2024届安徽省合肥市高一数学第二学期期末达标检测试题含解析

2024届安徽省合肥市新城高升学校高一数学第二学期期末达标

检测试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字

迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上

均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

TC

1.在平行四边形43C。中，AB=28C=4,ZBAD=—,E是CD的中点，则

ACEB=（）

A.2B.-3C.4D.6

2.如图，4,8是半径为2的圆周上的定点，?为圆周上的动点且=

cC兀

0<P<y,则图中阴影区域面积的最大值为（）

A.P+cospB,P+sinpc.2p+2cospD,4p+4sinp

3.在中，角4,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=45。，。=2,b=®,

则5为（）

A.60°B.60°或120°C.30°D.30。或150°

4.已知两座灯塔A和5与海洋观察站C的距离都等于5卜〃，灯塔A在观察站C的北

偏东20。，灯塔3在观察站。的南偏东40。，则灯塔A与灯塔5的距离为（）

A.5KkmB.5小kmC.5kmD.10km

5.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这

两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则％和y的值分别为

甲组_乙组

-9

25617y

x478

A.5,5B.3,5C.3,7D.5,7

6.某部门为了了解用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计

了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程，则

()

摄氏温度（）4611

用电量度数1074

A.12.6B.13.2C.11.8I）.12.8

7.正四棱柱的高为女四体对角线长为JT7c叫则正四棱柱的侧面积为（）

A.10B.24C.36I）.40

8.要得到函数/G）=cosx的图象，只需将函数g（x）=cos（x+，的图象（）

TlTI

A.向左平移丁个单位B.向右平移彳个单住

33

11

C.向左平移？个单位D.向右平移§个单位

9.已知明0为锐角，cosa=,tan（a-p）=--,则tanp=（）

1913

A-3B3C-13DV

«ci+2a+・・,+2"icif%

10.对于数列f伍｝，定义A=1——2----------------为数列｛〃｝的“好数”，已知某数

nnnn

列｛〃｝的“好数”A=2用，记数列｛。一切｝的前〃项和为s，若SWS对任意的

nnnnn6

♦恒成立，则实数上的取值范围为（）

r9161r1671「7%r125,

A.B.勺』C,[-,ylD.[y，Tl

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.在^ABC中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c,ZABC=120°,N4BC的

平分线文AC丁点O,且瓦＞一2,则。十9c的最小值为.

(H2+1,,

12.若vhm——--an-b=A0,则。=,b=.

13.已知正四棱锥的底面边长为4c加，高为小an,则该四棱锥的侧面积是

_____________cm2

14.由正整数组成的数列M｝,%｝分别为递增的等差数列、等比数列，4=々=1,

nnII

记c=〃+b,若存在正整数ka>2)满足C=100,c=1000,则

nnnk-ljfc+l

c=

k-------------.

15.设等差数列M｝的前〃项和为S，若a=-3,S=-10,贝ijS的最小值为____.

nn25n

16.已知向量〃二(2,2),5=(1,0),则分在Z方向上的投影为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.已知点G是A48C重心，=

(1)用而和表示而；

(2)用说和ZT表示力G.

18.已知定义在R上的函数/G)=4sin(cox+(p)G>0,A>0)的图象如图所示

(1)求函数/G)的解析式；

(2)写出函数/G)的单调递增区间

(3)设不相等的实数，w(0m),且/G)=fG)=-2,求x+x的值.

I2!2I2

19.如图，在平面直角坐标系切中，锐角。和钝角B的终边分别与单位圆交于A,8

两点.

412•/Q、

(1)若点A的纵坐标是亍点3的纵坐标是可，求s】n(a+B)的值;

(2)若陛=-|,求怦+20月的值.

20.巳知函数/(x)=sin4x+2-v/Jsinxcosx-cos4x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求/(x)的单调增区间；

(3)若尤自，求“幻的最大值与最小值.

21.眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、

苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文

化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3

人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的

2221

概率均为手，乙队中3人答对的概率分别为,，j,且各人回答正确与否相互之

间没有影响.

(1)分别求甲队总得分为。分；2分的概率；

(2)求甲队得2分乙队得1分的概率.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解题分析】

由平面向量的线性运算可得衣•丽=(顺+A万)•(反:十?万)，再结合向量的数量积

运算即可得解.

【题目详解】

兀

解：由AB-2BC=4,ZBAD=—,

所以卜q=49|AD|=|BC|=2,AD-AB=|AZ)||AB|cosy=4X2XL=4,

则

~AC~EB=(J\B+AD)(EC+CB)

22

=(AB+AD)(-AB-AD)=-AD+-AB--ASAD=-4+S-2=29

222

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量的数量积运算，属中档题.

2、D

【解题分析】

由题意可得NAOB=2/AP8=2p,要求阴影区域的面积的最大值，即为直线

Q01AB,运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值.

【题目详解】

由题意可得NA°B=2NAP5=20,

要求阴影区域的面积的最大值，即为直线Q0L4B,

即有。。=2,。到线段48的距离为2+2cos。，

AB=2»2sinP=4sinP,

扇形4。8的面积为*0・4=4。，

A/1BQ的面积为:(2+2cosR)«4sinR=4sinR+4sinCcosR=4sinR+2sin2c,

S+S=4sinp+2sin2p--U2*2sin2p=4sinp,

^AOQ6BOQ2

即有阴影区域的面积的最大值为4B+4sinp.

故选O.

【题目点拨】

本题考查扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题.

3、C

【解题分析】

根据正弦定理得到sinB=再根据力知A>8,得到答案.

【题目详解】

根据正弦定理：「丁=」方，即sinB=:,根据。>b知故5=30。.

sinAsinn2

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.

4、B

【解题分析】

根据题意画出ABC的相对位置，再利用正余弦定理计算.

【题目详解】

如图所示，

AC=BC=5,/ACB=120°,AB?=AC2+AB2-2AC-48cosl200=75,

AB=5y^km,选B.

【题目点拨】

本题考查解三角形画出相对位置是关键，属于基础题.

5、B

【解题分析】

利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解.

【题目详解】

由茎叶图得：

•・•甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等,

65=60+y,解得j=5,

•・•平均值也相等，

56+62+65+70+X+7459+61+67+65+78

55

解得x=L

故选8.

【题目点拨】

本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

6、A

【解题分析】

计算数据中心点，代入回归方程得到答案.

【题目详解】

--"6+〃_,，中心点为

x-3-1

代入回归方程

故答案选A

【题目点拨】

本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键.

7、B

【解题分析】

设正四棱柱ABCO-cqqq,设底面边长为1，由正四棱柱体分角线的平方等于从

同一顶点出发的三条棱的平方和，可得关于4的方程.

【题目详解】

如图，正四棱柱ABCQ—qeqq,设底面边长为工，

则X2+X2+32=(JT7)2,解得：X=2,

所以正四棱柱的侧面积S=4x(2x3)=24S〃2.

【题目点拨】

本题考查正棱柱的概念，即底面为正方形且侧棱垂直于底面的几何体，考查几何体的侧

面积计算.

【解题分析】

根据三角函数图象的平移变换可直接得到图象变换的过程.

【题目详解】

所以gG）向右平移;个单位即可得到/G）的图象.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查三角函数图象的平移变换，难度较易.注意左右平移时对应的规律：左加右减.

9、B

【解题分析】

利用角的关系P=a-（a-P）,再利用两角差的正切公式即可求出tan。的值.

【题目详解】

3A--------------44

因为cosa=g,且a为锐角，则sina=0-cos2a=5,所以tana=?,

因为。=a-（a-p）,

tana-tan(a-p)

所以tanP=tan[a_(a_0)]=

l+tanatan(a-p)~~~4flv

十式一二

故选B.

【题目点拨】

主要考查了两角差的正切公式，同角三角函数的平方关系，属于中档题.对于给值求值

问题，关键是寻找已知角（条件中的角）与未知角（问题中的角）的关系，用已知角表

示未知角，从而将问题转化为求已知角的三角函数值，再利用两角和与差的三角函数公

式、二倍角公式以及诱导公式即可求出.

10、B

【解题分析】

分析：由题意首先求得M｝的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于左的不等

n

式组，求解不等式组即可求得最终结果.

2，rI0=*，。+2。+・一+2”-1。

详解：由前意,4=T-------2------------------=2〃+1,

”n

则。+2。+,,,+2«-1ci=n,2«+i,很明显〃二4

心2时a+2。+…+2”-2。=(〃-1)2〃,

12n-l

两式作差可得:2«-ici—n2n+\—(〃—1)2〃=(/?+1)2«,

则%=2(〃+1),对%也成立，故fln=2(w+l),

贝Ian-kn=(2-k)n+2,

则数列｛与-痴｝为等差数列，

故对任意的〃恒成立可化为:

«6~6A:>0/I7—7A:<0；

6(2-Jl)+2>0167

即7(2-。+2纣解得：~T~k-y

,167

实数上的取值范围为.

本题选择3选项.

点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然

后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对

新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现

象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基,

以不变应万变才是制胜法宝.

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分。

11、32

［解题分析］

根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.

【题目详解】

DC

如图所示,

则△ABC的面积为—acsi/i120°=-a-2s%600+—c-2sin600,

即ac=2a+2c,

22.

得一十—=1,

ac

得a+9c=(a+9c)—+—1=—+—+20>2

\ac)ac

18cla

当且仅当-----,即3c=a时取等号；

ac

+9c的最小值为32.

故答案为：32.

【题目点拨】

本题考查三角形中的几何计算，属于中等题.

12,1—1

【解题分析】

((1一々)〃2-(〃+»)〃+1-。］

对极限表达式进行整理，得到lim----------------------=0,由此作出判断,

即可得出参数的信

【题目详解】

..fH24-1..(mam-an-bn-b>

因为hm---an-bhm---------------------

\〃+1n-xo、〃+1)

(l-6t)n2-Q+b)〃+l-力、

lim=0

flTOO72+1

1一。二0a=1

所以，,解得：

a+b=0b=-V

故答案为：1；-1

【题目点拨】

本题主要考查由极限值求参数的问题，熟记极限运算法则即可，属于常考题型.

13、24

【解题分析】

四棱锥的侧面积是4x1x4x75+22=24

14、262

【解题分析】

根据条件列出不等式进行分析，确定公比“、％、d的范围后再综合判断.

【题目详解】

设等比数列公比为久等差数列公差为d,因为c=100,c=1000,所以

k-lJt+I

）+3I（*）；又因为｛〃k£｝分别为递增的等差数列、等比数列,

\+kd+qk=1000""

所以4N2且〃之1；又2=2时1+1=100显然不成立，所以女之3,则夕3V1000,即

“49；

因为夕22,100>/-2>2卜2,所以ZW8；因为（k-2）dNd,所以^<100；

由（*）可知：0一牛-2+23=900,则2d=900-（牛一乎-2）<200,

qk-2（qi-1）>700；又

c=1+kd+qx=S-4-+S-4---=550--^-2（6r-l）2>0,

k22222

qk-2G2-1）>700

所以0-2（夕一1）2<1100,则有|

夕卜2（夕一1）2<1100

3<氏（8｛k=4-（k=3（4=4

根据〈一可解得符合条件的解有：/或Vc；当《/时,

2<q<9[夕=6[<7=9[q=6

k=3

1+41+64=1000,解得d<0不符，当《八时，解得d=90,符合条件；则

4=9

c=550---93-2（9-1）2=262,

2

【题目点拨】

本题考查等差等比数列以及数列中项的存在性问题，难度较难.根据存在性将变量的范

围尽量缩小，通过不等式确定参变的取值范围，然后再去确定符合的解，一定要注意带

回到原题中验证，看是否满足.

15、—10

【解题分析】

用基本量法求出数列的通项公式，由通项公式可得S取最小值时的〃值，从而得5的

nn

最小值.

【题目详解】

a=a+d=-3\a=-4

设数列公差为d,则由已知得•解得J/，

S=5a+10a=-10d=1

lS]

/.a=a+(〃-l)d=-4+(〃-1)=〃-5,a=n-5<0,n<5,又a=°,、

n1n5

・・.S的最小值为s=S=-10.

n54

故答案为：一io..

【题目点拨】

本题考查等差数列的前〃项和的最值.首项为负且递增的等差数列Sn｝，满足an《°的

最大的〃使得最小，首项为上且递减的等差数列｛｝满足。的最大的〃使得

snnna,20

sn最大，当然也可把ns表示为〃的二次函数，由二次函数知识求得最值.

16E

2

【解题分析】

ah

由平面向量投影的定义可得出书在Z方向上的投影为下「，从而可计算出结果.

【题目详解】

设平面向量Z与坂的夹角为。，则加在£方向上的投影为

隆OS。用晶=普=空山=①

11PI垃2+222•

故答案为：g

2

【题目点拨】

本题考查平面向量投影的计算，熟悉平面向量投影的定义是解题的关键，考查计算能力，

属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、(1)+(2)DG=-(AB-Ac\

33

【解题分析】

(1)设5C的中点为M,可得出戒=:(返+而)利用重心性质得出

2

AG=jAM,由此可得出而关于而、尼的表达式：

—.2__

（2）由血=2比，得出AO=gAC,再由方存=方不一而，可得出关于通、

的表达式.

【题目详解】

（1）设5。的中点为M,则2而二通+正，

・.・G为AABC的重心，因此，AG=-AMf=—x.

（2）AD=2DC,AD=lACt

i（4B+AC）--AC=i（4B-AC）

因此,DG=AG-AD=

333

【题目点拨】

本题考查利基底表示向量，应充分利用平面几何中一些性质，将问题中所涉及的向量利

用基底表示，并结合平面向量的线性运算法则进行计算，考查分析问题和解决问题的能

力，属于中等题.

、（））（（）7兀

181/G=4sin2x+yj；2kit——4-^7T,Z:GZ⑶—;

1212o

【解题分析】

（1）根据函数的锻值可得A,周期可得8,代入最高点的坐标可得分，从而可得解析

式；

（2）利用正弦函数的递增区间可解得；

（3）利用/。）=-2在xw（0,兀）内的解就是\和卷，即可得到结果.

【题目详解】

（1）由函数/3）的图象可得力=4,

7兀712兀

又因为函数的周期丁=—而）=兀所以①=_=

2（7T，2,

1212兀

兀兀

因为函数的图象经过点P（五,4）,即4411（2'立+中）=4,

jl7t71

所以（p+—=2女兀+一,&EZ,即<p=2攵兀+—,AEZ,

623

所以fM=4sin（2x+2kit+—）=4sin（2x+—）.

33

7C7tn

（2）由2%兀一一V2x+—V2上冗+—,攵cZ,

232

可得左冗--^.<x<kn,

可得函数/*)的单调递增区间为：伙兀一兀+卷］«€2,

兀717K

(3)因为尤£(0,兀)，所以(手,手)，

711

又因为f*)=-2可得sin(2x+§)=-5，

c717nc71117t

所以2x+牙=--或2x+寸=――,

5o3o

5汽3

解得％=TT"或％=彳兀，、

因为xWX且X,X£(0,兀)，f(x)=/(x)=-2,

121212

5兀3兀14K7兀

所以x+x=—+—=---=—.

12124126

【题目点拨】

本题考查了由图象求解析式，考查了正弦函数的递增区间，考查了由函数值求角，属于

中档题.

16(2)|次+2丽卜羊

19、(1)荏

【解题分析】

(1)根据三角函数的定义，求出a，B对应的正弦和余弦值，用正弦的和角公式即可求

解；

(2)根据题意，先计算出次•。月的值，再求解|。耳+2°眯

【题目详解】

4.Q12

(1)由三角函数的定义得，sina=_,sinp=—.

由角a、B的终边分别在第一和第二象限，得：

305

cosa=—,cosp=--,

513

所以sin(a+B)=sinacos|3+cosasinp=—.

65

(2)国卜河一珂,

则声-研二砺2+砺2_2亚丽=2_2丽.而

根据卜爹，即可得2_20肌08=“

解得：OAOB=-L

O

——一.—.19

网+20月OA2+4OB2-h4OAOB=5--=-

22

3"

故04+

【题目点拨】

本题考查三角函数的定义，以及由向量的数量积计算模长，属基础题.

20、(1)T=n；(2)\kn-kn+-］kj(3)f(x)=2,f(x)=-1

63tmaxmin

【解题分析】

(1)利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论；

(2)利用正弦函数