2024湖南省岳阳市高三下学期三模数学试题及答案

姓名准考证号2024届高三教学质量监测（三）数学本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置。22B动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。3求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x3x1AB{x|AB1．已知集合A.B.C.D.R的一个根，则abi5ax3bx22x10a,bx2．若虚数单位i是关于的方程2B.22x3y10的一个方向向量是C.532)(2,(2,2)B.C.4．下列命题正确的是A.若直线l上有无数个点不在平面内，则l/不平行于平面a，则平面内不存在与平行的直线aaB.若直线且a,b，平面,a,b，//，则直线a,ba,ba//平面b与C.已知直线D.已知两条相交直线yf(x1为奇函数，则f(f(0)ff(2)f5．已知106512B.C.高三三模数学试卷第（共{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}6．把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是A.96种B.60种C.48种D.36种a}n项和为SaaS100aa7．已知等差数列A.有最小值25nn21B.有最大值25C.有最小值50D.有最大值50xa,xaef(x)，f(x)不存在最小值，则实数a的取值范围是8．已知函数x22ax,xa111)(B.(,)C.(0)(,D.(,0))333二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得09．下列结论正确的是m1n1C7n3mCm1n1C.Cn73(x的展开式的第6项的系数是10x)3x)4x)5的展开式中x2的系数为C361π10．已知函数fx2x0,||)的部分图象2如图所示，则2π7π(π,kπ),kZ的单调递减区间为f(x)f(x)B.C.1212πy2cos2x的图象可由函数的图象向右平移个单位得到67π4π(f(x)f(f(x)f())0的最小正整数x为2D.满足条件43ABCD是圆柱1的轴截面且面积为绕逆时针211旋转(0到四边形DA111A.1的侧面积为2πACB.当0π11C.当0π时，四面体A的外接球表面积最小值为3π112π2πD.当13高三三模数学试卷第（共{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共12．已知双曲线C6)，且渐近线方程为y2xC的离心率为________.313．已知角，的终边关于直线yx对称，且sin，的一组取2值可以是_____，______.14．如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，3一条直角边在平面内，另一条直角边BC长为且BAC，若平面上存363P，使得△的面积为，则线段CP长度的最小值为_____.3四、解答题：本大题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1513已知等差数列a}a2a、a、a成等比数列．n11241）求数列an}的通项公式；4n22）若等差数列a}的公差不为零且数列b}满足：b，求数列nnn(nnn}nT.n16158000人参加，.100名考生的初试如图所示.1）若所有考生的初试成绩近似服从正态N(,)，其中为样本平均数的估计值，2分布11.5绩不低于分的人数；250答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他33在复试中,前两题每题能答对的概率均为，后两题每题能答对的概率均为，且每道题45回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了生进入面试的概率有多大？N(,2)，则:，P()0.6827附:若随机变量服从正态分布P()0.9545，P()0.9973.高三三模数学试卷第（共{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}1715已知四棱锥P的底面是边长为4的菱形，60PAPC,PBPD210，MPC上的点，且PC4.1）证明：BDM；2E在直线上，求BE与平面ABCD所成角的最大值.1817已知动圆P过定点F且与直线y3相切，记圆心P的轨迹为曲线E.1AB两点的坐标分别为(、2,1BP的斜率分别为k、1k，证明：kk1；2122M(x,y)、N(x,y)是轨迹E上的两个动点且xx4的112212中点为QP与动点Q的轨迹交于不同于F的三点C、D、G△CDG的重心的横坐标为定值.1917△的三个角,B,C的对边分别为a,b,c且cbD上，AD是BAC（其中k为正实数）.的角平分线，设1）求实数k的取值范围；35b2）设函数f(x)ax3bxcx232223时，求函数f(x)的极小值；当k3x是f(x)的最大零点，试比较x与的大小.设100高三三模数学试卷第（共{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}岳阳市2024届高三教学质量监测（三）数学参考答案及评分标准(本大题共8540项是符合题目要求的．)1.B2.C3.A4.B5.D6.D7.B8.C(本大题共3618题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．)9.BD10.ABD三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．)512.13.2；（答案不唯一，符合,且2,kZ即可）26314.四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13a}a21a1aa、成等比数列．4已知等差数列满足：、n2a}(1)求数列的通项公式；n4n2a}b}bb}的n(2)的公差不为零且数列满足：nnn(nnnT.n前解析：设数列an的公差为d，依题意，2d,2d成等比数列，---------------------1分所以2d）22d，解得d0或d2---------------------3分2当d0an2；---------------------4分当d2an2(n22n---------------------5分所以数列a的通项公式为a2或a2n---------------------6分nnna}a2n(nN)，*(2)因为等差数列的公差不为零，由(1)知nn4n24n2bn则---------------------7分(nn(2nn{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}4n211111bn1()---------------------10分(2nn22n12n1111111111111T()]()]()]()]n22n12n12131235n2n125711Tn(n)n---------------------13分212n116.（本小题满分15某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示.N(,2)，其中为样本平均数的（1）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布估计值，，试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数；（2）复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在33复试中前两题每道题能答对的概率均为，后两题每道题能答对的概率均为，且每道题54回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了分（含20分）的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大？N(,2)P()，则:，附:若随机变量服从正态分布P()，P().解析：(1)由题意得，样本平均数的估计值为---------------------3分因为学生初试成绩X服从正态分布N,2，其中62，11.5则85.{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}---------------------5分1P(XP(X)---------------------7分2所以估计初试成绩不低于85分的人数为0.022758000182人---------------------8分（2）记该考生的复试成绩为Y，则能进入面试的复试成绩为20分，25分，30分---------------------9分1333255PY20)()2()2()2C21---------------------10分454313PYC21（）2---------------------12分44353PY30)()2（）2---------------------14分45所以该考生进入面试的概率为PY20)PYPY30)---------------------15分17.（本小题满分15P60，已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，PC,2，M是线段PC上的点，且PC4MC.1）证明：2E在直线上，求与平面所成角的最大值..AC,OPO，由PC,2知解析：连交于点,连,BD,又O平面又底面为菱形，所以---------------------2分x,y,z以O为坐标原点，OB,OC,分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示4，边长为2,23在直角三角形26---------------------4分{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}所以点OPB(2,D(C23,0)333PC4MC，则M,)2233333323,(2,,(,222233230223(6)2PC0(23333(6)---------------------6分22,,M又---------------------8分2）设，)(2332323323则E(2,,)2ABCD的一个法向量是n，设ABCD所成角为与平面33|||||n|22sin|BE,n|||n|162333(24)2()2()222---------------------11分当0平面ABCD，0；当03||3312sin-----------------13216112213216（）2922分]所以又与平面ABCD所成角的最大值为---------------------15分266{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}18.（本小题满分17F且与直线y3相切，记圆心P的轨迹为曲线E.已知动圆P过定点(、2,、1、1A、B两点的坐标分别为kk1的斜率分别为k，证明：；212M(x,y)N(x,y)是轨迹上的两个动点且Exx412的2）若点、，设线段1122QQCG，求证：△中点为，圆P与动点的轨迹交于不同于F的三点、D、的重心的横坐标为定值.P(,y)(x(y|y3|化简并整理成222x4y812x4y8---------------------4分P的轨迹E的方程为y1x2y11k2，，x2y1y14(ykk2x4y812x42x2x2kk1---------------------7分12yb的方程为2）显然直线的斜率存在，设直线24y8xy并整理成x2b80xx4，又1由消ybxxb8在判别式大于零时，122b1---------------------9分y1x240，xxkyyk(xx)2k22，121212{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}的中点坐标为Q(k,k---------------------102所以线段分xk设Q(,y)k消得2x2y2，则yk21Q的轨迹方程是x22y2---------------------11分Fx，设其方程为2(y(y02圆P过定点22(y0x(yx4(4b)x0---------------------13分2由得x22y2设CD、G,d,g,d,g、的横坐标分别为C、D、GF都不为零3(4b)x4a0的根为,d,g(xc)(xd)(xg)0故x令x3cdg)xcdg02gc)x0---------------------16分的重心的横坐标为定值19.（本小题满分17已知△的三个角,B,C的对边分别为a,b,c且cb，点D在边.---------------------17分BC上，是BAC（其中k为正实数）.的角平分线，设1）求实数k的取值范围；35b2）设函数f(x)32.32223f(x)的极小值；k时，求函数3x0f(x)x0是的最大零点，试比较与1的大小.121bc)sinbcsin解析：(1)设BAC2，由题知：，24kcoscb，，化简得：---------------------2分).---------------------4分34)，所以实数k的取值范围23{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}2aa,法二：cb及由角平分线性质知33在△和△中由余弦定理得22a22cosADB,2a2CD22CDcosaac2()2(kb)22ADB,b2()2(kb)223333又π0222a2ac2b2kb)2,又cb(6k，所以2)b2---------------------2分33bbaabb在△，ak)2所以13，所以19b24340k)得，所以实数的取值范围k---------------------4分3233(1)知cos2）①当k时，由，3263a2b2c2及--------------------5分cb得ab由余弦定理有：322a233法二：由(63k2)b2kab--------------------5351f(x)b(x3x22x)fx)b(3x5xb(3x2)(x------------6分2故由由故故，222fx)0得xx1或32fx)0x1得322f(x)(,))(上单调递减，在，上单调递增，在33f(x)f0.---------------------9分的极小值为23②（k时，由①知abcb，351bf(x)b(x3x22x)(x(2x2故222{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}12f(x)的零点为f(x)x10知故的最大零点；---------------------10分23312k时，由(1)知cos22