新疆阿克苏市第一师高级中学2025届高一下数学期末综合测试模拟试题含解析

新疆阿克苏市第一师高级中学2025届高一下数学期末综合测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等差数列前n项的和为，，，则（）A．25 B．26 C．27 D．282．在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则的形状为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．最大角为锐角的等腰三角形 D．最大角为钝角的等腰三角形3．在△ABC中，点D在边BC上，若，则A．+ B．+ C．+ D．+4．函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．5．设，,则的值可表示为（）A． B． C． D．6．已知，，且，，则的值为（）A． B．1 C． D．7．函数y=2cosx-1A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－18．两条直线和，，在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．9．若是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是()A． B． C． D．10．在中，、、分别是角、、的对边，若，则的形状是（）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知中，的对边分别为，若，则的周长的取值范围是__________．12．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是__________．13．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为___．14．对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____．15．已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.16．若关于的不等式的解集为，则__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利分别为和，可能的最大亏损率分别为和.投资人计划投资金额不超过亿元，要求确保可能的资金亏损不超过亿元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少亿元，才能使可能的盈利最大？18．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）.（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？19．已知函数，将的图象向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.（1）求实数的值；（2）求函数与直线相邻交点间距离的最小值.20．若，讨论关于x的方程在上的解的个数.21．如图，在四棱锥中，底面为菱形，、、分别是棱、、的中点，且平面．（1）求证：平面；（2）求证：平面．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据等差数列的求和与通项性质求解即可.【详解】等差数列前n项的和为,故.故.故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列通项与求和的性质运用,属于基础题.2、D【解析】

先由余弦定理，结合题中条件，求出，再由，求出，进而可得出三角形的形状.【详解】因为，所以，，所以.又，所以，则的形状为最大角为钝角的等腰三角形.故选D【点睛】本题主要考查三角形的形状的判定，熟记余弦定理即可，属于常考题型.3、C【解析】

根据向量减法和用表示，再根据向量加法用表示.【详解】如图：因为，所以，故选C.【点睛】本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解.4、D【解析】，当时，对于∵对任意，存在，使得成立，，解得实数的取值范围是．

故选D．【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，5、A【解析】

由，可得到，然后根据反余弦函数的图象与性质即可得到答案.【详解】因为，所以，则.故选：A【点睛】本题主要考查反余弦函数的运用，熟练掌握反余弦函数的概念及性质是解决本题的关键.6、A【解析】

由已知求出，的值，再由，展开两角差的余弦求解，即可得答案．【详解】由，，且，，，，∴，∴，．故选：A．【点睛】本题考查两角和与差的余弦、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意“拆角配角”思想的运用.7、B【解析】

根据余弦函数有界性确定最值.【详解】因为-1≤cosx≤1，所以【点睛】本题考查余弦函数有界性以及函数最值，考查基本求解能力，属基本题.8、A【解析】

由方程得出直线的截距，逐个选项验证即可.【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，直线的横、纵截距分别为选项A，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，故A正确；选项B，只有当时，才有直线平行，故B错误；选项C，只有当时，才有直线的纵截距相等，故C错误；选项D，由的图象可得，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图像不对应，故D错误；故选：A【点睛】本题考查了直线的截距式方程，需理解截距的定义，属于基础题.9、C【解析】

根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可．【详解】A:=（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列．B:==与n有关系，因此不是等差数列.C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列；D:当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；故选：C【点睛】本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10、A【解析】

由正弦定理和，可得，在利用三角恒等变换的公式，化简得，即可求解.【详解】在中，由正弦定理，由，可得，又由，则，即，即，解得，所以为等腰三角形，故选A.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及三角形形状的判定，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化，合理利用三角恒等变换的公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】中，由余弦定理可得，∵，∴，化简可得．∵，∴，解得（当且仅当时，取等号）．故．再由任意两边之和大于第三边可得，故有，故的周长的取值范围是，故答案为．点睛：由余弦定理求得，代入已知等式可得，利用基本不等式求得，故．再由三角形任意两边之和大于第三边求得，由此求得△ABC的周长的取值范围．12、【解析】

直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于或等于半径.【详解】直线即，圆的圆心为，半径为，若直线与圆有交点，则，解得,故实数的取值范围是.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式是常用方法.13、【解析】

两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．【详解】圆与圆的方程相减得：，由圆的圆心，半径r为2，且圆心到直线的距离，则公共弦长为．故答案为．【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．14、【解析】

分别在和两种情况下进行讨论，当时，根据二次函数图像可得不等式组，从而求得结果.【详解】①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意②当，即时，不等式恒成立则需：解得：综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查不等式恒成立问题的求解，易错点是忽略不等式是否为一元二次不等式，造成丢根；处理一元二次不等式恒成立问题的关键是结合二次函数图象来得到不等关系，属于常考题型.15、【解析】

先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.【详解】依题意.所以方差为.故答案为：.【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.16、1【解析】

根据二次不等式和二次方程的关系，得到是方程的两根，由根与系数的关系得到的值.【详解】因为关于的不等式的解集为所以是方程的两根，，由根与系数的关系得，解得【点睛】本题考查一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，根与系数之间的关系，属于简单题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、投资人用亿元投资甲项目，亿元投资乙项目，才能在确保亏损不超过亿元的前提下，使可能的盈利最大.【解析】

设投资人分别用亿元、亿元投资甲、乙两个项目，根据题意列出变量、所满足的约束条件和线性目标函数，利用平移直线的方法得出线性目标函数取得最大值时的最优解，并将最优解代入线性目标函数可得出盈利的最大值，从而解答该问题.【详解】设投资人分别用亿元、亿元投资甲、乙两个项目，由题意知，即，目标函数为.上述不等式组表示平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.由图可知，当直线经过点时，该直线在轴上截距最大，此时取得最大值，解方程组，得，所以，点的坐标为.当，时，取得最大值，此时，（亿元）.答：投资人用亿元投资甲项目，亿元投资乙项目，才能在确保亏损不超过亿元的前提下，使可能的盈利最大.【点睛】本题考查线性规划的实际应用，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键就是列出变量所满足的约束条件，并利用数形结合思想求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18、（1）见解析（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.【解析】试题分析：（1）根据利润等于收入减成本列式：，由投入的肥料费用不超过5百元及实际意义得定义域，（2）利用基本不等式求最值：先配凑：，再根据一正二定三相等求最值.试题解析：解：（1）（）.（2）.当且仅当时，即时取等号.故.答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.19、（1）1；（2）【解析】

（1）将化简可得，再由平移变换可得，由在区间内的最大值为，可得的值；（2）解方程，可得所求相交点距离的最小值.【详解】解：（1）所以，，∴当时，即时，函数取得最大值，∴.（2）根据题意，令，，∴或，.解得或，.因为，当时取等号，∴相邻交点间距离的最小值是.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变化及三角恒等变换与三角函数的性质，属于中档题.20、答案不唯一，见解析【解析】

首先将方程化简为，再画出的图像，根据和交点的个数即可求出方程根的个数.【详解】由题知：，，.令，，图像如图所示：当或，即或时，无解，即方程无解.当，即时，得到，则方程有两个解.当，即时，得到在有两个解，则方程有四个解.当，即时，得到或，则方程有四个解.当，即时，得到在有一个解，则方程有两个解.当，即时，得到，则方程有一个解.综上所述：当或时，即方程无解，当时，方程有一个解.当或时，方程有两个解.当时，方程有四个解.【点睛】本题主要考查函数的零点问题，同时考查了分类讨论的思想，数形结合为解题的关键，属于难题.21