2024年江苏省南京市高考数学一模试卷

2024年江苏省南京市高考数学一模试卷

一、单选题

1.(5分)集合尸={xCR|y=/”(3-无)},Q={yeR|y=2£,xEP],则尸C1Q=()

A.(…，3)B.(0,3)C.(1,3)D.(-8)

2.（5分）若复数z的共辗复数2满足i♦2=4+3i（其中i为虚数单位），贝Uz•2的值为（）

A.V7B.5C.7D.25

3.（5分）随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有1〜6共六个数字，

记事件4="骰子向上的点数是1和3”，事件8="骰子向上的点数是3和6”，事件C

="骰子向上的点数含有3”，则下列说法正确的是（）

A.事件A与事件8是相互独立事件

B.事件A与事件C是互斥事件

C.P（A）=P（B）=今

D.P（C）=1

4.（5分）在平行四边形ABC。中，E、尸分别在边A。、CD上,AE=3ED,DF=FC,AF

5.（5分）在三棱锥尸-ABC中，E4_L平面ABC,E4=6,BC=3,^CAB=则三棱锥尸

6

-ABC的外接球半径为（）

A.3B.2V3C.3V2D.6

6.（5分）已知函数/（久）=sin⑷x+看）在（0,勺上恰好取到一次最大值与一次最小值，则

3的取值范围是（）

A.（4,7]B.[4,7）C.（7,10]D.[7,10）

7.（5分）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1,1,2,3,5,8,…，

该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和，即递推关系式为即+2=即+1+斯，”CN*,

故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列｛•｝的

通项公式为斯=4•（苧尸+B•（♦&）%其中A,B的值可由和及得到，比如兔

子数列中m=l,“2=1代入解得4=看,3=—奈.利用以上信息计算［（等纲=（）

（国表示不超过x的最大整数）

A.10B.11C.12D.13

13^^、，、

8.（5分）已知a=而^,b=2近，c=--（其中e为自然常数），则〃、b、c的大小关

系为（）

A.a<c<bB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

二、多选题

（多选）9.（5分）已知Q—索广的展开式中共有7项，贝|（）

A.所有项的二项式系数和为64

B.所有项的系数和为1

C.二项式系数最大的项为第4项

D.有理项共4项

（多选）10.（5分）一组样本数据xi,X2,…，物的平均数为4区H0）,标准差为s.另一

组样本数据物+1，知+2,…，％2〃，的平均数为3礼标准差为S.两组数据合成一组新数据

XI,x2,…，Xn,W+1,…，X2n,新数据的平均数为歹，标准差为/,则（）

A.y>2xB.y=2xC.s'>sD.sr=s

(多选)11.(5分)已知函数)=/(%)的导函数y=/(x),且/(x)=-(x-xi)(x-X2),

X1<X2,贝|()

A.X2是函数y=/（x）的一个极大值点

B.f（xi）<f（X2）

C.函数y=/（x）在x=直产处切线的斜率小于零

D./（空）>0

（多选）12.（5分）正方体ABC。-481C1D1的棱长为1,中心为。，以。为球心的球与

、・2耳71

四面体A31C01的四个面相交所围成的曲线的总长度为二一，则球。的半径为（）

V15V15V15V15

A.——B.——C.—D.——

241263

三、填空题

13.（5分）某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对

中国的印象，使用频率前12的关键词为：高铁、移动支付、网购、共享单车、一带一路、

无人机、大熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村.其中使用频率排前四的

关键词“高铁、移动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”.从这

12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的选法种

数为（用数字作答）.

/rrW（-JT

14.（5分）已知sin（a+z）=曰ae（―,it）,则tan（a—*）=.

65212---------

15.（5分）设。。1：合+、2=1与。。2：/+5—2）2=4相交于4,B两点，则以为

16.（5分）已知直三棱柱A8C-4B1C1中，AB±BC,AB=BC=BBi=2,D,E分别为棱

AiCi,AB的中点，过点Bi,D,E作平面a将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为

Vi,V2（V1<V2）,则吻=；平面a截此三棱柱的外接球的截面

面积为•

四、解答题

17.（10分）在①Si,S2,S4成等比数列，②。4=202+2,③S8=S4+S7-2这三个条件中任选

两个，补充在下面问题中，并完成解答.

已知数列｛板｝是公差不为0的等差数列，其前〃项和为品，且满足,.

（1）求｛.｝的通项公式；

„1111

（2）求+++…+.

。2a3a3a4

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.

18.（12分）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWoHdCupQaS2022）决赛中，阿根廷

队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社

团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进

行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生40

女生30

合计

(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别

有关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知

男生进球的概率为马女生进球的概率为占每人射门一次，假设各人射门相互独立，求

3人进球总次数的分布列和数学期望.

2

n(ad—bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

P(蜉》左)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.(12分)在△ABC中，A,3,C的对边分别为a,b,c,acosB-2〃cosC=(2c-b)cosA.

(1)若c=Wa,求cos3的值；

(2)若人=1,NBA。的平分线AD交8。于点。，求AO长度的取值范围.

20.(12分)如图，在△A3C中，是3。边上的高，以AO为折痕，将△AC。折至△AP0

的位置，使得尸BLAB.

(1)证明：尸5_1平面45。；

(2)若AO=尸8=4,80=2,求二面角5-以-。的正弦值.

P

XV

21.(12分)已知双曲线C：---=1(a>0,6>0)的左顶点为A,过左焦点尸的直线

a2bz

与C交于P,。两点.当PQLx轴时，|B4|="U,△B4。的面积为3.

(1)求C的方程；

(2)证明：以尸。为直径的圆经过定点.

22.(12分)已知函数/(%)=-不和g(x)=生要有相同的最大值.

CL6人

(1)求实数。；

(2)设直线y=b与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有四个不同的交点，其横坐标分

别为XI,X2,X3,X4(X1<X2<X3<X4),证明：X1X4=X2X3.

2024年江苏省南京市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、单选题

1.(5分)集合尸={xCR|y=/”(3-无)},Q={yCR|y=2x,xEP],则PAQ=()

A.(-8,3)B.(0,3)C.(1,3)D.(-8)

【解答】解：根据对数函数定义域可得P={xCR|无＜3},

由指数函数的值域可得Q={yeR|y＞0},

所以尸AQ=(0,3).

故选：B.

2.(5分)若复数z的共轨复数2满足＞2=4+3i(其中i为虚数单位)，则z-2的值为()

A.V7B.5C.7D.25

【解答】解：因为＞2=4+33所以2=3—4i,

所以z=3+4i,故z-2=(3+4i)(3-4i)=25.

故选：D.

3.(5分)随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有1〜6共六个数字，

记事件A="骰子向上的点数是1和3"，事件B="骰子向上的点数是3和6”，事件C

="骰子向上的点数含有3”，则下列说法正确的是()

A.事件A与事件8是相互独立事件

B.事件A与事件C是互斥事件

C.P(A)=PCB)=表

D.1

【解答】解：根据题意，随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有1〜

6共六个数字，共有6X6=36种情况；

事件A="骰子向上的点数是1和3”，包含(1,3)和(3,1)两种情况，事件8="骰

子向上的点数是3和6”，包含(6,3)和(3,6)两种情况，

事件C="骰子向上的点数含有3"，包含(1,3)、(2,3)、(3,3)、(4,3)、(5,3)、

(6,3)、(3,1)、(3,2)、(3,4)、(4,5)、(3,6),共11种情况，

依次分析选项：

对于A,事件4、B不会同时发生，A、8是互斥事件，不会是相互独立事件，A错误；

对于2,事件A、C可能同时发生，不是互斥事件，B错误;

对于C,由古典概型公式，P（A）=芯=短，P（B）=%=诟，。正确;

对于。，由古典概型公式，P（C）O错误.

故选：C.

4.（5分）在平行四边形A8CD中，E、尸分别在边A0、CD±,AE=3ED,DF=FC,AF

则启=（

)

4T5-3T6T

A.——a+一bB.一a+—bC.—a+—bD.——a+-b

1111111111111111

3J—>3TT]T1X—>x1—->

【解答】解:根据题意可知,AE=^AD=[b,DF=20c=2AB=々a,

—>—>

设品=XAF,BG=\\.BE,

则设ZG=XAF=ACAD+DF)=^a+入b,

BG=\yBE=|i(AE-AB)=-|ia,

q

又因为48+BG=AG,

吆TTATtT

所以b

+a--a+a

42A6,6不共线,

所以解得］一"，

T?->AT

所以4G=五a+五b.

故选：D.

5.（5分）在三棱锥尸-ABC中，B4_L平面ABC,PA=6,8C=3,ZCAB=则三棱锥尸

-ABC的外接球半径为（）

A.3B.2V3C.3V2D.6

【解答】解：由正弦定理得，△ABC外接圆直径为2「=2=6,得/'=3,

Sln6

1

设球心到平面ABC的距离为d,则d=^PA=3,

・•・三棱锥P-ABC的外接球半径为R=Vd2+r2=V32+32=3或.

故选：C.

6.（5分）已知函数/（%）=s讥（3%+看）在（0,弥）上恰好取到一次最大值与一次最小值，则

O）的取值范围是（）

A.(4,7]B.[4,7)C.(7,10]D.[7,10)

【解答】解：由于函数/（%）=sin｛a）x+名）在（0,亨）上恰好取到一次最大值与一次最小值,

,,3TTITIT57r,_

故一v-3+-W-,解得4<3W7.

2362

故选：A.

7.（5分）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1,1,2,3,5,8,…,

该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和，即递推关系式为即+2=斯+1+即，〃EN*,

故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列｛劭｝的

通项公式为a九=A•■)n+B--）n,其中A,3的值可由m和〃2得到，比如兔

子数列中。1=1,。2=1代入解得A=/,8=.利用以上信息计算［（号纲=（）

（印表示不超过x的最大整数）

A.10B.11C.12D.13

【解答】解：由题意可令A=B=1,

所以将数列｛即｝逐个列举可得：41=1,42=1,。3=。1+。2^2,〃4=。3+〃2=3,45=〃4+〃3

=5,

11+追5_J_1-^5e

g=疾(丁)(-----)5=5,

后2

即(U)5.1-V5

)5=5A/5,

22

1—Vs(i—V5)(i+Vs)2

又因为

22(1+Vs)

1+V5

设片（)5>1,

2

可得任1=5A/5,即z2-5行什1=0,

5V5+117125+11

解得t=

22

因为VI芯e(11,12),

所以te(11,11.5),所以用=11,

I+AAS«

即[（方一）5]=11.

故选：B.

33；

1e4

（分）已知万，b=,c=（其中为自然常数），则。、、的大小关

8.5a=y4ebc

系为（

A.a<c〈bB.b〈a〈cC.c〈b<aD.c<a〈b

13

17ln2

p,b=2y[e=罕3

【解答】解："=五&=放=应c==

4~~

23

设/（%）=va#。），则//（%）=竺与口,

令/（x）>0,解得X>1,令f（x）<0,解得％V1且xWO,

所以函数/（x）在（-8,o）,（0,1）上单调递减，（1,+°°）上单调递增,

又1>"2>空0,贝行（伍2）</（分即a<6,

Pln44pm2A

注意/■（伍4）=硒=2/^2=而I=/（伉2）=a,而>1,

…4

所以/（方4）〉/（可），即a>c,

综上，b>a>c.

故选：D.

二、多选题

1

（多选）9.（5分）已知（久一去产的展开式中共有7项，贝U（）

A.所有项的二项式系数和为64

B.所有项的系数和为1

C.二项式系数最大的项为第4项

D.有理项共4项

【解答】解：由展开式有7项，可知w=6,

所以所有项的二项式系数和为26=64,故选项A正确；

令x=l,则展开式的所有系数和为（1-1）6=亳，故2错误；

二项式系数最大项为第四项，故选项C正确；

111N3

展开式第r+1项为C>6-r（_》rQ-2）r=4（―力/一凡

所以当r=0,2,4,6,时为有理项，故选项。正确;

故选：ACD.

(多选)10.(5分)一组样本数据xi,xi,­­­,尤”的平均数为元(彳力0),标准差为s.另一

组样本数据切+1,X/2,…，X2",的平均数为3礼标准差为S.两组数据合成一组新数据

XI,XI,Xn,X”+l,…，Xin,新数据的平均数为歹，标准差为S,，则()

A.y>2xB.y=2xC.s'>sD.s'=s

【解答】解：根据题意，一组样本数据XI,X2,…，物的平均数为双元力0),标准差为S,

另一组样本数据加+1,知+2,…，Xin,的平均数为3元，标准差为S.

两组数据合成一组新数据后，其平均数?=%臀=2元，

2222

ns=(%i—%)+(%2—x)+—I-(%n—%)=>x^—nx,

同理烬2=£怂n+1X1-n-(3x)2=Xk=n+1琢一

2n

-lOnx7,

Zk=l

2ns'2=£*—2n-(2x)2=£*嘘—8nx2,

22

所以>2nsfs'>s.

故选：BC.

(多选)11.(5分)已知函数)=/(%)的导函数y=/(%),且/(x)=-(x-xi)(x-%2),

X1<X2,贝!J()

A.X2是函数y=/(x)的一个极大值点

B.f(xi)<f(X2)

C.函数(无)在久=建强处切线的斜率小于零

D.

【解答】解：令/(X)>0,解得XlVx〈X2,令/(X)<0,解得X>%2或%〈XI,

则/(%)在(X1,X2)上单调递增，在(-8,Xl),(X2,+°°)上单调递减，

故X2是函数y=/(x)的一个极大值点，f(xi)<f(X2),A、B正确；

•.•久1〈5强42,则//(红畀2)>0,故函数y=/(x)在％=当强处切线的斜率

大于零，C错误；

又2V%2,则TQi)<7("今守(无2)，但无法确定函数值的正负，。错误.

故选：AB.

（多选）12.（5分）正方体ABC。-481cl。的棱长为1,中心为。，以。为球心的球与

四面体ABiCDi的四个面相交所围成的曲线的总长度为半

,则球。的半径为（

V15V15V15V15

A.一B.——C.—D.——

241263

【解答】解：由题意可知：四面体A81CD1为正四面体，设球。的半径为R；

:正方体棱长为1,.••正四面体的棱长为夜,

设球心O到正四面体各个面的距离为d,

,正四面体体积U=1—4xixixlxlxl=i,表面积S=4x^xV2xV2x*=

■3乙D乙乙

2V3,；.d=¥=卓;

36

①若正四面体的一个面截球如图所示,

设小圆半径为r,则2TZT=4X等■冗=坐兀，解得：厂=g「.旌=丁2+=言，解得:

P_生

R=廿

②若正四面体的一个面截图如图所示,

••・每个面截球所得的曲线长若X穿=3,的长为济,

设小圆半径为r,。1为正四面体侧面的中心，E为MN中W,

零，。送=*J（物2_哈2=洛，又NQO'N=等

/MOiE

.£/,、.CTC、4^TIA/6

令/（7）=COS/一百一・f0）=-sm（w—薪）・铲+干,

V6yf^TtGyTG—yf3Tt

•：-—J=；>0恒成立,.1./（r）在（0,+8）上单调递增,

6r236r236r2

又f（西）—（—甚—也一也一0•丁_旦

cos-U,r

乂八3一郎（312J6x@122''~3'

'-R2=r2+d2=解得：R=

综上所述：球O的半径为或

126

故选：BC.

三、填空题

13.（5分）某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对

中国的印象，使用频率前12的关键词为：高铁、移动支付、网购、共享单车、一带一路、

无人机、大熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村.其中使用频率排前四的

关键词“高铁、移动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”.从这

12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的选法种

数为164（用数字作答）.

【解答】解：根据题意，从12个关键词中选择3个不同的关键词，有（?务=220种选法,

其中不包含“新四大发明”关键词的选法有/=56种，

则至少包含一个“新四大发明”关键词的选法有220-56=164种，

故答案为：164.

*77"q71-TT

14.（5分）已知sin（a+工）=己，cx£（一，n）,则tan（。一0）=-7.

65212-------

TTW7T

【解答】解：已知sin（a+z）=q，ocG（―,n）,

652

则：cos（仇+看）=—［，

所以：tan（仇+看）=—

故：tan（a一金）=tanQa+小一副=署紫需彘=一丁

故答案为：-7.

15.（5分）设O5：x2+y2=1与Ox2+（y—2）2=4相交于A,B两点，则|AB|=

V15

~~2T~

【解答】解：将。0『/+y2=i和。02：久2+(y-2)2=4两式相减：

得过A,8两点的直线方程：y=l，

1—1

则圆心(0,0)至Uy=五的距禺为一，

44

所以［4切=212_@)2=浮.

故答案为：

2

16.(5分)已知直三棱柱ABC-AiBiCi中，AB1.BC,AB=BC=BBi=2,D,E分别为棱

AiCi,AB的中点，过点Bx,D,E作平面a将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为

Vi,V2(V1<V2),则吻=—；平面a截此三棱柱的外接球的截面面积为］兀.

【解答】解：取AC中点。1,取AD1中点R连EF,DF,EF//DB1,

平面a为平面DB1EF,

'：AB±BC,AB=BC=BBi=2,D,E分别为棱4G,AB的中点,

111

所以-2X2X2X2=1»S/\AEF=-^9

由棱台体积公式可得0乌（1+1+2）X2=]

a4-ZO

1717

吻=2X2X2X2—1=Y，

由AB1BC,可得三棱柱外接球球心在的中点,

所以有三棱柱外接球半径=V2T1=V3,

如图以2点为原点，CB为无轴，AB为y轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则B(0,0,0),Bi(0,0,2),D(-1,-1,2),E(0,-1,0),

设平面a的法向量71=(x,y,z),

n•B]D=0—%—y=0

可得｛不妨设z=l,则x=2,y=-2,n=(2,2,1),

7Tx—2z=0

vn-DE=0

球心M(-1,-1,1)到平面a距离d=岬”

•>=13一|=楞,S=n/=等兀•

,,心4,1726

故答案为：一；一n.

69

四、解答题

17.(10分)在①Si,S2,S4成等比数列，②。4=2及+2,③S8=S4+S7-2这三个条件中任选

两个，补充在下面问题中，并完成解答.

己知数列｛斯｝是公差不为0的等差数列，其前〃项和为5,且满足

(1)求｛而｝的通项公式;

„1111

(2)求+++…+.

。2a3

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.

【解答】解：(1)选①②，设等差数列｛劭｝的公差为d,

.*Si,S2,S4成等比数列，。4=2〃2+2,

+6d)=(2%+d)2

解得〃1=2,d=4,

+3d=2(%+d)+2

••劭=2+4(H-1)=4几-2；

选①③，设等差数列｛即｝的公差为",

/Si,S2,S4成等比数列,58=54+57-2,

1a式401+6d)=(2a+d)2

18al+28d=4al+6td+7al+21d—2解得〃1=2,d=4,

••丽=2+4(n-1)=4〃-2；

选②③，设等差数列｛〃〃｝的公差为d,

.*44=2(22+2,S8=S4+S7-2,

(a+3d=2(的+d)+2

18ral+28d=4al+6d+7al+21d—2解得41=2,d=4,

••斯=2+4(n-1)=4几-2；

(2)由(1)得。〃=4几-2,

1111111

则-------=--------------=—---------------=—(-----------),

a九a九十i(471-2)(4TI+2)4(271—1)(271+1)82九-12?1+1

1111111111

a1a2a2a3anan+18’3352n-l2n+±8'

1n

-----)=--------

2n+r4(2n+l)

18.(12分)第二十二届卡塔尔世界杯足球赛(FIFAWorldCupQatar2Q22)决赛中，阿根廷

队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社

团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进

行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生40

女生30

合计

(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别

有关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知

男生进球的概率为二女生进球的概率为"每人射门一次，假设各人射门相互独立，求

3人进球总次数的分布列和数学期望.

2

附H_______n(ad-bc)______

川・八一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

P(蜉n女)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解答】解：⑴2X2列联表如下：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生6040100

女生3070100

合计90110200

9

2.200X(60X70—40X30)^

K~100x100x90x110~

故有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.

(2)3人进球总次数m的所有可能取值为0，1，2,3,

P(§=0)=(1)2=1)=C2,I-IxI+1x&)2=需

4212

2

+2x=我^r\-

=2)=Ci-j-j4^l-s>--k-JX--

9-3)329

故W的分布列如下：

0123

p1542

181899

42

故m的数学期望：E(口=1x■+2X-+3X--11

996-

19.(12分)在△A3C中，A,B,C的对边分别为a,b,c,acosB-2acosC=(2c-b)cosA.

(1)若c=Wa,求cosB的值；

(2)若6=1,N5AC的平分线AO交8C于点0,求AO长度的取值范围.

【解答】解：(1)*.*acosB-2iicosC=(2c-b)cosA,

・••在△ABC中，由正弦定理得sinAcosB-2sinAcosC=(2sinC-sinB)cosA,

sinAcosB+cosAsini5=2siiiAcosC+2cosAsinC,sin(A+B)=2sin(A+C),

sinC=2sinB,即c=2b,c=V3a,

.773a

••b=T，

222222

.Da+c-ba+3a-1a1373

,•SSB=F^=F^=H

(2)由(1)得c=2b,b=l,则c=2,

设N84Z)=e,如图所示:

111

:・S^ABC=2.2,sin20=1•2•AD•sind+,•1•AD•sin9,

4n

：.AD=^cos0,0e(0,J),

4

：.ADe(0,1).

20.(12分)如图，在△ABC中，是3c边上的高，以4。为折痕，将△AC。折至

的位置，使得尸BLAB.

(1)证明：P8_L平面

(2)若AZ)=PB=4,BD=2,求二面角8-朋-。的正弦值.

P

【解答】(1)证明：是BC边上的高，

：.PD±AD,AD1.BD,

•：PDCBD=D,PD,BDu平面P8D,.,.AD±¥ffiPBD,

・*Bu平面PBO,：.AD±PB,

X'.'PBXAB,AD,ABu平面ABO,ADHAB^A,

平面AB。；

(2)解：以。为坐标原点，D4所在直线为x轴，所在直线为y轴，垂直4DB平面

为z轴，建立空间直角坐标系，

AD=PB=4,BD=2,

则8(0,2,0),P(0,2,4),A(4,0,0),D(0,0,0),

TT—>

：.BP=(0,0,4),PA=(4,一2,—4),DA=(4,0,0),

设平面BPA与平面PAD的一个法向量分别为最=(”Z]),n2=(x2,y2,z2),

故，邛—4zi一°,解得：zi=0,令xi=l,得：yi=2,

叫•PA=4%i—2yl—4zi=0

则元=(1,2,0),把1-4犯2y2佟一。，解得：琥=0,令z2=i,则”=-2,

(%,DA=4久2=0

故元=(0,-2,1),

设二面角2-E4-。平面角为3显然。为锐角，

•亦a_扇£1_1(1，2,0)®-2,1)1=_J__4

-鬲向一V1+4X^+4-7^-宁

.".sin0=V1—cos20=q,

3

即二面角B-PA-D的正弦值为g.

x2y2

21.(12分)已知双曲线C：--yr=1(G>0,b>0)的左顶点为A,过左焦点/的直线

与C交于P,。两点.当尸。，x轴时，\PA\=V10,入期。的面积为3.

(1)求C的方程；

(2)证明：以尸。为直径的圆经过定点.

【解答】解：(1)当尸Q，x轴时，P,。两点的横坐标均为-c,

121212

代入双曲线方程，可得力=匕，即|PF|=g,

传/+(c_a)2=(VlO)2

由题意，可得(i2b2，

2工("a)=3

"=a2+b2

解得〃=1，b=V3,c=2,

双曲线C的方程为：%2-^=1；

(2)证明：设尸。方程为％=my-2,P(xi,yi),Q(12,>2),

X=772V_2

联立方程｛22_Q=3(??22y2_4rHy+4)_y2=3=(37n2_1)y2_+9=

□%—y=J

0,

2

以PQ为直径的圆的方程为(x-xi)(x-x2)+(y-yi)(y-»)=0,x—(xt+x2)x+

%i%2+y2—(yi+y2)y+yry2=0,

由对称性知以尸。为直径的圆必过x轴上的定点，令y=0,可得％2-(xi+%2)x+xix2+yiy2

=0,

e、,।(12m2.4

而无】+尤爪(乃+%)—=赤口—=痂口，

2=44*1*2=(小为-2)(my2-2)=

nt2yly2—2nl(%+y2)+4=3m2_1>

_4——4Q___c

x2—--n--%+——n——+--n--=0=(3m2—l)%2一4%+5—37n2=0=[(3m2

3mz—13mz—13mz—1

-1)%+3m2-5](x-1)=0对VaER恒成立，

•»x=1,

...以PQ为直径的圆经过定点(1，0).

22.(12分)已知函数/(久)和g(x)=支等有相同的最大值.

(1)求实数a；

(2)设直线y=方与两条曲线y=/(%)和y=g(x)共有四个不同的交点，其横坐标分

别为尤1,XI,X3)X4(X1<X2<X3<X4),证明：X1X4=X2X3.

【解答】解：(1)(%)=令f(x)=0nx=l.

a