导数之极值点偏移 讲义-2024高考数学总复习压轴题（解析版）

专题9导数之极值点偏移

导数之极值点偏移极值点偏移几种常考类型

极值点偏移的解题方法

【极值点偏移基本定义】

众所周知，函数/'（X）满足定义域内任意自变量X都有/（x）=/（27〃-X）,则函数/（X）关于直线

%=相对称；可以理解为函数/（X）在对称轴两侧，函数值.变化快慢相同，且若/（X）为单峰函数，则x=/〃

必为了（X）的极值点.如二次函数/（X）的顶点就是极值点看,若，口）=。的两根的中点为五产，则刚

好有比卫=即极值，点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

2

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若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数/(x)的极值点为相，且函数了(%)满足定义域内X=m

左侧的任意自变量.%都有/(%)>/(2加一无)或/(%)</(2初一x),则函数/(x)极值点m左右侧变化快慢

不同.故单峰函数/(x)定义域内任意不同的实数为,超满足/(xJ=/(X2),则七三与极值点机必有确

定的，大小关系：

①若加(土土强，则称为极值点左偏；②若〃?〉土土逗，则称为极值点右偏.

22

【极值点偏移几种常考类型】

L.若函数/(%)存在两个零点七,％2且占7%,求证：%1+x2>2x0(%0为函数/(x)的极值点)；

2.若函数/(x)中存在芭,％2且MW9满足/(为)=/(%),求证：Xj+x2>2x0(X。为函数了(无)的极

值点)；

3.若函数/(x)存在两一个零点七,％2且天力》2,令飞=与逗，求证：/'(xo)>o；

4.若函数/'(X)中存在占,％2且玉满足/(%)=/(工2)，令X。=%；々,求证：/(x())〉0.

【极值点偏移的解题方法】

1、极值点偏移的判定定理

对于可导函数y=/(%)，在区间(a,b)上只有一个极大.(小)值点x0,方程于(x)=0的解分别为国,马,

且4<玉<%2<人，

(1)若/(苞)</(2%—%)，则土产<(〉)叫)，即函数y=/。)在区间(者,々)上极(小)大值点

%0右(左)偏；

(2.)若/(X1)〉/(2x。—々)，则七三〉(<)玉)，即函数y=/(x)在区间(西,々)上极(小)大值点

无。右(左)偏.

2、运用判定定理判定极值点偏移的方法

1、极值点偏移处理方法：

(1)求出函数/'(%)的极值点与；

(2)构造一元差函数P(x)=f(x0+x)—/(x0-x)；

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(3)确.定函数尸(x)的单调性;

(4)结合尸(0)=0,判断/(无)的符号，从而确定了(/+x)、/(毛-x)的大小关系.

口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

2、答题模板

若已知函数/(x)满足/(七)=/(%2)，%为函数/(X)的极值点，求证：天+々<2%.

(1)讨论函数/(x)的单调性并求出/(%)的极值点与；

假设此处/(X)在(YO,Xo)上单调递减，在(%0，+8)上单调递增.

(2)构造F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；

注：此处根.据题意需要还可以构造成E(x)=/(x)-/(2xo-x)的形式.

(3)通过求导广(x)讨论尸(x)的单调性，判断出尸(x)在某段区间上的正负，并得出了(七+©与-x)

的大小关系；

假设此处F(x)在(0,+oo)上单调递增,那么我们便可得出F(x)>F(x0)=/(x0)-/(x0)=0,从而得

到：x>x0时,f(x0+x)〉f(x0-x).

(4)不妨设X[</<々，通过/(X)的单调性，/(%1)=/(x2))/(/+》)与/(%-幻的大小关系得出

结论；

接上述情况，由于X>X()时，/Oo+X)>/(玉)-X)且不<工0<工2,/(%1)=/(%2),故

x

/(斗)=/(%2)=f\-o+。2-％0)]>/[与一区一X。)]=/(2X0-%2),又因为玉<X。，2%-X2</且

/"(X)在(-8,%)上单调递减，从而得到X]<2%-％2，从而再+%<2%得证.

(5)若.要证明了'(七迤)<0,还需进一步讨论七逗与飞的大小，得出所在的单调区间，从

而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.

此处只需继续证明：因为王+々<2%,故已上<七,由于/(X)在(-8,%)上单调递减，故

【说明】

(1)此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；

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(2)此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求/(x)的单调性、极值点，证明/(%+x)与

f(x0-x)(或/(x)与/(2x0-X))的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如毛+々<2/或

(七强)<0的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.

.提升•必考题型归纳

例1.(2021・四川达州•二模)已知定义在［0,+动上的函数“尤)=；x2+ox+cos尤.

(1)若了(无)为定义域上的增函数，求实数。的取值范围；

(2)若a=-l,%)=/(%2)=0,王力马，〃%)为“尤)的极小值，求证：xl+x2<2x0.

【答案】(1)［0,+e);(2)证明见解析.

【分析】(1)由单调性可知/'(x)'。在［0,+e)上恒成立，分离变量可得aNsinx-x；利用导数可求得

g(x)=sinx-x(x20)的最大值，由此可得。的范围;

(2)利用导数，结合零点存在定理可确定3Aoe(0,万)，/(x)在(O,x。)上单调递减，在国,收)上单调递增;

构造函数尸(x)=f(%+x)-〃$-x)(O<x<%),利用导数可求得网X)单调性，得到"x)>"0)=0,从

而得到“与)>-％),根据自变量的范围，结合，(无)在(0,不)上的单调性可证得结论.

【详解】(1)由“X)=(无2+GV+COS尤得:/'(x)=x+<7-sinx.

/(x)为［。,+句上的增函数，(X)=x+l-sinx2。在［0,+司上恒成立,

即a之sinx—x,

令g(%)=sinx-x(无>。)，贝Ug'(%)—cosx-l<0,

，g(x)在［0,+8)上单调递减，，g(x)vg(o)=o,即g(x)1mx=0,

：.a>0,即实数。的取值范围为［0,+e).

(2)当a=-l时，/(无)=g尤②-尤+cos尤，贝I］/'(x)=x—1—sinx,

.-./,,(x)=l-cos%>0,.,.;(%)在［0,+8)上单调递增，

Xr(0)=-l<0,/(万)=万一1>0,

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.•.现使得尸(9)=0,且当xw(O,Xo)时，r(x)<0；当xe(如+O0)时,>0；

在(0,飞)上单调递减，在[，+<»)上单调递增，则为f(X)的极小值.

2

X1<%,f(°)=1>0,于(7)=----71—1>0,..0<占<X。<X[<久,

设歹(x)=/(Xo+x)-/(七一x)(O<x<万)，

F\x)-2XQ-2—2sin尤。cosx,r._F"(x)=2sin/sinx.

而«0㈤,sinx0＞0,又sin尤＞0,.,.尸"（x）＞0,

.•.尸（x）在（0,乃）上单调递增，

,

尸'(0)=2彳0-2-2sin%cos0=2x()-2-2sinx0=2(x0-l-sin%0)=2/(%0)=0,

F(x)>F(O)=O,F(x)在(CU)上单调递增,

.-.F(%)>F(O)=/(xo)-/(xo)=O,

/(%2)=/(x0+(x,-x0))>/(x0-(x2-^))=/(2x0-x2)

71冗.冗冗冗

二万一1—sin]=万一2<。，<x0<x2<,/.0<2/o—%<%,

又“X）在（0,5）上单调递减，，玉＜2%-%，即%+尤2＜2%.

【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于匹+%＞。（4%为/（可=0的两根）的问题的基本步

骤如下：

①求导确定/（X）的单调性，得到占应的范围；

②构造函数尸（x）=〃x）-〃a-x）,求导后可得网x）恒正或恒负；

③得到/a）与〃的大小关系后，将〃石）置换为"吃）;

④根据々与。-西所处的范围，结合/（X）的单调性，可得到了2与。-玉的大小关系，由此证得结论.

例2.（20-21高三下•全国•阶段练习）已知函数〃x）=（l+x）ln（l+x）—加―（2a+l）x,«eR.

（1）若/（x）在定义域内是减函数，求。的最小值；

（2）若/（无）有两个极值点分别是X],巧，证明：\+x2＞--2.

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【答案】(1)，(2)证明见解析.

2e

【分析】(1)利用函数/(X)在定义域内是减函数等价于ra)vo在(-1,内)上恒成立，参变分离后，即可

求”的最小值；

(2)令/z(x)=_f(x),利用导数可求得网力的单调性；令制x)=/i(x)j］-2-可求得

m(x)>0,得到根(%)单调递增，可得〃(马)>,置换为〃(%)>〃\-2-X2),由/z(x)在

［1'［一1］上的单调性可得自变量的大小关系，从而证得结论.

【详解】(D“X)定义域为(T"),/'(x)=ln(l+x)-2a(x+l),

在定义域内是减函数，.."'(HWO在(-1,内)上恒成立,

ln1+%

即ln(l+x)-2a(x+l)<0,2fl>(),

1+x

令g(x)JO+x),则g'(x)=l[n(l；x),令g，(x)=0,解得：x=e-l,

\/1+xU+x)

当X£(-—时，gr(x)>0；当％£(e—1,+8)时，g'(x)<0；

r.g(尤)在1)上单调递增，在(e-l,+o>)上单调递减,

二g(x)max=g(eT)=：，•.•2a*(彳心=：，解得：此，,

，。的最小值为!.

2e

(2)由(1)知：若外力有两个极值点，则〃<］；

令h^x)=/'(%)=In(1+%)—2a(x+1),贝|//(%)=----2a=2ax--2a型

x+1x+1

令〃(x)=0,解得：x=^--l,

2a

.,.当1,^—1］时，/z'(x)>0；当工£—1,+°°］时‘，

・・/(%)在11，2一1)上单调递增，在［(T+8)上单调递减，

不妨设工1<x2，贝”一1<再<---1<%2；

2a

令制x)=--2-

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m!v(x\7=---------7-----------—4〃〉-----------------—4〃=0

flA/i\2

(2(1+X)I—-1-XI1+X+——1-X

则

mx

・••加(*)在(：T+8)上单调递增，•二()>加=0，

「.m(x2)=/z(x2)-/z^—-2-x2^j>0,即%(入2)>"(工一？一%1,

又/l(石)=九(%2)=0，^(^)>/if--2-x2j,

%2〉」一，/.-1<--1-X2<--1,

2〃一1a2〃

又见,/z(x)在11,(-1)上单调递增,

二.玉〉--2—%2，艮|3%+w>-----2.

aa

【点睛】方法点睛：本题考查导数中的极值点偏移问题，处理类似于玉+%>。(玉心为了(同=0的两根)

的问题的基本步骤如下：

①求导确定/(X)的单调性，得到占，%的范围；

②构造函数尸(x)=/(x)-/(a-x),求导后可得尸(x)恒正或恒负;

③得到〃石)与)的大小关系后，将〃西)置换为了伍)；

④根据巧与。-再所处的范围，结合/(x)的单调性，可得到巧与占的大小关系，由此证得结论.

例3.(20-21高二下,江苏苏州•阶段练习)设函数/(x)=21nxT/+l.

(1)当/(尤)有极值时，若存在％,使得/(%)>m-1成立，求实数机的取值范围；

(2)当“7=1时，若在〃x)定义域内存在两实数不，％满足占且/(%)=/(%)，证明：玉+%>2.

【答案】⑴(0,1)；(2)证明见解析.

【分析】(1)根据/'(x)有极值可确定机>0,利用导数可求得由能成立的思想可知

1mx,得到7〃+ln〃z-l<0,令=,利用导数可知人(根)单调递增，结合〃(加)零点

可确定加的范围；

(2)利用导数可求得〃x)单调性，由此确定。令尸(x)=〃x)—“2—x),xe(O,l),利用导数

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可求得尸（力＜0,即〃x）＜〃2—X）,代入x=%后，置换成〃%）＜〃2-占），结合〃x）单调性可确定自

变量的大小关系，由此证得不等式.

【详解】（1）〃X）定义域为（0,+⑹，r（x）=|-2mr=1.（-mx2+l）,

当机40时，r（x）＞0,即/（x）在（0,+e）上单调递增，不合题意，.•.%＞0；

令—〃4+1=0,解得：x=/—,

Vm

当xqO，C时，/^）＞0；当

r（x）＜。；

上单调递减,

存在％,使得〃飞）＞根-1成立，贝U〃zT＜/（x）1mx即加一1＜/

BPm+lnm—1<0,

1-I-1

令/z（m）=z7?+ln机一1,则hf（m\=l-\——=---->0,

mm

「/（m）在（0,+“）上单调递增，又/z（l）=l+lnl—l=0,「.Ovm<1,

即实数加的取值范围为（0,1）.

（2）当“7=1时，/（x）=21nx-x2+l,则r⑺=2_2x=22x?=2（j）

XXX

.,.当尤€（0,1）时，＞0；当xe（l,+«0时，r（x）＜0；

\/（x）在（0,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减,

由玉＜%且/（西）=/（当）知：。＜玉＜1＜%；

令/（x）=/（x）—/（2—x）,X6（0,l）,

22（1-（2-咪）2

nl2（l-x）4（x-l）

则/力=」——L,（2-x）'=0,

2-xx（2—x）

.•.方⑺在（0,1）上单调递增，.•.尸⑺〈尸⑴=0,BP/（x）＜/（2-x）；

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，/(石)</(2—%)又/(％)=/(%),.•.〃/)</(2-氧)；

1.•%,G(O,1),:.2-^G(1,2),又%>1且f(x)在。，+8)上单调递减,

x2>2-x1,即再+%>2.

【点睛】方法点睛：本题第二问考查了导数中的极值点偏移问题的变形，处理极值点偏移问题中的类似于

玉+%>。的问题的基本步骤如下：

①求导确定“X)的单调性，得到外,吃的范围；

②构造函数-x)=〃x)-/(a-x),求导后可得尸(X)恒正或恒负；

③得到"％)与〃。-西)的大小关系后，将〃石)置换为〃％);

④根据々与再所处的范围，结合/(x)的单调性，可得到X?与玉的大小关系，由此证得结论.

例4.(2017・山东淄博•一模)T^/(x)=xlnx-ax2+(2a-l)x,aGR.

⑴令g(x)=7'(x)，求g(x)的单调区间；

(2)当时，直线y=f(T<f<0)与/(X)的图像有两个交点人(占,0,2(%，。,且石〈尤2，求证：X1+X2<2.

【答案】⑴当aWO时，函数g(x)的单调递增区间为(。,+8),无单调递减区间；当a>0时，函数g(x)的单

调递增区间为[。，()，单调递减区间为，+00]

⑵证明见解析

【分析】(1)先求得g(x)的表达式，对g(x)求导，讨论。与0的大小关系，即可求出函数的单调区间；

(2)由(1)知，尸⑴=0,根据单调性可知函数〃x)在x=l处取得极小值也是最小值.构造函数

〃&)=4%)-"2-为)，利用导数求得〃(占)>0,即有—%)，根据单调性有%>2-玉，即有

石+12>2.

【详解】(1)由/'(x)=lnx—2冰+2”，

可得g(%)=lnx-2ar+2a,%£(0,+oo),

l।\1-1—lax

贝ijg(尤)=——2a=-----.

XX

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当aWO时，xw(O,+8)时，g«x)>0,函数g(x)单调递增；

当a>0时，时，>0,函数g(x)单调递增；xegp+[时，<0,函数g(x)单调递

减；

所以，当QWO时，函数g(%)单调递增区间为(O,y),无单调递减区间；当a>0时，函数g(x)单调递增区

间为(0,(),单调递减区间为

(2)由(1)知，-。)=0.

当a«0时，第x)是增函数，

所以当xe(O,l)时，/^%)<0,故“X)单调递减；

当xe(l,+«)时，f\x)>0,故〃x)单调递增.

所以/(X)在龙=1处取得极小值,且晶=〃l)=a-iv—l,

所以0<%<1<%.

/(X2)-〃2—石)=/(%)—“2—%)

=xjnxj-axy+(2〃-1)玉一[(2-%Jln(2-xJ-Q(2—再『+(2Q-1)(2-XJ]

=x11nxi一(2-x,)ln(2-尤])一2(公一1).

令〃(公)=却叫-(2-x1)ln(2-x1)-2(x1-1),则//(为)=ln%]+ln(2-xj=In(%(2=In[-(X]-+1]<0,

于是在(o,i)上单调递减，故〃(匕)>可1)=0,

由此得〃马)一/(2—网)>0即〃9)>〃2—%).

因为2-玉>1,%>1,f(x)在。,+8)单调递增,

所以尤2>2一再，

即玉+尤2>2.

【点睛】本题主要考查导数的应用.解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易

出错.解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化

为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用.(2)将不等式的证明、方程根的个数的判

定转化为函数的单调性问题处理.

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例5.(2017・四川凉山,一模)设左eR,函数/(尤)=lnx-Ax.

(1)若芋=2,求曲线y=/(x)在尸(1,-2)处的切线方程；

(2)若/(x)无零点，求实数上的取值范围；

(3)若/(无)有两个相异零点为，三，求证：hiX]+lnx2>2.

【答案】(1)》+>+1=0；(2)(1,+⑹；(3)见解析.

e

【分析】(1)求函数/(X)的导数，当上=2时/⑴=-1,点斜式写出切线方程即可；

(2)当左<0时，由/⑴♦/({)<()可知函数有零点，不符合题意；当左=0时，函数〃x)=lnx有唯一零点x=l

有唯一零点，不符合题意；当人>0时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，

解之即可；

(3)设/(%)的两个相异零点为毛，巧，设玉>％2>0，则In石-飙=0,lnx2-Ax2=0,两式作差可得，

1叫-lnx2=左(七-x2)即Inxj+lnx2=k5+x2),由xxx2>e?可得1叫+lnx2>2即k(x1+x2)>2,

西上>^oln五〉也二应，设,=%>1上式转化为3>也U(/>i),构造函数g(,)=im-证

X

西一九2%+%2々玉+%221+1/+1

g«)>g(1)=0即可.

11—kx

【详解】解：(1)函数的定义域为(0,+8),f'3=——k=」^,

XX

当上=2时，r(l)=l-2=-l,则切线方程为y-(-2)=-(x-l),即x+y+l=0.

(2)①若左<0时，则尸(幻>0,f(x)是区间(0,+8)上的增函数,

0/(1)=-^>0,f(ek)=k-kea=k(l-ek)<Q,

0/(l)-/(e*)<O,函数/(x)在区间(0,+8)有唯一零点；

②若左=0,/a)=lnx有唯一零点x=l；

③若左>0,令尸(x)=0,得x=J,

k

在区间(。，3上，广(无)>0，函数是增函数；

K

在区间上，f'M<0,函数/(X)是减函数；

k

故在区间(0,―)上，/(X)的极大值为/(1)=ln1-l=-lnfc-l,

由于AM无零点，须使/(；)=Tn"l<0,解得%>L

ke

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故所求实数上的取值范围是d,+8).

e

(3)证明：设/(x)的两个相异零点为A，巧，设玉>%>0,

团/(玉)=0,/(x2)=0,回111%1一点1=0,In々一区2=。，

团In项一Inx2=左(玉-x2),Inxx+Inx2=k(x1+x2),

回毛/>/,故In玉+In%>2,故%(国+%2)>2,

即！nX|Tn%>」,即1白>2(玉-々),

玉-x2玉+x2x2%+x2

设f=%>l上式转化为lnr>也?(f>l),

X2t+1

设g(/)=hw-丝U，

t+1

,,、(z-l)2

回g(f)=y^>。,

团g⑺在(1,y)上单调递增，

国gQ)>g(D=0,Ellnf>2””,

r+1

回1nxi+In%>2.

【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论思想方法和构造函

数法，以及转化思想的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题.

例6.(16-17高三下•安徽合肥•阶段练习)已知/(x)=lnx-x+m(加为常数).

⑴求外力的极值;

(2)设勿>1,记/(x+〃?)=g(x),已知为为函数g(x)的两个零点，求证：x1+x2<0.

【答案】⑴”力的极大值为f(l)=^T,无极小值

⑵证明见解析

【分析】(1)求导，判断单调性得极值即可；

(2)用导数判断出g(