2024届河南省顶级高三年级下册考前全真模拟考试（一）数学含答案

2024届河南省顶级名校高三下学期考前全真模拟考试（一）

数学含答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题

卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.样本数据45,50,51,53,53,57,60的下四分位数为（

A.50B.53C.57D.45

2.已知二="D—2i,则亍=（）

1-1

A.—2+iB.-l+2iC.-2-iD.-l-2i

3.过抛物线的焦点的直线交抛物线于48两点，若月B中点的横坐标为4,则

\AB\=（）

A.16B.12C.10D.8

4.直线/：x+y=l,圆。/+歹2-2工-2二2=0.则直线/被圆。所截得的弦长为（）

A.2B.2>/3

C.2V7D.V14

4

5.（4-26-3c）的展开式中Q加的系数为（）

A.208B.217C.-216D.-218

6.己知x>0/>0,2x+y=xy,则2x+y的最小值为（）

A.8B.4C.8应D.472

试卷第1页，共5页

7.在。中，AB=3V2,cosZB.4C=-1,JZ)UC,且力。交SC于点O,力。=3,则

sinC=(

A.'B.⑺

c.巫D.逑

,r

8.已知尸为椭圆C:户+瓦=l(a>b>0)上一点，£、用分别为其左、右焦点，。为坐标

原点，|「。|=孝。，且|尸用¥片|=孑2,则。的离心率为()

A.—B.1C.应尸专，D.5

4422

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.数列｛%｝满足：q=l,S,T=3q(%N2),则下列结论中正确的是()

A.a2=-

B.｛〃”｝是等比数列

4

Ca.—an>2

3

<4Y1

D.-，心2

\/

10.已知/("=力sin(/x+。)力>0,e>0,0<夕v弓的部分图象如图所示则()

L)

A./(0)=l

、(47tIE、

B./(x)在区间工■，工-单调递减

C./(x)在区间的值域为[-1,6]

D.〃力在区间停21有3个极值点

1z)

试卷第2页，共5页

11.如图，在棱长为1的正方体力BC。-48cA中，E是棱。A上

的动点(不含端点)，过4瓦,后三点的平面将正方体分为两个部分,

则下列说法错误的是()

A.正方体被平面所截得的截面形状为梯形

B.存在一点E,使得点4和点C到平面力后月的距离相等

41

C.若E是。R的中点，则三棱锥4-4与£外接球的表面积是木〃

0

D.当正方体被平面力£与所截得的上部分的几何体的体积为:时，E是的中点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.己知2=(3,-4),5=(1,2),则£在否的方向上的投影向量是,

13.己知集合力二{x|-l《xVl},8二卜帆-14、“2团-1}.若8=4则实数"的取值范围

为

14.己知函数/(x)的定义域为R,若/(x-v)=/(x)/(j)+/(l+x)/(l+y),且

102

”0)工〃2),则£/(〃)=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)在A48C中，内角4B,。的对边分别为Q,b,c,

y/3asinB-bcosA=b.

(1)求角力的大小；

⑵若为力。边上的中线，且60=2,求b+2c的最大值.

试卷第3页，共5页

16.（本小题满分15分）己知函数〃x）=Qx+l-xlnx的图像在x=1处的切线与直线

X-y=O平行.

⑴求函数“X）的单调区间：

⑵若%W（0,+<»）,且不>勺时，/（%）/卜2）>"（才X；）,求实数/〃的取值范围.

17.（本小题满分15分）己知椭圆c：*_+£=1（»6>0）的左、右焦点分别为E，F”

两焦点45与短轴的一个顶点构成等边三角形点P（0半）在椭圆C上.

⑴求椭圆C的标准方程；七）

⑵过点£且斜率不为0的直线/与椭圆C交于A,B两点，与直线x=-3交于点D.

设.4。=4，片，BD=%BF[,证明：4+4为定值.

18.（本小题满分17分）如图，在三棱锥。-力8。中，AB1BC,AB=2,BC=26,

PB=PC=®BP,AP,宛的中点分别为D,E,0,AD=6）。，点尸在dC上，BF±AO.

（1）证明：EF〃平面力0。；

（2）证明：平面力。。_L平面财

（3）求二面角P—BC—力的大小.

试卷第4页，共5页

19.(本小题满分17分)某种植物感染病毒7极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一

种抗病毒7的制剂.现对20株感染了病毒7的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试

结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计，并对植株吸收制剂的量(单位:

毫克)进行统计.规定植株吸收在6毫克及以上为“足量”，否则为“不足量

该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.己

知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.

编号2345678910

吸收量(毫克)6838956627

编号11121314151617181920

吸收量(毫克)75106788469

(1)补全列联表中的空缺部分，依据a=0.01的独立性检验，能否认为“植株的存活”与

“制剂吸收足量”有关？

吸收足量吸收不足量合计

植株存活

植株死亡

合计

(2)现假设该植物感染病毒7后的存活日数为随机变量X(X可取任意正整数).研究

人员统计大量数据后发现：对于任意的火€1<,存活日数为(％+1)的样本在存活日数超过

k的样本里的数量占比与存活日数为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1,

这种现象被称为“几何分布的无记忆性”试推导乂AwN)的表达式，并求该植

物感染病毒7后存活日数的期望E(X)的值.附：/=,H”)2其中

+b)(c+d\a+c)(b+d)

n=a+b+c+d；当〃足够大时，〃x0.9"e().

a10.010I|0.005|0.001

|6.635||7.879||10.828

试卷第5页，共5页

一、选择题;

11.如图，在棱长为1的正方体力88-4片G4中，£是棱。马上的动点（不含端点），过

44芭三点的平面将正方体分为两个部分，则下列说法正确的是（

ac

4;~~7^1®!

娟”一火，鬼

A亚觌

A.正方体被平面力£片所截得的截面形状为梯形

B.存在一点E,使得点4和点C到平面月E片的距离相等

41

C.若E是的中点，则三棱锥4-彳8f外接球的表面积是丁乃

O

D.当正方体被平面总后耳所截得的上部分的几何体的体积为g时।£是。。的中点

【答案】BCD

【详解】选项A：设过44,E三点的平面与GA交点为F,连接⑸,

因为平面月88/〃平面DCC\D、，且平面/的D平面力88/=AB,,

平面/lEgn平面。。。。尸£尸，所以EF//AB],

由正方体性质可知，AD〃&G，AD=B1c，所以四边形力4G。为平行四边形,

所以DCJ/4B1,所以小〃OC/印|x|DCj,即怛尸国力可

所以正方体被平面力£片所截得的截面形状为梯形，故A正确

选项B：由点4和点8到平面月月4的距离相等,

若点4和点C到平面力砧)的距离相等，必有8C〃平面/1E4,

又由BC//4D,可得力。〃平面"七片，与/Qc平面力七8二%矛盾，故B错误;

41

选项c：三棱锥4-力与£外接球的表面积是4，故C错误；

716r

选项D:因为4f向=1x；xlxlxl=!,嚷Ng四上与+@,

正方体被平面AEB.所截得的上部分的几何体的体积为：

—•^—(a2+a)=-^a2+a-\=Q,

66、J3

解得「=也二1.故D错误：

2

故选：BCD

二、填空题

12、(-1,-2)13、(-8/14、

14.已知函数/(x)的定义域为R,若/(xy)=f(x)f(y)+f(\+x)f[\+y)t且

/(0)工〃2),则Z/(〃)=

【答案】

【详解】令x=y=o,得/(0)=1(0)了+[/(1)]2，

再令X=y=l,得/(0)=[/(1)/+[/(2)了

所以[〃0)了=[〃2)了,因为〃0)=〃2),所以〃0)=-〃2),

令三0,得/(l)=/(l)/(0)+/(2)/(l)=0

所以〃0)=[/(0)了，即"0)=0或1

若/(0)=0,则代入/(0)=[/(1)『+[/(2)『中，/(2)=0,

由〃。)工/(2),所以/(0)，0,即〃0)=1,且/⑵=7,

令」=0,得/(-刃=/(0)/。)+。(3(1+1)，

由/(0)=1，/(1)=0,所以/(—»=/()，)，

所以/(X)为偶函数：所以/(—1)=/(1)=0,/(-2)=/(2)=-1,

令/=1,得/(i-y)=/(i)/(y)+/(2)/(i+y),

所以/(1-力=-/(1+力,即/(»+/(2-»=0,<>V

因为/(一力=/(力=一/(歹+2),所以/(y+4)=/(y),

所以/(x)为周期函数，周期为4,

所以/。)=0、/(2)=L/(3)=/(-l)=/(1)=0,/(4)=/(0)=l,

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

所以Z/(〃)=25[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(1)+/(2)=-1

故答案为：1.

三、解答题：

15、(本小题满分13分)在&46c中,内角4,6,C的对边分别为。也C,y/3as\nB-bcosA=b.

(1)求角4的大小：

(2)若8。为4c边上的中线，且3。=2,求b+2c的最大值.

【答案】(1)A=-x(2)b+2c的最大值为8。

3

【详解】令x=y=0,得/(0)=[，⑼了+[/(1)了，

再令…=1，得/(0)=[/(1)}[/(26

⑴在AJ8C中，内角乩B,C的对边分别为。也c,省asinBbcosA=b>

由正弦定理，&fsin8Acos4=b可变为JJsin力sin6-sin6cosH=sin8・

化简为2sinJ-y=1,又因为/w(0,乃)，所以角A=

(2)因为3Q=2,所以在A48。中，由余弦定理可得(9)+c?-2•-c.cos/=4

可化简为0+2C)2—16=66C,因为b・2c«,所以(b+2c)2-16«3(丝生)

解得b+2c48,所以6+2c的最大值为8.

16、(本小题满分15分)已知函数/(“5K+171nx的图像在x=l处的切线与直线与7=0

平行.

⑴求函数/(力的单调区间；

⑵若％，we(o,y),且玉>电时，/(』)/(电)>加[：X；),求实数团的取值范围.

【答案】⑴/⑺在(Oe)递增,在(e+e

【详解】(1)/(/)=G+l-xlnx的导数为广(x)=a-l-lnx,

可得/(x)的图象在d(L/0))处的切线斜率为0-1,

由切线与直线x-y=O平行，可得=即。=2,

/(x)=2x+l-xlnx,/r(.r)=1-In,x,

由尸(x)>0,可得0<x<e,由/")<0,可得X>e,则/。)在(0,e)递增，在(e,+8)递

减.

(2)因为玉>、2，若必用2«0,+8),由/(»)-/(占)>叽：-加尺，

即有/(再)一的；>/(4)一机《恒成立，设g(x)=/(x)nix2,

所以g(x)=/(x)-阳2在(0,+8)为增函数,即有g<x)=]-lnx-2mA。对x>0恒成立,

可得2加4匕譬在/>0恒成立，由〃(司=上譬的导数为“卜)=哼2,

当"G)=0,可得x=e?,力。)在(Od)递减，在递增，

即有砧）在…处取得极小值，且为最小值/可得22去解得…止

则实数〃7的取值范围是一*5•

17、（本小题满分15分）已知椭圆C：马+『l（a>6>0）的左、右焦点分别为E，F”两

ab

焦点E玛与短轴的一个顶点构成等边三角形点P（正2）在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程:

（2）过点四且斜率不为0的直线/与椭圆C交于43两点，与直线x=-3交于点。.

设力。=4/石，证明：4+4为定值.

【答案】⑴《+2

43

2）证明见解析

26,

7+^=,

"-2

【详解】（1）由题意得:a=2c解得

b=\/3

222

a=b+c

，椭圆C的标准方程是-4-^=1.

43

（2）由（1）知耳由条件可知/的斜率存在且不为0,

设/的方程为x=〃"—1,则mwO,令x=-3可得

♦:;；）12=0,得（3疗+4）/-6叩-9=0,A>0,

联立方程

设场,凹）,8（再,必

3m2+43M+4

—2

由力。=乙巧可得（-3-------目）=4（一1”一乂）,

m

则有一，乂二一4%，解得4=1+需同理4="^^

=2+1^^、2.6m3m2+4.

...4+4=2+—=2+（­；——x--------）

m加、M必w3m2+4-9

.222

=2+—x§.故4+&为定值,.

nt

⑶(本小题满分15分)如图，在三楂锥尸-/BC中，AB1BC,AB-2,8c=2"，

PB=PC=6BP,4P,BC的中点分别为。，£0,AD=y/5D0>点F在4C上，BF1A0.

(1)证明：E尸〃平面400;

(2)证明：平面平面BEE

(3)求二面角P-8C—力的大小.

【详解】(1)连接。旦。尸，设为FRC,则而=或+万=(一廊+南己而=-而+g而,

■,■•■I1・2I

BF1AO,则8/•力0=[(1-/)BJ-tBC](-BA+^BC)=(t-\)BA+-tBC2=4(/-1)+4/=0,

解得z=g,则F为/C的中点，由O,£O,F分别为尸民尸48C,4C的中点，

于是DE//AB.DE=LAB.OF//AB,OF=；AB,即。E〃OF、Q£=OF,则四边形00£尸为

平行四边形，EF/IDO,EF=DO,又EF0平面彳。0,。。u平面力。。，所以EF〃平面

ADO

(2)由(1)可知EF//OD,则力0=#,。0=手，得力。=限)。=叵，因此

OD2+AO2=AD2=y,则OQJ,4。，有E/J.4。，又力尸=/，BF,EFu

平面BE/,则有月。_1平面8环，又40u平面月O。，所以平面力。。1平面8EE

(3)\PAB+,可以解得"二J14,记二面角尸一8。一力的平面角为。

因为力。=力8+80+00，

222

所以而2=(前+而+而『=JB+B3+5P+2^BB3+2B3-5P+2JB-5P

因为ZB=2,BO=N/2,尸。=2,PA=

V142=22+V22+22+2.2.2-COS(^-^)»解得COS"-]

所以二面角尸一8。一力的大小为争.

19.（木小题满分17分）某种植物感染病毒y极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一种

抗病毒7的制剂.现对20株感染了病毒7的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果

分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计，并对植株吸收制剂的量（单位：亳克）

进行统计.规定植株吸收在6亳克及以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株

样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”

但“制剂吸收不足量”的植株共1株.

编号2345678910

吸收量（亳克）6833956627

编号11121314151617181920

§

吸收量（亳克）7510788469

（1）补全列联表中的空缺部分，依据。=0.01的独立性检验，能否认为“植株的存活”与“制

剂吸收足量”有关？

吸收足量吸收不足量合计

植株存活

植株死亡

合计20

（2）现假设该植物感染病毒产后的存活日数为随机变量X（X可取任意正整数）.研究人员

统计大量数据后发现：对于任意的AwN.,存活日数为（％+1）的样本在存活日数超过A的样

本里的数量占比与存活日数为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1,这种现

象被称为''几何分布的无记忆性”试推导P（X=Q（AcN）的表达式，并求该植物感染病

毒/后存活日数的期望E(X)的值.

2

a,2n(ad-be)

附：Z=