浙江省诸暨市2024届中考考前最后一卷数学试卷含解析

浙江省诸暨市浬浦中学2024年中考考前最后一卷数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.在一次体育测试中，10名女生完成仰卧起坐的个数如下：38,52,47,46,50,50,61,72,45,48,则这10名

女生仰卧起坐个数不少于50个的频率为（）

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

2.如图，由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是4m2,广告牌所占的面积是30m2

（厚度忽略不计），除重叠部分外，矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m2,设矩形面积是xn?,三角形

面积是ynA则根据题意，可列出二元一次方程组为（）

尤+y-4=30x+y=26j-4=30

(x-4)-(y-4)=20](y—4)—(x—4)=2

(x-4)-(y-4)=2

x-y+4=30

D.<

y=2

2

3.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB=L点A在函数y=—―（x<0）的图象上,

将此矩形向右平移3个单位长度到AIBIOICI的位置，此时点Ai在函数y=K（x>0）的图象上，COi与此图象交于

4.在-3,-1,0,1这四个数中，最小的数是（

A.-3B.-1C.0D.1

5.一组数据1,2,3,3,4,1.若添加一个数据3,则下列统计量中，发生变化的是（）

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

6.“辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，标准排水量57000吨，满载排水量67500吨，数据67500用科学记数

法表示为

A.675X102B.67.5X102C.6.75xl04D.6.75xl05

7.最小的正整数是（）

A.0B.1C.-1D.不存在

8.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设

原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（）

600_450600_450

B.

x-50xx+50x

600450600450

D.

x无+50xx-50

9.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE平分NBAD,分别交BC、BD于点E、P,连接OE,

NADC=60。，AB=-BC=1,则下列结论:

2

①NCAD=30。②BD=77③S平行四边形ABCD=AB«AC®OE=:AD⑤SAAPO=旦,正确的个数是（

)

12

A.2B.3C.4D.5

10.-工的相反数是（

)

2

1

A.-2B.2C.D.-

22

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图所示，把一张长方形纸片沿E尸折叠后，点、D,C分别落在点。'，。’的位置.若NEFB=65°，则NAE。'等

于________

«

12.某文化用品商店计划同时购进一批A、B两种型号的计算器，若购进A型计算器10只和B型计算器8只，共需

要资金880元；若购进A型计算器2只和B型计算器5只，共需要资金380元.则A型号的计算器的每只进价为

元.

13.使-2x-1有意义的x的取值范围是.

14.已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm,腰长为50cm,能从这块钢板上截得得最大圆得半径为cm

15.如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE/7AC,若SABDE：SACDE=1：3,贝！|SABDE：S

四边形DECA的值为.

D//\

BEC

16.在ABC中，NA：NB："=1：2：3,CD_LAB于点D,若AB=10,则BD=

17.计算：2cos60。一网+（5—兀）。=.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）有A,B两个黑布袋，A布袋中有两个完,全相同的小球，分别标有数字1和1.B布袋中有三个完全相

同的小球，分别标有数字-1,-1和-2.小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x,再从B布袋

中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为（x,y）.

（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；

（1）求点Q落在直线y=-x-1上的概率.

19.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC,做△ABC的外接圆。O,延长EC交。O于点D,连接BD、

AD,BC与AD交于点F分，ZABC=ZADBo

（1）求证：AE是。O的切线；

（2）若AE=12,CD=10,求。。的半径。

20.（8分）如图，。。是△ABC的外接圆，FH是。O的切线，切点为F,FH〃BC,连结AF交BC于E,ZABC

的平分线BD交AF于D,连结BF.（1）证明：AF平分NBAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4,DE=3,求AD

的长.

21.（10分）如图，已知平行四边形ABCD,点M、N分别是边DC、BC的中点，设AB=a，AD=b，求向量MN

22.（10分）某商场服装部分为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计

的这组销售额的数据，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题:

（1）该商场服装营业员的人数为,图①中m的值为；

（2）求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数.

23.（12分）为响应学校全面推进书香校园建设的号召，班长李青随机调查了若干同学一周课外阅读的时间”单位：

小时），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：O<?<7,B：7<r<14,C：14<r<21,D：

根据图中信息，解答下列问题：

⑴这项工作中被调查的总人数是多少？

⑵补全条形统计图，并求出表示A组的扇形统计图的圆心角的度数；

（3）如果李青想从。组的甲、乙、丙、丁四人中先后随机选择两人做读书心得发言代表，请用列表或画树状图的方法求

出选中甲的概率.

24.（14分）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球每筒的售价多15元，健民体育

活动中心从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元.该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各

是多少元？根据健民体育活动中心消费者的需求量，活动中心决定用不超过2550元钱购进甲、乙两种羽毛球共50筒,

那么最多可以购进多少筒甲种羽毛球？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解题分析】

用仰卧起坐个数不少于10个的频数除以女生总人数10计算即可得解.

【题目详解】

仰卧起坐个数不少于10个的有12、10、10,61、72共1个，

所以，频率=得=0.1.

故选C.

【题目点拨】

频数

本题考查了频数与频率，频率=

数据总和

2、A

【解题分析】

根据题意找到等量关系：①矩形面积+三角形面积-阴影面积=30；②（矩形面积-阴影面积）-（三角形面积-阴影

面积)=4,据此列出方程组.

【题目详解】

依题意得：

x+y-4=30

(x-4)-(y-4)=2°

故选A.

【题目点拨】

考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语,

找出等量关系，列出方程组.

3、C

【解题分析】

分析：先求出A点坐标，再根据图形平移的性质得出Ai点的坐标，故可得出反比例函数的解析式，把Oi点的横坐标

代入即可得出结论.

2

详解：•.,05=145，05,点A在函数y=——(x<0)的图象上，

x

当x=-l时,y=2,

/.A(-l,2).

•••此矩形向右平移3个单位长度到A与OiG的位置，

.•.31(2,0),

/.Ai(2,2).

•.•点4在函数y=±(x>0)的图象上，

X

k=4,

4

・••反比例函数的解析式为y=—,01(3,0),

x

ICiQU轴,

4

/.当x=3时,y=耳，

故选C.

点睛：考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，解题的关键是运用双曲线方程求出点A的坐标，

利用平移的性质求出点Ai的坐标.

4、A

【解题分析】

【分析】根据正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，即可得答案.

【题目详解】由正数大于零，零大于负数，得

-3<-1<0<1,

最小的数是-3,

故选A.

【题目点拨】本题考查了有理数比较大小，利用好“正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小”是解题关

键.

5、D

【解题分析】

AJ.,原平均数是：（1+2+3+3+4+1）4-6=3;

添加一个数据3后的平均数是：（1+2+3+3+4+1+3）+7=3;

.••平均数不发生变化.

B.；原众数是：3；

添加一个数据3后的众数是：3；

.••众数不发生变化；

CJ.•原中位数是：3；

添加一个数据3后的中位数是：3；

二中位数不发生变化；

DJ.•原方差是：（3-1丫+（3-2『+（3-3『x2+（3-4『+（3-5）2_5：

63

22222

沃4r人物率的+至口（3-1）+（3-2）+（3-3）X3+（3-4）+（3-5）10

添加1l一个数据3后的方差是：3------L_S-------L_S-------L---------1-------L_1-------!—=_；

77

••・方差发生了变化.

故选D.

点睛：本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键.

6、C

【解题分析】

根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为axion,其中lW|a|<10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值

以及n的值.在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当

该数小于1时，一n为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0).

【题目详解】

67500一共5位，从而67500=6.75x104,

故选C.

7、B

【解题分析】

根据最小的正整数是1解答即可.

【题目详解】

最小的正整数是1.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了有理数的认识，关键是根据最小的正整数是1解答.

8^B

【解题分析】

设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产(x+50)台机器，根据题意可得：现在生产600台所需时间与

原计划生产450台机器所需时间相同，据此列方程即可.

【题目详解】

设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产(x+50)台机器，由题意得：心_=里.

x+50x

故选B.

【题目点拨】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程.

9、D

【解题分析】

①先根据角平分线和平行得：NBAE=NBEA,则AB=BE=1,由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE

是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：NACE=30。，最后由平行线的性质可作判断；

②先根据三角形中位线定理得：OE=；AB=；,OE/7AB,根据勾股定理计算=孝和OD的长，可

得BD的长；

③因为NBAC=90。，根据平行四边形的面积公式可作判断；

④根据三角形中位线定理可作判断；

⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：SAAOE=SAEOC=-OE.OC=^,好也=:，代入可得结论.

28SAOP2

【题目详解】

©VAE平分NBAD,

AZBAE=ZDAE,

V四边形ABCD是平行四边形，

AAD/7BC,ZABC=ZADC=60°,

.\ZDAE=ZBEA,

AZBAE=ZBEA,

.\AB=BE=1,

•••△ABE是等边三角形，

AAE=BE=1,

VBC=2,

AEC=1,

AAE=EC,

AZEAC=ZACE,

,:ZAEB=ZEAC+ZACE=60°,

/.ZACE=30°,

VAD/7BC,

.\ZCAD=ZACE=30°,

故①正确；

@VBE=EC,OA=OC,

11

AOE=-AB=-,OE/7AB,

22

:.ZEOC=ZBAC=60°+30°=90°,

RtAEOC中,OC=卜—出='

V四边形ABCD是平行四边形，

:.ZBCD=ZBAD=120°,

AZACB=30°,

.*.ZACD=90o,

RtAOCD中，OD=立,

...BD=2OD=J7，故②正确;

③由②知：NBAC=90。,

:.SoABCD=AB*AC,

故③正确;

④由②知：OE是△ABC的中位线,

XAB=-BC,BC=AD,

2

.*.OE=-AB=-AD,故④正确；

24

⑤丁四边形ABCD是平行四边形,

/.OA=OC=—,

2

111百73

：•SAAOE=SAEOC=—OE*OC=—x—x--------9

22228

VOE/7AB,

.EPOE

**AP-AB-2

V1

.uPOE_

•,.SAAOP=-SAAOE=^X^=—,故⑤正确；

33812

本题正确的有：①②③④⑤，5个，

故选D.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算;

熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系.

10、D

【解题分析】

因为-工+工=0,所以的相反数是二.

2222

故选D.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、50°

【解题分析】

先根据平行线的性质得出NDEF的度数，再根据翻折变换的性质得出ND，EF的度数，根据平角的定义即可得出结论.

【题目详解】

；AD〃BC,NEFB=65。，

.,.ZDEF=65°,

XVZDEF=ZD,EF,

/.ND'EF=65°,

:.NAED'=50°.

【题目点拨】

本题考查翻折变换（折叠问题）和平行线的性质，解题的关键是掌握翻折变换（折叠问题）和平行线的性质.

12、40

【解题分析】

设A型号的计算器的每只进价为x元，B型号的计算器的每只进价为y元，根据“若购进A型计算器10只和B型计算

器8只，共需要资金880元；若购进A型计算器2只和B型计算器5只，共需要资金380元”，即可得出关于x、y的

二元一次方程组，解之即可得出结论.

【题目详解】

设A型号的计算器的每只进价为x元，B型号的计算器的每只进价为y元，

10x+8y=880

根据题意得：｛

2x+5y-380

答：A型号的计算器的每只进价为40元.

【题目点拨】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

1

13、x>-

2

【解题分析】

根据二次根式的被开方数为非负数求解即可.

【题目详解】

由题意可得：2x—1>0,解得：x>—.

2

所以答案为

2

【题目点拨】

本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.

14、15

【解题分析】

如图，等腰△ABC的内切圆。O是能从这块钢板上截得的最大圆，则由题意可知：AD和BF是△ABC的角平分线,

AB=AC=50cm,BC=60cm,

AZADB=90°,BD=CD=30cm,

.,.AD=7502-302=40(cm),

连接圆心O和切点E,贝(JNBEO=90。，

又；OD=OE,OB=OB,

/.ABEO^ABDO,

:.BE=BD=30cm,

:.AE=AB-BE=50-30=20cm,

设OD=OE=x,则)AO=40-x,

在RtAAOE中，由勾股定理可得：f+2()2=(40—x)2,

解得：%=15(cm).

即能截得的最大圆的半径为15cm.

故答案为：15.

点睛：(1)三角形中能够裁剪出的最大的圆是这个三角形的内切圆；(2)若三角形的三边长分别为a、b、c,面积为S,

2s

内切圆的半径为r,则〃=--—.

a+b+c

15、1：1

【解题分析】

根据题意得到BE：EC=1：3,证明ABEDs^BCA,根据相似三角形的性质计算即可.

【题目详解】

SABDE：SACDE=1：3,

/.BE：EC=1：3,

VDE/7AC,

/.△BED^ABCA,

BE

**•SABDE:SABCA=(-----)2—1:16,

BC

••SABDE：S四边形DECA=1：1,

故答案为1：1.

【题目点拨】

本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

16、2.1

【解题分析】

先求出△ABC是NA等于30。的直角三角形，再根据30。角所对的直角边等于斜边的一半求解.

【题目详解】

解：根据题意，设NA、NB、NC为k、2k、3k,

贝！］k+2k+3k=180。，

解得k=30。，

2k=60°,

3k=90°,

VAB=10,

1

/.BC=-AB=1,

2

VCD1AB,

...NBCD=NA=30。，

1

.,.BD=-BC=2.1.

2

故答案为2.1.

【题目点拨】

本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握30。角所对的直角边等于斜边的一半、求出

△ABC是直角三角形是解本题的关键.

17、1

【解题分析】

解：原式=2义2+1=1—2+1=1.故答案为1.

2

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)见解析;(l)g

【解题分析】

试题分析：先用列表法写出点Q的所有可能坐标，再根据概率公式求解即可.

(1)由题意得

11

-1(1,-1)(1,-1)

-1(1,-1)(1,-1)

-2(1,-2)(1--2)

(1)共有6种等可能情况，符合条件的有1种

P(点Q在直线y=-xT上)=-.

考点：概率公式

点评：解题的关键是熟练掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数的比值.

19、(1)证明见解析；(2)更也.

7

【解题分析】

(1)作辅助线，先根据垂径定理得：OA_LBC,再证明OALAE,则AE是。O的切线；

AFCF

(2)连接OC,证明AACEsaDAE,得——=—,计算CE的长，设。。的半径为r,根据勾股定理得：r2=62+

DEAE

(r-2，7)2,解出可得结论.

【题目详解】

(1)证明：连接OA,交BC于G,

A

VZABC=ZADB.ZABC=ZADE,

/.ZADB=ZADE,

初=，

AOAIBC,

V四边形ABCE是平行四边形,

，AE〃BC,

/.OA±AE,

；.AE是。O的切线；

(2)连接OC,

VAB=AC=CE,

/.ZCAE=ZE,

V四边形ABCE是平行四边形,

；.BC〃AE,ZABC=ZE,

:.ZADC=ZABC=ZE,

AECE

.,.△ACE^ADAE,

DE~AE

；AE=12,CD=10,

/.AE2=DE»CE,

144=(10+CE)CE,

解得：CE=8或-18(舍),

.\AC=CE=8,

=2

.♦.RtAAGC中，AG=782-62A/7

设。O的半径为r,

由勾股定理得：r2=62+(r-2币)2,

7

则。O的半径是屿也.

7

【题目点拨】

此题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解

本题的关键.

20、【小题1】见解析

【小题2】见解析

,>1

【小题3】

【解题分析】

证明：(1)连接OF

，FH切O于点F

/.OF±FH.........................................1分

VBC||FH

/.OF±BC..........................................2分

/.BF="CF"................................................3分

:.ZBAF=ZCAF

即AF平分NBAC.............................4分

(2)VZCAF=ZCBF

又NCAF=NBAF

.\ZCBF=ZBAF..........................................6分

VBD平分NABC

:.ZABD=ZCBD

ZBAF+ZABD=ZCBF+ZCBD

即/FBD=NFDB..........................................7分

.,.BF="DF".........................................8分

(3)VZBFE=ZAFBZFBE=ZFAB

...ABEFSAABF.........................................9分

RFrp

，二==即BF2=EFAF..................................10分

HFBF

VEF=4DE=3.*.BF=HDFH=4+3=7

AF=AD+7

I1

即4(AD+7)=49解得AD==

21、答案见解析

【解题分析】

试题分析：连接BD,由已知可得MN是ABCD的中位线，则MN=^BD,根据向量减法表示出BD即可得.

2

试题解析：连接BD,

1•点M、N分别是边DC、BC的中点，，MN是ZkBCD的中位线，

，MN〃BD,MN=-BD,

2

VDB=AB-AD=a-b>

：.MN=-a--b.

22

22、(1)25；28；(2)平均数：1.2；众数：3；中位数：1.

【解题分析】

(1)观察统计图可得，该商场服装部营业员人数为2+5+7+8+3=25人，m%=L32%-12%-8%-20%=28%,即m=28；

(2)计算出所有营业员的销售总额除以营业员的总人数即可的平均数；观察统计图，根据众数、中位数的定义即可得

答案.

【题目详解】

解：⑴根据条形图2+5+7+8+3=25(人)，

m=100-20-32-12-8=28；

故答案为：25；28；

(2)观察条形统计图，

_12x2+15x5+18x7+21x8+24x3…

*.*x=-----------------------------------------------------------------=18.6.

25

这组数据的平均数是1.2.

•.•在这组数据中，3出现了8次，出现的次数最多，

•••这组数据的众数是3.

•.•将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是1,

二这组数据的中位数是1.

【题目点拨】

此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识.找中位数要把数据按从小到大的顺

序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中