQ的斜率不可能为0,

可设尸0的直线方程为，，I'.।,Q，：」•「，

J*=+〃，・

整理得I5

{x+4Jr-4«0.

r

故、1m'*-II***11|।N'-11li,

因为.I/L.IQ,.12Jh,

所以"i+2）（XJ+2）+M放=。nMft+2（jj+引+4+加亿=”，

即1川♦〃/i|f力♦〃/1»一亿•；，I+切处。，

即「‘，：Lr，।'Ji'什，

〜….»fir—4—2〃〃»

所以!r•r.♦imr•.，；”，・9-“，

f”+4f1+4

整理得.I」I',解得…［或川舍去，，

则直线PQ与x轴交点为［：，

令yHI.1,、।，

第15页，共17页

_32ti_32._32

则2-61-ir+3ti:精，

十4H十

25------------------------------------«

因为V="「"在、-、I上单调递增，故〃,、，

UU

32frl

故,"31,21，当〃,，即，H时取等号,

u+-

【解析】本题主要考查椭圆的性质及椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于拔高

题.

I，由已知条件列方程组求得4,b,C得椭圆方程；

I设尸。的直线方程为Jti)-"J,直线方程代入椭圆方程得川-"二，"也，由

垂直求得加，再把.•山，”心代入、…，，J，]，”，，八，换元后利用函数单调性得最大值.

20.【答案】I，解：函数J「的定义域为।.,二।,和，」:「，

当/三1「~时，'」”所以，在।1.->，上单调递增，

当』时，「一”所以a，，在MLu上单调递减，

所以J，在，：时取得最小值八

；1证明：由I1知…I「”，所以11.，]।.'-11,r/1I,

JT

由儿1，得A•”且h"I।，

Q

所以ll".hr』I-1111.,•••,即hl。III<7,从而II'1■.iI,

a

所以”二I.

」「证明：依题意，，一"'-1I)有两个不等正根，，，，不妨设/'一,

X1

..rn1乙曰/

由“।。，得"J一，

j-r1rJ

第16页，共17页

设…「I[,由「1/1知▼I」I在l«L】I上单调递增，在I1.-X）上单调递减，

c1e*

且当，u