2024年湖南省长沙市雨花区中考数学一模试卷

2024年湖南省长沙市雨花区中考数学一模试卷

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本

大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）-2024的相反数是（）

A.2024BC.-2024

金D・羲

2.（3分）下列图形中，是中心对称图形的是

3.（3分）下列运算结果正确的是（）

A.Q5-Q3=Q2B.a59a3=a15

C.”6+q3=q2D.(-/)2=〃10

4.（3分）如图，直线q〃b,直角三角形如图放置，若Nl=110°,则N2的度数为（

15°C.20°D.30°

5.（3分）如图，B、。两点分别在函数y至（x>0）和-A（x<0）,线段8C_Ly轴，点/在x轴

y=

Xx

上()

第1页（共20页）

6.（3分）如果不等式（a+1）x>a+l的解集为x<l,则a必须满足（）

A.a<0B.aWlC.a>-ID.a<-1

7.（3分）下列说法中，正确的是（）

A.一组数据4,4,2,3,1的中位数是2

B.反映空气的主要成分（氮气约占78%,氧气约占21%,其他微量气体约占1%）宜采用折线统计图

C.甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同，方差分别是s甲2=2.2,s/=i.3,则乙的射击成绩较稳

定

D.对载人航天器零部件的检查适合采用抽样凋查

8.（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x-1的是（）

A.x2-1B.x（x-2）+（2-x）

C.X2-2x+lD.f+2x+i

9.（3分）如图，CL45CZ）的对角线4C,助相交于点。，E是PD中点,若40=4,则K9的长为（

10.（3分）如图所示，的直径弦，Z1=2Z2（）

D

第2页（共20页）

A.V2B.V3C.2D.I+V2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.（3分）计算：」----.

x-1x-l

12.（3分）“墙角数枝梅，凌寒独自开.遥知不是雪，为有暗香来出自宋代诗人王安石的《梅花》.梅

花的花粉直径约为0.000036m.

13.（3分）一次函数夕=2x-1的图象不经过第象限.

14.（3分）若Q+2023户Wb-2024=0,则。+6=----------

15.（3分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”

3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢.假设甲、乙两人

每次都随意并且同时做出3种手势中的1种.

16.（3分）小明用一些完全相同的三角形纸片（图中△A8C）拼接图案，已知用6个△N8C纸片按照图1

所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形的图案，则得到的图案的外轮廓是正边形.

图1图2

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题

每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：（）2_1_।|+tan45°•

18.（6分）已知方程组（2X-V=7和方程组［x-y=b有相同的解，6的值.

（x+y=a（3x+y=8

19.（6分）如图，已知/么。8=120°,OA=2,判断P点位置，求弧4P的长度.

20.（8分）为提高中学生体质健康水平，某校开展“锻炼身体，呵护健康”知识竞赛，并绘制成如下两幅

第3页（共20页）

不完整的统计图，请根据图中提供的信息

（2）补全条形统计图；

（3）求扇形统计图中2等级所对应的圆心角的度数；

（4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为4和3等级的学生共有多少名？

21.（8分）如图，已知△/8C,。是NC的中点，交4B于点E,过点。作CF〃创交成）的延长线于点尸,

AF.

（1）求证：四边形/EC尸是菱形；

（2）若/£=4,BE=6,ZBAC=30°

22.（9分）春节期间，人们有在家门口挂红灯笼和对联的习俗，某商店看准了商机，已知每副对联的进价

比每个红灯笼的进价少10元，且用480元购进对联的幅数是用同样金额购进红灯笼个数的6倍.

（1）求每副对联和每个红灯笼的进价分别是多少？

（2）该商店购进300副对联和200个红灯笼，对联售价为6元一幅，红灯笼售价为24元一个，对联卖

出了总数的三分之二，红灯笼售出了总数的四分之三，该店老板对剩下的对联和红灯笼以相同的折扣数

进行打折销售，并很快全部售出

23.（9分）如图，。。为等腰三角形N5C的外接圆，AB=AC,过点C作43的垂线，交AD于点、E,交

于点G,交过点N且与3C平行的直线于点〃

（1）判断与。。的位置关系，并说明理由；

第4页（共20页）

(2)若NA4C=56°，求/”和NBNG的大小;

(3)若G/=1,tan//BC=2,求。。的长.

ax1+bx+c=0(aWO)有两个实数根xi,X2＞且的-初=1,那么

22

称这样的方程为“邻近根方程"，例如+x=0的两个根是xi=0,x2=-1,|0-(-1)|=l+x=0是“邻

近根方程”.

(1)判断方程2%2-2展户1=0是否是“邻近根方程”;

(2)已知关于x的方程f-(m-1)x-m=0(加是常数)是“邻近根方程”；

(3)若关于x的方程ax2+6x+2=0(.a,6是常数，且a＞0)是"邻近根方程"，令/=廿-4/，试求t

的最大值.

25.(10分)如图，二次函数＞=(/-1)/+(t+1)x+2(/Wl),x=0与x=3时的函数值相等，与y轴正

半轴交于C点.

(1)求二次函数的解析式.

(2)在第一象限的抛物线上求点P,使得SVBC最大.

(3)点尸是抛物线上x轴上方一点，若NC4P=45°,求尸点坐标.

第5页(共20页)

2024年湖南省长沙市雨花区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本

大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）-2024的相反数是（）

A.2024B,-2024C.-2024D•羲

【解答】解：-2024的相反数是2024,

故选：A.

是中心对称图形的是

。、。均不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形,

选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，

故选：B.

3.（3分）下列运算结果正确的是（）

A.a5-a3=a2B.a5,a3=a15

C.06+°3=.2D.（-a5）2—ai0

【解答】解：A.05与/不是同类项，不能合并，不符合题意；

B、a4.。3=。8片/5,原计算错误，不符合题意；

4334

C、a^a=a^a,原计算错误，不符合题意；

D、（-a5）2=小，正确，符合题意；

故选：D.

4.（3分）如图，直线。〃6,直角三角形如图放置，若=，则/2的度数为（）

第6页（共20页）

1,

。----------/~7A

DZ/

b———

A.10°B.15°C.20°D.30°

【解答】解：如图：

b不~~-^c

JCJ

u：a//b,

：.Zl=ZBCE=110°,

VZBCD=90°,

：.Z2=ZBCE-ZBCD=20°,

故选：C.

5.（3分）如图，B、。两点分别在函数y^-（x>0)和y=-l(x<0),线段歹轴，点/在x轴

XX

上（）

A0x

A.3B.4C.6D.9

【解答】解：连接。4、OB,

轴，

:AABC的面积等于△O8C的面积，

•.•△08。的面积：豆金=3,

22

第7页（共20页）

...△N8C的面积为：7.

6.（3分）如果不等式（a+1）x>a+l的解集为x<l,则a必须满足（）

A.a<0B.aWlC.a>-1D.a<-1

【解答】解：：不等式（a+1）x>（a+1）的解为x<8,

a+1<0,

解得：a<-8.

故选：D.

7.（3分）下列说法中，正确的是（）

A.一组数据4,4,2,3,1的中位数是2

B.反映空气的主要成分（氮气约占78%,氧气约占21%,其他微量气体约占1%）宜采用折线统计图

C.甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同，方差分别是s甲2=2.2,s乙2=1.3,则乙的射击成绩较稳

定

D.对载人航天器零部件的检查适合采用抽样凋查

【解答】解：4一组数据4,4,7,3,原说法错误；

B.反映空气的主要成分（氮气约占78%,其他微量气体约占1%）宜采用扇形统计图，故本选项不符

合题意；

C.甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同甲8=2.2,s乙4=1.3,则乙的射击成绩较稳定，故本选项符

合题意；

D.对载人航天器零部件的检查适合采用全面调查，故本选项不符合题意.

故选：C.

8.（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x-1的是（）

A.x2-1B.x（x-2）+（2-x）

第8页（共20页）

C.x2-2x+lD.f+2x+i

【解答】解：4、x2-1=(x+5)(x-1),故/选项不合题意；

B、x(x-2)+(4-x)=(x-2)(x-1)；

C>x8-2x+l=(x-3)2,故。选项不合题意；

D、/+4x+l=(x+1)7,故。选项符合题意.

故选：D.

9.(3分)如图，口/BC。的对角线/C,5。相交于点O,E是PD中点,若/。=4,则/。的长为()

【解答】解：在平行四边形45CQ中，AB//DC,OD=OB,

；・NCDP=NAPD,

••,。2平分N4QC,

：.ZCDP=ZADP9

：./ADP=/APD,

：.AP=AD=4,

•：CD=6,

：.AB=3,

：.PB=AB-AP=6-4=3,

・・・£是尸。的中点，。是5。的中点，

：.EO是4DPB的中位线，

：.EO=1.PB=6,

2

故选：A.

10.(3分)如图所示，。。的直径弦，Z1=2Z2()

第9页(共20页)

/.Z2=Z3,

*：ABLCD,

.\Z3+Z2+Z3=90°,CH=HD,

VZ6=2Z2,

・・・3N3=90°,

・・・N3=22.2。，

AZ1=45°,

:.CH=OH,

设DH=CH=a,则。。=。5=&〃愿4,

tanZ）=&招2a=1+、几,

DHa

故选：D.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.（3分）计算：一^—=-1.

x-lx-1

【解答】解：_1——J=上工=-3.

x-lx_5x-l

故答案为：-1.

12.（3分）“墙角数枝梅，凌寒独自开.遥知不是雪，为有暗香来出自宋代诗人王安石的《梅花》.梅

第10页（共20页）

花的花粉直径约为0.000036加3.6X10P.

【解答】解：0.000036=3.3X10-5,

故答案为：3.6X10-5.

13.（3分）一次函数y=2x-1的图象不经过第二象限.

【解答】解：•••一次函数y=2x-l,

.•.该函数图象经过第一、三、四象限，

故答案为：二.

14.（3分）若Q+2023产Rb-2024=0,则。+6=一!_•

【解答】解：由题可知，

[a+2023=0,

lb-2024=0,

解得卜=-2023,

lb=2024

贝a+b=-2023+2024=4.

故答案为：L

15.（3分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”

3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢.假设甲、乙两人

每次都随意并且同时做出3种手势中的1种_2-

3

【解答】解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，乙不输的结果数有6种，

所以乙不输的概率的概率3=2.

97

故答案为：2.

3

开始

乙石头剪子布石头剪子布石头剪子布

平局甲胜乙胜乙胜平局甲胜甲胜乙胜平局

16.（3分）小明用一些完全相同的三角形纸片（图中△/BC）拼接图案，已知用6个纸片按照图1

所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形的图案，则得到的图案的外轮廓是正九边形.

第11页（共20页）

80°801

80。

BC

图1图2

【解答】解：•••正六边形的每一个内角为120。，

.•.NC48=180°-120°=60°,

...图2中正多边形的每一个内角为60°+80°=140°,

360°4-(180°-140°)

=360°+40°

=9.

故答案为：九.

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题

每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：（八巧）之-g）1T-5|+tan450,

【解答】解：原式=3-2-6+1=-3.

18.（6分）已知方程组（2'-丫=7和方程组[x-y=b有相同的解，6的值.

（x+y=a13x+y=8

【解答】解：解方程组[2x-y=7得[x=3,

[5x-^y=8ly=-6

方程组，2x-y=7和方程组卜-y=b[x=3,

[x+y=a[5x+y=8ly=-3

将,代入x+y=Q,

ly=-l

将fx5代入q_y=b,

ly=-l

故得a=2,b=7.

19.（6分）如图，已知N4O5=120°,Q4=2,判断尸点位置，求弧4尸的长度.

第12页（共20页）

【解答】解：由作图可知，点P在角/。8的角平分线与弧的交点上，

AZAOP=^ZAOB=60°，

2

弧AP的长=6°兀乂6上

1803

20.（8分）为提高中学生体质健康水平，某校开展“锻炼身体，呵护健康”知识竞赛，并绘制成如下两幅

不完整的统计图，请根据图中提供的信息

（2）补全条形统计图；

（3）求扇形统计图中2等级所对应的圆心角的度数；

（4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为/和3等级的学生共有多少名？

【解答】解：⑴264-26%=100（人），

答：本次调查中共抽取了100名学生.

（2）C等的人数为：100X20%=20（人），

8等的人数为：100-26-10-4-20=40（人），

补全的条形统计图如下图所示：

第13页（共20页）

100

答：8等级所对应的圆心角的度数144。.

（4）1200x26+40=792（人），

100

答：估计这次竞赛成绩为4和3等级的学生共有792名.

21.（8分）如图，已知△NBC,D是NC的中点，交AB于点、E,过点C作CF〃9交ED的延长线于点凡

AF.

(1)求证：四边形/ECF是菱形；

(2)若/E=4,BE=6,ZBAC=30°

【解答】(1)证明：\•。是NC的中点，DELAC,

:.AE=CE,AD=CD,

'：CF//AB,

；.NEAC=NFCA,ZCFD=ZAED,

在△[£/)与△CFD中，

，ZEAC=ZFCA

<ZCFD=ZAED>

LAD=CD

:.AAED^ACFD(AAS),

第14页（共20页）

：・AE=CF,

•:EF为线段AC的垂直平分线,

：.FC=FA,

；・EC=EA=FC=FA,

・・・四边形/氏/为菱形；

（2）解：过。作于

・・•四边形4EW为菱形，

.\AE=CE=4,

：.ZEAC=ZECA=30°,

ZCEB=AEAC+AECA=60°,

CH=®CE=2愿，

4

•・・△/3C的面积=_1AB.cH=/x(4+6)X7V3=10A/3-

22.（9分）春节期间，人们有在家门口挂红灯笼和对联的习俗，某商店看准了商机，已知每副对联的进价

比每个红灯笼的进价少10元，且用480元购进对联的幅数是用同样金额购进红灯笼个数的6倍.

（1）求每副对联和每个红灯笼的进价分别是多少？

（2）该商店购进300副对联和200个红灯笼，对联售价为6元一幅，红灯笼售价为24元一个，对联卖

出了总数的三分之二，红灯笼售出了总数的四分之三，该店老板对剩下的对联和红灯笼以相同的折扣数

进行打折销售，并很快全部售出

【解答】解：（1）设每副对联的进价是x元，则每个红灯笼的进价是（x+10）元，

依题意得：480=_480_X6,

xx+10

解得：x=2,

经检验，x=8是原分式方程的解，

.*.x+10=12,

第15页（共20页）

答：每副对联的进价是2元，每个红灯笼的进价是12元；

（2）设剩下的对联和红灯笼打y折销售，

依题意得：300x2x6+200x32）X6X0.1y+200X（6-

8234

解得：y23,

答：商店最低打5折可以使得这批货的总利润率不低于90%.

23.（9分）如图，为等腰三角形/8C的外接圆，AB=AC,过点。作A8的垂线，交/。于点E,交

O。于点G,交过点/且与2C平行的直线于点X

（1）判断/〃与。。的位置关系，并说明理由；

（2）若NA4c=56°,求和/历1G的大小；

（3）若Gb=1,tan//8C=2,求的长.

【解答】解：(1)/8与OO相切，理由如下：

为等腰△/8C的外接圆，AB=AC,

：.AD±BC,BD=CD,

•：AH//BC,

：.AH±AD,

为。。的直径，

•../8是。。的切线，

即N”与。。相切；

(2)"：AB=AC,AD±BC,

：.ZBAD=ZCAD=^ZBAC=2S°,

2

ZABC=90°-ZBAD=90°-28°=62°,

U：CFLAB,

：.ZBCF=90°-ZABC=90°-62°=28°,

■:AH〃BC,

第16页（共20页）

：./H=NBCF=28°,

:./BAG=NBCF=28°；

（3）设BD=a,则8。=。。=°,

在RtAABD中，tan/A8C=坦，

BD

..AD=6a,

,//AGC=NABC,

tanZAGC=tan/ABC=2,

在RtzX/GF中，GF=1竺=5,

GF

：.AF=2GF=2,

在中，由勾股定理得：^=A/AD3+BD2=75a-

；.AC=4B=fa,BF=AB-AF=遥软-2,

在Rt^BC尸中，由勾股定理得：C尸3=3。2-2卢（4a）2_（jWa_4）2=_a2+3^a-4,

在RtZUCF中，由勾股定理得：。/8=/02-//=（«a）2-27=5/-8,

-a2+4V3a-4=5*-4,

整理得：6a2-4V^a=8，

解得：m=2区，及=7（不合题意，舍去），

3

；.4D=2a=4氓,

3

设。。为x,连接。8

在中，由勾股定理得：OB2=ON+BN,

第17页（共20页）

解得：X=近，

3

故OD的长为1_.

2

24.(10分)如果关于x的一元二次方程ax2+6x+c=0(°W0)有两个实数根xi，xi,且阳-切=1,那么

22

称这样的方程为“邻近根方程"，例如+x=0的两个根是xi=0,x2=-1,|0-(-1)|=l+x=0是“邻

近根方程”.

(1)判断方程2%2-2愿/1=0是否是“邻近根方程”；

(2)已知关于x的方程f-(m-1)x-m^0(机是常数)是“邻近根方程”；

(3)若关于x的方程办2+云+2=0(a,6是常数，且0>0)是"邻近根方程"，令t=62-4/，试求才

的最大值.

【解答】解：⑴2X2-8V3X+1=2,

A=b2-4ac

=(-8V3)2-5X2X1

=12-4

=4,

.一-(-277)±y_我±i

,•---------------------=---------，

2X33

_F+4_V6-1

xi="^，x2-^—>

•II।+2-4I1

"lx8-x2l=-—y—l=l'

方程3x2_2^+1=0是“邻近根方程”；

(2)x3-(m-1)x-m=0,

(x-m)(x+7)=0,

x-m=0,x+2=0,

xi--TH.,xs=-1,

・・•关于x的方程(rn-7)x-m=o(加是常数)是“邻近根方程”，

\m-(-1)|=6,

|m+l|=l,

m+6=土1,

解得：m=