北京东城区2024年中考一模数学试卷(含答案)

北京东城区2024年中考一模数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一,单选题

1.在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（）

2.2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会

发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万

公顷.将数字1330000用科学记数法表示应为（）

A.1.33xl07B.13.3xl05C.1.33xl06D.0.13xl07

3.在平面直角坐标系中，点4（0,2）,8（-1,0）,C（2,0）为.ABCD的顶点，则顶

点。的坐标为（）

A.（-3,2）B.（2,2）C.（3,2）D.（2,3）

4.若实数a,6在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（）

i.ii.i।A

一2。-10b12

A.同〈网B.a+l<b+lC.a2<b2D.a>-b

5.在平面直角坐标系中，点P（l,2）在反比例函数>=七（左是常数，k/0）的图

X

象上.下列各点中，在该反比例函数图象上的是（）

A.（-2,0）B.（-l,2）C.（-l,-2）D.（l,-2）

6.如图，AB是0。的弦，CO是i。的直径，CD,AB于点E.在下列结论中，不一

A.AE=BEB.ZCBD=90°C.ZCOB=2ZDD.ZCOB=ZC

7.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3.随机摸出

一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

2369

8.2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源

“光热+光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成.该项目建成后，年发

电量将达17亿千瓦时.该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定

日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为48m2,则该正五

边形的边长大约是（）（结果保留一位小数，参考数据：tan36。笈0.7,tan54°«1.4,

二、填空题

9.若二次根式。万有意义，则x的取值范围是.

10.因式分2加/—lSm=.

ii.方程3=二一的解为.

xx-3

12.若关于x的一元二次方程V—2x+m=0有两个不相等的实数根，则机的取值范围

是.

13.为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机

抽取了50名学生进行调查，结果如下表所示：

锻炼时间X5<%<66<%<77<%<8x>8

学生人数1016195

以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有

______人.

14.在中，ZA=90°,点。在AC上，DELBC于点、E,S.DE=DA,连接

DB.若ZC=20°,则ZDBE的度数为°.

A

D

B

15.阅读材料:

如图，已知直线/及直线/外一点P.

按如下步骤作图：

①在直线/上任取两点A,3,作射线AP,以点尸为圆心，长为半径画弧，交射线

AP于点C；

②连接5a分别以点5,。为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点

M,N,作直线MN,交于点。；

③作直线PQ.

回答问题：

（1）由步骤②得到的直线是线段的；

（2）若△CPQ与△C45的面积分别为$2，贝USi：S2=.

16.简单多面体的顶点数（V）、面数（R）、棱数（E）之间存在一定的数量关系,

称为欧拉公式.

（1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表:

名称图形顶点数（V）面数（F）棱数（E）

三棱锥44446

_^1

长方体L—k8612

五棱柱110715

正八面体6812

在简单多面体中，V,F,E之间的数量关系是；

(2)数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划

做一个如图所示的简单多面体作品.该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正

三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边.

小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共个.

三、解答题

17.计算：^48—2cos30°+（7i—1）°—1—2|.

x+2<6

18.解不等式组：<5x+lx-6.

I32

19.已知2x-y-9=0,求代数式fx-3y.的值.

4x-4xy+y

20.如图，四边形ABC。是菱形.延长曲到点E,使得AE=AB,延长到点使

得AF=AD,连接BD,DE,EF,FB.

(1)求证：四边形3DEF是矩形；

(2)若NADC=120。，EF=2,求BF的长.

21.每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起

了同学们的关注.某数学兴趣小组测量北京站钟楼A5的高度，同学们发现在钟楼下方

有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点3的位置，被遮挡部分的水平距离为5C的

长度.通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮

尺和一根直杆.同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子。到点。的距离，

以及同一时刻直杆的高度与影长.设A3的长为x米，的长为y米.

A

川-直杆

4直杆的影子

北京站钟楼

钟楼、直杆及影长示意图

测量数据（精确到01米）如表所示：

直杆高度直杆影长8的长

第一次1.00.615.8

第二次1.00.720.1

（1）由第一次测量数据列出关于X,y的方程是,由第二次测量数据列出关于

x,y的方程是；

（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得y=10,则钟楼的高度约为

______米.

22.在平面直角坐标系中，一次函数,=6+6（左为常数，后W0）的图象由函数

y=的图象平移得到，且经过点4（3,2）,与x轴交于点注

（1）求这个一次函数的解析式及点3的坐标；

（2）当%>-3时，对于x的每一个值，函数y=的值大于一次函数y=bc+b的

值，直接写出机的取值范围.

23.某校初三年级两个班要举行韵律操比赛.两个班各选择8名选手，统计了他们的身

高（单位：cm）,数据整理如下：

班：168,171,172,174,174,176,177,179

2班：168,170,171,174,176,176,178,183

员每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：

班级平均数中位数众数

1班173.875174174

2班174.5mn

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中机，〃的值；

（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐.据此推断：

在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是班（填“1”或“2”）；

（3）1班的6位首发选手的身高分别为171,172,174,174,176,177.如果2班已经

选出5位首发选手，身高分别为171,174,176,176,178,要使得2班6位首发选手

的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的

身高是cm.

24.如图，为O。的直径，点C在「。上，NEAC=NCAB,直线CDLAE于点

D,交A3的延长线于点F

（1）求证：直线为口。的切线；

（2）当tanb=工，CD=4时，求BF的长.

2

25.小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行

路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直

角坐标系xOy,击球点P到球网AB的水平距离0S=1.5m.

小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内.

第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：

m）近似满足函数关系y=-0.2（x-2.5）2+2.35.

第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：

m）的几组数据如下：

水平距离x/m01234

(1)直接写出击球点的高度；

(2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式;

(3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为4，d2,则

4d2(填“>”，或“=").

26.在平面直角坐标系x°y中，加（玉,%）,"（%2，%）是抛物线丁=加+〃*+1（。>°）

上任意两点，设抛物线的对称轴为直线1=九

4-

3-

2-

1-

।।।।।____

-5-4-3-2-1012345x

-1-

-2-

-3-

—4~

-5-

（1）若点（2,1）在该抛物线上，求才的值；

（2）当/W0时，对于々〉2,都有％<为，求再的取值范围.

27.在RtA4BC中，ZBAC^90°,AB=AC,点。，E是边上的点,

DE=-BC,连接AD.过点。作AD的垂线，过点石作5。的垂线，两垂线交于点E

2

连接A歹交于点G.

AA

（1）如图1,当点。与点3重合时，直接写出4MF与NB4C之间的数量关系；

（2）如图2,当点。与点3不重合（点。在点E的左侧）时，

①补全图形；

②4MF与/BAC在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成

立，请说明理由.

（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段3。，DG,CG之间的数量关系.

28.在平面直角坐标系xOy中，已知线段PQ和直线/1,12,线段PQ关于直线4的

垂点距离''定义如下：过点尸作PM，/1于点过点。作于点N，连接

MN,称的长为线段PQ关于直线4和4的“垂点距离”，记作d.

图2

则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离勿为

（2）如图1,线段PQ在直线y=-x+3上运动（点P的横坐标大于点。的横坐标），

若PQ=0,则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为；

（3）如图2,已知点A（0,26），的半径为1,直线y=-#x+6与1A交于P,Q

两点（点P的横坐标大于点。的横坐标），直接写出线段PQ关于x轴和直线

>=_瓜的“垂点距离”d的取值范围.

参考答案

1.答案：B

解析：A、球的俯视图是圆，不符合题意；

B、四棱柱的俯视图是矩形，符合题意；

C、三棱锥的俯视图是三角形，不符合题意；

D、圆柱的俯视图是圆，不符合题意；

故选：B.

2.答案：C

解析：数字1330000用科学记数法表示应为1.33x106.

故选：C.

3.答案：C

解析：设点。的坐标为（加,〃），

0+2-1+m

由平行四边形对角线中点坐标相同可得L22

2+00+77

F二F

m=3

n=2

二点。的坐标为（3,2）,

故选：C.

4.答案：B

解析：根据图示，可得一2<。<一1,

,「一2va<—1,

/.l<\a\<2,0<|/?|<1,

/.|a\>\b\,

选项A不符合题意；

「一2va<—10vZ?<l,

:.a<b,

Q+1<+1,

选项B符合题意;

-2<a<-l,0</?<l,

/.1<«2<4,0<b2<1,

:.cr>b2,

选项C不符合题意；

0<b<l,

—2<a<一1,

a<-b,

选项D不符合题意.

故选：B.

5.答案：C

解析：点P(l,2)在反比例函数y=£

...左=1义2=2,

A.(-2,0)在x轴上，而反比例函数图象与坐标轴没有交点，故该选项不符合题意;

B.-1x2=-2#2,故该选项不符合题意；

C.-1x(-2)=2,故该选项符合题意；

D.lx(-2)=-2/2,故该选项不符合题意；

故选：C.

6.答案：D

解析：CD是匚。的直径，CD±AB,

:.AE=BE,NCBD=90°,ZCOB=2ZD,ZCBO=ZC,

故A、B、C不符合题意，D符合题意；

故选：D.

7.答案：B

解析：根据题意，画树状图如下：

共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果，所以两次摸出的

31

小球标号相同的概率是士=L

93

故选：B.

8.答案：A

解析:如图：设正五边形的中心为。，连接Q4,0B,过点。作垂足为

F,

/\AOB的面积=1正五边形的面积=—m2

555

OA^OB,OF±AB,

ZAOF=-ZAOB=36°,AB=2AF,

2

设OF=xm,

在RtAOAF中，AF=OF-tan360®0.7x(m),

AB=2AF=1.4x(m),

:.-ABOF=—

25

、1.4x.x=竺

25

解得：x«3.71,

AB=lAxp5.2(m),

,该正五边形的边长大约是5.2m,

故选：A.

9.答案：^>1

解析：根据二次根式有意义的条件，x-l>0,

故答案为：X>1

10.答案：2根(〃+3)(〃一3)

解析：2加/-is加

=2m(川-9)

=2m(n+3)(〃—3)

故答案为：2m(“+3)(“-3).

11.答案：x=9

解析：去分母得，

3(x-3)=2x,

解得：x-9,

当x=9时九一3)wO,

二方程的解为％=9,

故答案为：x=9.

12.答案：m<l

解析：关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，

A=4-4m>0,

解得：m<l.

故答案为：m<\.

13.答案：240

19+5

解析：500x------=240人，

50

估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有240

人，

故答案为：240.

14.答案：35

解析：DE^AB,ZA=90°,^.DE=DA,

:.ZABD=ZEBD,

ZA=90°,"=20。，

:.ZABC=90°-20°=70°

NDBE=—义70°=35°,

2

故答案为：35.

15.答案：垂直平分线；-

4

解析：(1)由作图过程可知，步骤②得到的直线是线段的垂直平分线.

故答案为：垂直平分线.

(2)由作图过程可知，AP=CP,

MN是线段的垂直平分线，

CQ^BQ,

CPCQ1

"AL3。-5'

•NPCQ=ZACB,

:./\PCQ^/\ACB,

故答案为：

4

16.答案：V+F-E=2；32

解析：(1)4+4-6=2,

8+6-12=2,

10+7-15=2,

6+8-12=2,

以止匕类推可得V+/一石=2,

故答案为：V+F-E=2；

(2)设小张同学需要准备正三角形和正五边形材料各x个，y个,

每个顶点有4条棱，且每个顶点在四个面里面，

二一共有史&个顶点，

4

.•.一共有史包义4+2=主土型条棱,

42

V+F-E=2,

3x+5y3x+5y-

--------+%+y----------=2,

4-2

x-y=8；

每个正三角形与三个五边形相邻，而每个五边形与五个正三角形相邻,

3x

,."=丁

3

x—x=8，

5

x=20,

:.y=n,

.\x+y=32,

二小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共32个，

故答案为：32.

17.答案：3拒-1

解析：V48-2cos30°+（7r-l）°-|-2|

=4A/3-2X—+1-2

2

=4A/3-V3+1-2

=36-1.

18.答案：—2Wx<4

x+2<6①

解析：且±1—1>-②

I32

解不等式①得，x<4

解不等式②得，%>-2

二不等式组的解集为：-2<x<4.

19.答案：!

3

解析：2x-y-9=09

/.2x-y=9,

6x-3y

4x2-4xy+y2

=3(2x-y)

(2x-»

3

2x-y

_3

一§

20.答案：(1)见解析

(2)273

解析：(1)证明：AE=AB,AF=AD,

：.四边形3QEF为平行四边形，

四边形ABC。为菱形，

AB=AD,

,\AE=AB=AF=AD,

:.BE=DF9

：.平行四边形BDEF是矩形；

(2)由(1)可知，AB=AD,四边形BDE尸是矩形,

：.ZDBF=90°,BD=EF=2,

四边形ABCD是菱形，

.♦.ZAD3=』NADC=6O。，AB=AD,

2

.•.△AB。是等边三角形，

:.AB=AD=BD=2,

:.DF=2AD=4,

：.BF=>]DF2-BD2=力4-22=2百,

即3万的长为2君.

21.答案：(1)y=0.6x-15.8；y=O.7x-20.1

(2)43

直杆高度=AB

解析:由同一时刻测量，可得

(1)直杆影长—法

第一次测量：—=--化简得，y=0.6x-15.8,

0.615.8+y

第二次测量：—=—匚，化简得，y=0.7x-20.1,

0.720.1+y

故答案为：y=0.6x-15.8；y=0.7x-20.1；

(2)对于y=0.6%-15.8,代入y=10,

得，0.615.8=10,

解得：x=43,

二钟楼=43米，

故答案为：43.

22.答案：(1)(-3,0)

(2)m>3

解析：(1)一次函数丁=履+6的图象由函数y=的图象平移得到，且经过点

43,2),

k=-

二<3，

3k+b=2

解得3，

b=l

二一次函数的解析式为j=|x+l;

在丁=』％+1中，令丫=0得0=工工+1,

*33

解得x=-3,

.•.5的坐标为(-3,0)；

(2)当％=—3时，y=x+m=-3+m,y=；%+l=；x(-3)+l=0,

・当次>-3时，对于％的每一个值，函数y二1+根的值大于一次函数y=g%+l的值,

:.—3+m>0,

解得m>3,

,机的取值范围是加之3.

23.答案：(1)175,176

(2)1

(3)170

解析：(1)2班数据从小到大排列为168、170、171、174、176、176、178、183

从中可以看出一共八个数，第四个数据为174、第五个数据为176,所以这组数据的中

位数为:(174+176)+2=175,故机=175；

其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176,故〃=176；

故答案为：175；176.

(2)根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳

定性也越小，反之亦然.

1班的身高分布于168-179,2班的身高分布于168-183,

从中可以看出，1班的数据较2班的数据波动较小，更加稳定，所以1班的选手身高比

较整齐，

故答案为：L

(3)(171+172+174+174+176+177)+6=174(厘米)

设2班第六位选手的身高为x厘米，

则(171+174+176+176+178+X)+62174,

x>169,

据此，第六位可选的人员身高为170、183,

若为170时，2班的身高数据分布于170-178,若为183时，2班的身高数据分布于

171-183,

从中可以看出当身高为170时的数据波动更小，更加稳定，

所以第六位选手的身高应该是170厘米，

故答案为：170.

24.答案：(1)见解析

(2)10-2^/5

解析：（1）证明：连接OC,BC,

OA=OC,

:.ZCAO=ZACO,

ZEAC=ZCAB,

：.ZDAC=ZACO,

OC//AD,

CDLAD,

：.OC±DF,

oc是o。的半径，

直线CD为。的切线；

(2)tanF=—,

2

OC1

CF2

设OC=x,则Cb=2x,AO=OB=x,

:.OF=V(9C2+CF2=V5x,

OC//AD,

.,.△AFD^AOFC,

CFOF

,DF-AF'

2x_#>x

2%+4\[5x+x

x=2^5,

BF=OF-OB=10-2y/5.

25.答案：(1)1.1m

(2)y--0.1(%-3)2+2

(3)<

解析：(1)当x=0时，y=—02(0—2.5)2+2.35=1.1,

故击球点的高度为Llm；

(2)由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为(3,2),

设抛物线的解析式为：y=a(x-3『+2,

过点(4,1.9),

.•.1.9=«(4-3)2+2,

解得a=-0.1,

二抛物线的解析式为：y=-0.1(x-3)2+2；

(3)第一次练习时，当y=0时，0=—0.2(x—2.5)2+2.35.

解得石=&1.75+2.5,=-V11.75+2.5<0(舍去)，

=711.75+2.5-1.5=5/11.75+1,

第二次练习时，当y=0时，0=—0.1(x—3f+2.

解得石=2石+3,迎=-2岔+3<0(舍去)，

=2&3-1.5=26+1.5,

■.■V11.75+1<2V5+1.5,

••<d?，

故答案为：<.

26.答案：(1)1=1

(2)-2〈石<2

解析：(1)抛物线丁=冰2+区+1(〃>0)经过点(2,1),

4Q+2Z?+1=1,

:.b=^2a,

h

抛物线对称轴为直线x=--=l,

2a

.,.1=1；

(2)a>0,

抛物线开口向上，

二.当光时，y随％增大而增大，当尤V，时，y随%增大而减小，且离对称轴越远函数

值越大；

当0<%<2时，

•/t<x1<x2,

,此时满足M<%；

当—2<%<0时，

•.t<0,

.•.点〃到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，

此时满足必<为；

当西〉2时，一定会有Z的值满足X]>々，即此时/〉必，不符合题意；

当西<-2时，若/=0,且七=-々时，此时％=%，不符合题意；

综上所述，-2<%<2；

27.答案：（1）ZBAF=-ZBAC

2

（2）①见解析

②/加p=」/氏4。仍然成立，证明见解析

2

（3）DG2^CG2+BD2

解析：（1）「在RtZVLBC中，ZBAC^9Q°,AB=AC,点。与点3重合,

DE=-BC,

2

：.AE±BC,ZBAE=-ZBAC,

2

EFLBC,

：.A,E、R三点共线，

:.ZDAF=-ZBAC；

2

（2）①如图所示，即为所求；

A

F

②/。4歹=工/84。仍然成立，证明如下：

2

如图所示，过点4作凡以，8。于

:.ZAHD=90。,

AD±DF,EF工CD,

ZAHD=ZADF=ZDEF=90°,

ZHAD+ZHDA=90°=ZHDA+NEDF,

:.ZHAD=ZEDF,

,在中，ZBAC=90°,AB=AC,

AH=-BC,

2

DE=-BC,

2

:.AH=DE,

.-.△ADH^ADFE(ASA),

:.AD=DF,

,-.ZZMF=45°,

:.ZDAF=-ZBAC,

2

(3)如图所示，将△板)绕点A逆时针旋转得到△ACT,连接7U,

由旋转的性质可得€7=3。，AT=AD,ZBAD=ZCAT,

ZBAC=9G°,AB=AC,

ZB=ZACB=45°,

,-.ZACT=45°,

:.ZTCG=90°,

ZZMF=45°,

:.ZBAD+ZCAG=^5°,

ZCAT+ZCAG=45°,即ZGAT=45°,

:.ZDAG^ZTAG,

又AG=AG,AD=AT,

.-.△AGE^AAGT(SAS),

:.DG=TG,

在RtATCG中，由勾股定理得=CG2+CT2,

.-.DG2^CG2+BD2.

28.答案：(1)2&

(2)2A/2

(3)叵9

2

解析：（1）过点尸作轴于点过点。作QNLy轴于点N,连接"N,

N『LQ

'、、/

\I

--------------------------->

OMX

尸(2,1),2(1,2),

.•.M(2,0),N(0,2),

:.d=MN=J(2-0『+(0—2『=20,

故答案为：2&,

(2)设点"(机0),N(0,〃)，

点、P,Q在直线y=—x+3上，PMLx轴，QNLy轴，

二P(m,—m+3],

将y=〃代入y=—x+3,得：n=—x+3,解得：x=3—n>

Q（3-〃,几）,

/.PQ=^(m-3+n)2+(-m+3-n)2=A/2,整理得：n=4-m,

A^(0,4—m),

/.d=MN=—0)2+(0-4+m)2=^2(m—2)2+8,

2(m-2)2>0,

:.d=MN=回吁2)?+8>A/0+8=2后，

故答案为：2夜，

(3)设直线QP与x轴交于点3,与直线NO交于点。，延长NQ、交于点C,作

直线AC与x轴交于