2024江西省赣州市高三下学期5月适应性考试（二模）数学试题及答案

赣州市2024年高三年级适应性考试数学试卷2024年5月一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．x28xm0an1．在等差数列a中．a2，a是方程的两根，则的前6项和为（D．8）n5A．48B．24C．12222，21，24，23，25，20和25，22，a，26，23，24．若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2，则（A．甲、乙两组数据的极差不同C．甲、乙两组数据的方差相同）B．乙组数据的中位数为24D．甲组数据的第一四分位数为21.53．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a1cc，则A＝（）2A．B．C．D．3366C:x22284．已知直线l:mnxmny2m0mn0．圆y2，则（）A．l过定点1B．l与C一定相交D．l被C截得的最短弦的长度为4C．若l平分C的周长，则m＝15．由0和1组成的序列称为0－1序列，序列中数的个数称为这个序列的长度，如01011是一个长度为5的0－1序列．在长度为8的0－1序列中．所有1互不相邻的序列个数为（）A．20B．54C．55D．280x2y2F1F为双曲线C:26．已知，的左、右焦点，M为C左支上一点．设1ab0a2b2F，F，且sin2sin，则C的离心率为（）122122A．22B．3C．2D．27．已知球O内切于正四棱锥P－ABCD，PA＝AB＝2，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为（）A．0,2B．423,2C．0,43D．0,4231x8．已知函数fxe1，gx1x．若xgx，则k的取值范围为（）1e1D．A．0,e,B．C．e二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知i为虚数单位，zC，则（）A．iiii22B．zzzzzz0C．若z1，则z3的最大值为6D．若2是关于x的方程xq0p,qR的一个根，则q＝8233xxx0，则（10．已知函数fxx23sin）22，则A．若fx相邻两条对称轴的距离为22x3fx1B．当fx的最小正周期为2，时，212C．当2时，fx的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为y2cos2x36上有且仅有两个零点，则D．若fx在区间11．函数fx及其导函数gx的定义域均为R，fx1和g2x1都是奇函数，则（）1对称B．fx的图象关于点1,0对称A．gx的图象关于直线xgiC．gx是周期函数D．i1三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．Ayy4xB______．2，Bxx2，则ðA12．若集合2R13．已知某正三棱柱外接球的体积为，则该正三棱柱体积的最大值为______．y4x14．已知yx0，则的最小值为______．yx2xy四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1513分）《中国诗词大会》是中央广播电视总台联合中华人民共和国教育部、国家语言文字工作委员会共同推出的语言文化类节目，节目以诗词描绘中国精神，用诗意书写时代篇章，尽展中华民族历史之美、山河之美、文化之美．随着《中国诗词大会》的播出，赣州市某学校掀起了学习唐诗和宋词的热潮，该校团委组织了校内诗词大会，赛前准备了两组题，第一组题中含有2道唐诗和3道宋词，第二组题中含有6道唐诗和4道宋词．（1）先等可能地抽取一组题，再从这组题中抽出2道题，若抽出的两道题恰是1道唐诗和1两道题出自第一组题的概率；（23XX的分布列及数学期望．1615如图，在三棱柱ABC中，侧面CC为正方形，底面ABC为等边三角形．11111（1）证明：△1为等腰三角形；（2）若ACAB，求平面ABC与平面A夹角的正弦值．111111715分）143已知数列a满足1，a，a，2nn1成等差数列．nnn21（1）求证：数列是等比数列，并求出a的通项公式；nan1n35Sn（2）记a的前n项和为Sn，证明：1．n831817分）如图，曲线C是以原点O为中心，F，F为焦点的椭圆的一部分，曲线C是以O为顶点，F为焦点的11222抛物线的一部分，A26,3是C和C的交点，我们把C和C合成的曲线W称为“月蚀圆．1212（1）求C所在椭圆和C所在抛物线的标准方程；12（2）过F作与y轴不垂直的直线l，l与W依次交于B，C，D，E四点，P，Q为C所在抛物线的准线上22两点，MN分别为CDBES，S，S，S分别表示△PCD，△，，212342的面积，求1S4．S2S31917分）给出以下三个材料：①若函数fx的导数为fx，fx的导数叫做fx的二阶导数，记作fx．类似地，二阶导数33x的导数叫做fx的四阶导数…，fx的导数叫做fx的三阶导数，记作fx，三阶导数fnn，n4；一般地，n－1阶导数的导数叫做fx的n阶导数，即fxfx②若nN*，定义n!nn1n2；321③若函数fx在包含x的某个开区间a,b上具有n阶的导数，那么对于xa,b有0nfx0fxfxfx00203xx，我们将0ngxf0xxxxxx0002!n!gx称为函数fx在点xx处的n阶泰勒展开式．例如，yex在点x0处的n阶泰勒展开式为0111xx2xn．根据以上三段材料，完成下面的题目：2n!1（1）若fxx，fxsinx在点x0处的3阶泰勒展开式分别为gx，gx，求出gx，1212gx；21（2）比较（1）中fx与gx的大小；1（3）证明：exsinxx22x．赣州市2024年高三年级适应性考试数学参考答案一、选择题题号答案1234567891011BCABBDACACDACDBC三、填空题2312．2,413．2714．y4xy4x2y2y2xyy2y14．解：2yx2xyyxyx2xy1222y2y2yx2xy2y2x2xy1222y2x2xy232y2x2xy22xy2y2x232xy2y2x2y2x2xy82322222232y2x2xy32xy2y2x2y2x2xy当且仅当，即2xy2y2x，即y4x时等号成立．四、解答题151）记“抽出的两道题恰是1道唐诗和1道宋词”为事件A，“抽到第一组题”为事件1212C12CC1335C16CC4218则PBP2，PAB，PA2112512117PB2PAPBAPBAPB121230由贝叶斯公式知，若抽出的两道题恰是1道唐诗和1道宋词且这两道题出自第一组题的概率为13PABPB11PBAPA925PBA11PA（2）由题意得，抽取的3道题中有1道来自第一题组，2道来自第二题组，X的可能值为0，1，2，3C1C2103C26CC042520PXC25C02CC13C26CC04C12CC03C16CC4213152243123PX1521554554575C1C03C06C24C02C1C1C142632428PX236C1C2C15C2545545755C02C1C06C24362PX3C15C25所以X的分布列为XP012323175287522523128231575所以EX012315757525225161）设BC，BC的中点分别为O，M，连接OM，AO，AO，111由于侧面CC为正方形，所以BCBB，111∵∥BC，∴1由于底面ABC为等边三角形，所以BCAO又O，AO,，所以AA1∥，AA1，故四边形为平行四边形，1由于AO1O又，故ABAC，则1由于O是BC中点，所以为等腰三角形113（2）不妨设AB＝2，则，CO＝BO＝1，ABACACABAO1又则，且，则11111221A2O，BCAO，AO，从而，而12则，OA，OB两两垂直，1故可建立如图所示的空间直角坐标系O，A3,0B0，，C1,0则A0,1，，10CACAAB1则，111x,y,z，ABCn设平面的一个法向量为11CAn3xy3113,则取x1，则nABnyz13,0，ABC1由于平面的一个法向量为n,n17故772777设所求角为，cos，sin1，7742ABC1ABC的夹角的正弦值为11故平面与平面73n1nnn1n12nn1成等差数列，所以aaaaan171）由于，，213112131即，可得n1nn1n11113所以数列表示是以为首相，3为公比的等比数列n11113n13na，即n所以nn111n（2）因为3n13111Saaaaa所以n123n122n1191111111n1351123543n2323n413n131n31111111111n1由于，且12n1n18344334313114011Saaaa所以n123n1n111n111331（当n＝1时等号成立）1483131n351Sn故8312x22y22181）由题知，设椭圆的标准方程为1ab0，ab抛物线的标准方程为x2pyp022A26,32632p，解得p＝4由于曲线经过，所以所以C2:x28y，所以F0,2，2226321，且ca2b22，所以解得a2b2y2x2a236，b2，所以1:13632（2）由题意可知直线l的斜率必存在且不为0，设l:y2Bx,yCx,yDx,yEx,y4，，，，11222334y可得k9x320222联立yx363232kxx,14298k256可得xx148k29yxxk,23联立可得x20，可得28y,xx23x记△PCD，△2，，的高分别为，，h1h2h3h，，42hhhh由于，，123411CD1NF24CDNF21S4S2S32所以21212h32221x4xx22222142x2342x23xxxx2323142322x2x3x1x423xxxx41414142232k2k416k2k291332k29k122k24k29k29191）∵31xsinx，1xx，fxsinx13∴f00，f01，100，101012x013x2∴gx0x0x012!21x3同理可得：gxx261gx（2）由（1）知：1xx，1x2，1212fxgxx12令hxx，则hxsinxx，11∴hx1x0，∴hx在R上单调递增又h00，∴hx在,0上单调递减，在上单调递增，12∴hxh00，即x1x2故fxgx11112xfxgxsinxx3，则xx1xx2（3）令226由（2）知，x，所以x在R上单调递增，又00，016所以当x0时，f2xgx，sinxxx3；21当x0时，fxgx，sinxsinxxxx3；2261当x0时，fxgx，x3226111yx在点x0处的4阶泰勒展开式为：1xxe2x3x4，∴∴2611111ex1xx2x3x41xxx3，当且仅当x＝0时取等号226261①当x0时，sinxxx3，当且仅当x＝0时取等号，611112exsi