2024年中考数学训练-中点四大模型在三角形中的应用（知识解读）

02中点四大模型在三角形中应用（知识解读）

【专驳饯明】

线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概

念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你

会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;

还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延

长中线交平行等的应用。

【方放技巧】

模型1：倍长中线法

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.

当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫

做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACDgEDB,进而得到AC=BE且AC〃BE.

模型2：平行线夹中点

如图，AB//CD,点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.

CD

模型3：中位线

如图，在^ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中

位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE〃BC且DE=1/2BC.

模型4：连接直角顶点，构造斜中定理

【典例合析】

【模型1倍长中线法】

【典例1】【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

A

如图1,ZVIBC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线的取值范围.小明在组内

经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长4。到点E,DE=AD,请根据小明的方

法思考：

(1)由已知和作图能得到△AOCgZkEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得的取值范围是

A.6<AD<8B.6WAOW8C.1<A£)<7D.1WADW7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把

分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,是△A3C的中线，BE交AC于E,交于R5.AE^EF.求证：AC

=BF.

【变式1-11(1)在△ABC中，AB=5,AC=3,求边上的中线AD的取值范围.

(2)受到(1)启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，。是BC边上的中点,

DELDF,DE交AB于点、E,DF交AC于点F,连接EF.求证：BE+CF>EF.

【变式1-2］如图，在△ABC中，已知：点。是BC中点，连接AD并延长到点£,连接BE.

(1)请你添加一个条件使并给出证明.

(2)若AB=5,AC=3,求BC边上的中线的取值范围.

E

【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

己知：如图，E是的中点，点A在。E上，且NBAE=NCDE.

求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性

质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个

三角形也不全等，因此，要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或

等腰三角形.

现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明.

(1)延长DE到F,使得EF=DE；

(2)作CG_LZ)E于G,于尸交。E的延长线于下;

(3)过点C作C/〃AB交。E的延长线于兄

【模型2平行线夹中点】

【典例2］如图，已知AB=12,AB1BC,垂足为点B,AB1AD,垂足为点A,AD=5,BC

=10,点E是CD的中点，求AE的长.

RC

【变式2-1】如图，AB//CD,ZBCD=90°,AB=1,BC=4,CD=3,取A。的中点E,

连结BE,贝l|BE=.

【变式2-2】如图，公园有一条“Z"字形道路AB-8C-C。，其中AB〃CZ）,在E、M、F

处各有一个小石凳，且BE=CP,M为3c的中点，连接EM、MF,请问石凳M到石凳

E、产的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由.

【变式2-3】如图：已知AB〃C。，BCLCD,且0）=242=12,BC=8,E1是AD的中点,

①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；

②求BE的长.

【模型3中位线】

【典例3】如图，AABC中，平分/BAC,E是BC中点，ADLBD,AC=1,AB=4,

则DE的值为（）

【变式3-1］如图，在△ABC中，D,E,尸分别是边AB,BC,CA的中点，若的周

长为10,则△ABC的周长为.

【变式3-2］如图，等边AABC的边长是4,D,E分别为AB,AC的中点，延长8c至点R

使CF,BC，连接CO和EE

(1)求证：CD=EF；

(2)四边形。EFC的面积为.

【变式3-3］如图，在平行四边形A8CD中，点E在的延长线上，CE=DE=2BC.CD

的中点为R的中点为G,连接AB,FG.

(1)求证：四边形AFGZ)为菱形；

(2)连接AG,若BC=2,,求AG的长.

BCE

【模型4连接直角顶点，构造斜中定】

【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.已知：如图，ZBCA

=90°,AD=DB.求证：CD^IAB.

【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10,则该斜边长为（）

A.5B.10C.15D.20

【变式4-2］如图，点E是△ABC内一点，ZAEB=90°,。是边AB的中点，延长线段QE

交边BC于点尸，点尸是边8C的中点.若AB=6,EF=L则线段AC的长为（）

A.7B.生C.8D.9

2

【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.

已知：如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,C£）是斜边A8上的中线.

求证：CD=—AB.

2

证法1：如图2,在的内部作/8。石=/8,

CE与AB相交于点E.

■:NBCE=/B,

VZBCE+ZACE^90°,

AZB+ZACE=90°.

又：，

，ZACE=ZA.

J.EA^EC.

:.EA=EB=EC,

即CE是斜边A8上的中线，且CE=1A8.

2

又：C。是斜边A8上的中线，即C。与CE重合，

.\CD=-1AB.

2

请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.

02中点四大模型在三角形中应用（知识解读）

【名敦彼明】

线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概

念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你

会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;

还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延

长中线交平行的应用。

【方放技巧】

模型1:倍长中线法

如图，在aABC中，AD是BC边上的中线.

当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫

做“倍长中线”.如下图：此时，易证4ACDmEDB,进而得到AC=BE且AC〃BE.

模型2：平行线夹中点

如图，AB//CD,点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.

模型3：中位线

如图，在AABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中

位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE〃BC且DE=1/2BC.

D

BC

模型4：连接直角顶点，构造斜中定理

【舞例合符】

【模型1倍长中线法】

【典例1】【阅读理解】

课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:

如图1,△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线的取值范围.小明在组内

经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AO到点E,使。E=AD,请根据小明的方

法思考:

(1)由已知和作图能得到△AOCgZkEDB的理由是

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得的取值范围是.

A.6<AD<8B.6WADW8C.1<AD<1D.1WAOW7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形，把

分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,是△ABC的中线，BE交AC于E,交于R>AE^EF.求证：AC

=BF.

【解答】(1)解：,在△的)(?和△£/汨中

:.LADC2AEDB(SAS),

故选3；

(2)解：•.•由(1)知：AADC^AEDB,

：.BE=AC=6,AE^2AD,

•.,在aABE中，AB=8,由三角形三边关系定理得：8-6<2A£»<8+6,

.".1<AD<7,

故选C.

(3)证明：

延长AD到M,使连接

是△ABC中线，

：.CD=BD,

•.,在△AOC和中

...AADCWAMDB,

：.BM=AC,ZCAD=ZM,

'：AE=EF,

：.ZCAD^ZAFE,

ZAFE=ZBFD,

：.ZBFD=ZCAD=/M,

：.BF=BM=AC,

即AC=BF.

【变式1-11(1)在△ABC中，AB=5,AC=3,求BC边上的中线A。的取值范围.

(2)受到(1)启发，请你证明下面的问题：如图，在△A3C中，。是边上的中点,

DEA.DF,DE交AB于点E,DF交AC于点、F,连接求证：BE+CF>EF.

【解答】解：(1)延长AO到点E,使。石=AO,连接BE,

TAD是8C边的中线，

：・BD=DC,

9：ZADC=NBDE,

：.AADC^AEDB(SAS),

：.BE=AC=3,

在△ABC中，AB=5,

A5-3<AE<5+3,

/.2<AE<8,

：.2<2AD<S,

：.1<AD<4；

(2)延长/。到点G,使G0=£>R连接3G,EG,

・・・。是3。边上的中点，

：・BD=DC,

■:/BDG=/CDF,

:,ABDG乌ACDF(SAS),

：.BG=CF,

U：DE±DF,

・・・EO是G尸的垂直平分线，

：.EG=EF,

在△BEG中，BE+BG>EG,

：.BE+CF>EF,

【变式1-2］如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接并延长到点E,连接BE.

(1)请你添加一个条件使△AC。0并给出证明.

(2)若AB=5,AC=3,求2C边上的中线的取值范围.

【解答】(1)结论：若要使△ACD四△EBD,应添上条件：AC//BE^AD=DE；

证明：当AC〃BE时，

'：AC//BE,

：.ZCAD=ZE,ZACD=ZEBD,

又•.•。为BC的中点，

:.BD=CD,

在△AC。和中，

...△ACD四△EB£>(AAS)；

当A£)=£>E时，

•.,点。是BC中点，

:.BD=DC,

在△AC。和△EBD中，

:.MACD/XEBD(SAS),

(2)解：V/\ACD^/\EBD,

：.AC=BE=3,

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

即5-3<2AD<5+3,

.\2<2AD<8,

：.1<AD<4.

【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

己知：如图，E是BC的中点，点A在QE上，且

求证：AB—CD.

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性

质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个

三角形也不全等，因此，要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或

等腰三角形.

现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明.

(1)延长DE到R使得跖

(2)作CG_LZ)E于G,于尸交。E的延长线于尸；

(3)过点C作CP〃AB交DE的延长线于足

【解答】解：方法一：延长OE到F使得EF=DE,连接BE

在ADEC和AFEB中，

'DE=FE

<Z1=Z2>

BE=CE

△DEg^FEB,

：.ZD=ZF,DC=FB,

'：ZBAE=ZD,

：.ZBAE=ZF,

:.BA=BF,

：.AB=CD.

方法二：作CG_LDE于G,BPLDE'于尸交。E的延长线于厂

VCGIDE,BF±DE,

：.ZCGE=ZBFE=90°,

在ACGE和△BEE中，?

rZCGE=ZBFEA/\

，Z1=Z2，/\

BE=CE//\

△CGE且ABFE,B4灌--

»»

：.BF=CG,\：

it••

在AAB尸和△DCG中，•：

9•

AABF^ADCG,

：.AB=CD.

方法三：过点C作CF//AB交DE的延长线于F.

VCF//AB,

：.ZBAE=ZF,ZB=ZFCE,

在△ABE和中，

2BAE=NF

<NB=/FCE，

BE=CE

LABE%AFCE,

：.AB=FC,

ZBAE=ZD,ZBAE=ZF,

：.ZD=ZF,

：.CF=CD,

：.AB=CD.

【模型2平行线夹中点】

【典例2】如图，己知AB=12,ABLBC,垂足为点2,ABLAD,垂足为点A,A£>=5,BC

=10,点E是CD的中点，求AE的长.

【解答】解：如图，延长AE交BC于点尸,

,点E是CD的中点

：.DE=CE,

\'AB±BC,ABLAD

：.AD//BC

：.ZADE=NBCE且£)£=CE,ZAED=ZCEF

:.AAED2AFEC(ASA)

：.AD^FC^5,AE=EF

：.BF=BC-FC=5

：.在RtAABF中，AF=4AB2+即2=13

：.AE=^-=—

22

【变式2-1】如图，AB//CD,N8C£>=90°,A8=l,BC=4,0)=3,取A。的中点£,

连结BE,贝!]8E=.

【答案】V5

【解答】解：延长BE交CD于点F,

'：AB//CD,

：.ZABE=ZDFE,

在AABE与△。尸E中，

,ZABE=ZDFE

-BE=FE，

ZAEB=ZDEF

/.AABE^ADFE(ASA),

:.BE=EF=LBF,AB=DF=1,

2

：.CF=2,

BF=A/BC2KF2==2V5>

:.BE=LBF=如,

2

故答案为：V5.

【变式2-2】如图，公园有一条“Z"字形道路AB-8C-CD其中AB〃CD,在E、M、F

处各有一个小石凳，且BE=CP,M为BC的中点，连接EM、MR请问石凳M到石凳

E、尸的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由.

【解答】解：石凳M到石凳E、歹的距离ME、敏相等.理由如下:

'JAB//CD,

:.NB=NC,

又为BC中点，

：.BM=MC.

在△BEM和△CE0中,

'BE=CF

<NB=NC，

BM=CM

:ABEM沿ACFM(SAS),

:.ME=MF.

即石凳M到石凳E、尸的距离ME、MF相等.

【变式2-3】如图：已知A3〃C£),BCLCD,且CD=2AB=12,BC=8,E是AD的中点,

①请你用直尺(无刻度)作出一条线段与BE相等；并证明之；

②求BE的长.

【解答】解：①延长BE与CD相交于点F,则EF=BE,

证明：-JAB//CD,

ZABE=ZDFE,

是AD的中点，

：.AE=DE,

在△A£B与△£)£尸中，

/.AA£B^△△£)££(A4S),

：.BE=EF；

②△AEB四△ADEF,

：.DF=AB=6,BE=EF=LBF,

2

：.CF=CD-DF=6,

'：BC±CD,

22

...BF=VBC-H：F=1°，

.•.BE=Lp=5.

2

【模型3中位线】

【典例3】如图，ZVIBC中，A。平分/BAC,E是BC中点，AD±BD,AC=7,A8=4,

C.1D.3

22

【答案】D

【解答】解：延长8。交AC于",

在△ADB和中,

：./\ADB^/\ADHCASA).

：.AH=AB=4,BD=DH,

：.HC=AC-AH=3,

,:BD=DH,BE=EC,

.,.£)E=AHC=A,

22

故选：D.

【变式3-1］如图，在△ABC中，D,E,厂分别是边AB,BC,CA的中点，若△。斯的周

长为10,则△ABC的周长为

【答案】20

【解答】解：：点。，E,P分别是△ABC的AB,BC,CA边的中点,

:.EF、DE、。/为△ABC的中位线，

：.EF=^AB,DF=LBC,DE=kAC,

222

；.AB=2EF,BC=2DF,AC=2DE,

•.•△OEE的周长为10,

：.EF+DE+DF=\0,

：.2EF+2DE+2DF=23

：.AB+BC+AC=20,

：.ZkABC的周长为20.

故答案为：20.

【变式3-2］如图，等边△A8C的边长是4,D,E分别为AB,AC的中点，延长8c至点尸,

使CF^BC，连接CO和EF

(1)求证：CD=EF；

(2)四边形。EFC的面积为.

【解答】(1)证明：在△48C中，

:D、E分别为AB、AC的中点，

；.£)£■为△ABC的中位线，

.".£)£=ABC,

2

•：CF=1BC,

2

：.DE=CF.

(2)解：过点D作于*

AABC是等边三角形，

：.AC=BC,ZACB^60°,

'：AD=BD,

:.CDLAB,ZDCB=AZACB=30°,

2

：BC=4,BD=2,

C£>=VBC2-BD2=Vl2-22=2V3，

VZ£)HC=90°,

:.DH=、DC=e，

2

：£)£■为△ABC的中位线，

J.DE//CF,

\'DE=CF=^BC=2,

2

...四边形DEFC是平行四边形，

S四边形DEFC—CF*DH—2X.

故答案为：2a.

【变式3-3］如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE=DE=2BC.CD

的中点为ROE的中点为G,连接AEFG.

(1)求证：四边形AFG。为菱形；

(2)连接AG,若BC=2,,求AG的长.

【解答】(1)证明：•••四边形ABC。是平行四边形,

C.AD//BC,AD=BC,

：£>E的中点为G,

：.DE=2DG,

：CD的中点为尸，

FG是ADFG的中位线，

：.CE=2FG,FG//CE,

J.FG//AD,

'：CE=DE=2BC,

:.FG=DG=BC,

：.AD=FG,

四边形AFGD是平行四边形，

,:FG=DG,

四边形AFGD为菱形；

(2)解：连接AG交。尸于点。,

•；四边形ABCD是平行四边形，

；./B=/ADO,AD=BC=2,

•••四边形AFGD为菱形，

C.AGLDF,AG=2A0,

在RtZXADO中，，

/.ImAADO-

DO2

...设A0=3尤，D0=2x,

"：AO1+Db2=AD2,

(3x)2+(2x)2=4,

逗■或x=-2^^(舍去)，

1313

.•.AG=240=,

13

：.AG的长为"J行.

13

【模型4连接直角顶点，构造斜中定】

【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.已知：如图，ZBCA

=90°,AD=DB.求证：CD^IAB.

【解答】解：证法1：如图2,在/AC8的内部作

CE与AB相交于点E.

'：ZBCE=ZB,

：.EC=EB,

VZBCE+ZACE^90°,

AZB+ZACE=90°.

又•.,NA+NB=90°,

ZACE=ZA.

J.EA^EC.

：.EA=EB=EC,

即CE是斜边AB上的中线，且CE=」=A8.

2

又；C£）是斜边AB上的中线，即C£>与CE重合,

.".CD=AAB；

2

证法2：延长C。至点E,使得£>E=CD连接AE、BE.如图3所示:

\'AD=DBfDE=CD.

J四边形ACBE是平行四边形.

又・・・NAC3=90°,

・•・四边形AC5E是矩形.

：.AB=CE,

又•.<£)=JiCE,

2

：.CD=^AB；

2

证法3：延长CD到E,使DE=CD,连接AE,

是斜边AB的中线，

：.BD^AD,

'：ZCDB=ZEDA,CD=DE,

：./\CDB^/\EDA(SAS),

CB=AE,ZB=ZDAE,

：.CB//AE,

：.ZBCA+ZACE=18Q°,

VZACB=9Q°,

：.ZCAE=90°,

,/CB^AE,ZBCA^ZEAC^9Q°,AC^CA

.,.△ABC四△CEA（SAS）,

：.AB=CE

■:CE=2CD

：.AB^1CD.

【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10,则