江苏省睢宁县2024届中考数学四模试卷含解析

江苏省睢宁县达标名校2024届中考数学四模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列计算正确的是（）

A.a2*a3=asB.2a+a2=3a3C.（-a3）3=a6D.a2-ra=2

2.纳米是一种长度单位，1纳米=10-9米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉

的直径为（）

A.3.5x104米B.3.5X10T米C.3.5义103米D.3.5义10一9米

3.如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向

左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是（）

B.3：2C.3：1D.2：1

4.如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将

△OAB按顺时针方向旋转6/0。，得到△OA，B，，那么点A，的坐标为（）

A.(2,273)B.(-2,4)C.(-2,272)D.(-2,273)

5.小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开•若不考虑接缝，它是一个半径为12cm,圆心角为60的扇形,

则（）

A.圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为4cm

B.圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cm

C.圆锥形冰淇淋纸套的高为2JGm

D.圆锥形冰淇淋纸套的高为6限m

6.一元二次方程2x2_3x+l=0的根的情况是()

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

7.2017年“智慧天津”建设成效显著，互联网出口带宽达到17200吉比特每秒.将17200用科学记数法表示应为()

A.172xl02B.17.2X103C.1.72xl04D.0.172X105

8.如图①是半径为2的半圆，点C是弧AB的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C与圆心O重合，则图中阴

D.273--

J

C.75D.

5

11.如图，在6x4的正方形网格中，△ABC的顶点均为格点，贝！|sinNACB=()

7B.2T

12.如图，小明为了测量河宽AB,先在BA延长线上取一点D,再在同岸取一点C,测得NCAD=60。，NBCA=30。,

AC=15m,那么河AB宽为（）

B.5y/3mC.10A/3mD.12A/3m

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD水平，BC

与水平面的夹角为60。，其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经

3

D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=-,则

DE=

15.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E,则跖的长度为

16.若一元二次方程好一2%+左=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

17.计算：__________

18.函数一j的自变量的取值范围是

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量,水价分为三个阶梯，价格表如下表所示:

某市自来水销售价格表

月用水量供水价格污水处理费

类别

（立方米）（元/立方米）（元/立方米）

阶梯一0~18（含18）1.90

居民生活用水阶梯二18-25（含25）2.851.00

阶梯三25以上5.70

（注：居民生活用水水价=供水价格+污水处理费）

（1）当居民月用水量在18立方米及以下时，水价是_____元/立方米.

（2）4月份小明家用水量为20立方米，应付水费为：

18x（1.90+1.00）+2x（2.85+1.00）=59.90（元）

预计6月份小明家的用水量将达到30立方米，请计算小明家6月份的水费.

（3）为了节省开支，小明家决定每月用水的费用不超过家庭收入的1%,已知小明家的平均月收入为7530元，请你

为小明家每月用水量提出建议

20.（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线,

两直线相交于点E.求证：四边形OCED是矩形；若CE=1,DE=2,ABCD的面积是

cos30°-cot45°

21.（6分）计算：sin30°»tan60°+

cos60°

22.（8分）如下表所示，有A、B两组数:

第1个数第2个数第3个数第4个数...第9个数...第n个数

A组-6-5-2...58...n2-2n-5

B组14710...25...

（1）A组第4个数是；用含n的代数式表示B组第n个数是,并简述理由；在这两组数中，是否存

在同一列上的两个数相等，请说明.

23.（8分）关于x的一元二次方程mx2+（3m-2）x-6=1.

⑴当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；

⑵当m为何整数时，此方程的两个根都为负整数.

24.（10分）抛物线y=-73x2+bx+c（b,c均是常数）经过点O（0,0）,A（4,46），与x轴的另一交点为点B,

且抛物线对称轴与线段OA交于点P.

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）过点P作x轴的平行线1,若点Q是直线上的动点，连接QB.

①若点O关于直线QB的对称点为点C,当点C恰好在直线1上时，求点Q的坐标；

②若点O关于直线QB的对称点为点D,当线段AD的长最短时，求点Q的坐标（直接写出答案即可）.

25.（10分）用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元.在乙复印店复印同样的文件，一

次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元.

设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数）.

⑴根据题意，填写下表：

一次复印页数（页）5102030・・・

甲复印店收费（元）0.5—2—・・・

乙复印店收费（元）0.6—2.4—・・・

（2）设在甲复印店复印收费yi元，在乙复印店复印收费y2元，分别写出yi,y2关于x的函数关系式；

（3）当x>70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由.

26.（12分）某市飞翔航模小队，计划购进一批无人机.已知3台A型无人机和4台8型无人机共需6400元，4台A

型无人机和3台3型无人机共需6200元.

（1）求一台A型无人机和一台5型无人机的售价各是多少元？

（2）该航模小队一次购进两种型号的无人机共50台，并且5型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍.设购

进A型无人机x台，总费用为y元.

①求y与x的关系式；

②购进A型、5型无人机各多少台，才能使总费用最少？

27.(12分)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30。，以BC为直径的。O与底边AB交于点D,过点D作DE_LAC,

垂足为E.

(1)证明：DE为。O的切线；

(2)连接DC,若BC=4,求弧DC与弦DC所围成的图形的面积.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、A

【解析】

直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的除法运算法则分别计算得出答案.

【详解】

A、a2»a3=a5,故此选项正确；

B、2a+a2,无法计算，故此选项错误；

C、(-a3)3=-a9,故此选项错误；

D、a2-i-a=a,故此选项错误；

故选A.

【点睛】

此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

2、C

【解析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axio,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】

35000纳米=35000x10-9米=3.5x10-，米.

故选C.

【点睛】

此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO7其中iga|V10,n为由原数左边起第一个不为零的

数字前面的0的个数所决定.

3、C

【解析】

求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题；

【详解】

解：正六边形的面积=6x3x(2a)2=66a2,

4

阴影部分的面积=a♦2。=2岳2,

二空白部分与阴影部分面积之比是=6岳2：2。2=3：1,

故选C.

【点睛】

本题考查正多边形的性质、平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题

型.

4、D

【解析】

分析：作轴于C,如图，根据等边三角形的性质得04=03=4,AC=OC=2,/BOA=60,则易得A点坐标

和。点坐标，再利用勾股定理计算出5。=斤3=26，然后根据第二象限点的坐标特征可写出3点坐标；由旋

转的性质得NAOA=/BO®=60,04=03=04=08,则点4,与点B重合，于是可得点£的坐标.

详解：作轴于C,如图,

•••AOAB是边长为4的等边三角形

:.OA=OB=4,AC=0C=2,ABOA=60,

'■A点坐标为(-4,0),0点坐标为(0,0),

在RtABOC中,5C=次—22=2百，

•••5点坐标为(-2,20)；

•.•△043按顺时针方向旋转60，得到AOTV,

...ZAOA1=NBOB，=60,OA=OB=04=OB',

••・点4与点B重合，即点4的坐标为(-2,2省)，

故选D.

点睛：考查图形的旋转，等边三角形的性质.求解时，注意等边三角形三线合一的性质.

5、C

【解析】

根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的高.

【详解】

解：半径为12cm,圆心角为60的扇形弧长是：60照2=4兀(cm),

180

设圆锥的底面半径是rem,

贝！I2OT=4兀,

解得：r=2.

即这个圆锥形冰淇淋纸套的底面半径是2cm.

圆锥形冰淇淋纸套的高为7122-22=2庖(cm).

故选：C.

【点睛】

本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算•解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：

(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；

（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长•正确对这两个关系的记忆是解题的关键.

6、B

【解析】

试题分析：对于一元二次方程二二；一队一：二,：a=G，当△=：•_一时方程有两个不相等的实数根，当

△=二：_=6时方程有两个相等的实数根，当△=_-,时方程没有实数根.根据题意可得：

△=...=＜则方程有两个不相等的实数根.

7、C

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lw|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.

【详解】

解：将17200用科学记数法表示为1.72x1.

故选C.

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中公闻＜10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

8、D

【解析】

连接OC交MN于点P,连接OM、ON,根据折叠的性质得到OP=^OM,得到NPOM=60。，根据勾股定理求出MN,

2

结合图形计算即可.

【详解】

解：连接OC交MN于点P,连接OM、ON,

图②

由题意知，OC_LMN,且OP=PC=L

在RtAMOP中,VOM=2,OP=1,

Qp]___________

cosZPOM==-,AC=y/oM2-OP2=73，

:.ZPOM=60°,MN=2MP=273，

:.ZAOB=2ZAOC=120°,

则图中阴影部分的面积=S平圆-2S弓形MCN

=Lm2m(120n21L2@l)

23602

=2s/3-~Jt,

故选D.

【点睛】

本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式

的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键.

9^B

【解析】

由内错角定义选B.

10、A

【解析】

由相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”可知-5的相反数是5.

故选A.

11、C

【解析】

BD

如图，由图可知BD=2、CD=1>BC=JL根据sinNBCA=—可得答案.

【详解】

解：如图所示,

B

/\

ADC

VBD=2>CD=1,

•*,BC=JBD°+CD，=+F=>

则sin/BCA嘿=|=咨

故选c.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握正弦函数的定义和勾股定理.

12、A

【解析】

过C作CE1AB,

RtAACE中，

VZCAD=60°,AC=15m,

11J315\

.,.ZACE=30°,AE=-AC=-xl5=7.5m,CE=AC«cos30°=15x=^2!

2222

,-,ZBAC=30°,ZACE=30°,

ZBCE=60°,

/.BE=CE・tan6(r=上叵xJ3=22.5m,

2

；.AB=BE-AE=22.5-7.5=15m,

故选A.

【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是构建直角三角形，解直角三角形求出答案.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

„20610»、

13、(140-----------1———)cm

【解析】

试题解析：如下图，画出圆盘滚动过程中圆心移动路线的分解图象

Oj_________a

A60cmEB

可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段00l,线段。/。2,圆弧QOj，线段。3。4四部分构成.

其中O1E±AB,O1FYBC,O2CLBC,O3CLCD,O4DLCD.

•••3C与43延长线的夹角为60。，。/是圆盘在A3上滚动到与相切时的圆心位置，

.•.此时。。z与A3和3c都相切.

则N08E=NO/B尸=60度.

此时RtAOiBE和RtAOiBF全等，

在RtAOiBE中,BE=坦叵cm.

3

：.OOi=AB-BE=(60-^^)cm.

3

••RERR10A/3

・BF=BE=--------cm,

3

O1O2=BC-BF=(40-^^)cm.

3

,JAB//CD,5c与水平夹角为60。，

：.ZBCD=120&.

又；ZO2CB=^O3CD=9Q°,

，NO2co3=60度.

则圆盘在c点处滚动，其圆心所经过的路线为圆心角为60。且半径为10cm的圆弧QQ•

由，,6010

••。2。3的长27rxi0=571cm.

四边形O3O4DC是矩形，

：.O3O4=CD=40cYn.

综上所述，圆盘从A点滚动到D点，其圆心经过的路线长度是：

,“100、/杯10/、10，仙20石10、

(60---------)+(40----------)+——兀+40=(140-----------+—it)cm.

33333

15

14、—

4

【解析】

--3

•.•在RtAABC中，BC=6,sinA=-

/.AB=10

**-AC=V102-62=8-

：D是AB的中点，.*.AD=-AB=1.

2

•:ZC=ZEDA=90°,ZA=ZA

/.△ADE-^AACB,

.DE_AD

**BC-AC

DE5

n即n一=-

68

“15

解得：DE=—.

4

2

15->—71

3

【解析】

试题解析：连接AE,

在Rt三角形ADE中，AE=4,AD=2,

.,.ZDEA=30°,

；AB〃CD,

/.ZEAB=ZDEA=30°,

30〃x42

BE的长度为:----------=171•

1803

考点：弧长的计算.

16、：k<l.

【解析】

2

•.•一元二次方程x-2x+k=Q有两个不相等的实数根,

2

.•.△=Z7-4tzc=4-4k>0,

解得：k<l,

则k的取值范围是：k<l.

故答案为k<l.

17、y

【解析】

根据塞的乘方和同底数塞相除的法则即可解答.

【详解】

(,3)2+,5二,6+,5二,

【点睛】

本题考查了塞的乘方和同底数幕相除，熟练掌握：幕的乘方，底数不变，指数相乘的法则及同底数幕相除，底数不变,

指数相减是关键.

18、二>1

【解析】

依题意可得-_•」，解得-.；,所以函数的自变量-的取值范围是-

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)1.90；(2)112.65元；(3)当小明家每月的用水量不要超过24立方米时，水费就不会超过他们家庭总收入的

1%.

【解析】

试题分析：

(1)由表中数据可知，当用水量在18立方米及以下时，水价为1.9元/立方米；

(2)由题意可知小明家6月份的水费是：(1.9+1)x18+(2.85+1)x7+(5.70+1)x5=112.65(元)；

(3)由已知条件可知，用水量为18立方米时，应交水费52.2元，当用水量为25立方米时，应交水费79.15元，而小

明家计划的水费不超过75.3元，由此可知他们家的用水量不会超过25立方米，设他们家的用水量为x立方米，则由

题意可得：18x(1.9+1)+(x-18)x(2.85+l)<75.3,解得:x<24,即小明家每月的用水量不要超过24立方米.

试题解析：

(1)由表中数据可知，当用水量在18立方米及以下时，水价为1.9元/立方米；

(2)由题意可得：

小明家6月份的水费是：(1.9+1)x18+(2.85+1)x7+(5.70+1)x5=112.65(元)；

(3)由题意可知，当用水量为18立方米时，应交水费52.2元，当用水量为25立方米时，应交水费79.15元，而小明

家计划的水费不超过75.3元，由此可知他们家的用水量不超过18立方米，而不足25立方米，设他们家的用水量为x

立方米，则由题意可得：

18x(1.9+1)+(x-18)x(2.85+l)<75.3,解得：x<24,

...当小明家每月的用水量不要超过24立方米时，水费就不会超过他们家庭总收入的1%.

20、(1)证明见解析；(2)1.

【解析】

【分析】(1)欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；

(2)由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答.

【详解】(1)I•四边形ABCD是菱形，

/.AC1BD,

/.ZCOD=90°.

VCE#OD,DEZ/OC,

四边形OCED是平行四边形，

又NCOD=90。，

.••平行四边形OCED是矩形；

(2)由(1)知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=LDE=OC=2.

•••四边形ABCD是菱形，

.,.AC=2OC=1,BD=2OD=2,

，菱形ABCD的面积为：-AC«BD=-xlx2=l,

一.22

故答案为L

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解题的关键.

21、正一2

2

【解析】

试题分析：把相关的特殊三角形函数值代入进行计算即可.

走_1

试题解析：原式=、百+上「=且+6-2=至—2.

2122

2

22、(1)3；(2)3〃-2,理由见解析；理由见解析(3)不存在，理由见解析

【解析】

(1)将"=4代入层-2"-5中即可求解；

(2)当〃=1,2,3,9,时对应的数分别为3x1-2,3x2-2,3x3-2,...»3x9-2...,由此可归纳出第〃个数是

3/1-2；

(3)“在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等”，将问题转换为，八2〃-5=3"-2有无正整数解的问题.

【详解】

解：(1))..N组第〃个数为户2"5

AA组第4个数是42-2x4-5=3,

故答案为3；

(2)第"个数是为-2.

理由如下：

•••第1个数为1,可写成3x1-2；

第2个数为4,可写成3x2-2；

第3个数为7,可写成3x3-2；

第4个数为10,可写成3x4-2；

第9个数为25,可写成3x9-2；

...第n个数为3«-2；

故答案为3/1-2；

(3)不存在同一位置上存在两个数据相等；

由题意得，“2—2〃—5=3〃一2,

解之得，〃=注叵

2

由于九是正整数，所以不存在列上两个数相等.

【点睛】

本题考查了数字的变化类，正确的找出规律是解题的关键.

23>(1)m#l且;(2)m=-l或m=-2.

【解析】

(1)由方程有两个不相等的实数根，可得A>1,列出关于m的不等式解之可得答案;

2

⑵解方程，得,X2-3,由m为整数，且方程的两个根均为负整数可得m的值.

m

【详解】

解：⑴△=b2-4ac=(3m-2)2+24m=(3m+2)2>1

2

当且m声时,方程有两个不相等实数根.

2

(2)解方程，得:X］二—,X2=-3,

m

m为整数，且方程的两个根均为负整数，

m=-l或m=-2.

m=-l或m=-2时,此方程的两个根都为负整数

【点睛】

本题主要考查利用一元二次方程根的情况求参数.

c4/*、/5、225E,525A/3、小、55百、一，55上、5A/3、

24、（1）y=-J3（x——）2+——；（一，——）；（2）①（——，—^―）或（一，-^―）；②（0,）；

242422222

【解析】

1)把0(0,0),A(4,4v3)的坐标代入

y=-J^2+bx+c,转化为解方程组即可.

⑵先求出直线OA的解析式，点B坐标，抛物线的对称轴即可解决问题.

⑶①如图1中，点O关于直线BQ的对称点为点C,当点C恰好在直线1上时，首先证明四边形BOQC是菱形，设Q(m,

在)，根据OQ=OB=5,可得方程苏+(2叵)2=52,解方程即可解决问题.

22

②如图2中，由题意点D在以B为圆心5为半径的OB上运动，当A,D、B共线时，线段AD最小，设OD与BQ交于点H.

先求出D、H两点坐标，再求出直线BH的解析式即可解决问题.

【详解】

(1)把O(0,0),A(4,4加)的坐标代入y=-J^x2+bx+c,

得fc=0,

I-14b+c=4A/3

解得产润

Ic=0

抛物线的解析式为y=-V3X2+5V3X=-73(X-1)2+竺Y』.

24

所以抛物线的顶点坐标为(?，也上)；

24

(2)①由题意B(5,0),A(4,4遂)，

工直线OA的解析式为y=V3x，AB=^1"+(4>/3)2=7J

•.•抛物线的对称轴X=-|,

.,.P(―,

22

如图1中，点O关于直线BQ的对称点为点C,当点C恰好在直线1上时，

VQC/7OB,

:.ZCQB=ZQBO=ZQBC,

ACQ=BC=OB=5,

A四边形BOQC是平行四边形，

VBO=BC,

・•・四边形BOQC是菱形，

设Q（m,旭），

2

/.OQ=OB=5,

:.m2+（殳叵）2=52,

2

:.m=±-,

2

.•.点Q坐标为（-■!，旦3或舟包3；

2222

②如图2中，由题意点D在以B为圆心5为半径的。B上运动，当A、D、B共线时，线段AD最小，设OD与BQ

交于点H.

VAB=7,BD=5,

・AXn(302电、

77

VOH=HD,

AH(—,

77

直线BH的解析式为y=-Kx+殳叵，

22

当y=5；'，时,x=0,

：.Q(0,-^5).

2

【点睛】

本题二次函数与一次函数的关系、几何动态问题、最值问题、作辅助圆解决问题，难度较大，需积极思考，灵活应对.

25、(1)1,3；1.2,3.3；(2)见解析；(3)顾客在乙复印店复印花费少.

【解析】

(1)根据收费标准，列代数式求得即可；

(2)根据收费等于每页收费乘以页数即可求得yi=0.1x(x>0);当一次复印页数不超过20时，根据收费等于每页收费

乘以页数即可求得y2=0.12x,当一次复印页数超过20时，根据题意求得y2=0.09x+0.6；

(3)设丫="-丫2,得到y与x的函数关系，根据y与x的函数关系式即可作出判断.

【详解】

解：(1)当x=10时，甲复印店收费为：0,1x10=1；乙复印店收费为：0.12x10=1.2；

当x=30时，甲复印店收费为:0,1x30=3；乙复印店收费为：0.12x20+0.09x10=3.3；

故答案为1,3；1.2,3.3；

(2)yi=0.1x(x>0)；

_0.12x(0<x<20)

y2"10.09x+0.6(x>20)；

(3)顾客在乙复印店复印花费少；

当x>70时，yi=O.lx,y2=0.09x+0.6,

设y=yi-y2，

/.yi-y2=0.1x-(0.09x+0.6)=0.01x-0.