2024届江苏省宿迁市沭阳县高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届江苏省宿迁市沐阳县潼阳中学高一数学第二学期期末学

业水平测试模拟试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;

非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1.不等式x2+or+4>0对任意实数x恒成立，则实数。的取值范围为()

A.(-4,4)B.(-co,-4)U(4,+co)

C.(-00,+oo)D.0

2.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的

概率为

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

1

3.已知tana=],则cos2a=（）

3232

A.-B.-C.--D.--

5555

4.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大

部分的比值，其比值为1」，约为0.618,这一比值也可以表示为〃=2cos72。，贝1

2

l-2sin227°

,--=（）

a,4—

11

A.-B.1C.2

2D4

5.某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如右图所示甲、乙的平均数分别为为亍、

甲

二，方差分别为\2,S2,则（）

乙甲乙

甲_______乙

S<27

74851

40911278

751011

A.X>X,S2>S2B.X>X,S22

甲乙甲乙甲乙甲乙

C.X（x,s2\s2D.X,S2<S2

甲'乙甲/乙甲乙甲乙

6.直三棱柱ABC—A]B]Ci中，BB]中点为M,BC中点为N,ZABC=120°,AB=2,

BC=CC1=1,则异面直线AB】与MN所成角的余弦值为

43

A.1B,--C.--D.0

54

7.已知函数/(x)=sincox-"costox(①>0),若方程/(%)=-1在(。,兀)上有且只有三

个实数根，则实数但的取值范围为()

8.在AABC中，边。，万，。分别是角A,B,C的对边，且满足bcosC=(3a—c)cos3,

若3(?.胡=4,则6的值为(―)

A.12B.11C.10D.9

9.如图，网格纸上小正方形的边长均为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几

10.已知函数/(芯)=2$山((0彳+中)[(0>0,附<5]的图象过点B(0,-0),且在7171

18,3

上单调，同时/(X)的图象向左平移兀个单位之后与原来的图象重合，当

€(—：兀，一]兀)，且X*X时，/G)=/(x),则/(x+X)=

1233121212

A.一事B.-1C.1D.第

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.在等比数列｛。｝中，已知。+a+a=l,a+a+a=2,则

n123234

a+a+a=.

8910

12.已知圆C：(x—3"+(y—4)2=s上有两个点到直线3x+4y=。的距离为3,则半

径厂的取值范围是

「3〃2+2〃-1

13.lim---------

n—>oo〃2—九+2

14.若实数a,力满足一+-=sjcib,则的最小值为______.

ab

x-y<Q

15.已知x,y满足<%+丁<4,则z=2x+y的最大值为.

x>l

16.设neN*,用人,表示所有形如2rl+2，；+…+2,的正整数集合，其中

0<r<r<-<r4”且reN(ieN*),b为集合A中的所有元素之和，则也｝的

12ninnn

通项公式为b=

n

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.平面直角坐标系中，圆M与y轴相切，并且经过点P(1，W),Q(L—

(1)求圆Af的方程；

(2)过点N(1,J7)作圆M的两条互垂直的弦AC、BD,求四边形A3CD面积的最大

值.

18.记511为等比数列〃｝的前“项和，已知S,=2,5=-6.

nnzo

(1)求｛a｝的通项公式；

n

(2)求S“，并判断S",,S,S“+2是否成等差数列

19.已知直线/:JTx-3y=0

(1)若直线(过点(°/)，且〈/〃.求直线1的方程.

⑵若直线4过点42,0),且4平，求直线,2的方程及直线，2，/，X轴围成的三角形的

面积.

20.如图，在A4BC中，/43。=90。,48==p为A4BC内一点，

NBPC=90。.

(2)若ZAPB=120。，求AABP的面积S.

21.(1)已知数列｛"｝的前〃项和S满足S—2«—1,求数列｛〃｝的通项公式;

nnnn

(2)数列伍｝满足。=1,a=n+a(n>2),求数列｛a｝的通项公式.

n1nn-kn

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解题分析】

根据二次函数的性质求解.

【题目详解】

不等式x2+ax+4〉0对任意实数x恒成立，则A=42-16<0,—4<a<4.

故选A.

【题目点拨】

本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时可借助二次函数的图象求解.

2、D

【解题分析】

分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事

件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.

详解：设2名男同学为A」6，3名女同学为

从以上5名同学中任选2人总共有

AA,AB,AB,AB,AB,AB,AB,BB,BB,BB共10种可能

12111213212223121323^'

选中的2人都是女同学的情况共有8汽e共三种可能

3

则选中的2人都是女同学的概率为p=]0=0.3,

故选D.

点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事

件，设出事件A；第二步，分别求出基本事件的总数〃与所求事件A中所包含的

基本事件个数加；第三步，利用公式P(A)=—求出事件A的概率.

n

3、A

【解题分析】

分析：利用余弦的二倍角公式可得8$201=以%2(1—0亩201,进而利用同角三角基本

关系，使其除以cos2a+sin2a=1,转化成正切，然后把tana的值代入即可.

、，I……，口八cosza-sin2al—tan2a

详解：由题意得cos2a=cos2a—sm2a=--------------=----------.

cos2a+sin2a1+tan2a

1

tana=一

2

1-1R

c43

cos2a=——Z-=一

l+_5

4

故选A.

点睛：本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式.解题的关

键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化.

4、A

【解题分析】

根据已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式、诱导公式化简即可求值得解.

【题目详解】

,.•a=2cos720,.\a2=4cos272°,可得：4-敬=4-4cos272°=4sin272°,

"—G=2sin72°,aJ4—F2=2cos72°»2sin72°=2sinl44°=2sin36°,

.1—2SZ,〃227°_COS54°_sin360_1

…a,4—.22sin36°2sin36°2'

故选：A.

【题目点拨】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式、诱导公式在三角函数化简求值

中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

5、C

【解题分析】

试题分析：J=1x(72+75+78+84+87+90+94+105+107)=88,

4=^x[(72-88/+(75-88)1+(78-8期+...+(107-88/]=^^；

，故选c.

考点：茎叶图.

【易错点晴】本题考查学生的是由茎叶图中的数据求平均数和方差,属于中档题目.由茎

叶图观察数据，用茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字,利用平均值公式及标

准差公式求出两个样本的平均数和方差，一般平均数反映的是一组数据的平均水平,

平均数越大，则该名运动员的平均成绩越高;方差式用来描述一组数据的波动大小的指

标，方差越小，说明数据波动越小，即该名运动员的成绩越稳定.

6、D

【解题分析】

先找到直线异面直线AB】与MN所成角为/ARC,再通过解三角形求出它的余弦值.

【题目详解】

由题得MNIIRC,

所以就是异面直线AB】与MN所成角或补角.

/2兀

由题得AC='4+l-2x2xlxcos—=",

AB=y/5.BC=y/29

因为"2+62=々2,...加5=1,

所以异面直线AB】与MN所成角的余弦值为0.

故选:D

【题目点拨】

本题主要考查异面直线所成的角的求法，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些

知识的理解掌握水平和分析推理能力.

7、A

【解题分析】

先辅助角公式化简f(x)=sinG)X-y/3COSG)X((D>0)冼求解方程f(x)=—1的根的表达式,

再根据在(。,兀)上有且只有三个实数根列出对应的不等式求解即可.

【题目详解】

/(x)=sincox-73coscox=2sin3%-£）.又/。）=-1在（0,兀）上有且只有三个

实数根,

177JT

故2sinfcox-y=-lnsincox-三--，解得①冗_彳=2左兀--或

I323o

n〜7兀

co%——2左兀+—

36'

2KlK2kJi3K3

即x=---+—或x=----+—,IkwZJ

363323

设直线y=-l与/（尤）在（0,+8）上从做到右的第三个交点为A,第四个交点为8.

13K

------<71

2兀兀13兀2K3TI7TI6co137

则与—_1_—_____Y江+药=而.故_<(£)<-

36363'8Z1>K62'

、23

137

故实数3的取值范围为（石,

故选：A

【题目点拨】

本题主要考查了根据三角函数的根求解参数范围的问题，需要根据题意先求解根的解析

式，进而根据区间中的零点个数列出区间端点满足的关系式求解即可.属于中档题.

8、A

【解题分析】

利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得

cosB的值，由5（?•函=4可得ac的值

【题目详解】

在*ABC中，bcosC=（3a-c）cosB

由正弦定理可得sinBcosC=(3sinA-sinC)cosB

/.3sinAcosB-sinCcosB=sin3cosc化为:

3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC

即sin(B+C)=sinA

在^ABC中,sinAw0,故cosB=-

-,-BCBA=4,

可得accos6=4,即ac=12

故选4

【题目点拨】

本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式,

考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。

9、C

【解题分析】

还原几何体得四棱锥E-A3CD,由图中数据利用椎体的体积公式求解即可.

【题目详解】

依三视图知该几何体为四棱锥E-A5cD,如图，A5CD是直角梯形，是棱长为6的正

方体的一部分，梯形的面积为：。k,八丫

；传十刃X0=2/

几何体的体积为：.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确还原几何体和补形是解题的关键，考查

空间想象能力.

10、A

【解题分析】

由题设可知该函数的周期是T=兀=3?=2,则Hx）=2sin（2x+cp）过点

<5可得sin(p=—=>(p=——,故/(x)=2sinf2x——j

B,由

223\J

K兀TC左兀5兀（\

sin2X-=±1可得2%一9二爹+左兀nx=a_+mG£Z）,所以由

I3

一(42)

注思到eJ，故

(7兀71

x+x=；所以/(x+x)=2sin2x=-F，应选答案A

12612、63

点睛：已知函数y=Asin(rox+(p)+5(A>0,(o>0)的图象求解析式

(2)由函数的周期T求①,7=勺9JT.

co

(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求中.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、128

【解题分析】

'；a+a+a=1

123

a+a+a=(,a+a+a)q

234123

:.q=2

a+a+a=G+a+a)qi=2?=128

8910123

12、(2,8)

【解题分析】

由圆(x—3”+(y—4”=厂2上有两个点到直线3x+4y=。的距离为3,先求出圆心到

直线的距离，得到不等关系式，即可求解.

【题目详解】

由题意，圆C：(x—3”+(y—4”=仁的圆心坐标为(3,4),半径为r,

J3X3+4X4|

则圆心到直线3x+4y=0的距离为d=5,

>/32+42

又因为圆C：(x—3)2+(y—4)2=上上有两个点到直线3x+4y=。的距离为3,

则|一5|<3,解得2<r<8,即圆的半径的取值范围是(2,8).

【题目点拨】

本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中合理应用圆心到直线的距离,

结合图象得到半径的不等关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与

运算能力，属于中档试题.

13、3

【解题分析】

分式上下为〃的二次多项式，故上下同除以〃2进行分析.

【题目详解】

3+2_1

…3"2+2〃—1。十〃〃221.12

由题,hrm--------------=lim-----2——i-，又lvim—,lvim一,lim—,lvim一=0n

"2一〃+228]_+)n—>oo〃n->00"2〃—>00"n—>oo

nm

3+—

3+0-0c

故lim3〃2+2"1=lim_:=

O=3

ns"2—〃+2ns]_+_T^7-

nn2

故答案为：3.

【题目点拨】

本题考查了分式型多项式的极限问题,注意：当。力U,k,jGN+

kj

00,(左>j)

ank+a〃左一1+…+。川+。

时,hm—k.........----------------1-------o-=<%(k=j)

，foobm+bnr+...+Z?m+bb

jj-iio

14、2^/2

【解题分析】

由题意可得yfab=—+—>2J二京=2JJ,由不等式的性质变形可得.

【题目详解】

12r—

•.•正实数a,b满足一+7=>/记，

ab

・"丁1户?fl后~T=2品n~

：.ab>2y/2

12「广

当且仅当一=—即a=^2且b=2^2时取等号.

故答案为2J2.

【题目点拨】

本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属基础题.

15、6

【解题分析】

作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案.

【题目详解】

x-y<0

由题意，作出不等式组,所表示的平面区域，如图所示，

x>l

因为目标函数z=2x+y,可化为直线y=-2x+z,当直线y=-2%+z过点4时,

此时目标函数在丁轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，

x-y-0

又由<■解得4(2,2),

x+y=4

所以目标函数z=2x+y的最大值为z=2x2+2=6.

【题目点拨】

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表

示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考

查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题.

16、

【解题分析】

把集合A中每个数都表示为2的0到〃的指数暴相加的形式，并确定2。，21,22,…，

n

2”每个数都出现几次，于是利用等比数列求和公式计算b=”(20+21+22+…+2”)，

n

可求出数列［b｝的通项公式.

n

【题目详解】

由题意可知，彳，厂是0,1,2,…，〃的一个排列，

12n

且集合A中共有〃+1个数，若把集合A中每个数表示为2z+2r,+...+2。的形式，

nn1zn

则2。，2i,22,…，2m每个数都出现〃次，

—2八+1)

因此，b="(2。+2i+22+...+2")=----------=n•(2«+i—1),

"1-2

故答案为：/i-(2«+i-1).

【题目点拨】

本题以数列新定义为问题背景，考查等比数列的求和公式，考查学生的理解能力与计算

能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、(1)(%—2)2+山=4；(2)最大值为1.

【解题分析】

(1)通过分析题意，可设圆心坐标为"(。，0),再通过待定系数法即可求得。

(2)若采用直线方程和圆的方程联立求解相对较为复杂，可采用将题设条件转化为圆

心到直线距离问题，结合勾股定理可大大简化运算，最后再结合均值不等式进行求解。

【题目详解】

解：⑴由题意，M在线段尸0的垂直平分线(即x轴)上，设"Q，0)；

由圆M与y轴相切，所以圆M的半径为⑸，

圆M的标准方程为(x-a)2+y2=。2,

代入P(1,J至),解得。=2,所以圆版的方程为(x—2)2+y2=4.

(2)设圆心M到直线AC,8。的距离分别为机，n,则加2+〃2=|MN|2=3,

且IACI=214—加2,1501=2,4-a2,

四边形ABCD的面积S=^\AC\\BD\=2jQ—冽2)Q—/2)=2+m2n2

因为mn<m=?,且加，〃均为非负数，所以S=2yj4+m2n2<

=5,

当且仅当根=〃=亚，等号成立;

2

综上，四边形ABCD面积的最大值为1.

【题目点拨】

圆的弦长问题转化为点到直线的距离问题往往化繁为简

18、⑴a=（一2）“；（2）见解析.

n

【解题分析】

试题分析：（1）由等比数列通项公式解得4=-2,。=-2即可求解；（2）利

1

用等差中项证明S“+],sn,S“+2成等差数列.

a（l+q）=2

试题解析：（1）设｛。｝的公比为/由题设可得|）乙，解得

〃。U+q+q2/=—6

q-—2,ci——2.

故｛a｝的通项公式为a=(-2>.

nn

aQ-q〃)2(\2«+i

(2)由(1)可得S=」____二=—*+(—

〃1-q33

由于S+S一,

n+2n+\—9_20J>

故s,,s,S成等差数列.

n+1nn+2

点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等

差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用

性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、

等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”

的方法.

19、（1）y/3x-3y+3=0；（2）^/3x+y-2y/3=0；

【解题分析】

（1）根据已知求得1的斜率，由点斜式求出直线＜的方程.（2）根据已知求得q的斜率，

由点斜式写出直线4的方程，联立/]，q的方程，求得两条直线交点的坐标，再由三角形

面积公式求得三角形面积.

【题目详解】

解：（1）•：/〃/，二直线/的斜率是正

113

又直线4过点(°」)，

二直线I的方程为y=¥》+l,即3—3y+3=0

(2).••直线4的斜率是4

又直线：过点42,0),

..•直线4的方程为y=-、3G—2）即3+y-2JT=o

y/3x-3y=0’3B

由得(与4的交点为—,--

yj3x+y-2y/3=0122J

二直线/,//轴围成的三角形的面积是1、2*史=且

2222

【题目点拨】

本小题主要考查两条直线平行、垂直时，斜率的对应关系，考查直线的点斜式方程，考

查两条直线交点坐标的求法，考查三角形的面积公式，属于基础题.

20、(1)1；(2)WL

214

【解题分析】

1-----------17171

(1)京出BP=4BC2—PC2=K,NCBP=ZABP=AA5P中由余弦定理

236

即可求得F4；

ABPB/T

⑵设ZPBA=a,利用正弦定理表示出120。=sin(6