2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题基础作业 第1节勾股及实数复习（含答案）

第1讲勾股及实数复习（学生版）目标层级图课前检测1．若，则的值为．2．已知：，，求代数式的值．3．计算（1）（2）4．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片，使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为A．3 B．4 C．5 D．65．如图，在中，，，点，均在边上，且（1）若，，则．课中讲解平方根与算术平方根例1.的平方根是A． B． C． D．过关检测1．的算术平方根为A．9 B． C．3 D．例2．已知与是的平方根，则的值是．过关检测1．若一个正数的平方根是和，则这个正数是．二、二次根式非负性及应用例3．若，则．过关检测1．已知，则的值为．2．若，则．

例4．已知，则的平方根为.过关检测1．已知，则．例5.已知若，为实数，且，求的值．过关检测1．，为实数，且，化简：．三、二次根式的运算例6．计算：（1）（2）（3）过关检测1．计算：（1）（2）（3）例7.已知，，求的值．过关检测1．已知，，求的值．四、方程与勾股例8．如图，将长方形沿对角线折叠，得到如图所示的图形，点的对应点是点，与交于点．若，，则的长是．过关检测1．如图，沿折痕叠矩形的一边，使点落在边上的点处，若，且的面积为24，求的长．例9．如图，在长方形中，，，将长方形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，则的长为A．0.5 B．1 C．2 D．3过关检测1．如图，已知在矩形中，是边中点，将矩形分别沿、折叠，、两点刚好落在点处，已知，，设，则的值为A． B． C． D．五、平方关系及证明例10．在中，，点，是边所在直线上与点，不重合的两点．（1）如图1，当，时，直接写出线段，，的数量关系；（不必证明）（2）如图2，当，时，已知，，求线段的长度；（3）如图3，当，时，请探究线段，，的数量关系，并证明．

过关检测1．在等腰中，，（1）如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转90后，得到，连接①求证：；②当，时，求的长；

例11．在中，，.（1）如图1，若点是边上一点，则与的数量关系是.（2）如图2，若点是延长线上一点，则与的数量关系是.过关检测1．如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上，点在边的左侧，连接．（1）求证：；（2）试探究线段、与之间的数量关系；（3）过点作交于点，若，，求的长．学习任务1．的平方根是A． B． C． D．2．和是一个数的平方根，则．3．已知、满足，则的平方根为．4．若，则．5．已知，，求的值.6．计算：（1）（2）7．已知．（1）求；（2）若的小数部分为，的小数部分为，求的值．8．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为．9．（1）如图1的正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：；（2）如图2，等腰中，，，点，在边上，且．若，，求的长．

10．问题：如图①，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；第1讲勾股及实数复习（解析版）目标层级图课前检测1．若，则的值为0．【解答】解：，，，解得，，，．故答案为：0．2．已知：，，求代数式的值．【解答】解：，，．3．计算（1）（2）【解答】解：（1）；（2）；4．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片，使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：四边形是矩形，，，是翻折而成，，，是直角三角形，，在中，，设，在中，，即，解得，故选：．5．如图，在中，，，点，均在边上，且（1）若，，则．【解答】解：（1）将绕点逆时针旋转，至，则与重合，连接，如图所示：则，，，，，，，，在△和中，，△，，，，，，在△中，由勾股定理得：，；故答案为：；课中讲解平方根与算术平方根例1.的平方根是A． B． C． D．【解答】解：，2的平方根是，的平方根是．故选：．过关检测1．的算术平方根为A．9 B． C．3 D．【解答】解：，的算术平方根为3．故选：．例2．已知与是的平方根，则的值是9或1．【解答】解：与是的平方根，或，解得：或，故或，则的值是9或1．故答案为：9或1．过关检测1．若一个正数的平方根是和，则这个正数是9．【解答】解：由题意得：，解得：，故，则这个正数为：，故答案为：9．二、二次根式非负性及应用例3．若，则．【解答】解：，，，解得：，，．故答案为：．过关检测1．已知，则的值为．【解答】解：，，解得，．故答案为：2．若，则1．【解答】解：因为，所以，所以，，．解得，，．所以．故答案为：1．例4．已知，则的平方根为【解答】解：，，则，，，则，，解得，，则，则的平方根为．故答案为：．过关检测1．已知，则．【解答】解：，，则，，，则，，解得：，，所以，故答案为：例5.已知若，为实数，且，求的值．【解答】解：由题意，，，又，，，，过关检测1．，为实数，且，化简：．【解答】解：，，，，，又，，．故答案为．三、二次根式的运算例6．计算：（1）；（2）．（3）【解答】解：（1）；（2）．（3）原式．过关检测1．计算：（1）（2）（3）计算：【解答】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．例7.已知，，求的值．【解答】解：，，则原式．过关检测1．已知，，求的值．【解答】解：，，，，．四、方程与勾股例8．如图，将长方形沿对角线折叠，得到如图所示的图形，点的对应点是点，与交于点．若，，则的长是5．【解答】解：四边形是矩形，，，，，由折叠可得，，，在中，，即，解得，故答案为：5．过关检测1．如图，沿折痕叠矩形的一边，使点落在边上的点处，若，且的面积为24，求的长．【解答】解：，，．．．设，则．根据勾股定理，得即，．即．例9．如图，在长方形中，，，将长方形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，则的长为A．0.5 B．1 C．2 D．3【解答】解：四边形是矩形，，，，由翻折可知：，，，，，又，在中，根据勾股定理，得，即，解得．则的长为2．故选：．过关检测1．如图，已知在矩形中，是边中点，将矩形分别沿、折叠，、两点刚好落在点处，已知，，设，则的值为A． B． C． D．【解答】解：四边形是矩形，，，，，，，是边中点，，，将矩形分别沿、折叠，、两点刚好落在点处，，，，，解得．故选：．五、平方关系及证明例10．在中，，点，是边所在直线上与点，不重合的两点．（1）如图1，当，时，直接写出线段，，的数量关系；（不必证明）（2）如图2，当，时，已知，，求线段的长度；（3）如图3，当，时，请探究线段，，的数量关系，并证明．【解答】解：（1）结论：．理由：，，将绕点逆时针旋转得，连接，如图1中，，，，，，；又，而，，，，，，，．（2）如图2中，，，将绕点逆时针旋转得，连接，作交的延长线于．，，，，，，，，在中，，，，，，在中，，．（3）结论：理由：如图3中，将绕点顺时针旋转，得到，连接．，，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，．过关检测1．在等腰中，，（1）如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转90后，得到，连接①求证：；②当，时，求的长；【解答】解：（1）①如图1中，，，，，，，，，，．②如图1中，设，则．，，，，，，，在中，，，，，．例11．在中，，.（1）如图1，若点是边上一点，则与的数量关系是.（2）如图2，若点是延长线上一点，则与的数量关系是.【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，证是直角三角形，.过关检测1．如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上，点在边的左侧，连接．（1）求证：；（2）试探究线段、与之间的数量关系；（3）过点作交于点，若，，求线段的长．【解答】（1）证明：和都是等腰直角三角形，，，，．（2）解：由（1）得，，又是等腰直角三角形，，，在中，，且，，，，（3）解：连接，设，，则，都是等腰直角三角形，，，由（1）、（2）可得，在中，，，解得，．学习任务1．的平方根是A． B． C． D．【解答】解：，的平方根是．故选：．2．和是一个数的平方根，则1．【解答】解：显然，和是一个数的平方根，，解得：，故答案为：1．3．已知、满足，则的平方根为．【解答】解：，，，，，，的平方根为，故答案为：．4．若，则．【解答】解：，，则，，，，则，，解得：，，所以，故答案为：5．已知，，求的值【解答】解：由题意可知：，，，，，当时，原式，当时，原式．6．计算：（1）（2）【解答】解：（1）原式；（2）原式．7．已知．（1）求；（2）若的小数部分为，的小数部分为，求的值．【解答】解：（1），，，，，（2）的小数部分为，的小数部分为，，，．8．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为10．【解答】解：易证，，设，则，在中，，解之得：，，．故答案为：10．9．（1）如图1的正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：；（2）如图2，等腰中，，，点，在边上，且．若，，求的长．【解答】（1）证明：在正方形中，，，在和中，，，，，，在和中，，，；（2）解：如图，过点作，垂足为点，截取，使．连接、．，，．，．在和中，，．