云南省玉溪市新平县2024届中考联考数学试卷含解析

云南省玉溪市新平县2024届中考联考数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.对于任意实数k,关于x的方程x?—2（k+l）x—k?+2k—1=0的根的情况为

A.有两个相等的实数根B.没有实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

2.图1〜图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：

弧①是以O为圆心，任意长为半径所

画的弧；弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；弧④是以P为圆

心，任意长为半径所画的弧；

其中正确说法的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

3.如图：A、B、C、D四点在一条直线上，若AB=CD,下列各式表示线段AC错误的是（）

•・♦.

ABCD

A.AC=AD-CDB.AC=AB+BC

C.AC=BD-ABD.AC=AD-AB

4.下列事件是必然事件的是（）

A.任意作一个平行四边形其对角线互相垂直

B.任意作一个矩形其对角线相等

C.任意作一个三角形其内角和为360°

D.任意作一个菱形其对角线相等且互相垂直平分

5.如图，在平面直角坐标系中，AABC与AAiBiCi是以点P为位似中心的位似图形，且顶点都在格点上，则点P的

坐标为（）

b

6.已知抛物线y=ax?+bx+c与反比例函数y=—的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1,则一次函数y=bx+ac

X

的图象可能是（）

7.2017年人口普查显示，河南某市户籍人口约为2536000人，则该市户籍人口数据用科学记数法可表示为（）

s7

A.2.536x1()4人B.2.536x10AC.2.536x1()6人D2.536xlOA

8.下列说法不正确的是（）

A.选举中，人们通常最关心的数据是众数

B.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大

C.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为5甲2=0.%S乙2=0.6,则甲的射击成绩

较稳定

D.数据3,5,4,1,-2的中位数是4

9.函数y='+JT万自变量x的取值范围是（）

x-3

A.x>lB.应1且x#3C.灯3D.l<x<3

10.已知：二次函数y=ax?+bx+c（a声1）的图象如图所示，下列结论中：①abc>l；②b+2a=1；③a-bvm（am+b）（m齐1）；

④ax2+bx+c=l两根分别为-3,1；⑤4a+2b+c>L其中正确的项有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA的距离为m,点P到射线OB的距离为n,则m________n.（填

12.（2017黑龙江省齐齐哈尔市）如图，在等腰三角形纸片A5C中，AB^AC=10,BC=12,沿底边5c上的高剪

成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是.

13.一个不透明口袋里装有形状、大小都相同的2个红球和4个黑球，从中任意摸出一个球恰好是红球的概率是

14.已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，根据图中信息请写出不等式ax+bN2的解集为.

15.在我国著名的数学书《九章算术》中曾记载这样一个数学问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不

足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，

问合伙人数、羊价各是多少？设羊价为X钱，则可列关于X的方程为.

16.若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图，则化简：2|a+c|+J加_2庆+°2+3|a-b|=

17.如图，AB是。。的直径，弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,ZAPC=30°,则CD的长为

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）定义：如果把一条抛物线绕它的顶点旋转180。得到的抛物线我们称为原抛物线的“挛生抛物线”.

⑴求抛物线J=x2-2x的“李生抛物线”的表达式；

⑵若抛物线y=》2-2x+c的顶点为。，与y轴交于点C,其“李生抛物线”与y轴交于点。，请判断A的形状，并

说明理由：

⑶已知抛物线y=/-2x-3与y轴交于点C,与x轴正半轴的交点为A,那么是否在其“李生抛物线”上存在点P,在

y轴上存在点。，使以点A、C、P、。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出尸点的坐标；若不存在，说明理

由.

19.（5分）如图，RtAABC,CA±BC,AC=4,在AB边上取一点D,使AD=BC,作AD的垂直平分线，交AC

边于点F,交以AB为直径的。O于G,H,设BC=x.

（1）求证：四边形AGDH为菱形；

（2）若EF=y,求y关于x的函数关系式；

（3）连结OF,CG.

①若△AOF为等腰三角形，求。O的面积；

②若BC=3,则而CG+9=.（直接写出答案）.

A/-----

20.（8分）如图，直线>=左述+仇与第一象限的一支双曲线y=一交于A、B两点,A在B的左边.

⑴若仇=4,B（3,l）,求直线及双曲线的解析式：并直接写出不等式+4的解集;

⑵若A（l,3）,第三象限的双曲线上有一点C,接AC、BC,设直线BC解析式为y=kx+b；当AC_LAB时,求证：k为定值.

21.（10分）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此

项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.甲，乙两公司单

独完成此项工程，各需多少天？若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

22.（10分）计算：（-1）2。18+（-1）-2-12-712l+4sin60°；

23.（12分）某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐，餐品为四样A：菜包、B：面包、C：鸡蛋、

D：油条.超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个.

（1）按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）；

（2）请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率.

24.（14分）先化简，再求值：（1--------）十，二，其中a=-L

6/+1a—1

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解题分析】

判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式A=b2-4ac的值的符号即可:

Va=l,b=—2（k+l）,c=-k2+2k—1»

/.A=b2-4ac=[-2（k+1）]2-4x1x（-k2+2k-1）=8+8k2>0.

此方程有两个不相等的实数根.故选C.

2、C

【解题分析】

根据基本作图的方法即可得到结论.

【题目详解】

解：(1)弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；

(2)弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；

(3)弧③是以A为圆心，大于，AB的长为半径所画的弧，错误；

2

(4)弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确.

故选C.

【题目点拨】

此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法.

3、C

【解题分析】

根据线段上的等量关系逐一判断即可.

【题目详解】

A、VAD-CD=AC,

,此选项表示正确；

B、VAB+BC=AC,

•••此选项表示正确；

C、VAB=CD,

；.BD-AB=BD-CD,

,此选项表示不正确；

D、；AB=CD,

.,.AD-AB=AD-CD=AC,

,此选项表示正确.

故答案选：C.

【题目点拨】

本题考查了线段上两点间的距离及线段的和、差的知识，解题的关键是找出各线段间的关系.

4、B

【解题分析】

必然事件就是一定发生的事件，根据定义对各个选项进行判断即可.

【题目详解】

解：A、任意作一个平行四边形其对角线互相垂直不一定发生，是随机事件，故本选项错误；

B、矩形的对角线相等，所以任意作一个矩形其对角线相等一定发生，是必然事件，故本选项正确；

C、三角形的内角和为180。，所以任意作一个三角形其内角和为360°是不可能事件，故本选项错误；

D、任意作一个菱形其对角线相等且互相垂直平分不一定发生，是随机事件，故选项错误，

故选:B.

【题目点拨】

解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能

事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事

件.熟练掌握相关图形的性质也是解题的关键.

5、A

【解题分析】

延长AiA>BiB和CiC,从而得到P点位置，从而可得到P点坐标.

【题目详解】

如图，点P的坐标为(-4,-3).

故选A.

【题目点拨】

本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样

的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

6、B

【解题分析】

分析：根据抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=2的图象在第一象限有一个公共点，可得b>0,根据交点横坐标为1,

X

可得a+b+c=b,可得a,c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.

详解：；抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=2的图象在第一象限有一个公共点，

X

.\b>0,

;交点横坐标为1,

a+b+c=b,

，a+c=O,

/.ac<0,

...一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限.

故选B.

点睛：考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到b>0,ac<0.

7、C

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中lW|a|V10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成“时，小数点移

动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值“时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

【题目详解】

2536000人=2.536x106人.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中lW|a|V10,”为整数，表示时关键

要正确确定a的值以及n的值.

8、D

【解题分析】

试题分析：A、选举中，人们通常最关心的数据为出现次数最多的数，所以A选项的说法正确；

B、从1,2,3,4,5中随机抽取一个数，由于奇数由3个，而偶数有2个，则取得奇数的可能性比较大，所以B选

项的说法正确；

C、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为5甲2=0.%S乙2=0.6,则甲的射击成绩

较稳定，所以C选项的说法正确；

D、数据3,5,4,1,-2由小到大排列为-2,1,3,4,5,所以中位数是3,所以D选项的说法错误.

故选D.

考点：随机事件发生的可能性（概率）的计算方法

9、B

【解题分析】

由题意得，

x-l>0且x-3^0,

.,.x>l且x/3.

故选B.

10>B

【解题分析】

根据二次函数的图象与性质判断即可.

【题目详解】

①由抛物线开口向上知：a>l;抛物线与y轴的负半轴相交知cVl;对称轴在y轴的右侧知:b>l;所以:abc<l,故①错误;

b

②对称轴为直线X=-1,.1——=-1,即b=2a,

2a

所以b-2a=1.故②错误；

③由抛物线的性质可知，当x=-l时,y有最小值，

即a-b+c<a〉+加7+c(mW—1),

即a-b<m(am+b)(mW-1),

故③正确；

④因为抛物线的对称轴为x=l,且与x轴的一个交点的横坐标为1,所以另一个交点的横坐标为-3.因此方程ax+bx+c=l

的两根分别是1,-3.故④正确；

⑤由图像可得，当x=2时，y>L

即：4a+2b+c>l,

故⑤正确.

故正确选项有③④⑤，

故选B.

【题目点拨】

本题二次函数的图象与性质，牢记公式和数形结合是解题的关键.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、>

【解题分析】

由图像可知在射线0尸上有一个特殊点0,点°到射线的距离0。=⑦,点°到射线08的距离0C=1，于是可知

NAOP>4OP，利用锐角三角函数sm41OP>sin40尸，即可判断出加〉〃

【题目详解】

由题意可知：找到特殊点0,如图所示:

设点0到射线Q4的距离0£)9点0到射线的距离oc

由图可知0。=0C=1

"sin44OP===,'sin&O尸=),

,•sin440尸>sin40尸，

.mn

"OP>OP

Am>n

【题目点拨】

本题考查了点到线的距离，熟知在直角三角形中利用三角函数来解角和边的关系是解题关键.

12、10,2回,4713.

【解题分析】

解：如图，过点A作AOJ_3c于点。，’.•△ABC边A8=AC=10,3c=12,：.BD^DC=6,：.AD^8,如图①所示：可得

四边形AC5O是矩形，则其对角线长为：10；

如图②所示：AD=8,连接8C,过点C作CELS。于点E,则EC=8,BE=2BD=12,贝！|8C=4而；

如图③所示：BD=6,由题意可得：AE=6,EC=2BE=16,故AC=后+⑥=2月.

故答案为10,25,4>/13.

图①图②

D

图③

【解题分析】

根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数.二者的比值就是其发生的概

率的大小.

【题目详解】

•.•一个不透明口袋里装有形状、大小都相同的2个红球和4个黑球，

21

...从中任意摸出一个球恰好是红球的概率为：——=-,

2+43

故答案为一.

3

【题目点拨】

本题考查了概率公式的应用.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

14、x>l.

【解题分析】

试题分析：根据题意得当xNl时，ax+22,即不等式ax+b22的解集为x".

故答案为xNL

考点：一次函数与一元一次不等式.

x-45x-3

15>---------二-----

57

【解题分析】

设羊价为X钱，根据题意可得合伙的人数为〒1或方3,由合伙人数不变可得方程.

【题目详解】

设羊价为X钱，

x—45x—3

根据题意可得方程：

5

故答案为：土《三：x—3

【题目点拨】

本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程.

16、-5a+4b-3c.

【解题分析】

直接利用数轴结合二次根式、绝对值的性质化简得出答案.

【题目详解】

由数轴可得：a+c<0,b-c>0,a-b<0,

故原式=-2(a+c)+b-c-3(a-b)

=-2a-2c+b-c-3a+3b

=-5a+4b-3c.

故答案为-5a+4b-3c.

【题目点拨】

此题主要考查了二次根式以及绝对值的性质，正确化简是解题关键.

17、2715

【解题分析】

如图，作OHLCD于H,连结OC,根据垂径定理得HC=HD,由题意得OA=4,即OP=2,在RtAOPH中，根据含

30。的直角三角形的性质计算出OH=；OP=L然后在在RtAOHC中，利用勾股定理计算得到CH=即

CD=2CH=2715.

【题目详解】

解：如图，作OHLCD于H,连结OC,

VOH1CD,

/.HC=HD,

VAP=2,BP=6,

；.AB=8,

.\OA=4,

/.OP=OA-AP=2,

在RtAOPH中，

■:ZOPH=30°,

.\ZPOH=60°,

1

.•.OH=-OP=1,

2

在RtAOHC中，

VOC=4,OH=1,

22

•*-CH=7OC-OH=V15，

/.CD=2CH=2V15.

故答案为2"W.

【题目点拨】

本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含30。角的直角三角形的性质，解此题的关键在于作辅助线得到直角三角

形，再合理利用各知识点进行计算即可

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)y=-(x-1)2=-x2+2x-2;(2)等腰RtA,(3)Pl(3,-8),P2(-3,-20).

【解题分析】

(1)当抛物线绕其顶点旋转180。后，抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则可根据顶点式写出旋转后的抛

物线解析式；

(2)可分别求出原抛物线和其“学生抛物线”与y轴的交点坐标C、C,由点的坐标可知△DCC是等腰直角三角形；

(3)可求出A(3,0),C(0,-3),其“李生抛物线”为y=-x2+2x-5,当AC为对角线时，由中点坐标可知点P不存在,

当AC为边时，分两种情况可求得点P的坐标.

【题目详解】

(1)抛物线y=xz-2x化为顶点式为y=(x-1)2-1,顶点坐标为(1,-1),由于抛物线y=x?-2x绕其顶点旋转180。后抛

物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，

则所得抛物线解析式为y=-(x-1)2-l=-x2+2x-2；

(2)ADCC是等腰直角三角形，理由如下：

\,抛物线y=x2-2x+c=(x-1)2+c-l,

二抛物线顶点为D的坐标为(1,c-1),与y轴的交点C的坐标为(0,c),

2

.•.其，，李生抛物线，，的解析式为y=_(x-i)+c-l,与y轴的交点的坐标为(0,c-2),

•*.CC'=c-(c-2)=2,

•••点D的横坐标为1,

...NCDC=90。，

由对称性质可知DC=DC,

二是等腰直角三角形；

(3)•.•抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C,与x轴正半轴的交点为A,

令x=0,y=-3,令y=0时，y=x2-2x-3,解得xi=-l,X2=3,

AC(0,-3),A(3,0),

,.'y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

...其“李生抛物线”的解析式为y=-(x-1)2-4=-X2+2X-5,

若A、C为平行四边形的对角线，

,其中点坐标为(三3，3

22

设P(a,-a2+2a-5),

•••A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，

•*.Q(0,a-3),

.a—3—+2a—5_3

••-------------------------=-----,

22

化简得，a2+3a+5=0,△<0,方程无实数解，

,此时满足条件的点P不存在，

若AC为平行四边形的边，点P在y轴右侧，贝!|AP〃CQ且AP=CQ,

•••点C和点Q在y轴上，

，点P的横坐标为3,

把x=3代入“李生抛物线”的解析式y=-32+2x3-5=-9+6-5=-8,

APi(3,-8),

若AC为平行四边形的边，点P在y轴左侧，则AQ〃CP且AQ=CP,

，点P的横坐标为-3,

把x=-3代入“李生抛物线”的解析式y=-9-6-5=-20,

/.P2(-3,-20)

原抛物线的“李生抛物线”上存在点Pi(3,-8),P2(-3,-20),在y轴上存在点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的

四边形为平行四边形.

【题目点拨】

本题是二次函数综合题型，主此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，解题的关键是求出旋转

后抛物线的顶点坐标以及确定出点P的位置，注意分情况讨论.

19、(1)证明见解析；(2)y=-x2(x>0)；(3)①3兀或87r或(2JI7+2)兀；②401.

83

【解题分析】

(1)根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；

(2)只要证明AAEFSAACB,可得——=—解决问题；

ACBC

(3)①分三种情形分别求解即可解决问题；

②只要证明△CFGS^HFA,可得——=—,求出相应的线段即可解决问题;

AFAH

【题目详解】

(1)证明：YGH垂直平分线段AD,

；.HA=HD,GA=GD,

；AB是直径，AB±GH,

；.EG=EH,

/.DG=DH,

，AG=DG=DH=AH,

二四边形AGDH是菱形.

(2)解：...AB是直径，

/.ZACB=90°,

；AE_LEF,

/.ZAEF=ZACB=90°,

；NEAF=NCAB,

/.△AEF^AACB,

•AE_EF

••一9

ACBC

1

；•J，

4x

,\y=—x2(x>0).

8

(3)①解：如图1中，连接DF.

G

图1

VGH垂直平分线段AD,

.\FA=FD,

，当点D与O重合时，ZkAOF是等腰三角形，此时AB=2BC,ZCAB=30°,

.AR.8百

3

OO的面积为一71.

3

图2

；AB=7AC2+BC2=V16+X2，

解得x=4（负根已经舍弃）,

AB=4\/2，

AOO的面积为87t.

如图2-1中，当点C与点F重合时，设AE=x,则BC=AD=2x,AB=716+4?-

,.,△ACE-^AABC,

,\AC2=AE«AB,

•*-16=x«716+4/>

解得x2=2ji万-2(负根已经舍弃)，

:.AB2=16+4x2=8V17+8,

，。0的面积=7t・：・AB2=(2717+2)n

16t—

综上所述，满足条件的。O的面积为不兀或m或(2^/17+2)兀；

②如图3中，连接CG.

图3

VAC=4,BC=3,ZACB=90°,

；.AB=5,

5

/.OH=OA=-,

2

3

；.AE=-,

2

/.OE=OA-AE=1,

;.EC=EH=后^哈

19

；EF=-X2=一,

88

.•.FG=孚-|,AF=y/AE2+EF2=y，AH=AE2+EH2=，

VZCFG=ZAFH,NFCG=NAHF,

.,.△CFG-^AHFA,

.GFCG

••一9

AFAH

V219

.。-8CG

8。

.“2历3回

510

.•.回CG+9=4⑸.

故答案为4万.

【题目点拨】

本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、

解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问

题.

20、(1)1VXV3或xVO；(2)证明见解析.

【解题分析】

m

(1)将8(3,1)代入y=—,将8(3,1)代入y=%x+4,即可求出解析式；

X

rn

再根据图像直接写出不等式一〈左］%+4的解集；(2)过A作，〃“轴，过。作。6_1_/于6,过5作BfiLU于a

x

y=kx+b

33

△AGC^ABHA,设5(叫一)、C(a-),根据对应线段成比例即可得出帆〃二-9,联立〈3，得

mny=~

-31

k2x2+bx-3=0,根据根与系数的关系得加〃=丁=一9,由此得出攵二彳为定值.

k3

【题目详解】

m

解：⑴将以3,1)代入y=一,

x

,3

・・m=3,y=—

x9

将5(3,1)代入y=%/+4,

3kl+4=1,左］=一1,

.0*y—~x+4,

rn

.•.不等式—<发x+4的解集为l<x<3或x<0

X

⑵过A作l//x轴，过C作CGU于G,过B作5HL于H,

则△AGCSAMA,

33

设b(i/i,—)、C(〃，一),

mn

..AG_BH

・CG-AH；，

1—3—。

・1—〃____m

J—

n

°m-1

1_n§

•["=m

n-1m-19

J-----------

n

3_

・_J__

••-T-T,

n

:.mn=-9.

y=kx+b

联立・•・13

y=一

l%

:.k2x2+bx-3=0

-3

:.mn-——=-9,

k

【题目点拨】

此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，再根据反比例函数的性质进行求解.

21、解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需l.5x天.

根据题意，得工+-1-=」，

x1.5x12

解得X=l.

经检验，X=1是方程的解且符合题意.

1.5x=2.

二甲，乙两公司