内蒙古联盟2024届高三年级下册联合质量检测文科数学试题

内蒙古名校联盟2024届高三下学期联合质量检测文科数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合4={-3,-1,1,3},8={X卜242-X42},则/口8=（）

A.{-3,-1}B.{153}

C.{-1/}D.{-1,1,3}

2.已知复数z满足匕=l+4i,则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知椭圆+==1的离心率为且，则m=（）

m+2m3

A.±V2B.±2C.±2也D.±4

4.设c,6是两个不同的平面，m,/是两条不同的直线，且an£=/贝上加///”是“m/R

且机〃a”的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

x+3y-1>0,

5.若x，>满足约束条件2x-y-lV0则目标函数z=y-4x的最小值为（）

y-2<0,

A.-8B.-6C.-4D.2

6.三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会

的概率为（）

A.gB.|C.|D-|

7.记等差数列{%}的前〃项和为%若%=2,«14=8,贝36=（）

A.140B.70C.160D.80

8.执行如图所示的程序框图后，输出的值为7,则〃的取值范围是（）

试卷第1页，共4页

A.(4,9]B.[4,9)C.(4,9)D.[4,9]

9.已知函数〃无）=2卜碎°",现有下列四个结论：①是偶函数；②〃x）是周期为兀的

周期函数；③/（力在卜「，彳5兀］1上单调递减；④/（力的最小值为拳6.其中所有正确结论的编

号是（）

A.①③B.③④C.①②④D.①③④

10.若过点（。,2）可以作曲线y=lnx的两条切线，则。的取值范围为（）

A.（-℃,e2）B.（-oo,ln2）

C.（0,e2）D.（O,ln2）

22

11.设4,4是双曲线C：5一方=1（°°，°片6）的两条渐近线，若直线4与直线y=x

关于直线4对称，则双曲线C的离心率的平方为（）

A.5±273B.5±2A/2C.8±4A/3D.8±4也

12.已知奇函数〃x）的定义域为Rj（x+3）=-/（r）,且"2）=0,则〃x）在［0,6］上的

零点个数的最小值为（）

A.7B.9C.10D.12

二、填空题

13.若log23，=l,贝|9-，=.

试卷第2页，共4页

14.已知单位向量的夹角为］，卜-砌=百，贝!］加=.

15.在平行四边形/BCD中，AB=l,AD=y/2,ZA=-,沿AD将△48。折起，则三棱锥

4

A-BCD的体积最大时，三棱锥A-BCD外接球的表面积为.

16.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次(1个正常细菌分裂成2个正常

细菌和1个非正常细菌)，非正常细菌每小时分裂1次(1个非正常细菌分裂成2个非正常

细菌).若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为.

三、解答题

17.现统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据:

甲777377818581778593737781

乙7181737371738573

己知甲12次投篮次数的平均数7=80,乙8次投篮次数的平均数兀=75.

(1)求这20次投篮次数的中位数相，估计甲每次训练投篮次数超过用的概率；

(2)求这20次投篮次数的平均数最与方差52.

18.在“8C中，内角4民C的对边分别为a,6,c,且(a-V^6)cosC=c(V^cosB-coM).

⑴求2的值；

a

(2)若B=2C,证明：为直角三角形.

7T

19.如图，在三棱柱/3C-44C］中，CA=CB=2,四边形为菱形，NABB苫.

(1)证明：ABlBtC.

⑵已知平面N3C1平面,AC,1BXC,求四棱锥&-8CC4的体积.

试卷第3页，共4页

20.已知O为坐标原点，厂是抛物线Uy?=2〃x(p>0)的焦点，M是。上一点，且

3

\MF\=\MO\=~.

(1)求C的方程；

⑵42是C上两点(48异于点O),以48为直径的圆过点0,0为的中点，求直线。。

斜率的最大值.

21.已知函数f(x)=V-◎+21nx.

⑴讨论/(无)的单调性；

⑵若。>0J(x)〈e”恒成立，求。的取值范围.

X=t+12

22.已知直线/：ta为参数)，曲线C：—+/=1.

['-14

(1)求/的普通方程和曲线C的参数方程；

⑵将直线/向下平移a(a>0)个单位长度得到直线4，尸是曲线c上的一个动点，若点尸到

直线4的距离的最小值为手，求。的值.

23.已知函数/(x)=|x+2]+|x+a

(1)当。=-1时，解不等式x+8；

⑵当了4-4,-2]时，/(x)V7+x恒成立，求实数”的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】首先求解集合5,再求交集.

【详解】依题意得八{力242-x<2}=[0,4],且4={-3,-1,1,3},则45={1,3}.

故选：B

2.D

【分析】设2=a+6i(q,b£R),代入利用相等复数的概念可求z,进而可得结论.

【详解】设z=a+6i(q,b£R),因为iz=l+4i,所以i(a+bi)=—b+ai=l+4i,

[a=4

所以即z=4-i,所以复数z在复平面内对应的点为(4,-1),位于第四象限.

[匕=

故选：D.

3.B

【分析】根据椭圆的方程，结合离心率的定义和求法，列出方程，即可求解.

22

【详解】由椭圆+\=可得/=加+2,b-=m2,则c2=a2_〃=2,

m+2m

29<6丫

所以e2===^巨，解得加=±2.

a-m-+2I3J

故选：B.

4.C

【分析】根据题意，利用线面平行的判定定理与性质定理，结合充分条件、必要条件的判定

方法，即可求解.

【详解】当加/〃时，加可能在a内或者尸内，故不能推出加〃£且加//a,所以充分性不成

立；

当m//。且加〃a时，设存在直线“ua,〃<z〃，且

因为〃?//〃，所以〃//力，根据直线与平面平行的性质定理，可知〃〃/,

所以用/〃，即必要性成立，故“加///”是“机〃/且机//a”的必要不充分条件.

故选：C.

5.C

【分析】画出可行域，利用>=4x+z的几何意义，即可求出结果.

答案第1页，共12页

\y-2=03

【详解】画出可行域如图所示，由:1八，解得、=：/=2,

[2x-y-l=02

如图，当/：y-4x=0过点C（|,2]时，，取得最小值，且最小值为z=2-4xg=-4.

、产2=01J

y=^xlAI

2x-y-\=^|/

故选：C.

6.B

【分析】列举基本事件空间，可得概率.

【详解】设三人为A,B,C,则参加晚会的情况有A,B,C,AB,AC,BC,ABC,

共7种情况，

其中恰有一人参加晚会的情况有3种，

故所求的概率为彳3，

故选：B.

7.D

【分析】由等差数列的性质和等差数列的前〃项和公式求解即可.

【详解】因为｛与｝是等差数列，所以6+%6=%+%4=10，

故儿=16（%;%6）=80.

故选：D.

8.A

【分析】根据给定的程序框图，运行程序并分别求出〃=5,〃=7时的〃值即可.

【详解】依题意，当S<P时，执行循环体，当时，结束循环，输出〃=7,

运行程序框图，”=l,S=0；S=l,〃=3；S=l+3=4,〃=5；S=4+5=9,〃=7,结束循环,

所以P的取值范围为（4,9].

故选：A

9.D

答案第2页，共12页

【分析】利用偶函数和周期函数的定义，就可以判断①②，利用分段函数思想去掉绝对值,

就可以得到函数的单调性和最值，从而可以判断③④.

【详解】因为〃r）=/（x）,/（x）的定义域为全体实数，所以/'（x）是偶函数，①正确；

/（x+7t）==2-|sinx|cosx/（x）,②错误;

57r1

当XW7：,-^-时,/（X）=2同间cosx=2—sinxcosx=1n2”,

5元157r

因为2xe2K,--,所以＞=-穴由21在TT,--上单调递减，

_2J214_

5JT

又＞=2、单调递增，所以/（X）在71,—上单调递减，③正确；

因为/（x+2无）=/（x）,所以/'（X）是周期为2兀的周期函数，

；sin2x

当xe[0,2可时，〃月=2何加=尸：”[。，兀]，

——sin2x,..

22,XG（7l,27r],

则/（X）的最小值为2-=[,④正确.

故选：D.

10.C

【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义求出切线方程，代入（。,2）,得至1露=况-/1皿,

构造/⑺=3”“皿八（0,+8）,求导，得到函数单调性，从而得到/⑺1mx=/"）=62,结

合当，«0,巧时，/（0＞0,当代6,+8）时，/（0＜0,从而得到答案.

【详解】在曲线＞=liw上任取一点尸&1皿），对函数y=lnx求导，得"L

X

所以曲线》=lnx在点尸处的切线方程为y-1W=；（XT）.

由题意可知，点（。,2）在直线＞-1皿=；（工-。上，可得。=3，-〃m.

令=ZlnZ,/G（0,+oo）,则/（）=3-ln/-1=2-In/.

当女工+8）时,/'⑺＜0J⑺单调递减，

当小（04）时，/'⑺＞0J⑺单调递增，

所以“）2=/伊）=屋，且当，«0,匐时，/（/）＞0,当以"收）时,/（?）＜0,

答案第3页，共12页

又直线夕=。与曲线了=/（。的图象有两个交点，

所以0的取值范围为（0,e2）.

故选：C

11.C

【分析】设4的倾斜角为。，分为和由两角差与和的正切公式由求出

tan。，即可求出2,进而求出双曲线C的离心率的平方.

a

【详解】由题可知4经过第二、四象限，4经过第一、三象限，设4的倾斜角为。.

当时，则36»=四,即。tan6»=tan|---|=2-V3,

I412146J

L.272

即—=2—所以e2=J"=ln——=8-4-\^~.

aa/

当时，28+6—：=兀，即6=1|，tane=tan[[+；）=e+2,

即—=2+V3,所以/==1+=8+4.

aaa

综上，双曲线。的离心率的平方为8±4百.

故选：C.

12.B

【分析】由已知可得“X）的图象关于点[，0｝寸称，周期为3,据此计算可得/（X）在[0,6]

上的零点个数的最小值为9.

【详解】由〃x+3）=-/（r）,可得"X）的图象关于点（1,0:寸称，

又“X）是奇函数，所以/（x+3）=-/（一力=/（尤）,则〃x）的周期为3,

所以/（0）=〃3）=〃6）=0，/（2）=〃5）=/（-2）=〃1）=/（4）=0,〃1.5）=-/（1.5）,

答案第4页，共12页

则〃1.5)=f(4.5)=0.故/(x)在［0,6］上的零点个数的最小值为9.

m/(x)=sin^l+2cos^L显然满足题意，且恰好在［0,6］上有9个零点.

故选：B.

13.-/0.25

4

【分析】根据对数式与指数式的互化可得3、=2,利用指数幕的运算可得结果.

【详解】由log23'=l,可得3,=2,则9T=3-2，=(3'『2=2-2=；.

故答案为：~.

4

14.-1或2

【分析】首先求出鼠几再将口-机4=6两边平方，根据数量积的运算律得到方程，解得

即可.

【详解】因为单位向量小的夹角为g,所以£/=琲际5=1义卜91

又因为卜-机4=6,所以.回-a-2ma-b+mib'-3,

所以l-〃z+/=3,解得"z=T或=2.

故答案为：-1或2

15.3兀

【分析】根据条件，利用余弦定理得,由题知431平面BCD时，三棱锥N-3CD

的体积最大，再将三棱锥”-3。补全为正方体，将问题转化成求正方体的外接球半径，即

可解决问题.

【详解】在△/助中，AB=l,AD=y/2,ZA=~,

4

由余弦定理得BO?=402+2•/及os/=1+2—2x1历史=1,

2

得到8。=1,所以,则A8L5。，

由题可知，当481平面8co时，三棱锥/-BCD的体积最大，

如下图，可将三棱锥/-BCD补全为正方体，

则三棱锥/-3。外接球的半径即为正方体外接球的半径，易知2R=AC=@,

所以&=3，故三棱锥A-BCD外接球的表面积为S=4成2=3Tl,

2

答案第5页，共12页

故答案为：37c.

16.217/131072

【分析】设经过〃小时，有与个正常细菌，。个非正常细菌，贝|。用=2%,bn+l=an+2b„,

由等比数列的性质求出｛%｝的通项公式，再证得是与首相和公差均为g的等差数列,

即可求出｛“｝的通项公式，进而求出答案.

【详解】设经过〃小时，有对个正常细菌，。个非正常细菌,

则%+i=2%,bn+l=an+2bn.

又%=2,4=1,所以%=2",bn+l=2bn+2",

“2向2"2""2向2"2

所以1/，是首项和公差均为g的等差数列，

所以与=!+!（"一1）=巴，

所以“=小2"7,所以％4+44=214+14X213=16X213=2。

故答案为：2".

17.⑴加=77,g

（2）平均数为78,方差为33

【分析】利用中位数、平均数和方差的公式直接计算即可.

【详解】（1）将这20个数据从小到大排列，第10个数和第11个数都是77,所以

因为甲的12次投篮训练中，投篮次数超过77次的有6次,

答案第6页，共12页

估计甲每次训练投篮次数超过m的概率为尸=三=2

122

(2)这20次投篮次数的平均数1=葛1+=3X8°；X75=78,

方差

2I2+52+12+32+72+32+12+72+152+52+12+32+72+32+52+52+72+52+72+52

52=-------------------------------------------------------------------------------------------------------------=33

20

18.(1)72

(2)证明见解析

【分析】(1)由正弦定理和逆用正弦和角公式得到6=缶，求出答案；

(2)由(1)得到sinS=V2sirL4，结合B=2C,得到sin2C=V2sin2CcosC+V2cos2CsinC>

化简得到cosC=变，C=r，2=W，得到答案.

242

【详解】(1)由(〃一行3cosc=c(J^cosH—cos/),

可得acosC+ccosA=V2(bcosC+ccosB),

所以siib4cosc+sinCcosZ=>/2(sin^cosC+sinCcos5),

所以sinB=V2sin/，

贝Ub=0a，即2=板.

a

(2)证明：由(1)可得sia8=V^siiL4.

又B=2C,所以sin2C=A/Isin(8+C)=Ssin3C,

即sin2C=后sin(2C+C)=^sin2CcosC+出cos2CsinC,

故2sinCcosC=2^2sinCcos2C+V2COS2CsinC>

所以2cosc=2及cos2c+2夜cos2c-夜，

即4任os2c-2cosC-V2=0.

因为3=2C,所以C为锐角，

解得cosC=，^(负值舍去)，即C=；，B=；，

所以为直角三角形.

19.(1)证明见解析

(2)2

答案第7页，共12页

【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直;

（2）证明线面垂直，根据Q-BCC画=2嗫「CBB,=2七一4两可得解.

【详解】（1）设。为月8的中点，连接CO,BQ,AB],BJ,

因为C4=C5,所以48_L0C,

jr

因为四边形/8月4为菱形，^ABBt=1,所以A/3片为等边三角形,

贝I]AB1OB,,

又ocno4=o,所以N8/平面oqc,

因为ACu平面020,所以48，可。；

（2）因为AC^AB=A,所以及。，平面A8G，

因为BQu平面4BC「所以8C]，4C,

所以四边形8CG4为菱形，即2C=A8]=2,

因为平面48CJ■平面48耳4,且平面45Cc平面4844=N8,ABVOC,

所以OC_L平面，且。。=百，

Jr27r

又因为N/AB|=W，则=

/圈=BB]=2

故

〃-BCC百=2叱「C3=204鸣=2x；xSMB|BX℃=2x卜,邛加ysinUB邛x°C=2x；*；-2x2x1-xXT2

答案第8页，共12页

20.(1)/=4x

(2)手

4

【分析】（1）首先由条件求得点”的横坐标，再根据焦半径公式，即可求解；

（2）首先联立直线与抛物线方程，利用结合坐标运算，求得点。的坐标，再表

示直线。。的斜率，即可求解.

【详解】（1）由抛物线的定义可知尸（5,oj

因为|KF|=|MO|,所以XM=£.

因为|叫=：,所以卜勺解得°=2,故C的方程为产=4x.

（2）由题意知48斜率不为0,设/区,灯）,8（与,力）,/:尤=叩+乙

x=my+t,c

联"方程<2A得y---4/=0,A>0,

[y=4x,

则外+为=4%为力=-4?

因为以43为直径的圆过点。，所以CM_LO8,则/乙+为为=0,

22

即学卷+»力=0,

解得"%=T6=-4t,所以f=4.

又猫+马=俄（力+%）+8=4疗+8,所以0（2加2+4,2加）

当m=0时，k0Q=0,

\

2mm1V2

当加w0时，koQe--,0u0,—

2m2+4m2+224，4

m-\——7\

m

故直线。。斜率的最大值为字

答案第9页，共12页

y/

21.(1)答案见解析

,+oo

【分析】(1)求导得/'3=2/丁+2,分类讨论可求单调区间；

(2)由已知可得*2+lnYVe^+ax，令g(x)=e*+x,可得8加/)Vg(ax),进而由g(x)

单调性可得则V：,求得函数期的最大值即可.

x2x

【详解】(1)7•(X)的定义域为(o,+⑹/(x)=2x-a+：=2dr+2.

关于x的方程2--ax+2=0,A=a2-16,

当Q«4时，A<0,<(x)>0,所以/(%)在(0,+。)上单调递增.

当。〉4时，则再="'〃T6="+2T6是方程_◎+2=0的两根.

1424

又再入2=1，再+X2=m>°'所以0<%<%2，

令/(x)>o,解得x<nii或》>"四三1,

44

令r(x)<0,解得"扬2T6

44

所以“X)在0,1：T6和a+Jf16,+F］上单调递增,在

7\/

纥丁,”丁)上单调递减.

,nx22

(2)由〃x)«e“x,可得/+21nx«,BPe+lnx<e^+ax-

令g(x)=e*+x,易知g(x)单调递增.

答案第10页，共12页

由6晟+lny2Ves+办，可得g（ln/）（"），则Inx?Vax,即?V^|.

设内口）=?，贝小“卜三"，当X>e时，〃（x）<O,4x）单调递减，

当0<x<e时，”（无）>0,〃3单调递增，所以/x）1rax=鲂=1,

ee

所以旌L则0的取值范围为12,+/.

2eLe；

【点睛】关键点点睛：本题第2小问的解决关键是，转化/⑺口"得e"+lnx24y+办，

从而利用同构法即可得解.

x3fx=2cos。

22.