山东省聊城市2024届高三年级下册等级模拟卷（三）数学试卷(含答案)

山东省聊城市2024届高三下学期等级模拟卷(三)数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.已知抛物线。：炉=2加5〉0)的焦点R到其准线的距离为2,过R的直线/与C交

于A,3两点，则的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

1-1OS34

2.设a=log49,b=log25,C=3,则a,b,c的大小关系为()

A.b>a>c^b>c>aa>b>c^c>b>a

3.2,且就>1"是"a<-1，且5<-1"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知圆C与两坐标轴及直线x+y-2=0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方

程为()

A.(x+0『+(y_@2=0+=2

C.(x—何+(y+可=0D.(x+可+"可=2

5.设函数外力的图象与函数y=2cos7u,e-的图象关于x轴对称，将/(x)

1

的图象向右平移;个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数y的图象与

x-1

y=g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为()

A.8B.6C.4D.2

普］,且sin2a=—g，则cos［a+；］=()

6.已知

399

A.-lB.-C.—D.--

441616

7.设正项数列｛4｝的前n项和S“满足2S"表示从n个不同元素中任取m

10

个元素的组合数，则为©=()

k=l

A.512B.1024C.5120D.10240

8.设函数/（九）定义域为R,导数为r（力，若当xNO时，f\x）＞2x-l，且对于任

意的实数x,/（—%）=/（%）+2x，则不等式/（2x—1）—/（%）＜—5x+2的解集为（）

二、多项选择题

9.设方程必_%+1=0的两根再，/，在复平面内对应的点分别是X],乂2，则（）

A.X]-x2的实部为1B.X1,X?关于x轴对称

C.|^|=|x2|=1D.+\x2=-1

10.在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳

米.某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8,现从生产流水线上随机抽取5件，其

中优秀产品的件数为X.另一随机变量F〜N（4,l）,则（）

A.£＞（2X+1）=1.6B.£（X）=£（y）,D（X）＞D（K）

C.p（X＜4）＞P（Y＞4）D.p（X=外随左的增大先增大后减小

11.已知圆锥S。（。为底面圆心）的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，P是底面

圆周上的一个动点，直线。，人满足a,6，a1SO,b1SO,设直线SP与a所成的

角为a,直线SP与人所成的角为0,则（）

A.«的取值范围为B.该圆锥内切球的表面积为02-8后卜

分的取值范围为：

C.cosacos0,D.COS26Z+COS2/?=1

三、填空题

已知集合人={，，且则实数。的值为.

12.15,/},8={1,3+2MAIB=AJ

13.两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且

两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有种.

22

c：二-谷=13〉。〉0）_

14.已知双曲线"b-的一个焦点为F,O为坐标原点，点A,3在

双曲线上运动，以A,3为直径的圆过点O,且10A+。8M4网叫恒成立，则C

的离心率的取值范围为.

四、解答题

15.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

bsinfitanA=百asinficosC+s/3bsinCcosA■

(1)求A；

(2)若。在边3C上，且BD=2OC，b=3,AD=2也,求△ABC的周长.

16.如图，在正三棱柱ABC-AAG中，AA=2AB=2,点。，E,R分别是棱AC,

CCpG4的中点，点P满足人？=九钻+〃"，其中2c[0,1],

(1)当;1=〃=1■时，求证：DP〃平面4匹；

(2)当几=1时，是否存在点尸使得平面ACP与平面AEP的夹角的余弦值是巫？

5

若存在，指出点P的位置，若不存在，请说明理由.

17.已知函数〃x)=!•以?+x，g(%)=liu-.

(1)若曲线y=/(x)与y=g(x)有一条斜率为2的公切线，求实数a的值；

(2)设函数从x)=/(x)—(a+l)g(x),讨论人⑺的单调性.

18.今年五一节期间，聊城百货大楼有限公司搞促销活动，下表是该公司5月1号至

10号(日期简记为1,2,3,……,10)连续10天的销售情况：

日期X12345678910

销售额y(万

1919.319.62021.222.423.824.62525.4

元)

由上述数据，用最小二乘法得到销售额和日期的线性回归方程为y=o.84x+17.45，日

期的方差约为3.02,销售额的方差约为2.59.

(1)根据线性回归方程，分析销售额随日期变化趋势的特征，并计算第4天的残差;

（2）计算相关系数厂，并分析销售额和日期的相关程度（精确到0.001）；

（3）该公司为了促销，拟打算对电视机实行分期付款方式销售，假设顾客购买一台电

视机选择分期付款的期数及相应的概率和公司获得的利润r（单位：元）情况如下

表:

246

P%a2a3

Y400600800

已知火,。2，%成等比数列.

设该公司销售两台电视机所获得的利润为X（单位：元），当X=1200的概率取得最

大值时，求利润X的分布列和数学期望.

可3-歹）

参考公式：相关系数厂=1T•回归方程y=桁+a中斜率和截距的最

V1=1z=l

小二乘法估计公式分别为：公=上―----------,a=歹-加.相关数据,78218h279.67•

♦（%一元I

Z=1

19.已知圆A：（x+l）2+y2=16和点3（1,0），点P是圆上任意一点，线段的垂直平

分线与线段以相交于点。，记点Q的轨迹为曲线C

（1）求曲线C的方程；

（2）点。在直线％=4上运动，过点。动直线/与曲线C相交于点M,N.

（i）若线段MN上一点E,满足您=吗，求证：当。的坐标为（4,1）时，点E

EN\m\）

在定直线上；

（ii）过点〃作x轴的垂线，垂足为G,设直线GN,GD的斜率分别为匕，七，当直

线/过点（1,0）时，是否存在实数2,使得尤=私?若存在，求出2的值；若不存

在，请说明理由.

参考答案

1.答案：B

解析：根据题意，抛物线。：炉=2勿5〉0）的焦点R到其准线的距离为2,

即1=2,则抛物线。:炉=今,焦点/（0,1）,

当直线/平行于X轴时，i：y=i,|AB|=4,

当直线/不平行于X轴时，

设直线/：%=7〃（丁一1）,（mwO）,B（x2,y2）,

联立方程组「2:01），得〃72y2-2（7〃2+2）y+〃?2=0,A>0,

X=4y\）

又|AB|=必+%+2=—^+4>4,所以1AB］的最小值为4.

故选：B

解析：因为函数y=log2X在定义域上单调递增,

K/?=log25>log23=log49=«>log22=l,

又C=31-10834=3腕33-1哂4=31OS34=1<1,

4

所以Z?>a>l>c-

故选：A

3.答案：B

解析：若。<-1，且b<-1，根据不等式的加法和乘法法则可得a+A<-2,且必>1，

即必要性成立;

当a=—3，b=-g,满足a+A<_2，且">1，但是6=-工〉-1,故充分性不成立,

22

所以％+/?<-2，且">1"是"a<-1，且/?<-1”的必要不充分条件.

故选：B

4.答案：D

解析：由题意设所求的圆方程为(x-4+(y-b)=/(a<0,b>0)，

阿二网二/b=—a=r

b=-a=垃

则<卜+6-2|,即<2,解得

~l^=rr=A/2

所以圆C的方程为(x+应y+(y_0)2=2.

故选：D

5.答案：C

解析：由题意得/>(X)=-2cOS7lx]xe—g'U，贝I

g(x)=-2cos兀(x-g)=-2sin7tx(xe[0,2]).

函数y=」_的图象由函数y=l图形向右平移1个单位得到.

x-1X

由函数y=——的图象与y=g(X)的图象关于点(1,0)对称，在定义域内有4个交点.

x-1

所以函数y=L的图象与y=g(X)的图象的所有交点的横坐标之和为2x2=4

x-1

故选：C.

6.答案：A

解析：因为sin2a=-cosf2cif+j=,所以cos(Za+]]=：,

所以cos1~j-cos2(o+:J=2cos21a+：[-1=§,

2

则cosa+—=一，即cosa+-I=±—,

4J16(4)4

由aw]。,1],则2a由sin2a=-：<0，得2a兀故

兀7兀

aG

29l2

所以T，贝!Jcos[a+()<0,故cos|a+：2

4

故选：A

7.答案：C

解析：由2s,=a；+a“，当〃=1时，2si=a；+%，解得q=l,

当“22时,2s-1=吮+%，则2%=(a；+aj-(如+aa_J,

整理(4+)(%-％T=。，

又数列｛4｝为正项数列，则4+/T>0,所以。“一。1一1=0,^an-an_^l,

所以数列｛风｝是以1为首项，1为公差的等差数列，所以4=1+(〃-1)x1=〃.

因为mC=m---------=m-----------------=n-----------------------=nC.,

Mm!(n-m)!m-(m-l)!-(n-m)!(m-1)!•[(n-1)-(m-1)]!

101010

10C-1

所以E%。='比£。=S9=I。x©+C；+C；++C®)=10X29=5120.

k=\k=lk=\

故选：c

8.答案：B

解析：因为/(-%)=/(x)+2x，

设g(%)=/(1)—/+]，

则g(-x)=/(-x)-x2-x=f[x)+2x-x1-x=g(x),

即g(x)为R上的偶函数，

又当转0时，f'(x)>2x-l，

则g'(x)=/'(x)-2x+l>0，所以g(x)在(0,+oo)上单调递增，在(-oo,0)上单调递减,

因为/(2x-l)-/(x)<3x2-5x+2,

所以/(2x-l)-(2x-l)2+(2x-l)</(x)-x2+x>

即g(2x—l)<g(x)，所以|2%_[<凶，BP(2%-I)2<x2>

解得-<x<l.

3

故选：B

9.答案：BCD

解析：由实系数一元二次方程求根公式知：

方程f_%+1=0的两根为%]=工+且4，%2=2-

“2222

则%―%=[工+3i]—■—走i]="，所以国—々的实部为°，故A错误;

\2J(22J

药=\/4，X——鸟,在复平面内对应的点分别是x/L五],

2222122J122J

他们关于入轴对称，故B正确;

由％=工+

122

即㈤玉|=L故C正确;

由寸:+#i'得

、、、

f16.叵(1石.化-走】」+乌

玉+不工----------11+—H-----1+

%22~22”22222

(277\7\7

故D正确.

故选：BCD

10.答案：CD

解析：由题意X~5（5,0.8），则E（X）=5xQ8=4,D（X）=5x0.8x0.2=0.8,

所以£＞（2X+l）=4xO.8=3.2,故选项A错误；

X~5（5,0.8），则尸（乂=左）=008仙0.25-3设当X=左（左21）时概率最大，

则有1P（X=A"P（X=k+l）即Jc＞0.8/-0.25-匕域+1-0.8/+'0.22

、[尸（X=A）2尸（X=Z—1，'[C5-0,8^0.25^＞C^1-0.8AM-0.26^;

解得3.8WkW4.8，由kGZ，所以当X=4时概率最大，

则P（X=0）＜P（X=l）＜P（X=2）＜P（X=3）（P（X=4》P（X=5）,

即P（X=左）随左的增大先增大后减小，故D选项正确；

又F〜N（4,l）,则石⑺=4,D（Y）=1,E（X）=4,又X）=0.8,

所以用X）=£（N）,D（X）＜D（Y）,故选项B错误；

P（X＜4）=l-P（X=5）=l-C5-0.85-0.25-5=0.67232,

XP（y＞4）=0.5-所以P（XW4）＞P（FN4），故选项C正确.

故选：CD

11.答案：BC

解析：如图：

由题意S^sc»=；x|sqx|Sr)|=gx|SC「=1，所以|sC=|S£)|=0,

所以|SO|=|oq=|OD|=V^xsin：=l，

如图,

作出圆锥及其内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为R,

易知，圆锥内切球的半径R即等于dSCD内切圆的半径.

因为S^SCD=$△℃+S△SOQ+，所以1=++2)，

所以R=」尸=拒一1,故圆锥的内切球表面积

1+V2

S=4兀氏2=4兀(后一=(12—80)兀，

故选项B正确；

在圆锥底面上使ABJ_CO,

由于直线。，》满足a,6a1SO,b±SO,不妨令。〃AB,b//CD,符合题意，

以。为坐标原点，OA,OD,OS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系，

则S(0,0,l)，4(1,0,0)，3(—1,0,0)，C(0,-l,0)»0(0,1,0)，

设P(cos仇sin0)，9£[0,2兀],

所以S尸=(cosasin。,—1)，AB=(-2,0,0)，C0=(O,2,O)，

由异面直线向量夹角公式知：cosa—IcosSP,AB\=^_2^|cos,

cosB=「osSRC”=匡号4=4^sinq,因为夕£[0,2兀],所以|cose|e[0,1]?

2\22

所以COSO€「旬，所以a/m，故选项A错误；

所以cos%+cos2〃=-^-jcos0l+-^-|sin0\=—(cos26*+sin2^^=—>故选项D错

误;

血血11

cosacos/3=-^-|cos6||x-^-|sin6)|=—|sin6>xcos=—|sin261|，因为。40,2可，所以

2同0,4可,

所以sin28G[-l,l],所以costzcos夕=/sin2，|e0,：,故选项C正确.

故选：BC

12.答案:3

解析：AiB=A，则BqA，有3+2a=5或3+2a=〃，解得a=l或a=-1或a=3,

其中a=±l时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去，

所以实数。的值为3.

故答案为：3

13.答案：15

解析：不妨记两本相同的图书为元素1,1,两本不同的音乐书为元素3,4,根据题

意，分类讨论：

若分组情况为13,1,4时，此时分配给三个小朋友的方法有A；=6种情况；

若分组情况为14,1,3时，此时分配给三个小朋友的方法有A；=6种情况；

若分组情况为34,1,1时，此时分配给三个小朋友的方法有C；=3种情况；

综上，不同的分法共有6+6+3=15种.

故答案为：15

14.答案：或0<-1+产

解析：设4石,%）,5（%2，%），直线AB：y=Ax+m，

因为以A,5为直径的圆过点。，所以Q4LQB，即。4・05=%%2+乂%二0,

y=kx+m

联立炉y2,整理得(/一//)/—2.2%一/加2一片j=0,

彳一屏=1

且△=4左2苏/+4仅2-4左2)(。2疗+。2。2)>0,

2kmeI?-crirr^+b2)

…L"a2kV翦=4—八2，

w2Z?2-a2b2k2

贝’」%%=(何+m)(Ax+m)=Epi+km^x+x)+m2

2x2b1-erk2

-a2(nr+b2)nrb2-aW

所以

xx,+y1,y2,=——2~22、+--25--z2—：2—=0

飞2b-akb-ak

整理得。冲

k2+1b2-a2

Im\ab

即由0(0,0)到直线AB-y=kx+m的距离d

又S△曲=f

^\OA\-\OB|=|AB\-d^

而向+网0/卜网.c,

因为|。4+0第0q4|。用。@,即CW,；"2

所以/—3/+l4°nl<"l'

又b>aNA/2<e,

所以05?

故答案为：A/2,

）IF

15.答案：（1）-

3

⑵3用9

解析：（1）因为/?sinBtanA=6asinBcosC+^Z?sinCcosA，

所以sin2BtanA=上sinAsinBcosC+石sinBsinCcosA，因BG（0,TI）,所以sin5W0，

所以sinBtanA=A/3sinAcosC+V3sinCcosA=6sin（A+C）>

因sin（A+C）=sinB,所以tanA=G，因为A£（0,TI）,所以A=g.

（2）因为5。=2£>。，所以AD=AB+—3C=AB+—（AC—AB）=—AB+—AC，

33V>33

所以AD?=-AB2+-ABAC+-AC2，BP12=-c2+-x3xcx-+-x9-

9999929

即/+6c-72=0，解得c=6,或c=-12（舍），

由余弦定理，Ma2=36+9-2x6x3x-=27-所以。=3指，

2

所以△ABC的周长为+3+6=36+9・

16.答案：（1）证明见解析

（2）存在，点P为5月的中点

解析：（1）当;1=〃=!■时，AP=gAB+；A4,，故点尸是AB】的中点，

连接DP,因为点。是AC的中点，P是A片的中点，所以。P〃C片,

因为点E,R分别是Cq,G片的中点，所以ER〃C3],所以DP〃所,

因为DP.平面A&7，叱匚平面4与7，所以95〃平面4所.

c,B\

(2)存在，点尸为8月的中点.

当;1=1时，AP=AB+JuAAl＞即440,1],所以点P在棱期上，

取A©的中点。1，连接DB,则

在正三棱柱ABC-A与G中，平面ABC,△ABC是正三角形，所以£)5J_AC，

以。为坐标原点，DA,L)B,所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

如下图所示：

qLB]

X

则A1；,O,O1,BO,^-,C

)，ag'。'？]，40,与,2,c1—：,。，[,E]—g,O,l],

I2J

从而F—■-,—^-,2,A.F

=,o|,A£=(T，O，T)，

I44JI44J

AP=f--,^,J,AC=

=(-1,0,0),

I22J

设平面ME/的法向量是77Z=(%，%，zJ，

r—X,—Z,—0

,m-A.E=0

由《，即《3百，令A为=1得加二(1,G,_1).

mA^F=0-—Xj~0

设平面ACP的法向量是〃=（%2，%*2），

—x?—0

.n-AC=0口口

由<，即<1V3令Z2=石，得〃=(0,-2//,V3).

n-AP=0---%2-----%+RZ?—0

令Icos加川—此回卜2岛—国2包+6岳,得

<COStTl,rl\—.nr=—〔——--------〔----=------------------=----------，IXT

卜矶川Jl+3+lxj4〃2+3/xj4—+35

（2〃+1）2=4储+3，

解得〃=g,所以存在点P使得平面ACP与平面4E尸的夹角的余弦值是巫,

此时点P为的中点.

17.答案：（1）---

2+21n2

（2）答案见解析

解析：（1）由g（x）=lnr得g1x）=L设公切线与曲线g（x）=hu的切点坐标为

伉皿），

由已知得工=2,解得/=工

/°2

所以公切线方程为y-ln；=2(x—£|,即y=2x—l—ln2,

由］〃")=5"八二得工--x+l+ln2=0，

2

y=2x-l-ln2

由已知得A=l—4x^Qx(l+ln2)=0,解得Q=--.

2I)2+21n2

（2）由已知力（冗）=［依2+x—+。），则

〃(X)=QX+］，+1(QX+Q+1)(X—1)

JCx

当日寸,改+〃+1>0,令得%>1,令"(X)<。得0<xvl,

这时，妆力在(L+oo)上单调递增，在(0,1)上单调递减；

当时,办+〃+1<0,令得令"(x)<0得%>1,

这时，砍耳在(1,+00)上单调递减，在(0,1)上单调递增；

当_］<a<0时,令“(%)=0得x=l或x=_^^〉0，+=="+1,

①当〃=-；时，，这时/z(x)在(0,+oo)上单调递减；

②当一!<4<0时，1〈一令”(x)>0，得

2aa

令//(%)<0得0<x<l或%>一^^，

这时，丸(“在(o,i)和，与±+s］上单调递减，在答］上单调递增；

③当一1<〃<一工时，］>，+1,令得，+1<小<1,

2aa

令"(x)<0得0<%<一^^或%>1，

这时，从可在，-一］和(1,+00)上单调递减，在-,1］上单调递增；

综上，当aw-1时，丸(“在(1,+00)上单调递减，在(0,1)上单调递增；

当—1<。<一；时，〃⑴在和(1,+8)上单调递减，在上单调递增;

当。=-；时，/z(x)在上单调递减；

当_；<a<0时，妆”在(0,1)和「誓,+”上单调递减，在上单调递增；

当。之0时，网可在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减.

18.答案：(1)日期每增加一天，销售额约增加0.84万元，第4天的残差为-0.81

(2)0.907,销售额和日期的相关程度较强

(3)分布列见解析，1200

解析：（1）根据线性回归方程y=o.84x+17.45，日期每增加一天，销售额约增加

0.84万元，

把％=4代入回归直线方程，得9=0.84x4+17.45=20.81,

因为20-20.81=-0.81，所以第4天的残差为-0.81；

（2）由

1010

-可（y-歹）之（可-可2

_—i=l乂i=l_________________

LyfwW.、/、

悔xf小F2（x,F5T）

IOHo

之4一寸之（%一寸

____________i=l________________________J=1_____________

JZ-io（^-#Ew（x-y）2A恪a（/“y）

J78218

得r二B----=0.84x»0.907，

恪（y-9）259

0.907比较接近于1,故销售额和日期的相关程度较强.

（3）由%,%,%成等比数列,得且％+4+%=1，

1

%=

设其公比为q,则4-+l+q=1-所以Ll+q'

g）

q

由题意可得X的值分别为800,1000,1200,1400,1600,

则P（X=800）=d，P（x=iooo）=201a2,尸（X=1200）=a；+2o1a,=3@，

P（X=1400）=2a2%，P（X=1600）=代，

又P（X=1200"=3W3x.]=1

取得最大值的条件工=q即q=1,

-F1+q

H）

止匕时4=。2=。3二;,

故X分布列为:

X8001000120014001600

122

P

993