新人版九年级数学上-圆的概念及垂径定理

...wd......wd......wd...圆的概念与垂径定理圆的概念与垂径定理知识点一、圆的定义1、圆的第一定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作：⊙O，读作圆O．2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是：圆，一中同长也．3．圆的第二定义：由圆的定义可知：(1)圆上的各点到圆心的距离都等于定长〔即半径r)；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．(2)要确定一个圆，需要两个基本条件：一个是圆心，另一个是半径，其中，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．注意：由圆的概念可知：EQ\o\ac(○,1)“圆〞指的是“圆周〞，即一条封闭的曲线，而不是圆面。EQ\o\ac(○,2)确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径。例题1：以下说法错误的有〔〕EQ\o\ac(○,1)经过P点的圆有无数个；EQ\o\ac(○,2)以P为圆心的圆有无数个；EQ\o\ac(○,3)半径为3cm且经过P点的圆有无数个；EQ\o\ac(○,4)以p为圆心，以3cm为半径的圆有无数个。A、1个B、2个C、3个D、4个知识点二、圆的有关概念弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．并且直径是同一圆中最长的弦．2.弧：圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作，读作圆弧AC或弧AC．3．圆的直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧；〔如以以下图叫做优弧〕小于半圆的弧叫做劣弧．〔如以以下图〕或叫做劣弧．5．半径相等的两个圆叫做等圆．反过来，等圆的半径相等；在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。例题2：以下命题中，正确的个数是〔〕。EQ\o\ac(○,1)直径是圆中最长的弦；EQ\o\ac(○,2)弧是半圆；EQ\o\ac(○,3)过圆心的直线是直径；EQ\o\ac(○,4)半圆不是弧。A、1个B、2个C、3个D、4个例题3：以下几个命题中，正确的选项是〔〕A．两条弧的长度相等，那么他们是等弧B.等弧只有在同圆中存在C.度数相等的弧的长度相等D.等弧的长度相等稳固练习．如以以以下图，(1)假设点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．(2)假设∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．综合讲练．讲练1：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．讲练2：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，假设AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．知识点三、垂直于弦的直径〔垂径定理〕1．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．说明：①圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径本身．②圆有无数条对称轴．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．用符号语言描述：∵⊙O中CD是直径、AB是弦，且CD⊥AB于M，∴AM＝BM，，．你能试着证明吗说明：①垂径定理中的直径可以是过圆心的的直线或线段；②在有关计算直径或半径、弦长以及圆心到弦的距离等问题中，垂径定理常常和勾股定理结合使用，即：〔弦的一半〕2＋〔圆心到弦的距离〕2＝〔半径〕2．例1如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的选项是A．MP与RN的大小关系不定B.MP=RNC.MP＜RND.MP＞RN例2如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，求DC的长【课堂操练】1．如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为〔〕 A、25° B、30°C、40° D、50°·ABCDOM第2题图2．如图，在直径AB＝12的⊙O中，弦C·ABCDOM第2题图3．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，ABCD，垂足为M，OM：OC＝3：5，求AB的长知识点四、垂径定理的推论推论1：平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论3：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。问：你能分别用符号语言描述吗请试着表示！概念理解：1．下面四个命题中正确的一个是〔〕A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．以下命题中，正确的选项是〔〕．A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧跟踪练习：1、．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．1题图2．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．2题图3．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．3题图4．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是______．4题图5．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．5题图6．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．6题图综合讲练：讲练1．：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．讲练2．：如图，试用尺规将它四等分．讲练3．：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．讲练4．：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是的中点．(1)在CD上求作一点P，使得AP＋PB最短；(2)假设CD=4cm，求AP＋PB的最小值．随堂练习：1．如以以下图，⊙O的直径AB和弦CD交于E，AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．2、如图，AB、AC为⊙O的两条弦，D、E分别为、中点，求证：AM=AN.CABDE3、如以以下图，在Rt△ABC中，CABDE4、如图，：在⊙中，是直径，是弦，交于，交于．求证：．OAPBC5、如以以下图，P为弦AB上一点，CPOAPBC6．如以以下图，破残的圆