内蒙古自治区包头市2025届数学高一下期末学业水平测试模拟试题含解析

内蒙古自治区包头市2025届数学高一下期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量满足，．O为坐标原点，．曲线，区域．若是两段分离的曲线，则（）A． B． C． D．2．已知数列满足，（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，则A． B． C． D．3．（）A．0 B．1 C．-1 D．24．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的最小角为（）A． B． C． D．5．如图，为了测量山坡上灯塔的高度，某人从高为的楼的底部处和楼顶处分别测得仰角为，，若山坡高为，则灯塔高度是（）A． B． C． D．6．一支由学生组成的校乐团有男同学48人，女同学36人，若用分层抽样的方法从该乐团的全体同学中抽取21人参加某项活动，则抽取到的男同学人数为（）A．10 B．11 C．12 D．137．如果点位于第四象限，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角8．关于x的不等式ax－b>0的解集是，则关于x的不等式SKIPIF1<0≤0的解集是()A．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B．[－1,2]C．[1,2]D．(，1]∪[2，)9．圆心在(-1,0),半径为的圆的方程为()A． B．C． D．10．已知，，，则的最小值为（）A． B． C．7 D．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某县现有高中数学教师500人，统计这500人的学历情况，得到如下饼状图，该县今年计划招聘高中数学新教师，只招聘本科生和研究生，使得招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，且研究生的比例保持不变，则该县今年计划招聘的研究生人数为_______.12．若当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_____.13．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为__________．14．记为等差数列的前项和，若，则___________.15．在数列中，若，则____．16．下图中的几何体是由两个有共同底面的圆锥组成．已知两个圆锥的顶点分别为P、Q，高分别为2、1，底面半径为1．A为底面圆周上的定点，B为底面圆周上的动点（不与A重合）．下列四个结论：①三棱锥体积的最大值为；②直线PB与平面PAQ所成角的最大值为；③当直线BQ与AP所成角最小时，其正弦值为；④直线BQ与AP所成角的最大值为；其中正确的结论有___________.（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量.（1）求的值；（2）若，且，求.18．已知直线l：(a-2)y=(3a-1)x-1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点；（2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线l的方程．19．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率.20．某生产厂家生产一种产品的固定成本为4万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.8万元.已知销售收入（万元）满足（其中是该产品的月产量，单位：百台），假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？21．已知角的顶点与原点重合，其始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，若，且.（1）求的值；（2）求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

由圆的定义及平面向量数量积的性质及其运算可得：点P在以O为圆心，r为半径的圆上运动且点P在以Q为圆心，半径为1和2的圆环区域运动，由图可得解．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，由，则，即点P在以O为圆心，r为半径的圆上运动，又，则点P在以Q为圆心，半径为1和2的圆环区域运动，由图可知：当C∩Ω是两段分离的曲线时，r的取值范围为：3<r<5，故选：A．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，利用数形结合思想，将向量问题转化为圆与圆的位置关系问题，考查转化与化归思想，属于中等题.2、A【解析】

根据已知条件可以推出，当为奇数时，，当为偶数时，，因此去绝对值可以得到，，利用累加法继而算出结果．【详解】，即，或，又，．数列为递增数列，数列为递减数列，当为奇数时，，当为偶数时，，．．故选A．【点睛】本题主要考查了通过递推式求数列的通项公式，数列单调性的应用，以及并项求和法的应用。3、A【解析】

直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【详解】sin210°＝sin（180°+30°）+cos60°＝﹣sin30°+cos60°．故选A．【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题．4、A【解析】

由三角形大边对大角可知所求角为角，利用余弦定理可求得，进而得到结果.【详解】的最小角为角，则故选：【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形的问题，关键是明确三角形中大边对大角的特点，进而根据余弦定理求得所求角的余弦值.5、B【解析】

过点作于点，过点作于点，在中由正弦定理求得，在中求得，从而求得灯塔的高度．【详解】过点作于点，过点作于点，如图所示，在中，由正弦定理得，，即，，在中，，又山高为，则灯塔的高度是．故选．【点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．6、C【解析】

先由男女生总数以及抽取的人数确定抽样比，由男生总人数乘以抽样比即可得出结果.【详解】用分层抽样的方法从校乐团中抽取人，所得抽样比为，因此抽取到的男同学人数为人.故选C【点睛】本题主要考查分层抽样，熟记概念即可，属于常考题型.7、C【解析】

由点位于第四象限列不等式，即可判断的正负，问题得解.【详解】因为点位于第四象限所以，所以所以角是第三象限角故选C【点睛】本题主要考查了点的坐标与点的位置的关系，还考查了等价转化思想及三角函数值的正负与角的终边的关系，属于基础题.8、A【解析】试题分析：因为关于x的不等式ax－b>0的解集是，所以，从而SKIPIF1<0≤0可化为SKIPIF1<0，解得，关于x的不等式SKIPIF1<0≤0的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)，选A。考点：本题主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法。点评：简单题，从已知出发，首先确定a,b的关系，并进一步确定一元二次不等式的解集。9、A【解析】

根据圆心和半径可直接写出圆的标准方程.【详解】圆心为(-1,0),半径为，则圆的方程为故选：A【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，属于简单题.10、B【解析】

根据条件可知，，，从而得出，这样便可得出的最小值．【详解】；，且，；；，当且仅当时等号成立；；的最小值为．故选：．【点睛】考查基本不等式在求最值中的应用，注意应用基本不等式所满足的条件及等号成立的条件．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、50【解析】

先计算出招聘后高中数学教师总人数，然后利用比例保持不变，得到该县今年计划招聘的研究生人数.【详解】招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，则招聘后，该县高中数学教师总人数为，招聘后研究生的比例保持不变，该县今年计划招聘的研究生人数为.【点睛】本题主要考查学生的阅读理解能力和分析能力，从题目中提炼关键字眼“比例保持不变”是解题的关键.12、【解析】

用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值．【详解】设，是增函数，当时，，不等式化为，即，不等式在上恒成立，时，显然成立，，对上恒成立，由对勾函数性质知在是减函数，时，，∴，即．综上，．故答案为：．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．13、-1.【解析】分析：可建立坐标系，用平面向量的坐标运算解题．详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，∴，易知当时，取得最小值.故答案为－1．点睛：求最值问题，一般要建立一个函数关系式，化几何最值问题为函数的最值，本题通过建立平面直角坐标系，把向量的数量积用点的坐标表示出来后，再用配方法得出最小值，根据表达式的几何意义也能求得最大值．14、100【解析】

根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.【详解】得【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键．15、【解析】

根据递推关系式，依次求得的值.【详解】由于，所以，.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列某一项的值，属于基础题.16、①③【解析】

由①可知只需求点A到面的最大值对于②，求直线PB与平面PAQ所成角的最大值，可转化为到轴截面距离的最大值问题进行求解对于③④，可采用建系法进行分析【详解】选项①如图所示，当时，四棱锥体积最大，选项②中，线PB与平面PAQ所成角最大值的正弦值为，所以选项③和④，如图所示：以垂直于方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴，其中设,.,设直线BQ与AP所成角为，，当时，取到最大值，，此时，由于，，，所以取不到答案选①、③【点睛】几何体的旋转问题需要结合动态图形和立体几何基本知识进行求解，需找临界点是正确解题的关键，遇到难以把握的最值问题，可采用建系法进行求解.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）对等式进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可；（2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出的值，再由同角三角函数关系式结合的值求出的值，最后利用两角和的正弦公式求出的值即可.【详解】（1）；（2）因为，所以，而，所以，因为，，所以.因此有.【点睛】本题考查了已知平面向量的模求参数问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了两角差的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.18、（1）15，【解析】

（1）直线l方程可整理为：a3x-y+-x+2y-1=0，由直线系的知识联立方程组，解方程组可得定点；

（2）由题意可得a的范围，分别令【详解】（1）直线l方程可整理为：a3x-y联立3x-y=0-x+2y-1=0，解得x=∴直线恒过定点15（2）由题意可知直线的斜率k=3a-1∴a∈令y=0，得：x=1令x=0，得：y=-1∴S=1分母t=-3a当a=76∈此时S为最小值.故直线l的方程为：7即为：15x+5y-6=0【点睛】本题考查直线过定点问题，涉及函数最值的求解，属中档题．19、（1）分别抽取人，人，人；（2）【解析】

（1）频率分布直方图各组频率等于各组矩形的面积，进而算出各组频数，再根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）列出从名志愿者中随机抽取名志愿者所有的情况，再根据古典概型概率公式求解.【详解】（1）第组的人数为，第组的人数为，第组的人数为，因为第，，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽取的人数分别为：第组:；第组:；第组:.所以应从第，，组中分别抽取人，人，人.（2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件.记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者为，则从名志愿者中抽取名志愿者有:，，，，，，，，，，，，，，，共有种.其中第组的志愿者被抽中的有种，答：第组的志愿者有被抽中的概率为【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样和古典概型,注意列举所有情况时不要遗漏.20、（1）；（2）当月产量为8百台时，公司所获利润最大，最大利润为万元.【解析】

(1)由题可得成本函数G（x）＝4+,通过f（x）＝R（x）-G（x）得到解析式；(2)当x＞10时，当0≤x≤10时，分别求解函数的最大值即可．【详解】（1）由条件知成本函数G（x）＝4+可得