河北省廊坊市六校联考2024届高考全国统考预测卷数学试卷含解析

河北省廊坊市六校联考2024届高考全国统考预测密卷数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题0：存在实数％,对任意实数X,使得sin(尤+后)=一sinx恒成立；q：/(x)=In——^为奇函数,

a-x

则下列命题是真命题的是()

A.P^qB.(可)v(->q)C.p八(~>q)D.(-<p)Aq

2.1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客

人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，

发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针

落地后与直线相交的概率约为()

1321

A.----B.一C.—D.一

27r717171

3.若直线2x+y+m=0与圆/+2工+/-2丁—3=0相交所得弦长为2石，则加=()

A.1B.2C.75D.3

4.设过点P(%,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,3两点，点。与点p关于y轴对称，。为坐标

原点,若BP=2PA，且OQ-AB=1，则点尸的轨迹方程是()

3cc3c

A.—x2+3y2=l(x>0,y>0)B.—x2-3y2=l(x>0,y>0)

33

C.3x2--/=l(x>0,y>0)D.3%2+-y2=l(^>0,y>0)

5.已知复数ZI=cos23+zsin23和复数Z2=cos37+zsin37,贝！|21・Z2为

一显iB,3+LC.3D.Si

22222222

6.已知向量。与a+b的夹角为60°,,=1,欠=石，则。力=()

J3少33

A.------B.0C.0或---D.-----

222

7.已知角〃的终边经过点。（-4冽,3加）（mw。），则2sina+cosa的值是（）

2222

A.1或一1B.二或一二C.1或一1D.T或二

8.函数〃%）=（%2一4%+1）"的大致图象是（）

22

9.双曲线C：土-匕=1（m>0）,左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线C的渐近线方程为（)

5m

A.2x±5y=0B.2》±岛=0C.氐±2y=0D.氐±y=0

22

10.已知椭圆。：=+当=1的短轴长为2,焦距为2后耳、鸟分别是椭圆的左、右焦点，若点P为C上的任意一

CTb2

11

点,则布后+限7的取值范围为（）

A.[1,2]B.C.[后,4]D.[1,4]

11.等差数列｛为｝的前〃项和为S,,,若％=3,$5=35,则数列｛4｝的公差为（)

A.-2B.2C.4D.7

x>l

12.已知实数x,y满足x—yWO,则z=x2+>2的最大值等于()

x+2j-6<0

A.2B.2A/2C.4D.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

412

13.在ABC中，内角AB,C所对的边分别是a,b,c,^cosB=-,cosC=—,b=l,则。=.

14.在各项均为正数的等比数列｛%｝中，q=2,且24%，3%成等差数列，贝！]a“=.

15.已知向量a=（l,m）,Z?=（2,l）,且a_1/?,贝!]

16.若函数/(乃=必+矣u为奇函数，则。=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/■(力=力"-1/一羽。€氏"2.71828…是自然对数的底数.

⑴若a=—e,讨论了(%)的单调性；

(2)若/(九)有两个极值点占,甚，求。的取值范围，并证明:看々>/+%.

ax2+x+l

18.（12分）已知函数/（%）=------------1•

ex

(1)证明：当％>0时，/>«；

(2)若函数/(九)只有一个零点，求正实数。的值.

19.(12分)已知函数/(x)=犬-mx+21nx+4.

(1)当加=5时，求/'(x)的单调区间.

(2)设直线/是曲线y=/(x)的切线，若/的斜率存在最小值-2,求心的值，并求取得最小斜率时切线/的方程.

(3)已知/Xx)分别在国，%处取得极值，求证：/(^)+/(%2)<2,

20.（12分）如图，在等腰梯形ABC。中，AO〃BC,AD^AB=CD=2,BC=4,M,N,Q分别为BC,CD,

AC的中点，以AC为折痕将_ACE>折起，使点。到达点尸位置(Pe平面ABC).

(1)若〃为直线QN上任意一点，证明：〃平面A5P；

1T

(2)若直线与直线所成角为一，求二面角A-PC-5的余弦值.

4

21.(12分)已知数歹U{a〃}满足囚=1,a〃+i=11+eN*.

(I)证明：当"22时，an>2(neN*)；

111cl

(II)证明：4+1=77%生+-(+2_R“eN*);

1-22-3几+1)2

(Ill)证明：/<IIG-1,e为自然常数.

22.(10分)设椭圆C：二+《=1(。〉。〉0)的左、右焦点分别为耳，F],下顶点为A，椭圆C的离心率是且,

ab2

"4月的面积是

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)直线/与椭圆C交于3,。两点(异于A点)，若直线A3与直线4。的斜率之和为1,证明：直线/恒过定点,

并求出该定点的坐标.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

分别判断命题。和q的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.

【详解】

对于命题"，由于sin(x+»)=-sinx,所以命题”为真命题.对于命题1,由于。>0,由"*>0解得-a<x<a,

且〃—%)=111匕=111[9]--In---/(x),所以/(%)是奇函数，故4为真命题.所以。人4为真命题.

a+xa-x

(r?)v(-)a)、。A(「<?)、(「°)Aq都是假命题.

故选:A

【点睛】

本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.

2、D

【解析】

根据统计数据，求出频率，用以估计概率.

【详解】

704〜1

2212

故选:D.

【点睛】

本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.

3、A

【解析】

将圆的方程化简成标准方程，再根据垂径定理求解即可.

【详解】

圆f+2x+/一2y—3=0的标准方程(x+1)?+(y—I)?=5，圆心坐标为(一1,1),半径为亚，因为直线2x+y+m=Q

与圆好+2工+/一2丁—3=0相交所得弦长为2石,所以直线2%+丁+m=0过圆心,得2><(-1)+1+〃?=0,即m=1.

故选：A

【点睛】

本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法，属于基础题.

4、A

【解析】

设A,3坐标，根据向量坐标运算表示出BP=2PA，从而可利用MV表示出。力；由坐标运算表示出AB=1,代

入a,b整理可得所求的轨迹方程.

【详解】

设A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0

(1、z、\x=2(a-x\=—>0

BP=2PA.,Ax,y-b)=2(a-x,-y)9gp^'/2

b-b=-2y[b=3y>0

RQ关于y轴对称.-.2(-x,y)

3

OQ-AB=(-x,­(-a,Z>)=ax+by=l-%2+3y2=l(x>0,y>0)

故选：A

【点睛】

本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平

面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.

5、C

【解析】

利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出.

【详解】

ziZ2=(cos230+isin23°)•(cos370+/sin37°)=cos60°+isin60°=—+乌

"22

故答案为C.

【点睛】

熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系,

点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.

6、B

【解析】

由数量积的定义表示出向量。与的夹角为60°,再由5=卜「，/T,代入表达式中即可求出心。.

【详解】

由向量。与4+6的夹角为60°,

得a.(.+/?)=a?+a-/?=|4z||a+Z?|cos60°,

所以+4/=；忖,(a+匕)=^-1a|sja'+2a-b+b~,

又M=1,W=VJ,a=|a|2,b=|『，

所以l+a»=\xlxJ1+2a0+3,解得。力=0.

故选：B

【点睛】

本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题.

7、B

【解析】

根据三角函数的定义求得sina,cosfl后可得结论.

【详解】

由题意得点尸与原点间的距离r=J(—4/n)2+(3.)2=5|m|.

①当zn>0时，r=5m,

.3m3—4m4

•**sin。————,cos。-----——

5m55m5

342

；・2sin。+cosa=2x------

555

②当加<0时，r——5m9

.3m3—4m4

/•sin^z------=—,cos。------——

—5m5—5m5

342

，2sina+cosa=2xH——-----

55

22

综上可得2sina+cosa的值是不或-1.

故选B.

【点睛】

利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,

该点到原点的距离r,然后再根据三角函数的定义求解即可.

8、A

【解析】

用0排除B,C；用x=2排除。；可得正确答案.

【详解】

解：当了＜0时,%2—4-x+1>0,s'>0»

所以〃力＞0,故可排除3,C；

当％=2时，/（2）=-3e2＜0,故可排除D

故选：A.

【点睛】

本题考查了函数图象，属基础题.

9、B

【解析】

首先求得双曲线的一条渐近线方程标X-6y=0,再利用左焦点到渐近线的距离为2,列方程即可求出机，进而求

出渐近线的方程.

【详解】

设左焦点为（-G。），一条渐近线的方程为J赢-J?y=O,由左焦点到渐近线的距离为2,可得।也1=诟=2,

2x「

所以渐近线方程为y=±7彳，即为2x土百y=0,

故选：B

【点睛】

本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.

10、D

【解析】

先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到归用+|桃|=4,利用二次函数的性质可求以助氏乃归4,从而可得

11

西+西的取值范围.

【详解】

lr2

由题设有b=l,c=G，故a=2,故椭圆C:—+y2=i,

4'

因为点P为C上的任意一点，故怛制+怛囚=4.

1_____1团+=闾=4_4

又西+西=阿阿=河西一西阡W'

因为2—6制<2+6,故娟（4-|P&K4,

,11,

所以1<1--------\+1-------r—4

所以户耳|\PF2\-

故选：D.

【点睛】

22

本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆。：彳+2=1（。〉。〉0）的左、右焦点分别是耳、F2,点p为C上的

任意一点，则有制+怛闾=2。，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.

11、B

【解析】

在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得生，再由等差数列通项公式求得公差.

【详解】

在等差数列｛4｝的前〃项和为s“，则S5==5/=35n4=7

贝!|4=q+2d=3+2d=7=>d=2

故选：B

【点睛】

本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.

12、D

【解析】

画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z的最大值.

【详解】

画出可行域如下图所示，其中A，,£|,C（2,2）,由于［0川=，2+［：=g,Qq=2夜,所以

所以原点到可行域上的点的最大距离为2亚.

所以z的最大值为（20）2=8.

本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

56

【解析】

先求得sinB,sinC的值，由此求得sinA的值，再利用正弦定理求得«的值.

【详解】

由于COSB=±COSC=L,所以sin5=-cos?3=，,sinC=Jl-cos2c=2,所以

513513

2A〈＜久

sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=—x1——x—=——.由正弦定理得

51351365

56

a_b_b•sinA_65_56

sinA-sinB-sinB-。-39

5

故答案为：—

39

【点睛】

本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和

定理，属于中档题.

14、2"

【解析】

利用等差中项的性质和等比数列通项公式得到关于q的方程，解方程求出q代入等比数列通项公式即可.

【详解】

因为2%%，3%成等差数列,

所以2a3=2%+3%，

由等比数列通项公式得，

%==2q',a2=a]q=2q,

所以2x2/=2x2+6q,

解得q=2或q=-3，

因为〉0,所以q=2,

所以等比数列｛4｝的通项公式为

%=弓产=2X2”T=2".

故答案为：2"

【点睛】

本题考查等差中项的性质和等比数列通项公式；考查运算求解能力和知识综合运用能力；熟练掌握等差中项和等比数

列通项公式是求解本题的关键；属于中档题.

15、-2

【解析】

根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数的等式，即可求得实数机的值.

【详解】

fl=(l,m),人=(2,1)且”_L6，则a-b=2+加=0，解得力=一2.

故答案为：—2.

【点睛】

本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.

16、-2

【解析】

由f。)是定义在R上的奇函数,可知对任意的x,/(-%)=-/(%)都成立，代入函数式可求得a的值.

【详解】

由题意,f(x)的定义域为R,/(%)=%2+-^―=x2(l+-^-1

2+1I2+1J

是奇函数，则/(-%)=-/(%)，即对任意的x,(―x)211+5看，-x2+WJ］都成立，

a(a\

ttl+—=-1+^7，整理得。+2=0,解得a=-2.

2+1I2+1J

故答案为：-2.

【点睛】

本题考查奇函数性质的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)减区间是［o,J),增区间是',+<!；(2)证明见解析.

【解析】

(1)当。=一e时，求得函数/(%)的导函数/'(尤)以及二阶导函数/'⑺，由此求得了(%)的单调区间.

1nYInv

(2)令f(x)=0求得a=——，构造函数g(x)=——，利用导数求得g(x)的单调区间、极值和最值，结合/(%)

XX

ln&+%)Jn/_。_如(石々)证得

有两个极值点，求得。的取值范围.将为,々代入/'(》)=加♦依列方程组，由

%+x?x2石+%

XxX2>%1+%2.

【详解】

(1)f\x)=lnx-ax=lnx+ex,

--f'-0,

X/"(x)=-+e>0,所以,(x)在(0,+电)单增,

从而当工£0,：

时,/。)<0,/(同递减,

当时，〃尤)递增.

]nY

(2)/'(%)=/加一双,令/(％)=0=>〃=--

JC

令g(x)=g，则g'(x)=1-lnx

Xx2

故g(x)在(O,e)递增，在(e,+8)递减,

所以g(x)mx=g(e)=f注意到当X>1时g(x)>0.

所以当。<0时，/(%)有一个极值点,

当0<a<,时，/(九)有两个极值点,

e

当a24时,/(九)没有极值点,

e

综上

因为为,X?是/(%)的两个极值点,

In玉一町=0In%=axx

所以=><

Inx2-ax2=0In%2=以2

不妨设%v9，得1<玉<e<x?9

因为g(x)在(e,+oo)递减,且再+々＞々，

所以如(芯+%2)＜生玉ln(x+羽)

=>————"~<a

%+%2%%+%2

又1nxi+ln%2=〃(再+%2)

玉

ln(x+x9)ln(x,x9)

所以----------<--------=>玉%>玉+%

%+%2%+%2

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化

归与转化的数学思想方法，属于难题.

18、(1)证明见解析；(2)

2

【解析】

⑴把二八9转化成"glnx，令g(x)=x-glnx,由题意得，即证明g(%)而U＞0恒成立，通过导数求证即可

(2)直接求导可得，，“、"Car，令/(%)=0,得x=2——或x=0,故根据0与2+—的大小关

J(x)=----------；---------aa

系来进行分类讨论即可

【详解】

<<。<

证明：(1)令g(九)二九——Inx,贝!)g'(犬)=1-----=———・

22%2%

分析知，函数g(x)的增区间为(1,+co),减区间为［,|

^r^^xe(O,+co)0vr,g(x)mm=g^=|-|ln|=|^l-ln|J|^l-ln|^>0

所以x>0nx,即Qin-，

所以p%、r2•

所以当X>0时，揖、1.

解：(2)因为/(》)=竺±±1—1,所以—以2+(2。一1.一a

e',⑺-一

讨论：

i/(尤2、

①当。=时，/'(%)=---—<0,此时函数/(x)在区间(-*口)上单调递减.

又/(0)=0,

故此时函数/(x)仅有一个零点为0；

②当0<a<!时，令/''(x)>。，得2a_l<x<0,故函数/(%)的增区间为［9」,o］,减区间为Jo,2")

2a\a)\a)

(0,+8).

又极大值/(0)=0,所以极小值

当x<一工时，有0<《<1.

a

又ax?+x+l>改N+%>o，此时/(x)>。，

故当0<。<：时，函数/(X)还有一个零点，不符合题意；

③当a〉工时，令/'(X)>0得0<_¥<幺」，故函数/(%)的增区间为［0,牝」］,减区间为(一00,0),\2a\+00

2a\ciJ\a

又极小值/(0)=0,所以极大值/［号口］>0.

若x>2,则(a+1)£—(内^+x+1)=*—1—1,得++%+］,

所以/(X)="+1+1—1

ex

(a+l)x2

<--------1

ex

(a+l)x2-ex

ex

5

<(〃+l)%2-x2

x~[(a+1)-

一

所以当x>2且无〉(a+l)2时，/(x)<0,故此时函数/(x)还有一个零点，不符合题意.

综上，所求实数。的值为1.

【点睛】

本题考查不等式的恒成立问题和函数的零点问题，本题的难点在于把导数化成因式分解的形式，如

(2a-1)

，八一"厂―一1厂，进而分类讨论，本题属于难题

f(%)=-------;-----

e

19、(1)单调递增区间为(2,a)；单调递减区间为1;,2,(2)m=6,2x+y—1=0；(3)证明见解析.

【解析】

(1)由/'(x)的正负可确定/(%)的单调区间；

(2)利用基本不等式可求得％=1时，/'(%)取得最小值4-m，由导数的几何意义可知4-加=-2,从而求得加，

求得切点坐标(1,7(1))后，可得到切线方程；

(3)由极值点的定义可知外,9是2/—〃忒+2=0的两个不等正根，由判别式大于零得到机的取值范围，同时得到

2

韦达定理的形式；化简/(内)+/(9)为-?+6,结合加的范围可证得结论.

【详解】

(1)由题意得：/(九)的定义域为(0,+。)，

当m=5时，/(x)=x2-5x+21nx+4,

<22X2-5X+2a")—),

f(x)=2x-5+-=----------=-------------

xxx

二当了4°[]和(2，+8)时，/'(X)>0；当xe'：]时，/'(x)<0,

.•./(X)的单调递增区间为(2,+s)；单调递减区间为

7/?2

(2)x>0,所以，/'(x)=2XH---m>2j2x-----m=4-m(当且仅当2%=—，即x=l时取等号)，

XyJCX

切线/的斜率存在最小值-2,二4-m=—2,解得：7九=6,

.-./(1)=1-6+4=-1,即切点为(1,—1),

从而切线方程/：y+l=-2(%—1),即：2x+y-l=0.

2x2mX+2

(3)f(x)=2x+--m=~,

XX

/(x)分别在再，9(%wW)处取得极值，

.•/，W&)是方程2厂—"a+2=0,即2炉—如+2=0的两个不等正根.

m

A=m2—16>0>解得：m2>16>且石+%2=］〉0，xix2~■

2

；•/(%)+/(x2)=Af+xf-m(jq+A2)+8+21n(xlx2)=(^+x2)-2xtx2-+x2)+8+21n)

=f—-2X1-/71X—+8+21nl=--+6,

⑴24

加2

m2>16，-----F6<2,

4

即不等式/(西)+/(%)<2成立.

【点睛】

本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、导数几何意义的应用、利用导数证明不等

式等知识；本题中证明不等式的关键是能够通过极值点的定义将问题转变为一元二次方程根的分布问题.

20、(1)见解析(2)巨

7

【解析】

⑴根据中位线证明平面"NQ平面R43,即可证明MH〃平面A5P；(2)以QM,QC,QP为x,y,z轴建立

空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：连接QM,

'：M,N,Q分别为BC,CD,AC的中点,

...QMAB,

又：QM(Z平面IB,ABi平面

AQM,：平面ELB,

同理，QN〃平面R4B,

；QMu平面MAQ,QNu平面脑VQ,QMQN=Q,

二平面"NQ平面孔IB,

平面MNQ,

:.MH〃平面ABP.

(2)连接PQ,在ABC和ACD中，由余弦定理可得，

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC

AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC'

由NABC与/ADC互补，AD^AB^CD=2,BC=4,可解得4。=26，

于是5c2=AB2+AC2,

：.AB±AC,QMLAC,

TT

•：QMAB,直线AB与直线MN所成角为:，

4

TT

：.ZQMN=-,又QM=QN=1,

4

71

•\ZMQN=-,即QMLQN,

QAf，平面APC,

平面ABC_L平面APC,

•.•。为AC中点，PQ^AC,

.•.P。，平面ABC,

如图所示，分别以QM,QC,QP为X,y,Z轴建立空间直角坐标系，则8(2,-百,0),C(0,V3,0),P(0,0,l),

PB=(2,-A-1)»PC=(0,V3,-l).

A

设平面PBC的法向量为〃=(x,yz),

2x-6y-z=0

nPB=O,即《

n-PC=O6y-z=0

令y=l,则％=指，z=5可得平面尸的一个法向量为〃=(g,l,6).

又平面APC的一个法向量为根=(1,0,0),

.m-nV21

•・cos<m,n>=----------=------,

\m\-\n\7

二面角A—PC—6的余弦值为叵.

7

【点睛】

此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.

21、(I)见解析(II)见解析(III)见解析

【解析】

(1)运用数学归纳法证明即可得到结果

(2)化简aJ”+1+L运用累加法得出结果

n+1n+n2"

(3)运用放缩法和累加法进行求证

【详解】

(I)数学归纳法证明，：：・时，八二3

①当"一：时，%=二4+!=」孑一成立；

②当寿一分时，假设422成立，则看—尢+1时

/+々+1,111j21o

+后72+产+百。尹>2

所以8=k+l时，”>2成立

综上①②可知，"22时，人」】

,n+月+1111

Z⑺TTX由2KT%+­=a.+---------a.+—

2,忒力+D2”

得-=，a+之

«(»+1)2"

所以%-%=—4+-X；11

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